n -kula - n-sphere

Model szkieletowy 2-sferowy jako rzut prostopadły

Tak jak projekcja stereograficzna może rzutować powierzchnię kuli na płaszczyznę, może również rzutować 3-sferę na 3-przestrzeń. Ten obraz przedstawia trzy współrzędne kierunki rzutowane na 3 przestrzeń: równoleżniki (czerwony), południki (niebieski) i hiperpołudniki (zielony). Ze względu na konformalną właściwość projekcji stereograficznej krzywe przecinają się ze sobą prostopadle (w żółtych punktach) jak w 4D. Wszystkie krzywe są okręgami: krzywe, które przecinają ⟨0,0,0,1⟩ mają nieskończony promień (= linia prosta).

W matematyce An n -sphere jest przestrzeń topologiczna to homeomorficzny do standardowego N - kula , która jest zbiór punktów ( n + 1) -wymiarowej euklidesowa przestrzeni , które są usytuowane w stałej odległości R od punktu stałego, o nazwie centrum . Jest to uogólnienie zwykłej sfery w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni . „Promień” kuli to stała odległość jej punktów od środka. Kiedy kula ma promień jednostkową, to zwykle nazywają to urządzenie n -sphere lub po prostu n -sphere dla zwięzłości. W ujęciu normy standardowej sferę n definiuje się jako

${\ Displaystyle S ^ {n} = \ lewo \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {n + 1}: \ lewo \ | x \ po prawej \ | = 1 \ po prawej \},}$

a n -sferę o promieniu r można zdefiniować jako

${\ Displaystyle S ^ {n} (r) = \ lewo \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {n + 1}: \ lewo \ | x \ prawo \ | = r \ prawo \}.}$

Wymiarem n- sfery jest n i nie należy go mylić z wymiarem ( n +1) przestrzeni euklidesowej, w której jest ona naturalnie osadzona . N -sphere jest powierzchnia graniczna lub o ( N + 1) wymiarowej kuli .

W szczególności:

• parę punktów na końcach (jednowymiarowy) odcinka linii jest 0-kula
• okręgu , który jest jednowymiarową obwód z (dwuwymiarowej) dysku , jest 1-kula
• dwuwymiarowa powierzchnia trójwymiarowej kuli to dwusfera, często nazywana po prostu kulą,
• trójwymiarowa granica (czterowymiarowej) 4-kuli jest 3-kulą ,
• n - 1 trójwymiarowy Granica ( n wymiarowa) n -ball jest ( N - 1) -sphere.

W przypadku n równe 2 , to n -spheres, które są kolektory różnicowe może być scharakteryzowany ( maksymalnie do dyfeomorfizmu ) jako po prostu połączone n -wymiarowej rozdzielaczy stałych, dodatniej krzywiźnie . Gdy n -spheres przyznać topologiczne kilka innych opisów, na przykład, mogą być zbudowane przez sklejenie dwóch n -wymiarowej przestrzeni euklidesowych razem poprzez określenie granicy z n -CUBE z punktu lub (indukcyjnie) przez utworzenie zawiesiny z ( n − 1) -sfera. Kula 1 to rozmaitość 1, która jest kołem, który nie jest po prostu połączony. Kula 0 to rozmaitość 0 składająca się z dwóch punktów, które nie są nawet połączone.

Opis

Dla każdej liczby naturalne n An n -sphere o promieniu R jest zdefiniowany jako zbiór punktów w ( n + 1) wymiarowej przestrzeni euklidesowej , które znajdują się w odległości r od jakiegoś ustalonego punktu C , gdzie R może być dowolnym dodatnią liczbą rzeczywistą i gdzie c może być dowolnym punktem w ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni. W szczególności:

• kula 0 jest parą punktów { c − r , c + r } i jest granicą odcinka linii (1-kula).
• 1 sfery jest okrąg o promieniu r wyśrodkowany C i jest granica dysku (2-ball).
• 2 sfery jest zwykłym 2-wymiarowe kuli w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, i brzeg zwykłego piłki (3-ball).
• 3-sfera jest kulą 3-wymiarowej w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Współrzędne euklidesowe w ( n + 1) -przestrzeń

Zbiór punktów w ( n + 1) -przestrzeni, ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +1} ) , które definiują n -sferę, przedstawia równanie: ${\ Displaystyle S ^ {n} (r)}$

${\ Displaystyle r ^ {2} = \ suma _ {i = 1} ^ {n + 1} (x_ {i}-c_ {i}) ^ {2},}$

gdzie c = ( c ₁ , c ₂ , ..., c _{n +1} ) jest punktem środkowym, a r jest promieniem.

