Grupa skończona - Finite group

W algebry abstrakcyjnej , o skończonej grupa to grupa , której bazowy zestaw jest skończone . Grupy skończone często pojawiają się, gdy rozważamy symetrię obiektów matematycznych lub fizycznych, gdy obiekty te dopuszczają tylko skończoną liczbę przekształceń zachowujących strukturę. Ważne przykłady grup skończonych obejmują grupy cykliczne i grupy permutacji .

Badanie grup skończonych jest integralną częścią teorii grup od czasu jej powstania w XIX wieku. Jednym z głównych obszarów badań była klasyfikacja: klasyfikacja skończonych grup prostych (bez nietrywialnej podgrupy normalnej ) została zakończona w 2004 roku.

Historia

W XX wieku matematycy dogłębnie badali niektóre aspekty teorii grup skończonych, zwłaszcza lokalną teorię grup skończonych oraz teorię grup rozwiązywalnych i zerowych . W konsekwencji osiągnięto pełną klasyfikację skończonych grup prostych , co oznacza, że wszystkie te proste grupy, z których można zbudować wszystkie skończone grupy, są teraz znane.

W drugiej połowie XX wieku matematycy tacy jak Chevalley i Steinberg również pogłębili nasze zrozumienie skończonych analogów grup klasycznych i innych pokrewnych grup. Jedną z takich rodzin grup jest rodzina ogólnych grup liniowych na ciałach skończonych .

Grupy skończone często występują, gdy rozważamy symetrię obiektów matematycznych lub fizycznych, gdy obiekty te dopuszczają tylko skończoną liczbę przekształceń zachowujących strukturę. Teoria grup Liego , która może być postrzegana jako zajmująca się „ ciągłą symetrią ”, pozostaje pod silnym wpływem powiązanych grup Weyla . Są to skończone grupy generowane przez odbicia, które oddziałują na skończenie wymiarową przestrzeń euklidesową . Właściwości grup skończonych mogą więc odgrywać rolę w takich przedmiotach, jak fizyka teoretyczna i chemia .

Przykłady

Grupy permutacji

Cayley wykres grupy symetrycznie S, ₄

Grupa symetryczne S _n na skończonego zbioru z n symboli jest grupa , której elementy są wszystkie kombinacje tych n symboli, i których działanie grupa jest skład tych permutacji, które są traktowane jako funkcji bijective ze zbioru symboli sobie . Ponieważ istnieje n ! ( n silnia ) możliwych permutacji zbioru n symboli, wynika z tego, że kolejność (liczba elementów) grupy symetrycznej S _n wynosi n !.

Grupy cykliczne

Cykliczna grupa Z _n to grupa, której wszystkie elementy są potęgami określonego elementu a, gdzie a ⁿ = a ⁰ = e , tożsamość. Typowa realizacja tej grupy to złożony n- ty korzeń jedności . Wysłanie a do prymitywnego korzenia jedności daje izomorfizm między nimi. Można to zrobić z dowolną skończoną grupą cykliczną.

Skończone grupy abelowe

Grupa abelowa , zwana także grupą przemienną , to grupa, w której wynik zastosowania operacji grupowej do dwóch elementów grupy nie zależy od ich kolejności (aksjomat przemienności ). Zostały nazwane na cześć Nielsa Henrika Abla .

Dowolna skończona grupa abelowa jest izomorficzna z bezpośrednią sumą skończonych cyklicznych grup o pierwszym rzędzie potęgi, a te porządki są jednoznacznie określone, tworząc kompletny system niezmienników. Grupę automorfizmów skończonej grupy abelowej można opisać bezpośrednio za pomocą tych niezmienników. Teoria ta została po raz pierwszy rozwinięta w artykule Georga Frobeniusa i Ludwiga Stickelbergera z 1879 r., A później została zarówno uproszczona, jak i uogólniona do postaci skończonych modułów w głównej dziedzinie idealnej, tworząc ważny rozdział algebry liniowej .

Grupy typu Lie

Grupy typu Lie jest grupa ściśle związane z grupy G ( K ) racjonalnych punktami redukcyjnego liniową grupę algebraicznej G o wartości w polu k . Skończone grupy typu Lie dają większość nieabelowych skończonych grup prostych . Przypadki szczególne należą klasyczne grupy , az grupy Chevalley , grupy Steinberg, oraz grupy Suzuki-Ree.

