Kompaktowa grupa - Compact group

Okręgu o środku 0 i promieniu 1 w płaszczyźnie zespolonej jest zwarty zespół spoczywać złożonego mnożenia.

W matematyce grupa zwarta ( topologiczna ) to grupa topologiczna, której topologia jest zwarta (gdy operuje się na elemencie grupy, wynik również znajduje się w grupie). Grupy kompaktowe są naturalnym uogólnieniem grup skończonych o topologii dyskretnej i mają właściwości, które są przenoszone w znaczący sposób. Grupy zwarte mają dobrze rozumianą teorię, związaną z działaniami grupowymi i teorią reprezentacji .

W dalszej części przyjmiemy, że wszystkie grupy są przestrzeniami Hausdorffa .

Kompaktowe grupy Lie

Grupy Liego tworzą klasę grup topologicznych, a zwarte grupy Liego mają szczególnie dobrze rozwiniętą teorię. Podstawowe przykłady zwartych grup Liego obejmują

Twierdzenie Klasyfikacja zwartych grup Liego stwierdza, że do skończonych rozszerzeń i skończonych okładkach to wyczerpuje listę przykładów (który już zawiera kilka zwolnień). Ta klasyfikacja została dokładniej opisana w następnym podrozdziale.

Klasyfikacja

Mając dowolną zwartą grupę Liego G można wziąć jej składnik tożsamości G 0 , który jest połączony . Grupa ilorazowa G / G 0 jest grupą składowych π 0 ( G ), które muszą być skończone, ponieważ G jest zwarty. Mamy zatem skończone rozszerzenie

Tymczasem dla połączonych kompaktowych grup Lie mamy następujący wynik:

Twierdzenie : Każda spójna zwarta grupa Liego jest ilorazem przez skończoną podgrupę centralną iloczynu po prostu połączonej zwartej grupy Liego i torusa.

Zatem klasyfikację połączonych zwartych grup Liego można w zasadzie sprowadzić do wiedzy o po prostu połączonych zwartych grupach Liego wraz z informacją o ich środkach. (Aby uzyskać informacje na temat centrum, zobacz sekcję poniżej dotyczącą grupy podstawowej i centrum).

Wreszcie, każda zwarta, spójna, połączona prostoliniowo grupa Liego K jest iloczynem zwartych, spójnych, prosto połączonych prostych grup Liego K i, z których każda jest izomorficzna z dokładnie jedną z poniższych:

  • Zwarta grupa symplektycznych
  • Grupa Su
  • Grupa spinowa

lub jedną z pięciu wyjątkowych grup G 2 , F 4 , E 6 , E 7 i E 8 . Ograniczenia dotyczące n mają na celu uniknięcie specjalnych izomorfizmów między różnymi rodzinami dla małych wartości n . Dla każdej z tych grup ośrodek jest wyraźnie znany. Klasyfikacja odbywa się na podstawie powiązanego systemu korzeniowego (dla ustalonego maksymalnego torusa), które z kolei są klasyfikowane za pomocą ich diagramów Dynkina .

Klasyfikacja zwartych, po prostu połączonych grup Liego jest taka sama, jak klasyfikacja złożonych półprostych algebr Liego . Rzeczywiście, jeśli K jest po prostu spójną zwartą grupą Liego, to komplikacja algebry Liego K jest półprosta. I odwrotnie, każda złożona półprosta algebra Liego ma zwartą postać rzeczywistą izomorficzną z algebrą Liego o zwartej, po prostu połączonej grupie Liego.

Maksymalne tori i systemy korzeniowe

Kluczową ideą w badaniu połączonej zwartej grupy Liego K jest pojęcie torusa maksymalnego , czyli podgrupy T z K , która jest izomorficzna z produktem kilku kopii i nie jest zawarta w żadnej większej podgrupie tego typu . . Podstawowym przykładem jest przypadek , w którym możemy przyjąć za grupę elementów przekątnych w . Podstawowym wynikiem jest twierdzenie o torusie, które mówi, że każdy element należy do torusa maksymalnego i że wszystkie torusy maksymalne są sprzężone.

