Jednorodność - Homothety
W matematyce , A jednokładności (lub homothecy lub jednorodne rozszerzenie ) jest transformacja o afinicznej przestrzeni określonej przez punkt S zwana jego centrum i numer niezerowe λ zwany jej współczynnik , który wysyła
innymi słowy, ustala S i wysyła każde M do innego punktu N tak, że odcinek SN znajduje się na tej samej linii co SM , ale jest przeskalowany przez współczynnik λ . W geometrii euklidesowej homotety to podobieństwa, które ustalają punkt i albo zachowują (jeśli λ > 0 ) albo odwracają (jeśli λ < 0 ) kierunek wszystkich wektorów. Wraz z tłumaczeniami wszystkie homotety przestrzeni afinicznej (lub euklidesowej) tworzą grupę , grupę dylatacji lub homotety-przekładów . Są to właśnie przekształcenia afiniczne z tą właściwością, że obraz każdej prostej L jest linią równoległą do L .
W geometrii rzutowej transformacja homotetyczna jest transformacją podobieństwa (tj. ustala daną eliptyczną inwolucję), która pozostawia linię w nieskończoności punktowo niezmiennikiem .
W geometrii euklidesowej jednorodność stosunku λ mnoży odległości między punktami przez | λ | a wszystkie obszary o λ 2 . Tutaj | λ | Jest to współczynnik powiększenia lub współczynnik rozszerzenia lub współczynnika skalowania lub stosunku podobieństwo . Takie przekształcenie można nazwać powiększeniem, jeśli współczynnik skali przekracza 1. Wspomniany wyżej punkt stały S nazywamy centrum homotetycznym lub środkiem podobieństwa lub środkiem podobieństwa .
Termin ukuty przez francuskiego matematyka Michela Chaslesa wywodzi się z dwóch greckich elementów: przedrostka homo- ( όμο ), co oznacza "podobny" i tezy ( Θέσις ), co oznacza "pozycja". Opisuje związek między dwiema postaciami o tym samym kształcie i orientacji. Na przykład dwie rosyjskie lalki patrzące w tym samym kierunku można uznać za homotetyczne.
Jednorodność i równomierne skalowanie
Jeśli centrum homotetyczne S pokrywa się z początkiem O przestrzeni wektorowej ( S ≡ O ), to każda homotetyczna o współczynniku λ jest równoważna jednostajnemu przeskalowaniu o ten sam czynnik, który wysyła
W konsekwencji w konkretnym przypadku, w którym S ≡ O , jednorodność staje się przekształceniem liniowym , które zachowuje nie tylko współliniowość punktów (proste są odwzorowywane na proste), ale także dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar.
Obraz punktu ( x , y ) po homotecie o środku ( a , b ) i współczynniku λ jest określony wzorem ( a + λ ( x − a ), b + λ ( y − b )).
Zobacz też
- Skalowanie (geometria) podobne pojęcie w przestrzeniach wektorowych
- Centrum homotetyczne , centrum homotetycznej transformacji przechodzącej jeden z pary kształtów w drugi
- Hadwiger przypuszczenie o liczbie ściśle mniejszych homothetic kopii ciała wypukłego, które mogą być konieczne do pokrycia go
- Funkcja homotetyczna (ekonomia) , funkcja postaci f ( U ( y ) ), w której U jest funkcją jednorodną , a f jest funkcją monotonicznie rosnącą .
Uwagi
- ^ Hadamard , s. 145)
- ^ Tuller (1967 , s. 119)
Bibliografia
- Hadamard, J. , Lekcje geometrii płaskiej
- Meserve, Bruce E. (1955), "Przekształcenia homotetyczne", Podstawowe pojęcia geometrii , Addison-Wesley , s. 166-169
- Tuller, Annita (1967), Nowoczesne wprowadzenie do geometrii , Seria uniwersytecka w matematyce licencjackiej, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co.
Zewnętrzne linki
- Homothety , interaktywny aplet firmy Cut-the-Knot .