Podgrupa - Subgroup

W teorii grup , oddziału matematyki , daną grupę G pod binarnego sterowania  *, a podzbiór H o G nazywane jest podgrupa o G jeśli H stanowi również grupę w ramach operacji *. Dokładniej, H jest podgrupą G, jeśli ograniczenie ∗ do H × H jest operacją grupową na H . Jest to zwykle oznaczane jako HG , czytane jako „ H jest podgrupą G ”.

Trywialne podgrupa każdej grupy jest podgrupa { e } składający się tylko z elementu osobistego.

Właściwa podgrupa grupy G stanowi podgrupę H który jest podzbiorem z G (to znaczy, HG ). Jest to zwykle reprezentowane notacyjnie przez H < G , czytane jako " H jest właściwą podgrupą G " . Niektórzy autorzy wykluczają również grupę trywialną z bycia właściwym (czyli H ≠ { e }).

Jeśli H jest podgrupą G , a G jest czasami nazywany overgroup z H .

Te same definicje mają zastosowanie bardziej ogólnie, gdy G jest arbitralną półgrupą , ale ten artykuł będzie dotyczył tylko podgrup grup. Grupa G jest czasami oznaczana parą uporządkowaną ( G , ∗) , zwykle w celu podkreślenia operacji ∗, gdy G niesie wiele struktur algebraicznych lub innych.

Podstawowe właściwości podgrup

  • Podzbiór H grupy G jest podgrupą G wtedy i tylko wtedy, gdy jest niepusty i zamknięty pod iloczynami i odwrotnościami. (Warunki zamknięcia oznaczają: ilekroć a i b są w H , wtedy ab i a −1 również są w H . Te dwa warunki można połączyć w jeden równoważny warunek: gdy a i b są w H , wtedy ab −1 jest również w H .) W przypadku, gdy H jest skończone, to H jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy H jest zamknięty pod produktami. (W tym przypadku, każdy element z H powoduje skończoną cykliczny podgrupę H i odwrotnością następnie -1 = n -1 , gdzie n jest kolejność ).
  • Powyższy warunek można określić w kategoriach homomorfizmu ; to znaczy, H jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy H jest podzbiorem G i istnieje homomorfizm inkluzji (to znaczy i( a ) = a dla każdego a ) od H do G .
  • Tożsamość podgrupy jest tożsamość grupy: jeśli G jest grupa o tożsamości e G i H , jest podgrupą G z tożsamością e H , a następnie e H = E G .
  • Odwrotności pierwiastka w podgrupie jest odwrotnością element z grupy: jeśli H jest podgrupą z grupy G , i i b są elementami H tak, że AB = BA = e H , a AB = BA = e G .
  • Przecięcia podgrup A i B jest ponownie podgrupy. Związek podgrup A i B , jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno lub B zawiera z drugiej strony, ponieważ na przykład 2 i 3, w związku z 2Z i 3Z a ich suma 5 nie. Innym przykładem jest połączenie osi x i osi y w płaszczyźnie (z operacją dodawania); każdy z tych obiektów jest podgrupą, ale ich połączenie nie jest. Służy to również jako przykład dwóch podgrup, których przecięciem jest właśnie tożsamość.
  • Jeśli S jest podzbiorem G , to istnieje minimalna podgrupa zawierająca S , którą można znaleźć biorąc część wspólną wszystkich podgrup zawierających S ; jest oznaczony przez ⟨ S ⟩ i mówi się, że jest to podgrupa generowana przez S . Element G jest w ⟨ S ⟩ wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem skończonym elementów S i ich odwrotności.
  • Każdy element grupy G generuje cykliczną podgrupa ⟨ ⟩. Jeśli ⟨ ⟩ znaczy izomorficzne do Z / n Z pewnego liczby całkowitej N , a n jest dodatnią liczbą całkowitą najmniejszy, dla których n = e , i n jest nazywany kolejności od . Jeśli ⟨ ⟩ jest izomorficzna do Z , a następnie mówi się mieć nieskończoną zamówienie .
  • Podgrupy z dowolnej grupy tworzą pełną sieć w ramach włączenia, zwaną siecią podgrup . (Podczas gdy dolny jest tutaj zwykłym przecięciem w teorii mnogości, najwyższym punktem zbioru podgrup jest podgrupa generowana przez unię mnogościową podgrup, a nie przez samą unię mnogościową). Jeśli e jest tożsamością G , wtedy trywialna grupa { e } jest minimalną podgrupą G , a maksymalna podgrupą jest sama grupa G .
G to grupa , liczby całkowite mod 8 dodawane. Podgrupa H zawiera tylko 0 i 4 i jest izomorficzna z . Istnieją cztery lewe kozety H: samo H, 1+H, 2+H i 3+H (zapisane przy użyciu notacji addytywnej, ponieważ jest to grupa addytywna ). Razem dzielą całą grupę G na równe, nienakładające się zestawy. Indeks [G : H] wynosi 4.

Cosetsa i twierdzenie Lagrange'a

Mając podgrupę H i pewne a w G, definiujemy lewy koset aH = { ah  : h w H }. Ponieważ a jest odwracalne, przekształcenie φ : HaH dane przez φ( h ) = ah jest bijekcją . Co więcej, każdy element G jest zawarty dokładnie w jednym lewym cozecie H ; lewe coset to klasy równoważności odpowiadające relacji równoważności a 1 ~ a 2 wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 -1 a 2 jest w H . Liczba lewej cosets z H nazywa się indeks w H w G i jest oznaczona [ G  : H ].