Maksymalny torus w zwartej grupie odgrywa rolę analogiczną do podalgebry Cartana w złożonej półprostej algebrze Liego. W szczególności, po wybraniu maksymalnego torusa , można zdefiniować system pierwiastkowy i grupę Weyla, podobnie jak w przypadku półprostych algebr Liego . Struktury te odgrywają wówczas zasadniczą rolę zarówno w klasyfikacji połączonych grup zwartych (opisanych powyżej), jak iw teorii reprezentacji takiej grupy ustalonej (opisanej poniżej).

Systemy korzeniowe związane z prostymi grupami zwartymi występującymi w klasyfikacji prosto połączonych grup zwartych są następujące:

  • Specjalne grupy unitarne odpowiadają systemowi korzeniowemu
  • Nieparzyste grupy spinów odpowiadają systemowi korzeniowemu
  • Zwarte grupy symplektyczne odpowiadają systemowi korzeniowemu
  • Parzyste grupy spinów odpowiadają systemowi korzeniowemu
  • Wyjątkowo kompaktowe grupy Lie odpowiadają pięciu wyjątkowym systemom korzeniowym G 2 , F 4 , E 6 , E 7 lub E 8

Grupa podstawowa i centrum

Ważne jest, aby wiedzieć, czy połączona zwarta grupa Liego jest po prostu połączona, a jeśli nie, określić jej podstawową grupę . W przypadku zwartych grup Liego istnieją dwa podstawowe podejścia do obliczania grupy podstawowej. Pierwsze podejście odnosi się do klasycznych grup zwartych , , , i postępuje przez indukcję na . Drugie podejście wykorzystuje system root i dotyczy wszystkich połączonych zwartych grup Lie.

Ważne jest również, aby znać centrum połączonej, zwartej grupy Liego. Środek klasycznej grupy można łatwo obliczyć „ręcznie”, aw większości przypadków składa się on po prostu z tego, jakie korzenie tożsamości tkwią w . (Grupa SO(2) jest wyjątkiem — centrum to cała grupa, chociaż większość elementów nie jest pierwiastkami tożsamości.) Tak więc, na przykład, centrum składa się z n-tych pierwiastków jedności razy tożsamość cykliczna grupa zleceń .

Ogólnie rzecz biorąc, środek można wyrazić w postaci sieci korzeniowej i jądra mapy wykładniczej dla torusa maksymalnego. Ogólna metoda pokazuje na przykład, że po prostu połączona zwarta grupa odpowiadająca wyjątkowemu systemowi korzeniowemu ma trywialne centrum. Tak więc zwarta grupa jest jedną z niewielu prostych zwartych grup, które są jednocześnie w prosty sposób połączone i pozbawione centrum. (Pozostałe to i .)

Dalsze przykłady

Wśród grup, które nie są Lie grupy, a więc nie mają tej struktury kolektora przykłady stanowią dodatek grupa Z P z p-adyczne całkowitymi , a konstrukcje z niego. W rzeczywistości każda grupa skończona jest grupą zwartą. Oznacza to, że grupy Galoisgrupami zwartymi, co jest podstawowym faktem dla teorii rozszerzeń algebraicznych w przypadku nieskończonego stopnia.

Dualizm Pontriagina dostarcza wielu przykładów zwartych grup przemiennych. Są one w dwoistości z abelowymi dyskretnymi grupami .

Miara haara

Wszystkie grupy zwarte niosą miarę Haara , która będzie niezmienna przy translacji zarówno w lewo, jak i w prawo ( funkcja modułu musi być ciągłym homomorfizmem do dodatnich liczb rzeczywistych ( R + , ×) i tak 1). Innymi słowy, te grupy są jednomodułowe . Miarę Haara można łatwo znormalizować jako miarę prawdopodobieństwa , analogiczną do dθ/2π na kole.