Grupy skończone typu Liego były jednymi z pierwszych grup rozważanych w matematyce, po grupach cyklicznych , symetrycznych i naprzemiennych , z rzutowymi specjalnymi grupami liniowymi nad pierwszymi ciałami skończonymi, PSL (2, p ) skonstruowany przez Évariste Galois w latach trzydziestych XIX wieku. Systematyczne badanie skończonych grup typu Liego rozpoczęło się od twierdzenia Camille Jordana , że specjalna liniowa grupa rzutowa PSL (2, q ) jest prosta dla q ≠ 2, 3. Twierdzenie to uogólnia na grupy rzutowe o wyższych wymiarach i podaje ważne nieskończona rodzina PSL ( n , q ) skończonych grup prostych . Inne grupy klasyczne były badane przez Leonarda Dicksona na początku XX wieku. W latach pięćdziesiątych Claude Chevalley zdał sobie sprawę, że po odpowiednim przeformułowaniu wiele twierdzeń o półprostych grupach Liego dopuszcza analogie grup algebraicznych w dowolnym polu k , co prowadzi do konstrukcji tego, co obecnie nazywamy grupami Chevalleya . Co więcej, podobnie jak w przypadku zwartych prostych grup Liego, odpowiadające im grupy okazały się prawie proste jak grupy abstrakcyjne ( twierdzenie o prostocie Titsa ). Chociaż od XIX wieku było wiadomo, że istnieją inne skończone grupy proste (na przykład grupy Mathieu ), stopniowo ukształtowało się przekonanie, że prawie wszystkie skończone grupy proste można wyjaśnić odpowiednimi rozszerzeniami konstrukcji Chevalleya, łącznie z grupami cyklicznymi i naprzemiennymi. Ponadto wyjątki, grupy sporadyczne , mają wiele cech wspólnych ze skończonymi grupami typu Lie, w szczególności można je skonstruować i scharakteryzować na podstawie ich geometrii w sensie cycki.

Wiara stała się teraz twierdzeniem - klasyfikacją skończonych grup prostych . Przegląd listy skończonych grup prostych pokazuje, że grupy typu Lie na polu skończonym obejmują wszystkie skończone grupy proste inne niż grupy cykliczne, grupy naprzemienne, grupa Tits i 26 sporadycznych grup prostych .

Główne twierdzenia

Twierdzenie Lagrange'a

Dla każdego skończonej grupy G The celu (liczba elementów) z każdej podgrupy H o G dzieli kolejność G . Twierdzenie zostało nazwane na cześć Josepha-Louisa Lagrange'a .

Twierdzenia Sylowa

Zapewnia to częściową przeciwnego twierdzenia Lagrange'a daje informacji o tym, jak wiele podgrup danej kolejności są zawarte w G .

Twierdzenie Cayleya

Twierdzenie cayleya , nazwany na cześć Arthur Cayley , stwierdza się, że każda grupa G jest izomorficzna z podgrupą z grupy symetrycznej działającej na G . Można to rozumieć, jako przykład działanie grupy z G na elementach G .

Twierdzenie Burnside'a

Twierdzenie Burnside'a w teorii grup stwierdza, że jeśli G jest skończoną grupą rzędu p ^a q ^b , gdzie p i q są liczbami pierwszymi , a a i b są nieujemnymi liczbami całkowitymi , to G można rozwiązać . Dlatego każda skończona prosta grupa nieabelowa ma porządek podzielny przez co najmniej trzy różne liczby pierwsze.

Twierdzenie Feita – Thompsona

Twierdzenie Feita – Thompsona lub twierdzenie o nieparzystym porządku stwierdza, że każda skończona grupa nieparzystego rzędu jest rozwiązywalna . Udowodnili to Walter Feit i John Griggs Thompson ( 1962 , 1963 )

Klasyfikacja skończonych grup prostych

Klasyfikacja skończonych grup prostych jest twierdzeniem stwierdzając, że każda grupa prosta skończony należy do jednej z następujących rodzin:

Grupa cykliczna o pierwszym rzędzie;
Grupa zmiennego stopnia co najmniej 5;
Grupa prosty typu Lie ;
Jedna z 26 sporadycznych prostych grup ;
Grupa Tits (czasami uważana za 27. sporadyczną grupę).