Powyższa n- sfera istnieje w ( n +1) -wymiarowej przestrzeni euklidesowej i jest przykładem n - rozmaitości . Postać objętość ω o n -sphere o promieniu R jest przez

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {1} {r}} \ suma _ {j = 1} ^ {n + 1} (-1) ^ {j-1} x_ {j} \, dx_ {1} \wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}$

gdzie ∗ jest operatorem gwiazdy Hodge'a ; patrz Flanders (1989 , §6.1) dla omówienia i dowodu tego wzoru w przypadku r =1 . W rezultacie,

${\ Displaystyle dr \ klin \ omega = dx_ {1} \ klin \ cdots \ klin dx_ {n + 1}.}$

n -piłka

Przestrzeń zamknięta przez n -sphere nazywa się ( n + 1), - kulki . ( N + 1) -ball jest zamknięty , gdy zawiera ona n -sphere i jest otwarty , jeśli nie zawiera n -sphere.

Konkretnie:

• 1- kula , odcinek linii , jest wnętrzem kuli zerowej.
• 2- kula , dysk , jest wnętrzem koła (1-kula).
• 3- kula , zwykła kula , to wnętrze kuli (2-kula).
• 4- kula to wnętrze 3-kuli itp.

Opis topologiczny

Topologicznie An n -sphere może być wykonana jako jeden punkt zwartego w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W skrócie, n -sferę można opisać jako S ⁿ = ℝ ⁿ ∪ {∞} , która jest n- wymiarową przestrzenią euklidesową plus pojedynczy punkt reprezentujący nieskończoność we wszystkich kierunkach. W szczególności, jeśli pojedynczy punkt zostanie usunięty z n- sfery, staje się homeomorficzny do ℝ ⁿ . Stanowi to podstawę do projekcji stereograficznej .

Objętość i powierzchnia

Wykresy objętości  ( V ) i powierzchni  ( S ) n kulek o promieniu 1. W pliku SVG najedź kursorem na punkt, aby go podświetlić i jego wartość.

Teoretycznie można by porównać wartości S _n ( R ) i S _m ( R ) dla n ≠ m . Nie jest to jednak dobrze zdefiniowane. Na przykład, jeśli n = 2 i m = 3, to porównanie jest jak porównywanie liczby metrów kwadratowych do innej liczby metrów sześciennych. To samo dotyczy porównania V _n ( R ) i V _m ( R ) dla n ≠ m .

Przykłady

Kula 0 składa się z jednego punktu. 0-wymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze. Więc,

${\displaystyle V_{0}=1.}$

Kula 0 składa się z dwóch punktów końcowych, {−1,1} . Więc,

${\displaystyle S_{0}=2.}$

Jednostką 1-kula jest przedział [−1,1] długości 2. Tak więc,

${\displaystyle V_{1}=2.}$

Jednostka 1-sfera to okrąg jednostkowy na płaszczyźnie euklidesowej, który ma obwód (miara jednowymiarowa)

${\displaystyle S_{1}=2\pi.}$

Region zamknięty przez jednostkę 1-sferę to 2-kula lub dysk jednostkowy, który ma powierzchnię (miara dwuwymiarowa)

${\displaystyle V_{2}=\pi.}$

Analogicznie, w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, pole powierzchni (miara dwuwymiarowa) jednostki 2-sfery jest dana wzorem

${\displaystyle S_{2}=4\pi.}$

a zawarta objętość jest objętością (miara trójwymiarowa) jednostki 3-kulowej, wyrażona wzorem

${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi.}$

Nawroty

Pole powierzchni , a właściwie n -wymiarowa objętość n -sfery na granicy ( n + 1) -kulki o promieniu R jest związane z objętością kuli równaniem różniczkowym

${\ Displaystyle S_ {n} R ^ {n} = {\ Frac {dV_ {n + 1} R ^ {n + 1} {dR}} = {(n + 1) V_ {n + 1} R ^ {n}},}$

lub, równoważnie, stanowiących jednostkę n -ball jako związek koncentrycznych ( n - 1) -sphere muszli ,

${\ Displaystyle V_ {n + 1} = \ int _ {0} ^ {1} S_ {n} r ^ {n} \ dr.}$

Więc,

${\ Displaystyle V_ {n + 1} = {\ Frac {S_ {n}} {n + 1}}.}$

Możemy również przedstawić jednostkę ( n + 2) -sferę jako sumę iloczynów koła (1-sfery) z n -sferą. Niech r = cos θ i r ² + R ² = 1 , więc R = sin θ i dR = cos θ dθ . Następnie,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} S_ {n + 2} i = \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} S_ {1} r \ cdot S_ {n} R ^ {n }\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{1}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=S_{1 }\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end{aligned}}}$

Ponieważ S ₁ = 2π V ₀ , równanie

${\ Displaystyle S_ {n + 1} = 2 \ pi V_ {n}}$

obowiązuje dla wszystkich n .

