Twierdzenia Sylowa - Sylow theorems
Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup |
---|
W matematyce, a konkretnie w dziedzinie teorii grup skończonych , twierdzenia Sylowa są zbiorem twierdzeń nazwanych na cześć norweskiego matematyka Petera Ludwiga Sylowa, które dostarczają szczegółowych informacji o liczbie podgrup o ustalonym rzędzie, jakie zawiera dana grupa skończona . Twierdzenia Sylowa stanowią fundamentalną część teorii grup skończonych i mają bardzo ważne zastosowania w klasyfikacji skończonych grup prostych .
W przypadku liczby pierwsze , A Sylow P -subgroup (czasami P -Sylow podgrupy ) w grupie jest ilość -subgroup z , to jest podgrupą to jest P -group (tak, że kolejność każdego elementu grupy jest moc z ), która nie jest właściwą podgrupą żadnej innej -podgrupy . Czasami zapisywany jest zbiór wszystkich podgrup Sylowa dla danej liczby pierwszej .
Twierdzenia Sylowa zapewniają częściową odwrotność do twierdzenia Lagrange'a . Twierdzenie Lagrange'a mówi, że dla każdej skończonej grupy porządek (liczba elementów) każdej podgrupy dzieli rząd . Stan na twierdzenie sylowa że dla każdego głównego czynnika rzędu skończonej grupy , istnieje Sylow -subgroup w porządku , najwyższą moc , która dzieli Zakonu . Co więcej, każda podgrupa porządku jest podgrupą Sylowa z grupy , a podgrupy Sylowa grupy (dla danej liczby pierwszej ) są ze sobą sprzężone . Ponadto liczba podgrup Sylowa grupy dla danej liczby pierwszej jest zgodna z .
Twierdzenia
Motywacja
Twierdzenia Sylowa są potężnym twierdzeniem na temat ogólnej struktury grup, ale są również potężne w zastosowaniach teorii grup skończonych. Dzieje się tak dlatego, że podają metodę wykorzystania pierwszej dekompozycji liczności skończonej grupy do wydawania stwierdzeń o strukturze jej podgrup: zasadniczo, dają technikę przenoszenia podstawowych informacji z teorii liczb o grupie do jej struktury grupy. Na podstawie tej obserwacji klasyfikowanie grup skończonych staje się grą w odnalezienie, które kombinacje/konstrukcje grup mniejszego rzędu można zastosować do skonstruowania grupy. Na przykład typowym zastosowaniem tych twierdzeń jest klasyfikowanie grup skończonych o pewnej ustalonej kardynalności, np . .
Oświadczenie
Zbiory podgrup, z których każda jest maksymalna w takim czy innym sensie, są powszechne w teorii grup. Zaskakujące jest to, że wynik w przypadku , wszyscy członkowie są rzeczywiście izomorficzna do siebie i mają największą możliwą kolejność: jeśli z którym p nie dzieli m , następnie każdy Sylow p -subgroup P ma porządek . Oznacza to, że P jest grupą p i . Właściwości te można wykorzystać do dalszej analizy struktury G .
Poniższe twierdzenia zostały po raz pierwszy zaproponowane i udowodnione przez Ludwiga Sylowa w 1872 roku i opublikowane w Mathematische Annalen .
Twierdzenie (1) - Do każdego czynnika głównego P z wielości n rzędu skończonej grupy G , istnieje Sylow p -subgroup z G , zlecenia .
Następująca słabsza wersja twierdzenia 1 została po raz pierwszy udowodniona przez Augustina-Louisa Cauchy'ego i jest znana jako twierdzenie Cauchy'ego .
Wniosek — mając skończoną grupę G i liczbę pierwszą p dzielącą rząd G , to istnieje element (a tym samym cykliczna podgrupa generowana przez ten element) rzędu p w G .
Twierdzenie (2) — Mając skończoną grupę G i liczbę pierwszą p , wszystkie p- podgrupy G Sylowa są ze sobą sprzężone . Oznacza to, że jeśli H i K są Sylow p -subgroups z G , to istnieje element z .