Skończone grupy proste można postrzegać jako podstawowe elementy składowe wszystkich grup skończonych, w sposób przypominający sposób, w jaki liczby pierwsze są podstawowymi elementami składowymi liczb naturalnych . Twierdzenie Jordana – Höldera jest bardziej precyzyjnym sposobem określenia tego faktu o grupach skończonych. Jednak istotna różnica w odniesieniu do przypadku faktoryzacji całkowitoliczbowej polega na tym, że takie „bloki budulcowe” niekoniecznie determinują jednoznacznie grupę, ponieważ może istnieć wiele grup nieizomorficznych o tej samej serii składu lub inaczej mówiąc, Problem z rozszerzeniem nie ma unikalnego rozwiązania.

Dowód tego twierdzenia składa się z dziesiątek tysięcy stron w kilkuset artykułach w czasopismach napisanych przez około 100 autorów, opublikowanych głównie w latach 1955-2004. Gorenstein (zm. 1992), Lyons i Solomon stopniowo publikują uproszczoną i poprawioną wersję książki. dowód.

Liczba grup danego zamówienia

Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę całkowitą n , ustalenie, ile jest typów izomorfizmów grup rzędu n , nie jest wcale rutynową sprawą . Każda grupa pierwszego rzędu jest cykliczna , ponieważ z twierdzenia Lagrange'a wynika, że cykliczna podgrupa generowana przez którykolwiek z jej elementów nieidentycznych jest całą grupą. Jeśli n jest kwadratem liczby pierwszej, to istnieją dokładnie dwa możliwe typy izomorfizmu grupy rzędu n , z których oba są abelowe. Jeśli n jest wyższą potęgą liczby pierwszej, to wyniki Grahama Higmana i Charlesa Simsa dają asymptotycznie poprawne oszacowania liczby typów izomorfizmu grup rzędu n , a liczba ta rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem potęgi.

W zależności od faktoryzacji pierwszej n można nałożyć pewne ograniczenia na strukturę grup rzędu n , na przykład w wyniku takich wyników, jak twierdzenia Sylowa . Na przykład każda grupa rzędu pq jest cykliczna, gdy q < p są liczbami pierwszymi, przy czym p - 1 nie jest podzielne przez q . Warunek konieczny i wystarczający, patrz liczba cykliczna .

Jeśli n jest wolne od kwadratu , to można rozwiązać dowolną grupę rzędu n . Twierdzenie Burnside'a , udowodnione za pomocą znaków grupowych , stwierdza, że każdą grupę rzędu n można rozwiązać, gdy n jest podzielne przez mniej niż trzy różne liczby pierwsze, tj. Jeśli n = p ^a q ^b , gdzie p i q są liczbami pierwszymi, a a i b są nieujemne liczby całkowite. Zgodnie z twierdzeniem Feita – Thompsona , które ma długi i skomplikowany dowód, każdą grupę rzędu n można rozwiązać, gdy n jest nieparzyste.

Dla każdej dodatniej liczby całkowitej n większość grup rzędu n można rozwiązać . Aby zobaczyć to dla dowolnego konkretnego rzędu, zwykle nie jest trudne (na przykład istnieje, aż do izomorfizmu, jedna nierozwiązywalna grupa i 12 rozwiązalnych grup rzędu 60), ale dowód tego dla wszystkich rzędów wykorzystuje klasyfikację skończonych prostych grup . Dla każdej dodatniej liczby całkowitej n istnieją co najwyżej dwie grupy proste rzędu n i istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych n, dla których istnieją dwie nieizomorficzne grupy proste rzędu n .

Tabela różnych grup rzędu n

Zamów n	# Grupy	Abelowy	Nieabelowe
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Jacobson, Nathan (2009). Podstawowa algebra I (wyd. 2). Publikacje Dover . ISBN 978-0-486-47189-1 .

Linki zewnętrzne

Sekwencja OEIS A000001 (liczba grup rzędu n)
Sekwencja OEIS A000688 (liczba grup abelowych rzędu n )
Sekwencja OEIS A060689 (liczba nieabelowych grup rzędu n)
Małe grupy w GroupNames
Klasyfikator do grupy małych, aby

Languages

In other projects