To kończy wyprowadzenie nawrotów:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} V_ {0} i = 1 i V_ {n + 1} i = {\ Frac {S_ {n}} {n + 1}} \ \ [6 pkt] S_ {0} i = 2 i S_ {n+1}&=2\pi V_{n}\end{wyrównany}}}$

Zamknięte formularze

Łącząc nawroty, widzimy, że

${\ Displaystyle V_ {n + 2} = 2 \ pi {\ Frac {V_ {n}} {n + 2}}.}$

Więc łatwo jest wykazać przez indukcję na k, że

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} V_ {2 k} i = {\ Frac {\ lewo (2 \ pi \ prawej) ^ {k}} {(2 k)!!}} = {\ Frac {\ pi ^ { k}}{k!}}\\[6pt]V_{2k+1}&={\frac {2\left(2\pi \right)^{k}}{(2k+1)!!}} ={\frac {2k!\left(4\pi \right)^{k}}{(2k+1)!}}\end{wyrównany}}}$

gdzie !! oznacza silnię podwójną , zdefiniowaną dla nieparzystych liczb naturalnych 2 k + 1 przez (2 k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2 k − 1) × (2 k + 1) i podobnie dla liczb parzystych (2 k )!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2 k − 2) × (2 k ) .

Ogólnie rzecz biorąc, objętość w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej jednostki n- kula jest dana wzorem

${\ Displaystyle V_ {n} = {\ Frac {\ pi ^ {\ Frac {n} {2}}} {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {n} {2}} + 1 \ po prawej)}} = {\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\lewo({\frac {n}{2}}\prawo)!}}}$

gdzie Γ jest funkcją gamma , która spełnia Γ( 1/2) = √ π , Γ(1) = 1 i Γ( x + 1) = x Γ( x ) , a więc Γ( x + 1) = x ! i gdzie odwrotnie definiujemy x ! = Γ( x + 1) dla każdego  x .

Mnożąc V _n przez R ⁿ , różnicując względem R , a następnie ustawiając R = 1 , otrzymujemy formę zamkniętą

${\ Displaystyle S_ {n-1} = {\ Frac {n \ pi ^ {\ Frac {n} {2}}} {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {n} {2}} + 1 \ po prawej) }}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

dla ( n  − 1)-wymiarowej objętości kuli S ^{n −1} .

Inne relacje

Rekurencje można łączyć, aby uzyskać relację powtarzalności „odwrotnego kierunku” dla pola powierzchni, jak pokazano na schemacie:

${\ Displaystyle S_ {n-1} = {\ Frac {n} {2 \ pi}} S_ {n + 1}}$

n odnosi się do wymiaru otaczającej przestrzeni euklidesowej, który jest również wewnętrznym wymiarem bryły, której objętość jest tutaj podana, ale który jest o 1 większy niż wewnętrzny wymiar sfery, której pole powierzchni jest tutaj wymienione. Zakrzywione czerwone strzałki pokazują zależność między wzorami dla różnych n . Współczynnik formuły na czubku każdej strzałki jest równy współczynnikowi formuły na końcówce tej strzałki pomnożonej przez współczynnik w grocie strzałki (gdzie n w grocie odnosi się dowartości n wskazywanej przez grot strzałki). Jeśli kierunek dolnych strzałek zostałby odwrócony, ich groty powiedziałyby, aby pomnożyć przez2π/n − 2. Alternatywnie wspomniana powierzchnia właściwa S _{n + 1} w dziedzinie z n + 2 wymiarów jest dokładnie 2 π R razy objętość V _n otoczone kuli w n wymiarach.

Przesunięcie indeksu n do n − 2 daje zatem relacje rekurencyjne:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} V_ {n} i = {\ Frac {2 \ pi} {n}} V_ {n-2} \ \ [6pt] S_ {n-1} i = {\ Frac { 2\pi }{n-2}}S_{n-3}\end{wyrównane}}}$

gdzie S ₀ = 2 , V ₁ = 2 , S ₁ = 2 π i V ₂ = π .