Twierdzenie (3) — Niech p będzie czynnikiem pierwszym o wielokrotności n rzędu skończonej grupy G , tak aby rząd G mógł być zapisany jako , gdzie i p nie dzieli m . Niech będzie liczba p- podgrup Sylowa w G . Następnie następuje następujące wstrzymanie:
- dzieli m , który jest indeksem podgrupy p Sylowa w G .
- , gdzie P jest dowolną podgrupą p Sylowa z G i oznacza normalizator .
Konsekwencje
Twierdzenia Sylowa implikują, że dla liczby pierwszej każda podgrupa Sylowa jest tego samego rzędu, . I odwrotnie, jeśli podgrupa ma porządek , to jest podgrupą Sylowa , a więc jest izomorficzna z każdą inną podgrupą Sylowa . Ze względu na warunek maksymalizacji, jeśli jest dowolna -podgrupa , to jest podgrupą -podgrupy rzędu .
Bardzo ważną konsekwencją twierdzenia 2 jest to, że warunek jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że Sylow -subgroup o to podgrupa normalna . Istnieją jednak grupy, które mają normalne podgrupy, ale nie mają normalnych podgrup Sylowa, takie jak .
Twierdzenia Sylowa dla grup nieskończonych
Istnieje analogia twierdzeń Sylowa dla grup nieskończonych. Jeden definiuje Sylow P -subgroup w nieskończonej grupy się p -subgroup (to znaczy, każdy z elementów posiada p kolejności poboru energii), który jest maksymalna do umieszczenia między wszystkimi s -subgroups w grupie. Takie podgrupy istnieją dzięki lematowi Zorna . Niech oznacza zbiór klas conjugacy o podgrupie
Twierdzenie — Jeśli K jest p- podgrupą Sylowa z G i jest skończona, to każda p- podgrupa Sylowa jest sprzężona z K , i .
Przykłady
Prosty przykład podgrup Sylow i twierdzeń Sylow są dwuściennej grupy o n gon, D 2 n . Dla n nieparzystych, 2 = 2 1 jest najwyższą potęgą 2 dzielącą rząd, a zatem podgrupy rzędu 2 są podgrupami Sylowa. Są to grupy generowane przez odbicie, których jest n i wszystkie są sprzężone w rotacjach; geometrycznie osie symetrii przechodzą przez wierzchołek i bok.
Natomiast jeśli n jest parzyste, to 4 dzieli porządek grupy, a podgrupy rzędu 2 nie są już podgrupami Sylowa, a w rzeczywistości dzielą się na dwie klasy sprzężenia, geometrycznie w zależności od tego, czy przechodzą przez dwa wierzchołki, czy przez dwa. twarze. Są one związane z zewnętrznym automorfizmem , który może być reprezentowany przez rotację o π/ n , połowę minimalnej rotacji w grupie dwuściennej.
Innym przykładem są podgrupy p Sylowa z GL 2 ( F q ), gdzie p i q są liczbami pierwszymi ≥ 3 i p ≡ 1 ( mod q ) , które wszystkie są abelowe . Kolejność GL 2 ( M Q ) jest ( Q 2 - 1) ( Q 2 - q ) = ( P ) ( P + 1) ( P - 1) 2 . Ponieważ q = p n m + 1 , rząd GL 2 ( F q ) = p 2 n m ′ . Tak więc, według Twierdzenia 1, rząd p- podgrup Sylowa to p 2 n .