Taka miara Haara jest w wielu przypadkach łatwa do obliczenia; na przykład dla grup ortogonalnych było to znane Adolfowi Hurwitzowi , aw grupie Liego przypadki mogą być zawsze podane przez niezmienną formę różniczkową . W przypadku nieskończonym istnieje wiele podgrup o indeksie skończonym , a miara Haara cosetu będzie odwrotnością indeksu. Dlatego całki są często obliczalne całkiem bezpośrednio, co jest stale stosowane w teorii liczb .

Jeśli jest grupą zwartą i jest skojarzoną miarą Haara, twierdzenie Petera-Weyla zapewnia rozkład jako ortogonalną sumę bezpośrednią skończenie wymiarowych podprzestrzeni wpisów macierzowych dla nieredukowalnych reprezentacji .

Teoria reprezentacji

Teoria reprezentacji grup zwartych (niekoniecznie grup Liego i niekoniecznie połączonych) została założona przez twierdzenie Petera-Weyla . Hermann Weyl następnie przedstawił szczegółową teorię charakteru zwartych połączonych grup Liego, opartą na teorii maksymalnego torusa . Powstały wzór znaku Weyla był jednym z wpływowych wyników matematyki XX wieku. Połączenie twierdzenia Petera-Weyla i wzoru na charakter Weyla doprowadziło Weyla do kompletnej klasyfikacji reprezentacji połączonej zwartej grupy Liego; ta teoria jest opisana w następnej sekcji.

Połączenie pracy Weyla i twierdzenia Cartana daje przegląd całej teorii reprezentacji grup zwartych G . Oznacza to, że według twierdzenia Petera-Weyla nieredukowalne unitarne reprezentacje ρ G są w unitarnej grupie (o skończonym wymiarze), a obraz będzie zamkniętą podgrupą unitarnej grupy przez zwartość. Twierdzenie Cartana mówi, że Im(ρ) samo musi być podgrupą Liego w grupie unitarnej. Jeśli G nie jest samo w sobie grupą Liego, musi istnieć jądro dla ρ. Dalej można utworzyć system odwrotny , dla coraz mniejszego jądra ρ, skończenie wymiarowych reprezentacji unitarnych, który identyfikuje G jako granicę odwrotną zwartych grup Liego. Tutaj fakt, że w limicie wierna reprezentacja z G znajduje się inna konsekwencja twierdzenia Petera-Weyla.

Nieznana część teorii reprezentacji grup zwartych zostaje w ten sposób z grubsza odrzucona na złożone reprezentacje grup skończonych . Ta teoria jest dość bogata w szczegóły, ale jakościowo dobrze rozumiana.

Teoria reprezentacji połączonej zwartej grupy Liego

Pewne proste przykłady teorii reprezentacji zwartych grup Liego można opracować ręcznie, takie jak reprezentacje grupy rotacyjnej SO(3) , specjalnej grupy unitarnej SU(2) i specjalnej grupy unitarnej SU(3) . Skupiamy się tutaj na ogólnej teorii. Zobacz także równoległą teorię reprezentacji półprostej algebry Liego .

W tej sekcji naprawiamy połączoną zwartą grupę Liego K i maksymalny torus T w K .

Teoria reprezentacji T

Ponieważ T jest przemienne, lemat SCHUR za mówi nam, że każdy irreducible reprezentacja od T jest jednowymiarowy:

Ponieważ również T jest zwarte, musi być w rzeczywistości mapowane na .

Aby konkretnie opisać te reprezentacje, niech będzie algebrą Liego z T i zapiszemy punkty jako

W takich współrzędnych będzie miał formę

dla niektórych liniowych funkcjonalnych na .

Ponieważ odwzorowanie wykładnicze nie jest iniektywne, nie każdy taki funkcjonał liniowy daje początek dobrze zdefiniowanemu odwzorowaniu T na . Zamiast tego oznaczmy jądro mapy wykładniczej:

gdzie jest elementem tożsamości T . (Skalujemy tutaj mapę wykładniczą o współczynnik , aby uniknąć takich czynników gdzie indziej.) Następnie, aby uzyskać dobrze zdefiniowaną mapę , musi spełniać

gdzie jest zbiór liczb całkowitych. Funkcjonał liniowy spełniający ten warunek nazywamy elementem integralnym analitycznie . Ten warunek integralności jest powiązany, ale nie identyczny z pojęciem elementu całkowego w układzie półprostych algebr Liego.

