Podgrupa - Subgroup
Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup |
---|
W teorii grup , oddziału matematyki , daną grupę G pod binarnego sterowania *, a podzbiór H o G nazywane jest podgrupa o G jeśli H stanowi również grupę w ramach operacji *. Dokładniej, H jest podgrupą G, jeśli ograniczenie ∗ do H × H jest operacją grupową na H . Jest to zwykle oznaczane jako H ≤ G , czytane jako „ H jest podgrupą G ”.
Trywialne podgrupa każdej grupy jest podgrupa { e } składający się tylko z elementu osobistego.
Właściwa podgrupa grupy G stanowi podgrupę H który jest podzbiorem z G (to znaczy, H ≠ G ). Jest to zwykle reprezentowane notacyjnie przez H < G , czytane jako " H jest właściwą podgrupą G " . Niektórzy autorzy wykluczają również grupę trywialną z bycia właściwym (czyli H ≠ { e }).
Jeśli H jest podgrupą G , a G jest czasami nazywany overgroup z H .
Te same definicje mają zastosowanie bardziej ogólnie, gdy G jest arbitralną półgrupą , ale ten artykuł będzie dotyczył tylko podgrup grup. Grupa G jest czasami oznaczana parą uporządkowaną ( G , ∗) , zwykle w celu podkreślenia operacji ∗, gdy G niesie wiele struktur algebraicznych lub innych.
Podstawowe właściwości podgrup
- Podzbiór H grupy G jest podgrupą G wtedy i tylko wtedy, gdy jest niepusty i zamknięty pod iloczynami i odwrotnościami. (Warunki zamknięcia oznaczają: ilekroć a i b są w H , wtedy ab i a −1 również są w H . Te dwa warunki można połączyć w jeden równoważny warunek: gdy a i b są w H , wtedy ab −1 jest również w H .) W przypadku, gdy H jest skończone, to H jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy H jest zamknięty pod produktami. (W tym przypadku, każdy element z H powoduje skończoną cykliczny podgrupę H i odwrotnością następnie -1 = n -1 , gdzie n jest kolejność ).
- Powyższy warunek można określić w kategoriach homomorfizmu ; to znaczy, H jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy H jest podzbiorem G i istnieje homomorfizm inkluzji (to znaczy i( a ) = a dla każdego a ) od H do G .
- Tożsamość podgrupy jest tożsamość grupy: jeśli G jest grupa o tożsamości e G i H , jest podgrupą G z tożsamością e H , a następnie e H = E G .
- Odwrotności pierwiastka w podgrupie jest odwrotnością element z grupy: jeśli H jest podgrupą z grupy G , i i b są elementami H tak, że AB = BA = e H , a AB = BA = e G .
- Przecięcia podgrup A i B jest ponownie podgrupy. Związek podgrup A i B , jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno lub B zawiera z drugiej strony, ponieważ na przykład 2 i 3, w związku z 2Z i 3Z a ich suma 5 nie. Innym przykładem jest połączenie osi x i osi y w płaszczyźnie (z operacją dodawania); każdy z tych obiektów jest podgrupą, ale ich połączenie nie jest. Służy to również jako przykład dwóch podgrup, których przecięciem jest właśnie tożsamość.
- Jeśli S jest podzbiorem G , to istnieje minimalna podgrupa zawierająca S , którą można znaleźć biorąc część wspólną wszystkich podgrup zawierających S ; jest oznaczony przez ⟨ S ⟩ i mówi się, że jest to podgrupa generowana przez S . Element G jest w ⟨ S ⟩ wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem skończonym elementów S i ich odwrotności.
- Każdy element grupy G generuje cykliczną podgrupa ⟨ ⟩. Jeśli ⟨ ⟩ znaczy izomorficzne do Z / n Z pewnego liczby całkowitej N , a n jest dodatnią liczbą całkowitą najmniejszy, dla których n = e , i n jest nazywany kolejności od . Jeśli ⟨ ⟩ jest izomorficzna do Z , a następnie mówi się mieć nieskończoną zamówienie .
- Podgrupy z dowolnej grupy tworzą pełną sieć w ramach włączenia, zwaną siecią podgrup . (Podczas gdy dolny jest tutaj zwykłym przecięciem w teorii mnogości, najwyższym punktem zbioru podgrup jest podgrupa generowana przez unię mnogościową podgrup, a nie przez samą unię mnogościową). Jeśli e jest tożsamością G , wtedy trywialna grupa { e } jest minimalną podgrupą G , a maksymalna podgrupą jest sama grupa G .