Jednym z takich podgrupy P jest zestaw macierze diagonalne , x oznacza dowolny pierwiastkiem pierwotnym z F q . Ponieważ rząd F q to q − 1 , jego pierwotne pierwiastki mają rząd q − 1, co oznacza, że x ( q − 1)/ p n lub x m i wszystkie jego potęgi mają rząd p . Tak więc P jest podgrupą, w której wszystkie jej elementy mają rzędy będące potęgami p . Istnieje p n wyborów zarówno dla a jak i b , dzięki czemu | P | = p 2 n . Oznacza to, że P jest podgrupą p- Sylowa , która jest abelowa, ponieważ wszystkie macierze diagonalne przechodzą, a ponieważ Twierdzenie 2 stwierdza, że wszystkie podgrupy p- Sylowa są ze sobą sprzężone, podgrupy p- Sylowa z GL 2 ( F q ) są wszystkie abelowe.
Przykładowe aplikacje
Ponieważ twierdzenie Sylowa zapewnia istnienie p-podgrup grupy skończonej, warto bliżej przyjrzeć się grupom rzędu pierwszej potęgi. Większość przykładów wykorzystuje twierdzenie Sylowa do udowodnienia, że grupa określonego rzędu nie jest prosta . Dla grup małego rzędu warunek kongruencji twierdzenia Sylowa jest często wystarczający do wymuszenia istnienia normalnej podgrupy .
- Przykład 1
- Grupy rzędu pq , p i q liczby pierwsze z p < q .
- Przykład-2
- Grupy rzędu 30, grupy rzędu 20, grupy rzędu p 2 q , p i q różne liczby pierwsze to tylko niektóre z zastosowań.
- Przykład-3
- (Grupy zamówienia 60): Jeśli zamówienie | G | = 60 i G ma więcej niż jedną podgrupę Sylowa 5, to G jest proste.
Cykliczne zamówienia grupowe
Niektóre liczby inne niż pierwsze n są takie, że każda grupa rzędu n jest cykliczna. Można pokazać, że n = 15 jest taką liczbą, korzystając z twierdzeń Sylowa: Niech G będzie grupą rzędu 15 = 3 · 5, a n 3 będzie liczbą podgrup Sylowa. Wtedy n 3 5 i n 3 ≡ 1 (mod 3). Jedyną wartością spełniającą te ograniczenia jest 1; dlatego istnieje tylko jedna podgrupa rzędu 3 i musi być normalna (ponieważ nie ma odrębnych koniugatów). Podobnie, n 5 musi dzielić 3, a n 5 musi być równe 1 (mod 5); zatem musi również mieć pojedynczą normalną podgrupę rzędu 5. Ponieważ 3 i 5 są względnie pierwsze , przecięcie tych dwóch podgrup jest trywialne, a więc G musi być wewnętrznym bezpośrednim iloczynem grup rzędu 3 i 5, czyli cyklicznego grupa rzędu 15. Tak więc istnieje tylko jedna grupa rzędu 15 ( do izomorfizmu).
Małe grupy nie są proste
Bardziej złożony przykład dotyczy kolejności najmniejszej prostej grupy, która nie jest cykliczna . Burnside'a P Q b twierdzenia , że jeśli kolejność grupy oznacza produkt powstały z jednego lub dwóch pierwszych uprawnień , to jest rozpuszczalny , a zatem grupa ta nie jest prosta, i ma zasadnicze aby i cykliczne. To wyklucza każdą grupę do 30 (= 2 · 3 · 5) .
Jeśli G jest proste, a | G | = 30, to n 3 musi podzielić 10 ( = 2 · 5), a n 3 musi być równe 1 (mod 3). Dlatego n 3 = 10, ponieważ ani 4, ani 7 nie dzieli 10, a jeśli n 3 = 1, to, jak wyżej, G miałby normalną podgrupę rzędu 3 i nie mógłby być prosty. G następnie ma 10 odrębnych podgrup cyklicznych rzędu 3, z których każda ma 2 elementy rzędu 3 (plus identyczność). Oznacza to, że G ma co najmniej 20 różnych elementów rzędu 3.
Również n 5 = 6, ponieważ n 5 musi podzielić 6 (= 2 · 3), a n 5 musi być równe 1 (mod 5). Tak więc G również ma 24 różne elementy rzędu 5. Ale rząd G to tylko 30, więc prosta grupa rzędu 30 nie może istnieć.
