Grupa symetrii -Symmetry group

Czworościan foremny jest niezmienny w dwunastu odrębnych obrotach (jeśli transformacja tożsamości jest uwzględniona jako rotacja trywialna i odbicia są wykluczone). Zilustrowano je tutaj w formacie wykresu cyklu , wraz z obrotem krawędzi 180° (niebieskie strzałki) i wierzchołkiem 120° (różowe i pomarańczowe strzałki), które permutują czworościan przez pozycje. Dwanaście obrotów tworzy grupę rotacji (symetrii) figury.

W teorii grup grupa symetrii obiektu geometrycznego to grupa wszystkich przekształceń , w których obiekt jest niezmienny , obdarzony operacją grupową składania . Taka transformacja jest odwracalnym odwzorowaniem otaczającej przestrzeni, które zabiera obiekt do siebie i zachowuje całą odpowiednią strukturę obiektu. Częstym zapisem dla grupy symetrii obiektu X jest G = Sym( X ).

Dla obiektu w przestrzeni metrycznej jego symetrie tworzą podgrupę grupy izometrycznej otaczającej przestrzeni. Ten artykuł dotyczy głównie grup symetrii w geometrii euklidesowej , ale koncepcja może być również badana pod kątem bardziej ogólnych typów struktur geometrycznych.

Wstęp

Za „obiekty” posiadające symetrię uważamy figury geometryczne, obrazy i wzory, takie jak wzór tapety . Dla symetrii obiektów fizycznych, jako część wzorca można również przyjąć ich fizyczną kompozycję. (Wzór może być formalnie określony jako pole skalarne , funkcja położenia z wartościami w zestawie kolorów lub substancji; jako pole wektorowe ; lub jako bardziej ogólna funkcja na obiekcie.) Grupa izometrii przestrzeni indukuje działanie grupowe na obiektach w nim zawartych, a grupa symetrii Sym( X ) składa się z tych izometrii, które mapują X na siebie (jak również mapują na siebie dowolny dalszy wzór). Mówimy, że X jest niezmiennicze w takim odwzorowaniu, a odwzorowanie jest symetrią X .

Powyższe jest czasami nazywane pełną grupą symetrii X , aby podkreślić, że zawiera ona izometrie odwracające orientację (odbicia, odbicia poślizgu i niewłaściwe obroty ), o ile te izometrie mapują ten konkretny X do siebie. Podgrupa symetrii zachowujących orientację (translacje, rotacje i ich złożenie) nazywana jest odpowiednią grupą symetrii . Obiekt jest chiralny , gdy nie ma orientacji - odwracając symetrie, tak aby jego właściwa grupa symetrii była równa jego pełnej grupie symetrii.

Dowolna grupa symetrii, której elementy mają wspólny punkt stały , co jest prawdziwe, jeśli grupa jest skończona lub figura jest ograniczona, może być reprezentowana jako podgrupa grupy ortogonalnej O( n ), wybierając początek jako punkt stały. Właściwa grupa symetrii jest wtedy podgrupą specjalnej grupy ortogonalnej SO( n ) i nazywana jest grupą obrotową figury.

W dyskretnej grupie symetrii punkty symetryczne do danego punktu nie kumulują się w kierunku punktu granicznego. Oznacza to, że każda orbita grupy (obrazy danego punktu pod wszystkimi elementami grupy) tworzy zbiór dyskretny . Wszystkie skończone grupy symetrii są dyskretne.

Dyskretne grupy symetrii dzielą się na trzy typy: (1) skończone grupy punktów , które obejmują tylko rotacje, odbicia, inwersje i rotoinwersje – tj. skończone podgrupy O( n ); (2) nieskończone grupy kratowe , które obejmują tylko translacje; oraz (3) nieskończone grupy przestrzenne zawierające elementy obu poprzednich typów, a być może także dodatkowe przekształcenia, takie jak przemieszczenia śrub i odbicia poślizgowe. Istnieją również ciągłe grupy symetrii ( grupy Liego ), które zawierają rotacje dowolnie małych kątów lub translacje dowolnie małych odległości. Przykładem jest O(3) , grupa symetrii kuli. Grupy symetrii obiektów euklidesowych można całkowicie zaklasyfikować jako podgrupy grupy euklidesowej E( n ) (grupa izometryczna Rn ⁾ .

