Komponent tożsamości - Identity component

W matematyce , zwłaszcza teorii grupa The składnik identyczność z grupy G odnosi się do kilku ściśle związane pojęcia największego podłączonego podgrupie G zawierającego element neutralny.

W zadanej topologii The składnik tożsamość topologicznej grupie G jest podłączone urządzenie G ⁰ o G , który zawiera element neutralny grupy. Składnik ścieżki tożsamości grupy topologicznej G jest składnikiem ścieżki grupy G, który zawiera element tożsamości grupy.

W geometrii algebraicznej The składnik identyczności z algebraicznej grupy G na polu k jest składnikiem tożsamość leżącej przestrzeni topologicznych. Składnik tożsamość systemu grupy G nad bazą schemacie S się, z grubsza rzecz biorąc, system grupy G ⁰ którego włókna ponad punkt s o S jest podłączone urządzenie (G _s ) ⁰ włókna G _s , algebraicznej grupy.

Nieruchomości

Składnik tożsamość G ⁰ topologicznej lub algebraicznej grupie G jest zamknięty normalnie podgrupa o G . Jest zamknięty, ponieważ komponenty są zawsze zamknięte. Jest to podgrupa, ponieważ mnożenie i inwersja w grupie topologicznej lub algebraicznej są z definicji odwzorowaniami ciągłymi . Co więcej, dla dowolnego ciągłego automorfizmu a od G mamy

a ( G ⁰ ) = G ⁰ .

A zatem, G ⁰ jest charakterystyczny podgrupy z G , więc normalne.

Składnik tożsamości G ⁰ grupy topologicznej G nie musi być otwarty w G . W rzeczywistości możemy mieć G ⁰ = { e }, w którym to przypadku G jest całkowicie odłączony . Jednak składnik tożsamości lokalnie połączonej ścieżką przestrzeni (na przykład Lie group ) jest zawsze otwarty, ponieważ zawiera sąsiadujące ze ścieżką sąsiedztwo { e }; i dlatego jest zestawem clopen .

Komponent ścieżki tożsamości grupy topologicznej może generalnie być mniejszy niż komponent tożsamości (ponieważ powiązanie ścieżek jest silniejszym warunkiem niż powiązanie), ale zgadzają się, jeśli G jest lokalnie połączony ścieżką.

Grupa komponentów

Grupa iloraz G / G ⁰ nazywa się grupę części lub grupy składników o G . Jego elementy to tylko połączone komponenty G . Grupa komponentów G / G ⁰ jest grupą dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy G ⁰ jest otwarte. Jeśli G jest algebraiczna grupa skończonego typu , takiego jak afinicznej grupy algebraiczną , a G / G ⁰ jest w rzeczywistości ograniczony grupy .

W podobny sposób grupę elementów ścieżki można zdefiniować jako grupę elementów ścieżki (iloraz G przez identyczność elementu ścieżki), a na ogół grupa elementów jest ilorazem grupy elementów ścieżki, ale jeśli G jest lokalnie połączone ścieżką, grupy te zgadzają się . Grupę składową ścieżki można również scharakteryzować jako zerową grupę homotopii ,${\ Displaystyle \ pi _ {0}(G, e).}$

Przykłady

• Grupa niezerowych liczb rzeczywistych z mnożeniem ( R *,•) ma dwie składowe, a grupa składowych to ({1,−1},•).
• Rozważmy grupę jednostek U w pierścieniu liczb split-complex . W zwykłej topologii płaszczyzny { z = x + j y  : x , y ∈ R }, U dzieli się na cztery składowe liniami y = x i y = − x, gdzie z nie ma odwrotności. Wtedy U ⁰ = { z  : | y | < x } . W tym przypadku grupa składników U jest izomorficzna z czterogrupą Kleina .
• Składnik tożsamościowy grupy addytywnej ( Z _p ,+) p-adycznych liczb całkowitych jest zbiorem singletonów {0}, ponieważ Z _p jest całkowicie rozłączone.
• Grupa Weyl z redukcyjnego algebraicznej grupa G oznacza grupę komponentów z grupy normalizer z torusa maksymalnej o G .
• Rozważmy schemat grup μ ₂ = Spec( Z [ x ]/( x ² - 1)) drugich pierwiastków jedności zdefiniowanych na schemacie bazowym Spec( Z ). Topologicznie μ _n składa się z dwóch kopii krzywej Spec( Z ) sklejonych ze sobą w punkcie (to jest ideał pierwszy ) 2. Zatem μ _n jest połączone jako przestrzeń topologiczna, a więc jako schemat. Jednakże jj ₂ nie równa jego element identyfikacyjny, ponieważ włókna na każdym punkcie spec ( Z ), z wyjątkiem 2 składa się z dwóch oddzielnych punktów.

Grupa algebraiczna G nad ciałem topologicznym K dopuszcza dwie topologie naturalne, topologię Zariskiego i topologię odziedziczoną po K . Składnik tożsamości G często zmienia się w zależności od topologii. Na przykład ogólna grupa liniowa GL _n ( R ) jest połączona jako grupa algebraiczna, ale ma dwa składniki ścieżki jako grupa Liego, macierze dodatniego wyznacznika i macierze ujemnego wyznacznika. Każda połączona grupa algebraiczna nad niearchimedesowym ciałem lokalnym K jest całkowicie rozłączona w topologii K, a zatem ma w tej topologii trywialny komponent tożsamości.

Bibliografia

• Lew Semenowicz Pontryagin , Grupy topologiczne , 1966.
• Demazur, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tom I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , Paryż: Masson, ISBN 978-2225616662, numer MR  0302656