Jednorodność - Homothety

Dwie podobne figury geometryczne powiązane przekształceniem homotetycznym względem centrum homotetycznego S . Kąty w odpowiednich punktach są takie same i mają ten sam sens; na przykład kąty ABC i A'B'C' są zarówno zgodne z ruchem wskazówek zegara, jak i równe co do wielkości.

W matematyce , A jednokładności (lub homothecy lub jednorodne rozszerzenie ) jest transformacja o afinicznej przestrzeni określonej przez punkt S zwana jego centrum i numer niezerowe λ zwany jej współczynnik , który wysyła

innymi słowy, ustala S i wysyła każde M do innego punktu N tak, że odcinek SN znajduje się na tej samej linii co SM , ale jest przeskalowany przez współczynnik λ . W geometrii euklidesowej homotety to podobieństwa, które ustalają punkt i albo zachowują (jeśli λ > 0 ) albo odwracają (jeśli λ < 0 ) kierunek wszystkich wektorów. Wraz z tłumaczeniami wszystkie homotety przestrzeni afinicznej (lub euklidesowej) tworzą grupę , grupę dylatacji lub homotety-przekładów . Są to właśnie przekształcenia afiniczne z tą właściwością, że obraz każdej prostej L jest linią równoległą do L .

W geometrii rzutowej transformacja homotetyczna jest transformacją podobieństwa (tj. ustala daną eliptyczną inwolucję), która pozostawia linię w nieskończoności punktowo niezmiennikiem .

W geometrii euklidesowej jednorodność stosunku λ mnoży odległości między punktami przez | λ | a wszystkie obszary o λ 2 . Tutaj | λ | Jest to współczynnik powiększenia lub współczynnik rozszerzenia lub współczynnika skalowania lub stosunku podobieństwo . Takie przekształcenie można nazwać powiększeniem, jeśli współczynnik skali przekracza 1. Wspomniany wyżej punkt stały S nazywamy centrum homotetycznym lub środkiem podobieństwa lub środkiem podobieństwa .

Termin ukuty przez francuskiego matematyka Michela Chaslesa wywodzi się z dwóch greckich elementów: przedrostka homo- ( όμο ), co oznacza "podobny" i tezy ( Θέσις ), co oznacza "pozycja". Opisuje związek między dwiema postaciami o tym samym kształcie i orientacji. Na przykład dwie rosyjskie lalki patrzące w tym samym kierunku można uznać za homotetyczne.

Jednorodność i równomierne skalowanie

Jeśli centrum homotetyczne S pokrywa się z początkiem O przestrzeni wektorowej ( SO ), to każda homotetyczna o współczynniku λ jest równoważna jednostajnemu przeskalowaniu o ten sam czynnik, który wysyła

W konsekwencji w konkretnym przypadku, w którym SO , jednorodność staje się przekształceniem liniowym , które zachowuje nie tylko współliniowość punktów (proste są odwzorowywane na proste), ale także dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar.

Obraz punktu ( x , y ) po homotecie o środku ( a , b ) i współczynniku λ jest określony wzorem ( a + λ ( xa ), b + λ ( yb )).

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Hadamard , s. 145)
  2. ^ Tuller (1967 , s. 119)

Bibliografia

  • Hadamard, J. , Lekcje geometrii płaskiej
  • Meserve, Bruce E. (1955), "Przekształcenia homotetyczne", Podstawowe pojęcia geometrii , Addison-Wesley , s. 166-169
  • Tuller, Annita (1967), Nowoczesne wprowadzenie do geometrii , Seria uniwersytecka w matematyce licencjackiej, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co.

Zewnętrzne linki