Następnie załóżmy | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Tutaj n 7 musi podzielić 6 ( = 2 · 3), a n 7 musi być równe 1 (mod 7), więc n 7 = 1. Tak jak poprzednio, G nie może być proste.
Z drugiej strony dla | G | = 60 = 2 2 · 3 · 5, wtedy n 3 = 10 i n 5 = 6 jest całkowicie możliwe. W rzeczywistości, najmniejsze grupa prosta niecykliczny jest 5 The grupa przemiennego przez 5 elementów. Ma rząd 60 i ma 24 cykliczne permutacje rzędu 5 i 20 rzędu 3.
Twierdzenie Wilsona
Część twierdzenia Wilsona stwierdza, że:
dla każdej liczby pierwszej p . Twierdzenie to można łatwo udowodnić za pomocą trzeciego twierdzenia Sylowa. W istocie stwierdzić, że liczba n s o Sylow w p -subgroups w Grupie Symmetric S P jest ( p - 2)! . Z drugiej strony, n p 1 (mod p ) . Stąd ( p − 2)! ≡ 1 (mod p ) . Tak więc ( p − 1)! ≡ -1 (mod p ) .
Wyniki fuzji
Argument Frattiniego pokazuje, że podgrupa Sylowa z normalnej podgrupy zapewnia faktoryzację skończonej grupy. Nieznaczne uogólnienie znany jako twierdzenie fuzyjne Burnside'a , że jeśli G jest grupa o skończonej Sylow P -subgroup P i dwóch podgrup A i B normalizowano P , wówczas A i B są G -conjugate wtedy i tylko wtedy, gdy są one N G ( P )-sprzężony. Dowodem jest proste zastosowanie twierdzenia Sylowa: Jeśli B = A g , to normalizator B zawiera nie tylko P , ale także P g (ponieważ P g jest zawarte w normalizatorze A g ). Według twierdzenia Sylowa P i P g są sprzężone nie tylko w G , ale w normalizatorze B . Stąd gh -1 normalizuje P dla pewnego h, które normalizuje B , a następnie A gh -1 = B h -1 = B , tak że A i B są sprzężone z N G ( P ). Fuzja Burnside'a twierdzenie mogą być stosowane w celu uzyskania mocniejszego faktoryzacji zwany produkt iloczynów : jeśli G jest skończoną grupą, której Sylow P -subgroup P znajduje się w środku jego normalizer, wówczas G ma normalną podgrupy K o uporządkowaniu względnie pierwsze dla P , G = PK i P ∩ K = {1}, czyli G jest p -nilpotentny .
Mniej trywialne zastosowania twierdzeń Sylowa obejmują twierdzenie o podgrupie ogniskowej , które bada kontrolę, jaką podgrupa p Sylowa z pochodnej podgrupy ma na strukturę całej grupy. Kontrola ta jest wykorzystywana na kilku etapach klasyfikacji skończonych grup prostych i na przykład definiuje podziały przypadków stosowane w twierdzeniu Alperina-Brauera-Gorensteina klasyfikującego skończone grupy proste, których podgrupa Sylowa jest grupą quasi-diedryczną . Polegają one na wzmocnieniu przez JL Alperina części sprzężonej twierdzenia Sylowa, aby kontrolować, jakiego rodzaju elementy są używane w koniugacji.
Dowód twierdzeń Sylowa
Twierdzenia Sylowa zostały udowodnione na wiele sposobów, a historia samych dowodów jest tematem wielu artykułów, w tym Waterhouse'a, Scharlaua, Casadio i Zappy, Gow i do pewnego stopnia Meo.
