Grupa arytmetyczna - Arithmetic group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, Z ) SL(2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór okrąg Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

W matematyce An arytmetyczna grupa jest grupą otrzymać jako punkty całkowitą od An algebraicznej grupy , na przykład Powstają one naturalnie w badaniach właściwości arytmetyki kwadratowych form i innych klasycznych tematów w teorii liczb . Dają również początek bardzo interesującym przykładom rozmaitości riemannowskich, a więc są przedmiotem zainteresowania geometrii różniczkowej i topologii . Wreszcie te dwa zagadnienia łączą się w teorię form automorficznych, która jest fundamentalna we współczesnej teorii liczb. ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}).}$

Historia

Jednym z początków matematycznej teorii grup arytmetycznych jest algebraiczna teoria liczb. Klasyczna teoria redukcji form kwadratowych i hermitowskich Charlesa Hermite'a , Hermanna Minkowskiego i innych może być postrzegana jako obliczanie podstawowych dziedzin działania pewnych grup arytmetycznych na odpowiednich przestrzeniach symetrycznych . Temat był związany z geometrią liczb Minkowskiego i wczesnym rozwojem badań nad niezmiennikami arytmetycznymi ciał liczbowych, takimi jak wyróżnik . Grupy arytmetyczne można traktować jako rozległe uogólnienie grup jednostek pól liczbowych na ustawienie nieprzemienne.

Te same grupy pojawiły się również w analitycznej teorii liczb w miarę rozwoju klasycznych form modularnych i ich uogólnień. Oczywiście te dwa tematy były ze sobą powiązane, co widać na przykład w obliczeniach Langlandsa objętości pewnych podstawowych dziedzin za pomocą metod analitycznych. Kulminacją tej klasycznej teorii były prace Siegela, który w wielu przypadkach wykazał skończoność objętości fundamentalnej dziedziny.

Aby współczesna teoria mogła się rozpocząć, potrzebna była podstawowa praca, której dostarczyły prace Armanda Borela , André Weila , Jacquesa Titsa i innych na temat grup algebraicznych. Niedługo potem Borel i Harish-Chandra udowodnili skończoność kowalumy. W międzyczasie nastąpił postęp w ogólnej teorii sieci w grupach Liego autorstwa Atle Selberga , Grigori Margulisa , Davida Kazhdana , MS Raghunathana i innych. Stan techniki po tym okresie został zasadniczo ustalony w traktacie Raghunathana, opublikowanym w 1972 roku.

W latach siedemdziesiątych Margulis zrewolucjonizował temat, udowadniając, że w „większości” przypadków konstrukcje arytmetyczne uwzględniają wszystkie kraty w danej grupie Liego. Pewne ograniczone wyniki w tym kierunku uzyskał już wcześniej Selberg, ale metody Margulis (wykorzystanie narzędzi ergodyczno-teoretycznych do działań na jednorodnych przestrzeniach) były w tym kontekście zupełnie nowe i miały niezwykle wpłynąć na późniejsze zmiany, skutecznie odnawiając stary temat geometrii liczb i umożliwienie samemu Margulisowi udowodnienia hipotezy Oppenheima ; silniejsze wyniki ( twierdzenia Ratnera ) uzyskała później Marina Ratner .

W innym kierunku klasyczny temat form modułowych rozkwitł we współczesnej teorii form automorficznych. Siłą napędową tych wysiłków jest przede wszystkim program Langlands zainicjowany przez Roberta Langlandsa . Jednym z głównych narzędzi wykorzystywanych tam jest formuła śladu wywodząca się z twórczości Selberga i opracowana w najogólniejszym otoczeniu przez Jamesa Arthura .

Wreszcie grupy arytmetyczne są często używane do konstruowania interesujących przykładów lokalnie symetrycznych rozmaitości riemannowskich. Szczególnie aktywnym tematem badawczym są arytmetyczne hiperboliczne 3 rozmaitości , które, jak napisał William Thurston , „… często wydają się mieć szczególne piękno”.