Załóżmy na przykład, że T jest po prostu grupą liczb zespolonych o wartości bezwzględnej 1. Algebra Liego jest zbiorem liczb czysto urojonych, a jądro (skalowanej) mapy wykładniczej jest zbiorem liczb w postaci, w której jest liczba całkowita. Funkcjonal liniowy przyjmuje wartości całkowite na wszystkich takich liczbach wtedy i tylko wtedy, gdy ma postać pewnej liczby całkowitej . Nieredukowalne reprezentacje T w tym przypadku są jednowymiarowe i postaci

Teoria reprezentacji K

Przykład wag reprezentacji grupy SU(3)
Ośmiokrotna ” reprezentacja SU(3), stosowana w fizyce cząstek elementarnych
Czarne kropki wskazują dominujące elementy integralne dla grupy SU(3)

Oznaczmy teraz skończenie wymiarową nieredukowalną reprezentację K (nad ). Następnie rozważamy ograniczenie do T . To ograniczenie nie jest nieredukowalne, chyba że jest jednowymiarowe. Niemniej jednak ograniczenie rozkłada się na bezpośrednią sumę nieredukowalnych reprezentacji T . (Zauważ, że dana nieredukowalna reprezentacja T może wystąpić więcej niż jeden raz.) Teraz każda nieredukowalna reprezentacja T jest opisana przez funkcjonał liniowy, jak w poprzednim podrozdziale. Jeśli dana występuje przynajmniej raz w rozkładzie ograniczenia do T , wzywamy do wagi z . Strategia teorii reprezentacji K polega na klasyfikowaniu reprezentacji nieredukowalnych pod względem ich wag.

Opiszemy teraz pokrótce struktury potrzebne do sformułowania twierdzenia; więcej szczegółów można znaleźć w artykule na temat wag w teorii reprezentacji . Potrzebujemy pojęcia systemu pierwiastkowego dla K (względem danego torusa maksymalnego T ). Konstrukcja tego systemu korzeniowego jest bardzo podobna do konstrukcji złożonych półprostych algebr Liego . W szczególności, wagi są niezerowymi wagami dla skojarzonego działania T na skompleksowaną algebrę Liego z K . System korzeniowy R ma wszystkie zwykłe właściwości systemu korzeniowego , z wyjątkiem tego, że elementy R nie mogą się rozciągać . Następnie wybieramy bazę dla R i mówimy, że element integralny jest dominujący jeśli dla wszystkich . Na koniec mówimy, że jedna waga jest wyższa od drugiej, jeśli ich różnicę można wyrazić jako liniową kombinację elementów o nieujemnych współczynnikach.

Nieredukowalne skończenie wymiarowe reprezentacje K są następnie klasyfikowane przez twierdzenie o największej wadze , które jest blisko spokrewnione z analogicznym twierdzeniem klasyfikującym reprezentacje półprostej algebry Liego . Wynik mówi, że:

  1. każda nieredukowalna reprezentacja ma najwyższą wagę,
  2. najwyższa waga jest zawsze dominującym, analitycznie integralnym elementem,
  3. dwie nieredukowalne reprezentacje o tej samej najwyższej wadze są izomorficzne, a
  4. każdy dominujący, analitycznie integralny element powstaje jako najwyższa waga nieredukowalnej reprezentacji.

Twierdzenie o najwyższej wadze dla reprezentacji K jest wtedy prawie takie samo jak dla półprostych algebr Liego, z jednym godnym uwagi wyjątkiem: koncepcja elementu integralnego jest inna. Wagi reprezentacji są analitycznie integralne w sensie opisanym w poprzednim podrozdziale. Każdy analitycznie integralny element jest integralny w sensie algebry Liego, ale nie na odwrót. (Zjawisko to odzwierciedla, że ​​generalnie nie każda reprezentacja algebry Liego pochodzi z reprezentacji grupy K .) Z drugiej strony, jeśli K jest po prostu powiązane, zbiór możliwych najwyższych wag w sensie grupowym jest taki sam jako zbiór możliwych najwyższych wag w sensie algebry Liego.