Relację powtarzalności dla V _n można również udowodnić poprzez integrację z dwuwymiarowymi współrzędnymi biegunowymi :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} V_ {n} i = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} V_ {n-2} \ lewo ({\ sqrt { 1-r^{2}}}\right)^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{ 0}^{2\pi }V_{n-2}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\int _{0}^{1}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n} {2}}-1}\,r\,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\left[-{\frac {1}{n}}\left(1-r^ {2}\right)^{\frac {n}{2}}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\ frac {1}{n}}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}.\end{wyrównany}}}$

Współrzędne sferyczne

Możemy zdefiniować układ współrzędnych w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej, analogiczny do sferycznego układu współrzędnych określonego dla trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, w której współrzędne składają się ze współrzędnej promieniowej r , oraz n − 1 współrzędnych kątowych φ ₁ , φ ₂ , ... φ _{n −1} , gdzie kąty φ ₁ , φ ₂ , ... φ _{n −2} mieszczą się w zakresie [0,π] radianów (lub powyżej [0,180] stopni), a φ _{n −1 w} zakresie [ 0,2π) radiany (lub ponad [0,360) stopni). Jeśli x _i są współrzędnymi kartezjańskimi, to możemy obliczyć x ₁ , ... x _n z r , φ ₁ , ... φ _{n −1} z:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x_ {1} i = r \ cos (\ varphi _ {1}) \ \ x_ {2} i = r \ sin (\ varphi _ {1}) \ cos (\ varphi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3})\\&\,\ ,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1 })\\x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end {wyrównany}}}$

Z wyjątkiem szczególnych przypadków opisanych poniżej, transformacja odwrotna jest unikalna:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} R & = {\ sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + \ cdots + {x_ {2}} ^ { 2}+{x_{1}}^{2}}}\\[6pt]\varphi _{1}&=\nazwa operatora {arccot} {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n }}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{1}}{ \sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{1}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{2}&=\nazwa operatora {arccot} {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}} ^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}\\[6pt]&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\[6pt]\ varphi _{n-2}&=\nazwa operatora {arccot} {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{ 2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{x_ {n-2}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{n-1}&=2\nazwa operatora {arccot} {\frac {x_{n-1}+{\sqrt {x_ {n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}}&&={\begin{przypadki}\arccos {\frac {x_{n-1}}{ \sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}\geq 0,\\[6pt]2\pi -\arccos {\ frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}<0.\end{przypadki }}\end{wyrównaj D}}}$

gdzie jeśli x _k ≠ 0 dla pewnego k, ale wszystkie x _{k +1} , ... x _n są równe zeru wtedy φ _k = 0 gdy x _k > 0 , oraz φ _k = π (180 stopni) gdy x _k < 0 .

Istnieje kilka szczególnych przypadków, w których transformacja odwrotna nie jest unikalna; φ _k dla dowolnego k będzie niejednoznaczne, gdy wszystkie x _k , x _{k +1} , ... x _n są zerowe; W tym przypadku cp _k może być wybrany na zero.

Kuliste elementy objętości i powierzchni

Wyrazić elementu objętościowego w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej pod względem współrzędnych sferycznych, przede wszystkim zauważyć, że jakobian macierz transformacji jest:

${\ Displaystyle J_ {n} = {\ zacząć {pmatrix} \ cos (\ varphi _ {1}) & - r \ sin (\ varphi _ {1}) i 0 i 0 i \ cdots i 0 \ \ \ grzech (\ varphi _ { 1})\cos(\varphi _{2})&r\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&-r\sin(\varphi _{1})\sin( \varphi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&&0\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _ {n-2})\cos(\varphi _{n-1})&\cdots &\cdots &&&-r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2} )\sin(\varphi _{n-1})\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1} )&r\cos(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-1})&\cdots &&&r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n -2})\cos(\varphi _{n-1})\end{pmatrix}}.}$

Wyznacznik tej macierzy można obliczyć przez indukcję. Gdy n = 2 , proste obliczenia pokazują , że wyznacznikiem jest r . Dla większej liczby n zauważ, że J _n można skonstruować z J _{n − 1} w następujący sposób. Z wyjątkiem kolumny n , wiersze n − 1 i n z J _n są takie same jak wiersz n − 1 z J _{n − 1} , ale pomnożone przez dodatkowy współczynnik cos φ _{n − 1} w wierszu n − 1 i dodatkowy współczynnik sin φ _{n − 1} w wierszu n . W kolumnie n rzędy n - 1 i n o J _n są takie same jak kolumny n - 1 rzędów n - 1 o J _{n - 1} , ale pomnożona przez dodatkowych czynników sin cp _{n - 1} w rzędzie n - 1 oraz COS φ _{n − 1 odpowiednio} w wierszu n . Wyznacznik J _n można obliczyć przez rozwinięcie Laplace'a w ostatniej kolumnie. Zgodnie z rekurencyjnym opisem J _n , podmacierz utworzona przez usunięcie wpisu w ( n − 1, n ) oraz jej wiersza i kolumny prawie równa się J _{n − 1} , z wyjątkiem tego, że jej ostatni wiersz jest mnożony przez sin φ _{n − 1} . Podobnie, podmacierz utworzona przez usunięcie wpisu w ( n , n ) oraz jej wiersza i kolumny prawie równa się J _{n − 1} , z wyjątkiem tego, że jej ostatni wiersz jest mnożony przez cos φ _{n − 1} . Dlatego wyznacznikiem J _n jest