Cosetsa i twierdzenie Lagrange'a
Mając podgrupę H i pewne a w G, definiujemy lewy koset aH = { ah : h w H }. Ponieważ a jest odwracalne, przekształcenie φ : H → aH dane przez φ( h ) = ah jest bijekcją . Co więcej, każdy element G jest zawarty dokładnie w jednym lewym cozecie H ; lewe coset to klasy równoważności odpowiadające relacji równoważności a 1 ~ a 2 wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 -1 a 2 jest w H . Liczba lewej cosets z H nazywa się indeks w H w G i jest oznaczona [ G : H ].
Twierdzenie Lagrange'a mówi, że dla skończonej grupy G i podgrupy H ,
gdzie | G | i | H | oznaczają rozkazów z G i H , odpowiednio. W szczególności kolejność każdej podgrupy G (i kolejność każdego elementu G ) musi być dzielnikiem | G |.
Prawe kozety definiuje się analogicznie: Ha = { ha : h w H }. Są również klasami równoważności dla odpowiedniej relacji równoważności, a ich liczba jest równa [ G : H ].
Jeśli aH = Ha dla każdego a w G , to H jest normalną podgrupą . Każda podgrupa indeksu 2 jest normalna: lewe coset, a także prawe coset to po prostu podgrupa i jej dopełnienie. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli p jest najniższą liczbą pierwszą dzielącą rząd skończonej grupy G, to każda podgrupa o indeksie p (jeśli taka istnieje) jest normalna.
Przykład: Podgrupy Z 8
Niech G będzie grupą cykliczną Z 8, której elementami są
i których działaniem grupowym jest dodawanie modulo osiem . Jego stół Cayley jest
+ | 0 | 4 | 2 | 6 | 1 | 5 | 3 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 4 | 2 | 6 | 1 | 5 | 3 | 7 |
4 | 4 | 0 | 6 | 2 | 5 | 1 | 7 | 3 |
2 | 2 | 6 | 4 | 0 | 3 | 7 | 5 | 1 |
6 | 6 | 2 | 0 | 4 | 7 | 3 | 1 | 5 |
1 | 1 | 5 | 3 | 7 | 2 | 6 | 4 | 0 |
5 | 5 | 1 | 7 | 3 | 6 | 2 | 0 | 4 |
3 | 3 | 7 | 5 | 1 | 4 | 0 | 6 | 2 |
7 | 7 | 3 | 1 | 5 | 0 | 4 | 2 | 6 |
Ta grupa ma dwie nietrywialne podgrupy: J ={0,4} i H ={0,4,2,6} , gdzie J jest również podgrupą H . Tabela Cayley dla H jest lewą górną ćwiartką tabeli Cayley dla G ; Tabela Cayley dla J to lewy górny kwadrant tabeli Cayley dla H . Grupa G jest cykliczna , podobnie jak jej podgrupy. Na ogół podgrupy grup cyklicznych są również cykliczne.
Przykład: Podgrupy S 4 ( symetryczna grupa na 4 elementy)
Każda grupa ma tyle małych podgrup, ile elementów neutralnych na głównej przekątnej:
Grupa trywialna i grupy dwuelementowe Z 2 . Te małe podgrupy nie są uwzględnione na poniższej liście.
12 elementów
8 elementów
6 elementów
4 elementy
3 elementy
Inne przykłady
- Parzyste liczby całkowite są podgrupą addytywnej grupy liczb całkowitych: gdy dodasz dwie liczby parzyste, otrzymasz liczbę parzystą.
- Idealnie w pierścieniu jest podgrupą dodatku grupy .
- Liniowej podprzestrzeni z przestrzeni wektorowej jest podgrupą dodatku grupy wektorów.
- Niech będzie grupą abelową ; elementy , które mają skończone Okresu tworzą podgrupę o nazwie w podgrupie skrętnym o .
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Jacobson, Nathan (2009), Podstawowa algebra , 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
- Hungerford, Thomas (1974), Algebra (1st ed.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
- Artin, Michael (2011), Algebra (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 9780132413770.
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Algebra abstrakcyjna (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley. Numer ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 .