Formuła postaci Weyla

Jeśli jest reprezentacja K , określamy charakter o być funkcja podana przez

.

Funkcja ta jest dobrze widoczna będzie funkcją klasy, czyli dla wszystkich i w K . Tak więc jest zdeterminowany przez jego ograniczenie do T .

Badanie charakterów jest ważną częścią teorii reprezentacji grup zwartych. Jednym z kluczowych wyników, będącym następstwem twierdzenia Petera-Weyla , jest to, że postacie tworzą ortonormalną bazę dla zbioru funkcji klas całkowalnych do kwadratu w K . Drugim kluczowym wynikiem jest formuła znaku Weyl , która daje wyraźną formułę dla znaku – lub raczej ograniczenie znaku do T – pod względem najwyższej wagi reprezentacji.

W ściśle powiązanej teorii reprezentacji półprostych algebr Liego wzór znaku Weyla jest dodatkowym wynikiem ustalonym po sklasyfikowaniu reprezentacji. Jednak w analizie Weyla przypadku grupy zwartej wzór postaci Weyla jest w rzeczywistości kluczową częścią samej klasyfikacji. W szczególności, w analizie reprezentacji K , przeprowadzonej przez Weyla , najtrudniejsza część twierdzenia – pokazująca, że ​​każdy dominujący, analitycznie integralny element ma w rzeczywistości najwyższą wagę jakiejś reprezentacji – jest udowodniona w zupełnie inny sposób niż zwykła konstrukcja algebry Liego przy użyciu Vermy. moduły . W podejściu Weyla konstrukcja opiera się na twierdzeniu Petera–Weyla i analitycznym dowodzie wzoru znaku Weyla . Ostatecznie nieredukowalne reprezentacje K są realizowane wewnątrz przestrzeni funkcji ciągłych na K .

Sprawa SU(2)

Rozważmy teraz przypadek zwartej grupy SU(2). Reprezentacje są często rozpatrywane z punktu widzenia algebry Liego , ale tutaj patrzymy na nie z punktu widzenia grupy. Za zbiór macierzy postaci przyjmujemy maksymalny torus

Zgodnie z przykładem omówionym powyżej w podrozdziale dotyczącym reprezentacji T , analitycznie integralne elementy są oznaczone liczbami całkowitymi, tak że dominujące analitycznie integralne elementy są nieujemnymi liczbami całkowitymi . Ogólna teoria mówi nam następnie, że dla każdego , istnieje unikalna nieredukowalna reprezentacja SU(2) o najwyższej wadze .

Wiele informacji o reprezentacji odpowiadającej danemu jest zakodowane w jej charakterze. Teraz wzór na znak Weyla mówi, w tym przypadku , że znak jest dany przez

Możemy również zapisać znak jako sumę wykładników w następujący sposób:

(Jeśli użyjemy wzoru na sumę skończonego szeregu geometrycznego na powyższym wyrażeniu i uprościmy, otrzymamy wcześniejsze wyrażenie.)

Z tego ostatniego wyrażenia i standardowego wzoru na postać w kategoriach wag reprezentacji możemy wyczytać, że wagi reprezentacji są

każdy z mnogością jeden. (Wagi są liczbami całkowitymi występującymi w wykładnikach wykładników, a krotności są współczynnikami wykładników.) Ponieważ istnieją wagi, każda z krotnością 1, wymiar reprezentacji wynosi . W ten sposób odzyskujemy wiele informacji o reprezentacjach, które zwykle uzyskuje się z obliczeń algebry Liego.