Jeden dowód twierdzeń Sylowa wykorzystuje pojęcie działania grupowego na różne kreatywne sposoby. Grupa G działa na siebie lub na zbiór swoich p- podgrup na różne sposoby, a każde takie działanie można wykorzystać do udowodnienia jednego z twierdzeń Sylowa. Poniższe dowody oparte są na kombinatorycznych argumentach Wielandta. W dalszej części używamy jako notacji „a dzieli b” i zaprzeczenia tego stwierdzenia.
Twierdzenie (1) — Skończona grupa G, której rząd jest podzielny przez potęgę pierwszą p k ma podgrupę rzędu p k .
Niech | G | = p k m = p k + r u takie, że i niech Ω oznacza zbiór podzbiorów G o rozmiarze p k . G działa na Ω przez mnożenie od lewej: dla g ∈ G i ω ∈ Ω , g ⋅ ω = { g x | x ∈ Ohm } . Dla danego zbioru ω ∈ Ω napisz G ω dla jego podgrupy stabilizatorów { g ∈ G | g ⋅ ω = ω } i G ω dla jego orbity { g ⋅ ω | g ∈ G } w Ω.
Dowód wykaże istnienie pewnych ω ∈ Ω, dla których G ω ma p k elementów, zapewniając pożądaną podgrupę. Jest to maksymalna możliwa wielkość podgrupy stabilizatorów G ω , ponieważ dla dowolnego stałego elementu α ∈ ω ⊆ G , prawa coset G ω α jest zawarta w ω ; dlatego | G ω | = | G ω α | ≤ | Ohm | = P k .
Z twierdzenia o stabilizatorze orbity mamy | G ω | | G ω | = | G | dla każdego ω ∈ Ω , a zatem stosując addytywną wycenę p-adyczną ν p , która liczy liczbę czynników p , mamy ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| G |) = k + r . Oznacza to, że dla tych ω z | G ω | = p k , te, których szukamy, ma ν p (| G ω |) = r , podczas gdy dla każdego innego ω mamy ν p (| G ω |) > r (jako 0 < | G ω | < p k implikuje ν p (| G ω |) < k ) . Ponieważ | Ω | jest sumą | G ω | na wszystkich odrębnych orbitach G ω , można wykazać istnienie ω pierwszego typu pokazując, że ν p (| Ω |) = r (jeśli żadna nie istnieje, to wartościowanie przekracza r ). Jest to przykład twierdzenia Kummera (ponieważ w zapisie bazowym p liczba | G | kończy się dokładnie na k + r cyfr zero, odjęcie od niego p k wiąże się z przeniesieniem w r miejsc) i można je również wykazać za pomocą prostego obliczenia:
i żadna potęga p nie pozostaje w żadnym z czynników wewnątrz produktu po prawej stronie. Stąd ν p (| Ω |) = ν p ( m ) = r , uzupełniając dowód.
Można zauważyć, że odwrotnie, każda podgrupa H rzędu p k powoduje powstanie zbiorów ω ∈ Ω, dla których G ω = H , czyli dowolny z m odrębnych cosetów Hg .
Lemat — Niech H będzie skończoną grupą p , niech Ω będzie zbiorem skończonym, na który działa H , i niech Ω 0 oznacza zbiór punktów Ω, które są ustalone pod działaniem H . Wtedy | Ω | | Ω 0 | (mod p ) .
Dowolny element x ∈ Ω nieustalony przez H będzie leżał na orbicie rzędu | H |/| H x | (gdzie H x oznacza stabilizator ), który z założenia jest wielokrotnością p . Wynik następuje natychmiast po napisaniu | Ω | jako suma | H x | w stosunku do wszystkich różnych orbitach H x i zmniejszenie mod p .
Twierdzenie (2) — Jeśli H jest p- podgrupą G i P jest p- podgrupą G , to istnieje element g w G taki, że g -1 Hg ≤ P . W szczególności wszystkie p -podgrupy G Sylowa są ze sobą sprzężone (a zatem izomorficzne ), to znaczy, jeśli H i K są p -podgrupami G , to istnieje element g w G z g -1 Hg = K .