Dwie figury geometryczne mają ten sam typ symetrii, gdy ich grupy symetrii są sprzężonymi podgrupami grupy euklidesowej: to znaczy, gdy podgrupy H ₁ , H ₂ są powiązane przez H ₁ = g ^-1 H ₂ g dla pewnego g w E( n ). Na przykład:

• dwie figury 3D mają symetrię lustrzaną, ale w odniesieniu do różnych płaszczyzn lustrzanych.
• dwie figury 3D mają potrójną symetrię obrotową , ale w odniesieniu do różnych osi.
• dwa wzory 2D mają symetrię translacyjną, każdy w jednym kierunku; dwa wektory translacji mają tę samą długość, ale inny kierunek.

W kolejnych sekcjach rozważymy tylko grupy izometryczne, których orbity są topologicznie zamknięte , w tym wszystkie dyskretne i ciągłe grupy izometryczne. Wyklucza to jednak na przykład grupę translacji 1D przez liczbę wymierną ; takiej niezamkniętej figury nie można narysować z rozsądną dokładnością ze względu na jej dowolnie drobne szczegóły.

Jeden wymiar

Grupy izometryczne w jednym wymiarze to:

• trywialna grupa cykliczna C ₁
• grupy dwóch elementów generowane przez odbicie; są izomorficzne z C ₂
• nieskończone dyskretne grupy generowane przez translację; są izomorficzne z Z , addytywną grupą liczb całkowitych
• nieskończone dyskretne grupy generowane przez translację i refleksję; są izomorficzne z uogólnioną grupą dwuścienną Z , Dih( Z ), również oznaczoną przez D _∞ (która jest półbezpośrednim iloczynem Z i C ₂ ).
• grupa generowana przez wszystkie translacje (izomorficzna z grupą addytywną liczb rzeczywistych R ); ta grupa nie może być grupą symetrii figury euklidesowej, nawet obdarzonej wzorem: taki wzór byłby jednorodny, a więc mógłby również zostać odzwierciedlony. Jednak stałe jednowymiarowe pole wektorowe ma tę grupę symetrii.
• grupa generowana przez wszystkie tłumaczenia i refleksje w punktach; są izomorficzne z uogólnioną grupą dwuścienną Dih( R ).

Zobacz także grupy symetrii w jednym wymiarze .

Dwa wymiary

Aż do sprzężenia dyskretnymi grupami punktowymi w przestrzeni dwuwymiarowej są następujące klasy:

• grupy cykliczne C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , ... gdzie C _n składa się z wszystkich obrotów wokół ustalonego punktu o wielokrotności kąta 360°/ n
• grupy dwuścienne D ₁ , D ₂ , D ₃ , D ₄ , ..., gdzie D _n (rzędu 2 n ) składa się z obrotów w C _n wraz z odbiciami w n osiach, które przechodzą przez punkt stały.

C ₁ to trywialna grupa zawierająca tylko operację tożsamości, która występuje, gdy figura jest asymetryczna, na przykład litera „F”. C ₂ to grupa symetrii litery „Z”, C ₃ to triskelion , C ₄ to swastyka , a C ₅ , C ₆ , itd. to grupy symetrii podobnych figur przypominających swastykę z pięcioma, sześcioma, itp. ramiona zamiast czterech.

D ₁ to grupa 2-elementowa zawierająca operację tożsamości i pojedyncze odbicie, które występuje, gdy figura ma tylko jedną oś dwustronnej symetrii , na przykład literę „A”.

D ₂ , który jest izomorficzny z czterogrupą Kleina , jest grupą symetrii prostokąta nierównobocznego. Ta figura ma cztery operacje symetrii: operację tożsamości, jedną podwójną oś obrotu i dwie nierównoważne płaszczyzny lustrzane.

D ₃ , D ₄ itd. to grupy symetrii wielokątów foremnych .

W każdym z tych typów symetrii istnieją dwa stopnie swobody dla środka obrotu, aw przypadku grup dwuściennych, jeszcze jeden dla położeń zwierciadeł.