Zarys dowodu

Przedstawimy teraz dowód twierdzenia o największej wadze, zgodnie z pierwotnym argumentem Hermanna Weyla . W dalszym ciągu niech będziemy połączoną zwartą grupą Liego i ustalonym maksymalnym torusem w . Skupiamy się na najtrudniejszej części twierdzenia, pokazując, że każdy dominujący, integralny analitycznie element jest najwyższą wagą jakiejś (skończenie wymiarowej) reprezentacji nieredukowalnej.

Narzędzia do dowodu są następujące:

Mając te narzędzia w ręku, przystępujemy do dowodu. Pierwszym ważnym krokiem w argumencie jest udowodnienie wzoru na charakter Weyla . Wzór stanowi, że jeżeli jest nieredukowalne reprezentacja z najwyższej wagi , to znak od spełnia:

dla wszystkich w algebrze Liego . Oto połowa sumy pierwiastków dodatnich. (Zapis wykorzystuje konwencję „wag rzeczywistych”; konwencja ta wymaga wyraźnego współczynnika wykładnika). Dowód Weyla na formułę znaku ma charakter analityczny i opiera się na fakcie, że normą znaku jest 1. W szczególności, gdyby w liczniku były jakieś dodatkowe wyrazy, wzór całkowy Weyla wymusiłby, aby norma znaku była większa niż 1.

Następnie oznaczmy funkcję po prawej stronie formuły znakowej. Pokazujemy, że nawet jeśli nie jest znana jako najwyższa waga reprezentacji , jest dobrze zdefiniowaną, niezmienną funkcją Weyla on , która w związku z tym rozciąga się na funkcję klasy on . Następnie za pomocą wzoru całkowego Weyla można wykazać, że jako zasięgi nad zbiorem dominujących, analitycznie całkowych elementów, funkcje tworzą ortonormalną rodzinę funkcji klas. Podkreślamy, że obecnie nie wiemy, że każdy taki ma najwyższą wagę reprezentacji; niemniej jednak wyrażenia po prawej stronie wzoru znakowego dają dobrze zdefiniowany zestaw funkcji , a te funkcje są ortonormalne.

Teraz nadchodzi konkluzja. Zbiór wszystkich — z przekroczeniem dominujących, analitycznie całkowych elementów — tworzy zbiór ortonormalny w przestrzeni kwadratów całkowalnych funkcji klasowych. Ale według wzoru na znak Weyla, znaki nieredukowalnych reprezentacji tworzą podzbiór ''s. I zgodnie z twierdzeniem Petera-Weyla, postacie reprezentacji nieredukowalnych tworzą ortonormalną bazę dla przestrzeni całkowalnych funkcji klas z kwadratem. Gdyby istniały takie, które nie są najwyższą wagą przedstawienia, to odpowiednik nie miałby charakteru przedstawienia. W ten sposób znaki byłyby właściwym podzbiorem zbioru 's. Ale wtedy mamy niemożliwej sytuacji: AN ortonormalna Podstawa (zestaw znaków z niesprowadzalnych przedstawień) będzie znajdować się w ściśle większej ortonormalne Set (zestaw „s). Tak więc każdy musi być faktycznie najwyższą wagą reprezentacji.

Dwoistość

Temat odzyskiwania zwartej grupy z jej teorii reprezentacji jest przedmiotem dualizmu Tannaka-Krein , obecnie często przekształcanego w terminy Tannakiowskiej teorii kategorii .

Od grup kompaktowych do niekompaktowych

Wpływ teorii grup zwartych na grupy niezwarte został sformułowany przez Weyla w jego unitarnej sztuczce . Wewnątrz ogólnej półprostej grupy Liego znajduje się podgrupa maksymalnie zwarta , a teoria reprezentacji takich grup, rozwinięta w dużej mierze przez Harish-Chandra , intensywnie wykorzystuje ograniczenie reprezentacji do takiej podgrupy, a także model teorii charakteru Weyla.

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia

  • Brockera, Theodora; Tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups , Graduate Texts in Mathematics, 98 , Springer
  • Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebrs i reprezentacje Wprowadzenie elementarne , Teksty podyplomowe z matematyki, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
  • Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (1998), Struktura grup zwartych , Berlin: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1