Niech Ω będzie zbiorem pozostawionych cosets z P w G i niech H ustawy o Ohm lewym mnożenia. Stosując Lemat do H na Ω, widzimy, że | Ω 0 | | Ω | = [ G : P ] (mod p ) . Teraz z definicji tak , stąd w szczególności | Ω 0 | ≠ 0 , więc istnieje jakieś gP ∈ Ω 0 . Z tym gP , mamy hgP = gP dla wszystkich h ∈ H , więc g -1 HgP = P , a zatem g -1 Hg ≤ P . Ponadto, jeśli H jest podgrupą p Sylowa , to | g- 1 Hg | = | H | = | P | tak, że g -1 Hg = P .
Twierdzenie (3) — Niech q oznacza rząd dowolnej p- podgrupy Sylowa P skończonej grupy G . Niech n p oznacza liczbę p- podgrup Sylowa w G . Wówczas (a), n p = [ G : N G ( P )] (gdzie N G ( P ) jest normalizator z P ), (b) n p podziałów | G |/ q , oraz (c) n p 1 (mod p ) .
Niech Ω będzie zbiorem wszystkich p -podgrup Sylowa z G i niech G działa na Ω przez koniugację. Niech P ∈ Ω będzie podgrupą p Sylowa . Według Twierdzenia 2 orbita P ma rozmiar n p , więc według twierdzenia o stabilizatorze orbity n p = [ G : G P ] . Dla tego działania grupowego stabilizator G P jest określony wzorem { g ∈ G | gPg -1 = P } = N G ( P ) , normalizator P w G . Zatem n p = [ G : N G ( P )] , a wynika z tego, że liczba ta jest dzielnikiem [ G : P ] = | G |/ q .
Niech teraz P działa na Ω przez koniugację i znowu niech Ω 0 oznacza zbiór punktów stałych tego działania. Niech Q ∈ Ω 0 i zaobserwuj, że wtedy Q = xQx −1 dla wszystkich x ∈ P tak, że P ≤ N G ( Q ). Według Twierdzenia 2, P i Q są sprzężone w szczególności w N G ( Q ), a Q jest normalne w N G ( Q ), więc wtedy P = Q . Wynika z tego, że Ω 0 = { P } tak, że według lematu | Ω | | Ω 0 | = 1 (mod p ) .
Algorytmy
Problem znalezienia podgrupy Sylowa w danej grupie jest ważnym problemem w obliczeniowej teorii grup .
Jeden dowód na istnienie p -podgrup Sylowa jest konstruktywny: jeśli H jest p -podgrupą G i indeks [ G : H ] jest podzielny przez p , to normalizator N = N G ( H ) H w G jest także takie, że [ N : H ] jest podzielne przez p . Innymi słowy, policykliczny układ generujący p- podgrupy Sylowa można znaleźć wychodząc z dowolnej p- podgrupy H (w tym tożsamości) i biorąc elementy porządku p- mocowego zawarte w normalizatorze H, ale nie w samym H. Algorytmiczna wersja tego (i wiele ulepszeń) jest opisana w formie podręcznikowej w Butler, w tym algorytm opisany w Cannonie. Wersje te są nadal używane w systemie algebry komputerowej GAP .
W grupach permutacyjnych udowodniono, u Kantora, Kantora i Taylora, że podgrupę p Sylowa i jej normalizator można znaleźć w czasie wielomianu wejścia (stopień grupy razy liczba generatorów). Algorytmy te są opisane w podręcznikowej formie w Seress i stają się teraz praktyczne, ponieważ konstruktywne rozpoznawanie skończonych grup prostych staje się rzeczywistością. W szczególności wersje tego algorytmu są wykorzystywane w systemie algebry komputerowej Magma .
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
Dowody
- Casadio, Giuseppina; Zappa, Guido (1990). „Historia twierdzenia Sylowa i jego dowodów”. Torebka. Storia Sci. Mata. (po włosku). 10 (1): 29–75. ISSN 0392-4432 . MR 1096350 . Zbl 0721.01008 .