Pozostałe grupy izometryczne w dwóch wymiarach ze stałym punktem to:

• specjalna grupa ortogonalna SO(2) składająca się ze wszystkich obrotów wokół punktu stałego; nazywana jest również grupą kołową S ¹ , multiplikatywną grupą liczb zespolonych o wartości bezwzględnej 1. Jest to właściwa grupa symetrii koła i ciągły odpowiednik C _n . Nie ma figury geometrycznej, która ma jako pełną grupę symetrii grupę kołową, ale dla pola wektorowego może ona mieć zastosowanie (patrz przypadek trójwymiarowy poniżej).
• grupa ortogonalna O(2) składająca się ze wszystkich obrotów wokół punktu stałego i odbić w dowolnej osi przez ten punkt stały. To jest grupa symetrii koła. Jest również nazywany Dih(S ¹ ), ponieważ jest uogólnioną dwuścienną grupą S ¹ .

Figury nieograniczone mogą mieć grupy izometryczne, w tym translacje; to są:

• 7 grup fryzowych
• 17 grup tapet
• dla każdej z grup symetrii w jednym wymiarze, połączenie wszystkich symetrii w tej grupie w jednym kierunku i grupę wszystkich przesunięć w kierunku prostopadłym
• jw. z odbiciami w linii w pierwszym kierunku.

Trzy wymiary

Aż do sprzężenia zbiór trójwymiarowych grup punktowych składa się z 7 serii nieskończonych i 7 innych grup indywidualnych. W krystalografii brane są pod uwagę tylko te grupy punktowe, które zachowują pewną sieć krystaliczną (więc ich obroty mogą mieć tylko rząd 1, 2, 3, 4 lub 6). To krystalograficzne ograniczenie nieskończonych rodzin ogólnych grup punktowych prowadzi do 32 krystalograficznych grup punktowych (27 indywidualnych grup z 7 serii i 5 z 7 innych osobników).

Ciągłe grupy symetrii ze stałym punktem obejmują grupy:

• symetria cylindryczna bez płaszczyzny symetrii prostopadłej do osi, dotyczy to np. butelki piwa
• symetria cylindryczna z płaszczyzną symetrii prostopadłą do osi
• symetria sferyczna

W przypadku obiektów ze skalarnymi wzorcami pola symetria cylindryczna implikuje również symetrię odbicia pionowego. Nie dotyczy to jednak wzorców pól wektorowych : na przykład we współrzędnych cylindrycznych względem jakiejś osi pole wektorowe ma symetrię cylindryczną względem osi zawsze i ma tę symetrię (brak zależności od ); i ma symetrię odbiciową tylko wtedy, gdy . ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = A_ {\ rho }{\ pogrubienie {\ kapelusz {\ rho}}} + A_ {\ phi }{\ pogrubienie {\ kapelusz {\ phi}}} + A_ {z} \boldsymbol {\kapelusz {z}}}}$${\displaystyle A_{\rho},A_{\phi},}$${\ Displaystyle A_ {z}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A_{\phi}=0}$

W przypadku symetrii sferycznej nie ma takiego rozróżnienia: każdy wzorzysty obiekt ma płaszczyzny symetrii odbicia.

Ciągłe grupy symetrii bez stałego punktu obejmują te z osią śruby , takie jak nieskończona helisa . Zobacz także podgrupy grupy euklidesowej .

Grupy symetrii ogólnie

W szerszym kontekście grupa symetrii może być dowolnym rodzajem grupy transformacji lub grupy automorfizmu . Każdy rodzaj struktury matematycznej ma odwracalne odwzorowania , które zachowują strukturę. I odwrotnie, określenie grupy symetrii może zdefiniować strukturę lub przynajmniej wyjaśnić znaczenie geometrycznej zgodności lub niezmienności; jest to jeden ze sposobów patrzenia na program Erlangen .

Na przykład obiekty w hiperbolicznej geometrii nieeuklidesowej mają fuchsowskie grupy symetrii , które są dyskretnymi podgrupami grupy izometrycznej płaszczyzny hiperbolicznej, zachowując odległość hiperboliczną, a nie euklidesową. (Niektóre z nich przedstawiono na rysunkach Eschera ). Podobnie grupy automorfizmu o skończonych geometriach zachowują rodziny zbiorów punktów (dyskretnych podprzestrzeni), a nie podprzestrzenie euklidesowe, odległości lub iloczyny wewnętrzne. Podobnie jak w przypadku figur euklidesowych, obiekty w dowolnej przestrzeni geometrycznej mają grupy symetrii, które są podgrupami symetrii otaczającej przestrzeni.