Twierdzenie Lagrange'a mówi, że dla skończonej grupy G i podgrupy H ,

gdzie | G | i | H | oznaczają rozkazów z G i H , odpowiednio. W szczególności kolejność każdej podgrupy G (i kolejność każdego elementu G ) musi być dzielnikiem | G |.

Prawe kozety definiuje się analogicznie: Ha = { ha  : h w H }. Są również klasami równoważności dla odpowiedniej relacji równoważności, a ich liczba jest równa [ G  : H ].

Jeśli aH = Ha dla każdego a w G , to H jest normalną podgrupą . Każda podgrupa indeksu 2 jest normalna: lewe coset, a także prawe coset to po prostu podgrupa i jej dopełnienie. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli p jest najniższą liczbą pierwszą dzielącą rząd skończonej grupy G, to każda podgrupa o indeksie p (jeśli taka istnieje) jest normalna.

Przykład: Podgrupy Z 8

Niech G będzie grupą cykliczną Z 8, której elementami są

i których działaniem grupowym jest dodawanie modulo osiem . Jego stół Cayley jest

+ 0 4 2 6 1 5 3 7
0 0 4 2 6 1 5 3 7
4 4 0 6 2 5 1 7 3
2 2 6 4 0 3 7 5 1
6 6 2 0 4 7 3 1 5
1 1 5 3 7 2 6 4 0
5 5 1 7 3 6 2 0 4
3 3 7 5 1 4 0 6 2
7 7 3 1 5 0 4 2 6

Ta grupa ma dwie nietrywialne podgrupy: J ={0,4} i H ={0,4,2,6} , gdzie J jest również podgrupą H . Tabela Cayley dla H jest lewą górną ćwiartką tabeli Cayley dla G ; Tabela Cayley dla J to lewy górny kwadrant tabeli Cayley dla H . Grupa G jest cykliczna , podobnie jak jej podgrupy. Na ogół podgrupy grup cyklicznych są również cykliczne.

Przykład: Podgrupy S 4 ( symetryczna grupa na 4 elementy)

Każda grupa ma tyle małych podgrup, ile elementów neutralnych na głównej przekątnej:

Grupa trywialna i grupy dwuelementowe Z 2 . Te małe podgrupy nie są uwzględnione na poniższej liście.

Grupa symetryczne S 4 pokazuje wszystkie permutacje 4 elementów
Wszystkie 30 podgrup
Uproszczony

12 elementów

Grupa Alternująca 4 pokazano tylko nawet permutacji

podgrupy:
Klein czterogrupa;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,7,16,23).svg
Grupa cykliczna 3;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,3,4).svgGrupa cykliczna 3;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,11,19).svg Grupa cykliczna 3;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,15,20).svg Grupa cykliczna 3;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,8,12).svg

8 elementów

 
Dwuścienna grupa rzędu 8

Podgrupy:
Klein czterogrupa;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,5,14,16).svgKlein czterogrupa;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,7,16,23).svgGrupa cykliczna 4;  Stół Cayley (rzędy elementów 1,4,2,4);  podgrupa S4.svg
 
Dwuścienna grupa rzędu 8

Podgrupy:
Klein czterogrupa;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,2,21,23).svgKlein czterogrupa;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,7,16,23).svgGrupa cykliczna 4;  Stół Cayley (rzędy elementów 1,4,4,2);  podgrupa S4.svg

6 elementów

Grupa symetryczna S 3

Podgrupa:Grupa cykliczna 3;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,11,19).svg
Grupa symetryczna S 3

Podgrupa:Grupa cykliczna 3;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,15,20).svg
Grupa symetryczna S 3

Podgrupa:Grupa cykliczna 3;  stół Cayley;  podgrupa S4 (elementy 0,8,12).svg

4 elementy

Klein czterogrupa
Klein czterogrupa
Klein czterogrupa
Grupa cykliczna Z 4
Grupa cykliczna Z 4

3 elementy

Grupa cykliczna Z 3
Grupa cykliczna Z 3
Grupa cykliczna Z 3

Inne przykłady

  • Parzyste liczby całkowite są podgrupą addytywnej grupy liczb całkowitych: gdy dodasz dwie liczby parzyste, otrzymasz liczbę parzystą.
  • Idealnie w pierścieniu jest podgrupą dodatku grupy .
  • Liniowej podprzestrzeni z przestrzeni wektorowej jest podgrupą dodatku grupy wektorów.
  • Niech będzie grupą abelową ; elementy , które mają skończone Okresu tworzą podgrupę o nazwie w podgrupie skrętnym o .

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Hungerford (1974), s. 32
  2. ^ Artin (2011), s. 43
  3. ^ Jacobson (2009), s. 41
  4. ^ Zobacz dowód dydaktyczny w tym filmie .
  5. ^ Dummit i Foote (2004), s. 90.

Bibliografia

  • Jacobson, Nathan (2009), Podstawowa algebra , 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
  • Hungerford, Thomas (1974), Algebra (1st ed.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
  • Artin, Michael (2011), Algebra (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 9780132413770.
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Algebra abstrakcyjna (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley. Numer ISBN 9780471452348. OCLC  248917264 .