Grupa algebraiczna - Algebraic group

W geometrii algebraicznej , algebraiczne grupa (lub odmiana grupa ) jest grupa , która jest algebraiczny różnorodne , tak że operacje mnożenia i inwersji podane są przez zwykłe mapy odmiany.

Z punktu widzenia teorii kategorii grupa algebraiczna jest obiektem grupowym w kategorii rozmaitości algebraicznych.

Klasy

Kilka ważnych klas grup to grupy algebraiczne, w tym:

Grupy skończone
GL ( N , M ), przy czym pełna grupa liniowa od odwracalnych macierzy nad polu F , a jej algebraiczne podgrup.
Grupy odrzutowe
Krzywe eliptyczne i ich uogólnienia jako odmiany abelowe

Istnieją inne grupy algebraiczne, ale twierdzenie Chevalleya o strukturze twierdzi, że każda grupa algebraiczna jest rozszerzeniem rozmaitości abelowej o liniową grupę algebraiczną . Dokładniej, jeśli K jest ciałem doskonałym , a G grupą algebraiczną nad K , to istnieje unikalna normalna zamknięta podgrupa H w G , taka, że H jest liniową grupą algebraiczną, a G / H rozmaitością abelową.

Zgodnie z innym podstawowym twierdzeniem, każda grupa, która jest również odmianą afiniczną, ma wierną skończoną reprezentację liniową : jest izomorficzna z grupą macierzową , określoną równaniami wielomianowymi .

Nad ciałami liczb rzeczywistych i zespolonych każda grupa algebraiczna jest również grupą Liego , ale odwrotność jest fałszywa.

Schemat grupa jest uogólnieniem algebraicznej grupę, która umożliwia, w szczególności, na pracę z pierścienia przemiennego zamiast pola.

Podgrupa algebraiczna

Algebraiczna podgrupa algebraicznego grupy jest Zariski zamknięty podgrupy . Ogólnie uważa się, że są one również połączone (lub nieredukowalne jako odmiana).

Innym sposobem wyrażenia stanu jest podgrupa, która jest również pododmianą .

Można to również uogólnić, dopuszczając schematy zamiast odmian. Głównym efektem tego w praktyce, poza dopuszczeniem podgrup, w których skończony składnik ma indeks skończony > 1, jest dopuszczenie schematów nieredukowanych , w charakterystyce p .

Grupy Coxetera

Istnieje szereg analogicznych wyników między grupami algebraicznymi i grupami Coxetera – na przykład liczba elementów grupy symetrycznej to , a liczba elementów ogólnej grupy liniowej nad ciałem skończonym to q- silnia ; w ten sposób grupa symetryczna zachowuje się tak, jakby była grupą liniową nad „polem z jednym elementem”. Jest to sformalizowane przez ciało z jednym elementem , które uważa grupy Coxetera za proste grupy algebraiczne nad ciałem z jednym elementem. $n!$ $[n]_{q}!$

Słowniczek grup algebraicznych

Istnieje wiele pojęć matematycznych do badania i klasyfikowania grup algebraicznych.

W dalszym ciągu, G oznacza grupę algebraicznej nad pola k .

pojęcie	wyjaśnienie	przykład	uwagi
liniowa grupa algebraiczna	Zamknięta podgrupa Zariskich dla niektórych n ${\ Displaystyle {\ RM {GL}} _ {n}}$	${\ Displaystyle {\ RM {SL}} _ {n}}$	Każda afiniczna grupa algebraiczna jest izomorficzna z liniową grupą algebraiczną i na odwrót
afiniczna grupa algebraiczna	Grupa algebraiczna będąca odmianą afiniczną	${\ Displaystyle {\ RM {GL}} _ {n}}$ , bez przykładu: krzywa eliptyczna	Pojęcie afinicznej grupy algebraicznej podkreśla niezależność od jakiegokolwiek osadzania w ${\ Displaystyle {\ RM {GL}} _ {n}}$
przemienny	Podstawowa (abstrakcyjna) grupa to abelian .	${\ Displaystyle {\ mathbb {G} } _ {a}}$ ( grupa addytywna ), ( grupa multiplikatywna ), dowolna kompletna grupa algebraiczna (patrz rozmaitość abelowa ) ${\ Displaystyle {\ mathbb {G} } _ {m}}$
grupa diagonalizowalna	Zamknięta podgrupa , grupa macierzy diagonalnych (o rozmiarze n -by- n ) ${\ Displaystyle (\ mathbb {G} _ {m}) ^ {n}}$
prosta grupa algebraiczna	Połączona grupa, która nie ma nietrywialnie połączonych normalnych podgrup	${\ Displaystyle {\ RM {SL}} _ {n}}$
grupa półprosta	Afiniczna grupa algebraiczna z trywialnym rodnikiem	${\ Displaystyle {\ RM {SL}} _ {n}}$ , ${\ Displaystyle {\ rm {SO}} _ {n}}$	W charakterystycznym zerze algebra Liego grupy półprostej jest półprostą algebrą Liego
grupa redukcyjna	Afiniczna grupa algebraiczna z trywialnym jednomocnym rodnikiem	Dowolna skończona grupa, ${\ Displaystyle {\ RM {GL}} _ {n}}$	Każda grupa półprosta jest redukcyjna
jednomocna grupa	Afiniczna grupa algebraiczna, w której wszystkie elementy są unipotentne	Grupa macierzy n -by- n górnego trójkąta ze wszystkimi wpisami diagonalnymi równymi 1	Każda unipotentna grupa jest nilpotentna
torus	Grupa, która staje izomorficzna przechodząc do algebraicznej zamknięcia z k . ${\ Displaystyle (\ mathbb {G} _ {m}) ^ {n}}$	${\rm {SO}}_{2}$	Mówi się, że G jest podzielone przez jakieś większe ciało k' , jeśli G staje się izomorficzne z G _mⁿ jako grupa algebraiczna nad k'.
grupa znaków X ^∗ ( G )	Grupa znaków, czyli homomorfizmy grupowe ${\ Displaystyle G \ rightarrow {\ mathbb {G} } _ {m}}$	${\ Displaystyle X ^ {*} (\ mathbb {G} _ {m}) \ cong \ mathbb {Z}}$
Algebra Kłamstwa Kłamstwo ( G )	Powierzchnia styczna z G na elemencie urządzenia.	${\ Displaystyle {\ RM {Kłamstwo}} ({\ RM {GL}} _ {n})}$ jest przestrzenią wszystkich n -by- n macierzy	Równoważnie przestrzeń wszystkich lewostronnych wyprowadzeń .