Definicja i konstrukcja

Grupy arytmetyczne

Jeśli dla niektórych jest podgrupą algebraiczną , możemy zdefiniować podgrupę arytmetyczną jako grupę punktów całkowitych Ogólnie nie jest tak oczywiste, jak dokładnie zrozumieć pojęcie "punktów całkowitych" grupy - , a podgrupa zdefiniowane powyżej mogą ulec zmianie, gdy weźmiemy różne osadzenia${\ Displaystyle \ operatorname {G}}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ operatorname {G} (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle \ Gamma = \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {Z}) \ czapka \ operatorname {G} (\ mathbb {Q}).}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ operatorname {G} \ do \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {Q}).}$

Zatem lepszym pomysłem jest przyjęcie do definicji podgrupy arytmetycznej dowolnej grupy, która jest współmierna (oznacza to, że oba i są zbiorami skończonymi) z grupą zdefiniowaną jak powyżej (w odniesieniu do dowolnego osadzenia w ). Z tą definicją do grupy algebraicznej związany jest zbiór „dyskretnych” podgrup, wszystkie współmierne do siebie. ${\ Displaystyle \ operatorname {G} (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ Gamma / (\ Gamma \ czapka \ Lambda)}$${\ Displaystyle \ Lambda / (\ Gamma \ czapka \ Lambda)}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n}}$${\ Displaystyle \ operatorname {G}}$

Korzystanie z pól liczbowych

Naturalne uogólnienie powyższej konstrukcji jest następujące: niech będzie ciałem liczbowym z pierścieniem liczb całkowitych i grupą algebraiczną nad . Jeśli otrzymamy osadzanie zdefiniowane powyżej, podgrupę można słusznie nazwać grupą arytmetyczną. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle O}$${\ Displaystyle \ operatorname {G}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ rho: \ operatorname {G} \ do \ operatorname {GL} _ {n}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ rho ^ {-1} (\ operatorname {GL} _ {n} (O)) \ podzbiór \ operatorname {G} (F)}$

Z drugiej strony, tak otrzymana klasa grup nie jest większa niż klasa grup arytmetycznych, jak zdefiniowano powyżej. W istocie, jeśli weźmiemy pod uwagę grupę algebraicznej na otrzymany przez ograniczenie skalarne od celu i -embedding indukowana przez (gdzie ), a następnie grupa zbudowane powyżej jest równa . ${\ Displaystyle \ operatorname {G} '}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ rho ': \ operatorname {G} '\ do \ operatorname {GL} _ {dn}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q}]}$${\ Displaystyle (\ rho ') ^ {-1} (\ operatorname {GL} _ {nd} (\ mathbb {Z}}))}$

Przykłady

Klasycznym przykładem grupy arytmetycznej jest , lub grupy blisko spokrewnione , i . Dla grupy , lub czasami , nazywana jest grupą modularną , ponieważ jest związana z krzywą modularną . Podobnymi przykładami są modułowe grupy Siegel . ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ operatorname {PGL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\displaystyle n=2}$${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} _ {2g} (\ mathbb {Z})}$

Inne dobrze znane i zbadane przykłady to grupy Bianchi, gdzie jest liczbą całkowitą bez kwadratu i jest pierścieniem liczb całkowitych w polu oraz grupy modularne Hilberta-Blumenthala . ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (O_ {-m})}$${\ Displaystyle m> 0}$${\ Displaystyle O_ {-m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-m}}),}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (O_ {m})}$

Innym klasycznym przykładem są elementy integralne w grupie ortogonalnej formy kwadratowej określonej nad polem liczbowym, na przykład . Pokrewna konstrukcja polega na przejmowaniu grup jednostkowych rzędów w algebrach kwaternionów nad polami liczbowymi (na przykład porządek kwaternionów Hurwitza ). Podobne konstrukcje można wykonać z unitarnymi grupami form hermitowskich , znanym przykładem jest grupa modułowa Picarda . ${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (n, 1) (\ mathbb {Z})}$

Kraty arytmetyczne w półprostych grupach Liego

Gdy jest grupą Liego, sieć arytmetyczną można zdefiniować w następujący sposób: dla dowolnej grupy algebraicznej zdefiniowanej ponad tak, że istnieje morfizm o zwartym jądrze, obraz podgrupy arytmetycznej w jest siatką arytmetyczną w . Tak więc, na przykład, jeśli i jest podgrupą, to jest siecią arytmetyczną w (ale jest ich znacznie więcej, odpowiadających innym osadzeniom); na przykład jest kratą arytmetyczną w . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ operatorname {G}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ operatorname {G} (\ mathbb {R}) \ do G}$${\ Displaystyle \ operatorname {G} (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G = \ operatorname {G} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n}}$${\ Displaystyle G \ czapka \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (\ mathbb {R})}$

Twierdzenie Borela-Harisha-Chandry

Kraty w grupie Lie zwykle określa się jako dyskretne podgrupy skończonej covolume. Wprowadzona powyżej terminologia jest z tym spójna, ponieważ twierdzenie Borela i Harisha-Chandry stwierdza, że ​​podgrupa arytmetyczna w półprostej grupie Liego ma skończoną kowavolume (dyskretność jest oczywista).