- Gow, Rod (1994). „Dowód twierdzenia Sylowa za”. Matematyka irlandzka. Soc. Byk. (33): 55-63. ISSN 0791-5578 . MR 1313412 . Zbl 0829.01011 .
- Kammüllera, Floriana; Paulson, Lawrence C. (1999). „Formalny dowód twierdzenia Sylowa. Eksperyment w algebrze abstrakcyjnej z Isabelle HOL” (PDF) . J. Automat. Powód. . 23 (3): 235–264. doi : 10.1023/A:1006269330992 . ISSN 0168-7433 . MR 1721912 . Zbl 0943.68149 . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2006-01-03.
- Meo, M. (2004). „Matematyczne życie twierdzenia o grupie Cauchy'ego” . Historia Matematyka. 31 (2): 196–221. doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X . ISSN 0315-0860 . MR 2055642 . Zbl 1065.01009 .
- Scharlau, Winfried (1988). „Die Entdeckung der Sylow-Sätze” . Historia Matematyka. (po niemiecku). 15 (1): 40–52. doi : 10.1016/0315-0860(88)90048-1 . ISSN 0315-0860 . MR 0931678 . Zbl 0637.01006 .
- Waterhouse, William C. (1980). „Wczesne dowody twierdzenia Sylowa”. Łuk. Hist. Dokładne Sci. . 21 (3): 279–290. doi : 10.1007/BF00327877 . ISSN 0003-9519 . MR 0575718 . Zbl 0436.01006 .
- Wielandta, Helmuta (1959). „Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen”. Łuk. Matematyka. (po niemiecku). 10 (1): 401–402. doi : 10.1007/BF01240818 . ISSN 0003-9268 . MR 0147529 . Zbl 0092.02403 .
Algorytmy
- Butler, G. (1991). Podstawowe algorytmy dla grup permutacyjnych . Notatki z wykładów z informatyki . 559 . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/3-540-54955-2 . Numer ISBN 9783540549550. MR 1225579 . Zbl 0785.20001 .
- Cannon, John J. (1971). „Obliczanie lokalnej struktury dużych grup skończonych”. Komputery w algebrze i teorii liczb ( Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math. , Nowy Jork, 1970) . SIAM-AMS Proc. . 4 . Opatrzność RI: AMS . s. 161–176. ISSN 0160-7634 . MR 0367027 . Zbl 0253.20027 .
- Kantor, William M. (1985a). „Algorytmy wielomianowe do znajdowania elementów rzędu pierwszego i podgrup Sylowa” (PDF) . J. Algorytmy . 6 (4): 478–514. CiteSeerX 10.1.1.74.3690 . doi : 10.1016/0196-6774(85)90029-X . ISSN 0196-6774 . MR 0813589 . Zbl 0604.2001 .
- Kantor, William M. (1985b). „Twierdzenie Sylowa w czasie wielomianowym” . J. Komputer. Syst. Nauka. . 30 (3): 359–394. doi : 10.1016/0022-0000(85)90052-2 . ISSN 1090-2724 . MR 0805654 . Zbl 0573.20022 .
- Kantor, William M.; Taylor, Donald E. (1988). „Wersje wielomianowe w czasie twierdzenia Sylowa”. J. Algorytmy . 9 (1): 1–17. doi : 10.1016/0196-6774(88)90002-8 . ISSN 0196-6774 . MR 0925595 . Zbl 0642.20019 .
- Kantor, William M. (1990). „Znalezienie normalizatorów Sylowa w czasie wielomianowym”. J. Algorytmy . 11 (4): 523–563. doi : 10.1016/0196-6774(90)90009-4 . ISSN 0196-6774 . MR 1079450 . Zbl 0731.20005 .
- Seress, Ákos (2003). Algorytmy grup permutacji . Cambridge Tracts w matematyce. 152 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 9780521661034. MR 1970241 . Zbl 1028.20002 .