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} | J_ {n} | & = (-1) ^ {(n-1) + n} (-r \ sin (\ varphi _ {1}) \ kropki \ sin (\ varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}))(\sin(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&\qquad {} +(-1)^{n+n}(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})) (\cos(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2 })|J_{n-1}|(\sin ^{2}(\varphi _{n-1})+\cos ^{2}(\varphi _{n-1}))\\&=( r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2}))|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

Indukcja następnie daje wyrażenie w formie zamkniętej dla elementu objętości we współrzędnych sferycznych

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} d ^ {n} V & = \ lewo | \ det {\ Frac {\ częściowy (x_ {i})} {\ częściowy \ lewo (r \ varphi _ {j} \ prawo )}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^ {n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\ varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{wyrównany}}}$

Wzór na objętość n- kuli można wyprowadzić z tego przez całkowanie.

Podobnie element pola powierzchni ( n − 1) -sfery o promieniu R , który uogólnia element pola 2 sfery, jest określony wzorem

${\ Displaystyle d_ {S ^ {n-1}} V = R ^ {n-1} \ sin ^ {n-2} (\ varphi _ {1}) \ sin ^ {n-3} (\ varphi _ {2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

Naturalny wybór bazy ortogonalnej nad współrzędnymi kątowymi jest iloczynem wielomianów ultrasferycznych ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i {} \ quad \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {nj-1} \ lewo (\ varphi _ {j} \ po prawej) C_ {s} ^ {\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {nj- 1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n +j}\pi \Gamma (s+nj-1)}{s!(2s+nj-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {nj-1}{2}}\right)} }\delta _{s,s'}\end{wyrównany}}}$

dla j = 1, 2,... n − 2 , a e ^{jest _j} dla kąta j = n − 1 zgodnie z harmonicznymi sferycznymi .

Współrzędne polisferyczne

Standardowy sferyczny układ współrzędnych wynika z zapisania ℝ ⁿ jako iloczynu ℝ × ℝ ^{n − 1} . Te dwa czynniki mogą być powiązane za pomocą współrzędnych biegunowych. Dla każdego punktu x z ℝ ⁿ , standardowe współrzędne kartezjańskie

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) = (y_ {1}, z_ {1}, \ kropki, z_ {n-1}) = (\ mathbf { y} ,\mathbf {z} )}$

można przekształcić w mieszany układ współrzędnych biegunowo-kartezjańskich:

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (r \ cos \ theta, (r \ sin \ theta) \ mathbf {z}).}$

To mówi, że punkty w ℝ ⁿ można wyrazić, biorąc promień zaczynając od początku i przechodząc przez z ∈ ℝ ^{n − 1} , obracając go w kierunku pierwszego wektora bazowego o θ , i przemieszczając się wzdłuż promienia na odległość r . Powtórzenie tego rozkładu ostatecznie prowadzi do standardowego sferycznego układu współrzędnych.

Polisferyczne układy współrzędnych powstają z uogólnienia tej konstrukcji. Przestrzeń ℝ ⁿ jest podzielona jako iloczyn dwóch przestrzeni euklidesowych o mniejszym wymiarze, ale żadna z tych przestrzeni nie musi być linią. W szczególności załóżmy, że p i q są dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że n = p + q . Wtedy ℝ ⁿ = ℝ ^p × ℝ ^q . Korzystając z tej dekompozycji, punkt x ∈ ℝ ⁿ można zapisać jako

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) = (y_ {1}, \ kropki, y_ {p}, z_ {1}, \ kropki, z_ {q} )=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Można to przekształcić w mieszany układ współrzędnych biegunowo-kartezjańskich, pisząc:

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = ((r \ sin \ theta) {\ kapelusz {\ mathbf {y}}}, (r \ cos \ theta) {\ kapelusz {\ mathbf {z}}}).}$

Tutaj i są wektory jednostkowe związane z y i z . To wyraża x w kategoriach , , r ≥ 0 i kąt θ . Można wykazać, że dziedziną θ jest [0, 2π) jeśli p = q = 1 , [0, π] jeśli dokładnie jedno z p i q wynosi 1, a [0, π/2] jeśli ani p ani q są 1. Odwrotna transformacja to ${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {y}}}}$${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {z}}}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {y}}} \ w S ^ {p-1}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {z}}} \ w S ^ {q-1}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} r & = \ l Vert \ mathbf {x} \ r Vert, \ \ \ theta & = \ arcsin (\ l Vert \ mathbf {y} \ r Vert / \ l Vert \ mathbf {x} \ r Vert) \\&=\arccos(\lVert \mathbf {z} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arctan(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {z } \rVert ).\end{wyrównany}}}$