Twierdzenie jest bardziej precyzyjne: mówi, że siatka arytmetyczna jest współzwarta wtedy i tylko wtedy, gdy „forma” użytej do jej zdefiniowania (tj. grupa - ) jest anizotropowa. Na przykład, sieć arytmetyczna powiązana z formą kwadratową w zmiennych powyżej będzie zwarta w powiązanej grupie ortogonalnej wtedy i tylko wtedy, gdy forma kwadratowa nie zniknie w żadnym punkcie . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ operatorname {G}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$

Twierdzenie o arytmetyce Margulisa

Spektakularny wynik, jaki uzyskała Margulis, jest częściową odwrotnością twierdzenia Borela-Harish-Chandra: dla pewnych grup Liego każda siatka jest arytmetyczna. Ten wynik jest prawdziwy dla wszystkich nieredukowalnych sieci w półprostych grupach Liego o rzeczywistej randze większej niż dwa. Na przykład wszystkie kraty w są arytmetyczne, gdy . Głównym nowym składnikiem, którego Margulis użył do udowodnienia swojego twierdzenia, była nadsztywność sieci w grupach wyższego rzędu, którą udowodnił w tym celu. ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\displaystyle n\geq 3}$

Nieredukowalność odgrywa rolę tylko wtedy, gdy ma czynnik o rzeczywistej randze jeden (w przeciwnym razie twierdzenie zawsze obowiązuje) i nie jest prosta: oznacza to, że dla dowolnego rozkładu iloczynowego sieć nie jest współmierna do iloczynu sieci w każdym z czynników . Na przykład, kraty w jest nieredukowalne, a nie jest. ${\ Displaystyle G}$${\displaystyle G=G_{1}\razy G_{2}}$${\ Displaystyle G_ {i}}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z} [{\ sqrt {2}}])}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R} ) \ razy \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R} )}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ razy \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

Twierdzenie Margulisa o arytmetyce (i supersztywności) obowiązuje dla pewnych grup Liego rzędu 1, a mianowicie dla i dla grupy wyjątkowej . Nie jest znane zawieszone we wszystkich grupach dla (wg GPS) i do kiedy . Nie ma znanych kratek niearytmetycznych w grupach, gdy . ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (n, 1)}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\ Displaystyle F_ {4}^ {-20}}$${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (n, 1)}$${\displaystyle n\geqslant 2}$${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n, 1)}$${\displaystyle n=1,2,3}$${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n, 1)}$${\displaystyle n\geqslant 4}$

Arytmetyczne grupy fuchsowskie i kleinowskie

Grupa arytmetyczna Fuchsa jest konstruowana z następujących danych: ciała liczb całkowitych , algebry kwaternionów nad i porządku w . Prosi się, aby dla jednego z osadzonych algebry była izomorficzna z algebrą macierzową, a dla wszystkich innych z kwaternionami Hamiltona . Wtedy grupa jednostek jest siecią, w której jest izomorficzna do i jest współzwarta we wszystkich przypadkach, z wyjątkiem sytuacji, gdy jest algebrą macierzy nad Wszystkie kraty arytmetyczne w są otrzymywane w ten sposób (do współmierności). ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ sigma: F \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle A ^ {\ sigma} \ otimes _ {F} \ mathbb {R}}$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R})}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} ^ {1}}$${\ Displaystyle (A ^ {\ sigma} \ otimes _ {F} \ mathbb {R}) ^ {1}}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Grupy arytmetyczne Kleina są konstruowane podobnie, z tym wyjątkiem, że muszą mieć dokładnie jedno złożone miejsce i być kwaternionami Hamiltona we wszystkich rzeczywistych miejscach. Wyczerpują wszystkie klasy współmierności arytmetycznej w:${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {C}).}$

Klasyfikacja

Dla każdej półprostej grupy Liego można teoretycznie zaklasyfikować (do współmierności) wszystkie kraty arytmetyczne w , w sposób podobny do przypadków wyjaśnionych powyżej. Sprowadza się to do klasyfikowania grup algebraicznych, których punkty rzeczywiste są izomorficzne do współczynnika zwartego do . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G = \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R}), \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {C} )}$${\ Displaystyle G}$

