Odbicie (matematyka) - Reflection (mathematics)

Odbicie przez oś (od obiektu czerwonego do zielonego), po którym następuje odbicie (od zielonego do niebieskiego) w poprzek drugiej osi równoległej do pierwszej, powoduje ruch całkowity, czyli przesunięcie - o wielkość równą dwukrotności odległość między dwiema osiami.

W matematyce , ą odbicie (pisane również odbicie ) jest odwzorowaniem z przestrzeni euklidesowej do siebie, która jest isometry z hiperpłaszczyznę jako zbioru stałych punktów ; zbiór ten nazywany jest osią (w wymiarze 2) lub płaszczyzną (w wymiarze 3) odbicia. Obraz postaci przez odbicie jest jej lustrzanym odbiciem w osi lub płaszczyźnie odbicia. Na przykład lustrzane odbicie małej łacińskiej litery p dla odbicia w odniesieniu do osi pionowej wyglądałoby jak q . Jego obraz poprzez odbicie w osi poziomej wyglądałby jak b . Odbicie jest inwolucją : po dwukrotnym zastosowaniu każdy punkt wraca do swojego pierwotnego położenia, a każdy obiekt geometryczny jest przywracany do pierwotnego stanu.

Termin odbicie jest czasami używany dla większej klasy odwzorowań z przestrzeni euklidesowej do samej siebie, a mianowicie izometrii nieidentyfikacyjnych, które są inwolucjami. Takie izometrie mają zbiór stałych punktów (zwierciadła), które są podprzestrzenią afiniczną , ale prawdopodobnie są mniejsze niż hiperpłaszczyzna. Na przykład odbicie przez punkt jest niewolną izometrią z tylko jednym stałym punktem; obraz litery p pod nią wyglądałby jak a d . Ta operacja jest również znana jako centralna inwersja ( Coxeter 1969 , §7.2) i przedstawia przestrzeń euklidesową jako przestrzeń symetryczną . W euklidesowej przestrzeni wektorowej odbicie w punkcie znajdującym się na początku jest tym samym, co negacja wektora. Inne przykłady obejmują odbicia w linii w przestrzeni trójwymiarowej. Zwykle jednak nieokreślone użycie terminu „odbicie” oznacza odbicie w hiperpłaszczyźnie .

Mówi się, że postać, która nie zmienia się po poddaniu się refleksji, ma symetrię odbicia .

Niektórzy matematycy używają słowa „ flip ” jako synonimu „refleksji”.

Budowa

Punkt

Q

jest odbiciem punktu

P

na prostej

AB

.

W płaszczyźnie (lub odpowiednio trójwymiarowej) geometrii, aby znaleźć odbicie punktu, upuść prostopadle od punktu do linii (płaszczyzny) używanej do odbicia i rozciągnij go na tę samą odległość po drugiej stronie. Aby znaleźć odbicie postaci, odbij każdy punkt na rysunku.

Aby odbić punkt $P$ przez linię $AB$ za pomocą kompasu i linii prostej , wykonaj następujące czynności (patrz rysunek):

Etap 1 (czerwone) skonstruować okrąg o środku w punkcie $P$ i pewnego ustalonego promienia $R$ , aby utworzyć punkty $A '$ i $B'$ na linii $AB$ , który będzie w równej odległości od $P$ .
Krok 2 (zielony): skonstruuj okręgi wyśrodkowane na $A '$ i $B '$ o promieniu $r$ . $P$ i $Q$ będą punktami przecięcia tych dwóch okręgów.

Punkt $Q$ jest wówczas odbiciem punktu $P$ przechodzącego przez prostą $AB$ .

Nieruchomości

Odbicie w poprzek osi, po którym następuje odbicie w drugiej osi, nierównoległej do pierwszej, powoduje całkowity ruch, czyli obrót wokół punktu przecięcia osi o kąt dwukrotnie większy od kąta między osiami.

Matryca dla odbicia jest prostopadła do determinanty -1 i wartości własnych -1, 1, 1, ..., 1 Produkt dwóch takich matryc specjalny macierzą ortogonalną, który reprezentuje obrót. Każdy obrót jest wynikiem odbicia w parzystej liczbie odbić w hiperpłaszczyznach przez początek, a każdy niewłaściwy obrót jest wynikiem odbicia w liczbie nieparzystej. W ten sposób odbicia generują grupę ortogonalną , a wynik ten jest znany jako twierdzenie Cartana – Dieudonnégo .

Podobnie grupa euklidesowa , na którą składają się wszystkie izometrie przestrzeni euklidesowej, jest generowana przez odbicia w hiperpłaszczyznach afinicznych. Ogólnie grupa generowana przez odbicia w hiperpłaszczyznach afinicznych jest nazywana grupą odbić . Do grupy skończone generowane w ten sposób są przykładami grup Coxeter .

Odbicie w poprzek linii w płaszczyźnie

Odbicie w poprzek linii przechodzącej przez początek w dwóch wymiarach można opisać następującym wzorem

{\ displaystyle \ operatorname {Ref} _ {l} (v) = 2 {\ frac {v \ cdot l} {l \ cdot l}} lv,}

gdzie wskazuje wektor jest widoczne, odnosi się do dowolnego wektora w linii, po której odbiciem jest wykonywana, i oznacza iloczyn skalarny o o . Zauważ, że powyższy wzór można również zapisać jako ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle v \ cdot l}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle l}$

{\ displaystyle \ operatorname {Ref} _ {l} (v) = 2 \ operatorname {Proj} _ {l} (v) -v,}

mówiąc, że odbiciem drugiej jest równa 2 razy projekcyjnych z na minus wektorowej . Odbicia w linii mają wartości własne 1 i -1. ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle v}$

Odbicie przez hiperpłaszczyznę w n wymiarach

Biorąc pod uwagę wektor w przestrzeni euklidesowej , wzór na odbicie w hiperpłaszczyźnie przez początek, prostopadły do , jest podany wzorem ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle \ operatorname {Ref} _ {a} (v) = v-2 {\ frac {v \ cdot a} {a \ cdot a}} a,}

gdzie oznacza iloczyn skalarny o o . Należy zauważyć, że drugi składnik w powyższym równaniu jest tylko dwukrotnie projekcji wektora z na . Można to łatwo sprawdzić ${\ displaystyle v \ cdot a}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle a}$

$Ref a (v) = - v$ , jeśli jest równoległe do i ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle a}$
$Ref a (v) = v$ , jeśli jest prostopadła do $a$ . ${\ displaystyle v}$

Używając iloczynu geometrycznego , otrzymujemy wzór

{\ displaystyle \ operatorname {Ref} _ {a} (v) = - {\ frac {ava} {a ^ {2}}}.}

Ponieważ te odbicia są izometriami przestrzeni euklidesowej ustalającymi początek, mogą być reprezentowane przez macierze ortogonalne . Macierz ortogonalna odpowiadająca powyższemu odbiciu jest macierzą