Te podziały można powtarzać, o ile jeden z zaangażowanych czynników ma wymiar drugi lub większy. System polyspherical współrzędnych jest wynikiem powtarzając te łupki, dopóki nie ma współrzędne kartezjańskie lewo. Dzielenie po pierwszym nie wymaga współrzędnej promieniowej, ponieważ domeny i są kulami, więc współrzędne polisferycznego układu współrzędnych są nieujemnym promieniem i n − 1 kątami. Możliwe polisferyczne układy współrzędnych odpowiadają drzewom binarnym o n liściach. Każdy węzeł niebędący liściem w drzewie odpowiada podziałowi i określa współrzędną kątową. Na przykład korzeń drzewa reprezentuje ℝ ⁿ , a jego bezpośrednie dzieci reprezentują pierwszy podział na ℝ ^p i ℝ ^q . Węzły liścia odpowiadają współrzędnym kartezjańskim dla S ^{n − 1} . Wzory konwersji ze współrzędnych polisferycznych na współrzędne kartezjańskie można określić, znajdując ścieżki od korzenia do węzłów liścia. Te formuły to produkty z jednym czynnikiem dla każdej gałęzi obranej przez ścieżkę. Dla węzła, którego odpowiednia współrzędna kątowa to θ _i , wzięcie lewej gałęzi wprowadza czynnik sin θ _{i ,} a wzięcie gałęzi prawej wprowadza czynnik cos θ _i . Transformacja odwrotna, od współrzędnych polisferycznych do współrzędnych kartezjańskich, jest określana przez grupowanie węzłów. Każda para węzłów mających wspólnego rodzica może być przekonwertowana z mieszanego układu współrzędnych biegunowo-kartezjańskich do układu współrzędnych kartezjańskich przy użyciu powyższych wzorów na podział. ${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {y}}}}$${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {z}}}}$

Współrzędne polisferyczne mają również interpretację w kategoriach specjalnej grupy ortogonalnej . Podział ℝ ⁿ = ℝ ^p × ℝ ^q wyznacza podgrupę

${\ Displaystyle \ operatorname {SO} _ {p} (\ mathbb {R}) \ razy \ operatorname {SO} _ {q} (\ mathbb {R} ) \ podseteq \ operatorname {SO} _ {n} (\ mathbb {R} ).}$

Jest to podgrupa, w której każdy z dwóch czynników pozostaje niezmienny. Wybór zestawu reprezentantów kosetów dla ilorazu jest taki sam, jak wybór reprezentatywnych kątów dla tego kroku polisferycznego rozkładu współrzędnych. ${\ Displaystyle S ^ {p-1} \ razy S ^ {q-1} \ podseteq S ^ {n-1}}$

We współrzędnych polisferycznych miara objętości na ℝ ⁿ i miara powierzchni na S ^{n − 1} są iloczynami . Dla każdego kąta istnieje jeden współczynnik, a miara objętości na ℝ ⁿ ma również współczynnik dla współrzędnej promieniowej. Miara powierzchni ma postać:

${\ Displaystyle dA_ {n-1} = \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} F_ {i} (\ theta _ {i}) \, d \ theta _ {i},}$

gdzie czynniki F _i są określone przez drzewo. Podobnie miara głośności to

${\ Displaystyle dV_ {n} = r ^ {n-1} \ dr \ \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} F_ {i} (\ theta _ {i}) \ d \ theta _{i}.}$

Załóżmy, że mamy węzeł drzewa, który odpowiada dekompozycji ℝ ^{n ₁ + n ₂} = ℝ ^{n ₁} × ℝ ^{n ₂} i ma współrzędną kątową θ . Odpowiedni współczynnik F zależy od wartości n ₁ i n ₂ . Gdy miara powierzchni jest znormalizowana tak, że powierzchnia sfery wynosi 1, czynniki te są następujące. Jeśli n ₁ = n ₂ = 1 , to

${\ Displaystyle F (\ theta ) = {\ Frac {d \ theta} {2 \ pi}}.}$

Jeśli n ₁ > 1 i n ₂ = 1 , a B oznacza funkcję beta , to

${\ Displaystyle F (\ theta ) = {\ Frac {\ sin ^ {n_ {1}-1} \ theta {\ operatorname {B} ({\ Frac {n_ {1}} {2}}, {\ frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Jeśli n ₁ = 1 i n ₂ > 1 , to

${\ Displaystyle F (\ theta ) = {\ Frac {\ cos ^ {n_ {2}-1} \ theta {\ operatorname {B} ({\ Frac {1} {2}} {\ Frac {n_ {2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Wreszcie, jeśli zarówno n _{1, jak} i n ₂ są większe niż jeden, wtedy