Innym przykładem grupy symetrii jest graf kombinatoryczny : symetria grafu to permutacja wierzchołków, która łączy krawędzie z krawędziami. Każda skończenie przedstawiona grupa jest grupą symetrii swojego wykresu Cayleya ; grupa wolna jest grupą symetrii grafu drzewa nieskończonego .

Struktura grupy pod względem symetrii

Twierdzenie Cayleya mówi, że każda abstrakcyjna grupa jest podgrupą permutacji pewnego zbioru X , a więc może być uważana za grupę symetrii X z pewną dodatkową strukturą. Ponadto wiele abstrakcyjnych cech grupy (definiowanych wyłącznie w kategoriach działania grupy) można interpretować w kategoriach symetrii.

Na przykład niech G = Sym( X ) będzie skończoną grupą symetrii figury X w przestrzeni euklidesowej, a H ⊂ G będzie podgrupą. Wtedy H można zinterpretować jako grupę symetrii X ⁺ , "ozdobioną" wersję X . Taka dekoracja może być skonstruowana w następujący sposób. Dodaj do X kilka wzorów, takich jak strzałki lub kolory , aby złamać wszelką symetrię, uzyskując figurę X ^# z Sym( X ^# ) = {1}, trywialną podgrupą; czyli gX ^# ≠ X ^# dla wszystkich nietrywialnych g ∈ G . Teraz otrzymujemy:

${\ Displaystyle X ^ {+} \ = \ \ bigcup _ {h \ w H} h X ^ {\ #} \ quad {\ tekst {spełnia}} \ quad H = \ operator {Sym} (X ^ {+} ).}$

W tych ramach można również scharakteryzować normalne podgrupy . Grupa symetrii translacji gX ⁺ to sprzężona podgrupa gHg ^-1 . Zatem H jest normalne, gdy:

${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} (gX ^ {+}) = \ operatorname {Sym} (X ^ {+}) \ \ {\ tekst {dla wszystkich}} \ g \ w G;}$

to znaczy, ilekroć dekoracja X ⁺ może być narysowana w dowolnej orientacji, w odniesieniu do dowolnej strony lub cechy X , i nadal daje tę samą grupę symetrii gHg ^-1 = H .

Jako przykład rozważmy grupę dwuścienną G = D ₃ = Sym( X ), gdzie X jest trójkątem równobocznym. Możemy to ozdobić strzałką na jednej krawędzi, uzyskując asymetryczną figurę X ^# . Niech τ ∈ G będzie odbiciem krawędzi ze strzałką, figura złożona X ⁺ = X ^# ∪ τ X ^# ma strzałkę dwukierunkową na tej krawędzi, a jej grupa symetrii to H = {1, τ}. Ta podgrupa nie jest normalna, ponieważ gX ⁺ może mieć bi-strzałkę na innej krawędzi, dając inną grupę symetrii odbicia.

Jednakże, jeśli H = {1, ρ, ρ ² } ⊂ D ₃ będzie podgrupą cykliczną generowaną przez obrót, ozdobiona figura X ⁺ składa się z 3-cyklu strzałek o spójnej orientacji. Wtedy H jest normalne, ponieważ narysowanie takiego cyklu z dowolną orientacją daje tę samą grupę symetrii H .

Zobacz też

Dalsze czytanie

• Burns, G.; Glazer, AM (1990). Grupy kosmiczne dla naukowców i inżynierów (wyd. 2). Boston: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-145761-3.
• Clegg, W (1998). Oznaczanie struktury krystalicznej (podkład Oxford Chemistry) . Oksford: Oxford University Press . ISBN 0-19-855901-1.
• O'Keeffe, M.; Hyde, BG (1996). Struktury kryształów; I. Wzory i symetria . Waszyngton, DC: Towarzystwo Mineralogiczne Ameryki, seria monografii. ISBN 0-939950-40-5.
• Miller, Willard Jr. (1972). Grupy symetrii i ich zastosowania . Nowy Jork: prasa akademicka. OCLC  589081 . Zarchiwizowane od oryginału dnia 2010-02-17 . Źródło 2009-09-28 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Grupa symetrii” . Matematyka Świat .
• Weisstein, Eric W. „Grupa czworościenna” . Matematyka Świat .
• Przegląd 32 krystalograficznych grup punktowych - tworzą pierwsze części (oprócz pomijania n =5) 7 nieskończonych szeregów i 5 z 7 oddzielnych grup punktowych 3D