Problem kongruencji podgrupy

Podgrupa zbieżność jest (w przybliżeniu) podgrupę grupy arytmetyczna określonej poprzez wszystkie matryce spełniających pewne równania modulo liczbę całkowitą, na przykład grupę 2 o 2 macierzy całkowitą o przekątnej (odpowiednio niediagonalnych) współczynniki przystające 1 (odpowiednio 0 ) modulo dodatnia liczba całkowita. Są to zawsze podgrupy o skończonym indeksie, a problem kongruencji podgrup z grubsza pyta, czy wszystkie podgrupy są uzyskane w ten sposób. Przypuszczenie (zwykle przypisywane Jean-Pierre'owi Serre'owi ) jest takie, że dotyczy to (nieredukowalnych) sieci arytmetycznych w grupach o wyższym stopniu zaawansowania i fałszu w grupach o randze pierwszej. W tej ogólności jest on nadal otwarty, ale istnieje wiele wyników ustalających go dla określonych sieci (zarówno w przypadku pozytywnych, jak i negatywnych).

Grupy S-arytmetyczne

Zamiast brać punkty całkowe w definicji sieci arytmetycznej można wziąć punkty, które są tylko całkami od skończonej liczby liczb pierwszych. Prowadzi to do pojęcia sieci arytmetycznej (gdzie oznacza zbiór odwróconych liczb pierwszych). Prototypowym przykładem jest . Są również naturalnie kratami w pewnych grupach topologicznych, na przykład jest kratą w${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} \ po lewej (\ mathbb {Z} \ po lewej [{\ tfrac {1} {p}} \ po prawej] \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} \ po lewej (\ mathbb {Z} \ po lewej [{\ tfrac {1} {p}} \ po prawej] \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {R} ) \ razy \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Q} _ {p}).}$

Definicja

Formalna definicja grupy -arytmetycznej dla skończonego zbioru liczb pierwszych jest taka sama jak dla grup arytmetycznych z zastąpioną przez gdzie jest iloczynem liczb pierwszych w . ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} \ po lewej (\ mathbb {Z} \ po lewej [{\ tfrac {1} {N}} \ po prawej] \ po prawej)}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle S}$

Kraty w grupach Liego nad lokalnymi polami

Twierdzenie Borela-Harisha-Chandra uogólnia się na grupy arytmetyczne w następujący sposób: jeśli jest grupą arytmetyczną w grupie algebraicznej, to jest kratą w grupie lokalnie zwartej ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ operatorname {G}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle G = \ operatorname {G} (\ mathbb {R}) \ razy \ prod _ {p \ w S} \ operatorname {G} (\ mathbb {Q} _ {p})}$.

Niektóre aplikacje

Wyraźne wykresy ekspandera

Grupy arytmetyczne z właściwością Kazhdana (T) lub słabszą właściwością ( ) Lubotzky'ego i Zimmera można wykorzystać do konstruowania grafów ekspanderów (Margulis), a nawet grafów Ramanujan (Lubotzky-Phillips-Sarnak). Wiadomo, że takie wykresy istnieją w obfitości dzięki wynikom probabilistycznym, ale wyraźny charakter tych konstrukcji czyni je interesującymi. ${\ Displaystyle \ tau}$

Ekstremalne powierzchnie i wykresy

Wiadomo, że osłony kongruencji powierzchni arytmetycznych powodują powstawanie powierzchni o dużym promieniu wstrzykiwania . Podobnie grafy Ramanujan skonstruowane przez Lubotzky-Phillips-Sarnak mają duży obwód . W rzeczywistości wiadomo, że sama własność Ramanujana implikuje, że lokalne obwody wykresu są prawie zawsze duże.

Rozmaitości izospektralne

Grupy arytmetyczne mogą być używane do konstruowania rozmaitości izospektralnych . Po raz pierwszy zrealizowała to Marie-France Vignéras i od tego czasu pojawiły się liczne wariacje na temat jej konstrukcji. Problem izospektralności jest w rzeczywistości szczególnie podatny na badania w ograniczonym układzie rozmaitości arytmetycznych.

Fałszywe samoloty rzutowe

Fałszywa płaszczyzna rzutowa to złożona powierzchnia, która ma takie same liczby Betti jak płaszczyzna rzutowa, ale nie jest dla niej biholomorficzna; pierwszy przykład został odkryty przez Mumforda. Prace Klinglera (również niezależnie udowodnione przez Yeunga) są to ilorazy 2-kuli przez kraty arytmetyczne w . Możliwe kraty zostały sklasyfikowane przez Prasad i Yeung, a klasyfikację uzupełnili Cartwright i Steger, którzy sprawdzili, czy rzeczywiście odpowiadają one fałszywym samolotom projekcyjnym. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ operatorname {PU} (2,1)}$

Bibliografia