${\ Displaystyle F (\ theta) = {\ Frac {(\ sin ^ {n_ {1}-1} \ theta) (\ cos ^ {n_ {2}-1} \ theta) {{\ Frac {1 }{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Projekcja stereograficzna

Tak jak dwuwymiarową sferę osadzoną w trzech wymiarach można odwzorować na dwuwymiarowej płaszczyźnie za pomocą projekcji stereograficznej , n- sferę można odwzorować na n- wymiarowej hiperpłaszczyźnie za pomocą n- wymiarowej wersji projekcji stereograficznej. Na przykład punkt [ x , y , z ] na dwuwymiarowej kuli o promieniu 1 odwzorowuje punkt [x/1 − z,tak/1 − z] na płaszczyźnie xy . Innymi słowy,

${\ Displaystyle [x, y, z] \ mapsto \ lewo [{\ Frac {x} {1-z}}, {\ Frac {y} {1-z}} \ prawej].}$

Podobnie, rzut stereograficzny n -sfery S ^{n -1} o promieniu 1 odwzorowuje ( n - 1) -wymiarową hiperpłaszczyznę ℝ ^{n -1} prostopadłą do osi x _n jako

${\ Displaystyle [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}] \ mapsto \ lewo [{\ Frac {x_ {1}} {1-x_ {n}}} {\ Frac { x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Generowanie losowych punktów

Jednostajnie losowo na ( n − 1) -sferze

Zbiór równomiernie rozmieszczonych punktów na powierzchni jednostki 2-sferowej wygenerowany algorytmem Marsaglia.

Aby wygenerować równomiernie rozłożone losowe punkty na jednostce ( n − 1) -sferze (czyli na powierzchni jednostki n -kula), Marsaglia (1972) podaje następujący algorytm.

Wygeneruj n- wymiarowy wektor odchyleń normalnych (wystarczy użyć N(0, 1) , chociaż w rzeczywistości wybór wariancji jest dowolny), x = ( x ₁ , x ₂ ,... x _n ) . Teraz oblicz „promień” tego punktu:

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}$

Wektor 1/rx jest równomiernie rozłożony na powierzchni jednostki n -ball.

Alternatywą podaną przez Marsaglia jest jednorodny losowy wybór punktu x = ( x ₁ , x ₂ ,... x _n ) w jednostce n -sześcianu poprzez próbkowanie każdego x _i niezależnie od rozkładu równomiernego na (-1,1) , obliczenie r jak wyżej i odrzucenie punktu i ponowne próbkowanie, jeśli r ≥ 1 (tj. jeśli punkt nie znajduje się w kuli n ), a gdy punkt w kuli zostanie uzyskany, skalując go do powierzchni kuli o współczynnik1/r; potem znowu1/rx jest równomiernie rozłożony na powierzchni jednostki n -ball. Ta metoda staje się bardzo nieefektywna w przypadku większych wymiarów, ponieważ w kuli znajduje się znikomy ułamek sześcianu jednostkowego. W dziesięciu wymiarach kula wypełnia mniej niż 2% sześcianu, więc zazwyczaj potrzeba ponad 50 prób. W siedemdziesięciu wymiarachwypełniony jestmniej niższeścian, co oznacza, że ​​zwykle potrzeba będzie bilionów biliardów prób, znacznie więcej niż komputer mógłby kiedykolwiek przeprowadzić. ${\ Displaystyle 10 ^ {-24}}$

Jednostajnie losowo w obrębie n -ball

Mając punkt wybierany jednostajnie losowo z powierzchni jednostki ( n − 1) -sfery (np. za pomocą algorytmu Marsaglii), wystarczy promień, aby uzyskać punkt równomiernie losowo z jednostki n -kula. Jeżeli u jest liczbą generowaną jednostajnie losowo z przedziału [0, 1], a x jest punktem wybranym jednostajnie losowo z jednostki ( n − 1) -sfery, to u ^{1 ⁄ n} x jest równomiernie rozłożone w jednostce n -piłka.

Alternatywnie, punkty mogą być próbkowane równomiernie z jednostki n -kula przez redukcję z jednostki ( n + 1) -sfery. W szczególności, jeśli ( x ₁ , x ₂ ,..., x _{n +2} ) jest punktem wybranym jednolicie z jednostki ( n + 1) -sfera, wtedy ( x ₁ , x ₂ ,..., x _n ) jest równomiernie rozłożony w jednostce n -ball (tj. po prostu odrzucając dwie współrzędne).

Jeśli n jest wystarczająco duże, większość objętości n- kuli będzie zawarta w obszarze bardzo zbliżonym do jej powierzchni, więc punkt wybrany z tej objętości będzie prawdopodobnie również znajdować się blisko powierzchni. Jest to jedno ze zjawisk prowadzących do tzw. przekleństwa wymiarowości, które pojawia się w niektórych aplikacjach numerycznych i innych.

Konkretne sfery

0-sfer

Para punktów {± R } o dyskretnej topologii dla pewnego R > 0 . Jedyna sfera, która nie jest połączona ścieżką . Ma naturalną strukturę grupy Liego; izomorficzny do O(1). Równolegle.

1-sfera

Potocznie nazywany kręgiem . Ma nietrywialną grupę podstawową. Struktura grupy abelowej Liego U(1) ; grupa koło . Topologicznie równoważny rzeczywistej linii rzutowej .

2-kulowy

Potocznie nazywana po prostu kulą . O jego złożonej strukturze patrz sfera Riemanna . Odpowiednik złożonej linii rzutowej

3-kulowy

Paralelizowalna, główna wiązka U(1) nad 2-sferą, struktura grupy Liego Sp(1) .

4-kulowy

Odpowiednik quaternionic linią projekcyjną , H P ¹ . SO(5)/SO(4).

5-kulowy

Głównym U (1) -bundle na C P ² . SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Nie można rozstrzygnąć, czy dana rozmaitość n- wymiarowa jest homeomorficzna do S ⁿ dla n  ≥ 5.

6-sfer

Posiada prawie złożoną strukturę pochodzącą ze zbioru czystych oktonionów jednostkowych . SO (7) / SO (6) = G ₂ / su (3). Pytanie, czy ma złożoną strukturę, znane jest jako problem Hopfa, za Heinzem Hopfem .

7-sfer

Topologiczna struktura quasigrupowa jako zbiór oktonów jednostkowych . Główny pakiet Sp(1) nad S ⁴ . Równolegle. SO (8) / SO (7) = su (4) / su (3) = SP (2) / SP (1) = wirowania (7) / G ₂ = wirowania (6) / su (3). Szczególnie interesująca jest 7-sfera, ponieważ w tym wymiarze odkryto pierwsze egzotyczne sfery .

8-sfer

Odpowiednik oktonicznej linii rzutowej O P ¹ .

23-kulowe

Bardzo gęste upakowanie kul jest możliwe w 24-wymiarowej przestrzeni, co jest związane z wyjątkowymi właściwościami sieci Leech .

Sfera oktaedryczna

Ośmiościenny n -sphere jest określony podobnie jak w przypadku n -sphere lecz stosując 1-normę

${\ Displaystyle S ^ {n} = \ lewo \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {n + 1}: \ lewo \ | x \ po prawej \ | _ {1} = 1 \ po prawej \}}$

Oktaedryczna 1-sfera jest kwadratem (bez jego wnętrza). Oktaedryczna 2-sfera jest regularnym ośmiościanem ; stąd nazwa. Ośmiościenny n -sphere jest topologiczna połączyć z n  + 1 parami pojedyncze punkty. Intuicyjnie, topologiczne połączenie dwóch par jest generowane przez narysowanie segmentu pomiędzy każdym punktem jednej pary a każdym punktem drugiej pary; to daje kwadrat. Aby połączyć to z trzecią parą, narysuj odcinek między każdym punktem na kwadracie a każdym punktem w trzeciej parze; to daje ośmiościan.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

• Flandria, Harley (1989). Formy różniczkowe o zastosowaniu w naukach fizycznych . Nowy Jork: Dover Publikacje . Numer ISBN 978-0-486-66169-8.
• Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Doświadczenie geometrii: na płaszczyźnie i sferze . Sala urzędnicza . Numer ISBN 978-0-13-373770-7 (Rozdział 20: 3-sfery i hiperboliczne 3-przestrzenie).CS1 maint: postscript ( link )
• Tygodnie, Jeffrey R. (1985). Kształt przestrzeni: jak wizualizować powierzchnie i trójwymiarowe rozmaitości . Marcela Dekkera. Numer ISBN 978-0-8247-7437-0 (Rozdział 14: Hipersfera).CS1 maint: postscript ( link )
• Marsaglia, G. (1972). „Wybór punktu z powierzchni kuli”. Roczniki statystyki matematycznej . 43 (2): 645–646. doi : 10.1214/aoms/1177692644 .
• Huber, Greg (1982). „Wyprowadzenie funkcji Gamma objętości n-sfery”. Amer. Matematyka. Miesięcznie . 89 (5): 301–302. doi : 10.2307/2321716 . JSTOR  2321716 . MR  1539933 .
• Barnea, Nir (1999). „Funkcje hipersferyczne z dowolną symetrią permutacyjną: konstrukcja odwrotna”. Fiz. Ks . 59 (2): 1135–1146. Kod Bib : 1999PhRvA..59.1135B . doi : 10.1103/PhysRevA.59.1135 .

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Hipersfera” . MatematykaŚwiat .