Kompozycja funkcji - Function composition

W matematyce , skład funkcja jest operacja trwa dwie funkcje f i g i wytwarza funkcji h , tak że H ( x ) = g ( F ( x )) . W tej operacji funkcja g jest stosowana do wyniku zastosowania funkcji f do x . Oznacza to, że funkcje f  : XY i G  : YZskłada otrzymując funkcję, która mapuje x w X na g ( f ( x )) w Z .

Intuicyjnie, jeśli z jest funkcją od y , a y jest funkcją od x , to z jest funkcją od x . Wynikowa funkcja złożona jest oznaczona jako g  ∘  f  : XZ , zdefiniowana przez ( g  ∘  f  ) ( x ) = g ( f ( x )) dla wszystkich xX . Notacja g  ∘  f jest czytana jako „ g koło f ”, „ g okrągła f ”, „ g o f ”, „ g złożone z f ”, „ g po f ”, „ g następujące po f ”, „ g z f ” , " f następnie g " lub " g na f " lub "złożenie g i f ". Intuicyjnie tworzenie funkcji jest procesem łączenia, w którym wyjście funkcji f zasila wejście funkcji g .

Kompozycja funkcji jest szczególnym przypadkiem kompozycji relacji , czasami również oznaczanej przez . W rezultacie wszystkie własności złożenia relacji są prawdziwe dla złożenia funkcji, chociaż złożenie funkcji ma pewne dodatkowe własności.

Składanie funkcji różni się od mnożenia funkcji i ma zupełnie inne właściwości; w szczególności kompozycja funkcji nie jest przemienna .

Przykłady

Konkretny przykład dla kompozycji dwóch funkcji.
  • Składanie funkcji na zbiorze skończonym: Jeśli f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} i g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , a następnie gf = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , jak pokazano na postać.
  • Składanie funkcji na zbiorze nieskończonym : Jeśli f : ℝ → ℝ (gdzie jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych ) jest dane przez f ( x ) = 2 x + 4 i g : ℝ → ℝ jest dane przez g ( x ) = x 3 , to:
( fg )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 i
( gf ) ( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3 .
  • Jeżeli wysokość samolotu w czasie  t to a ( t ) , a ciśnienie powietrza na wysokości x wynosi p ( x ) , wtedy ( pa ) ( t ) jest ciśnieniem wokół samolotu w czasie  t .

Nieruchomości

Złożenie funkcji jest zawsze asocjacyjne — właściwość odziedziczona po złożeniu relacji . Oznacza to, że jeśli f , g i h są możliwe do złożenia , wtedy f ∘ ( g  ∘  h ) = ( f  ∘  g ) ∘ h . Ponieważ nawiasy nie zmieniają wyniku, są na ogół pomijane.

W ścisłym sensie złożenie g  ∘  f ma sens tylko wtedy, gdy przeciwdziedzina f jest równa domenie g ; w szerszym sensie wystarczy, aby te pierwsze były podzbiorem tych drugich. Ponadto często wygodnie jest milcząco ograniczyć dziedzinę f , tak że f wytwarza tylko wartości z dziedziny g . Na przykład, złożenie g  ∘  f funkcji f  : (−∞,+9] zdefiniowane przez f ( x ) = 9 − x 2 i g  : [0,+∞) → ℝ zdefiniowane przez można zdefiniować na przedział [-3, +3] .

Kompozycje dwóch funkcji rzeczywistych , wartości bezwzględnej i funkcji sześciennej , w różnych porządkach, wykazują nieprzemienność kompozycji.

Mówi się, że funkcje g i f komutują ze sobą, jeśli g  ∘  f = f  ∘  g . Przemienność jest specjalną właściwością, osiąganą tylko przez określone funkcje i często w szczególnych okolicznościach. Na przykład | x | + 3 = | x + 3 | tylko gdy x ≥ 0 . Zdjęcie przedstawia inny przykład.

Kompozycja funkcji jeden-do-jednego (iniektywnej) jest zawsze jeden-do-jednego. Podobnie, kompozycja na (suriekcją) działa na zawsze. Wynika z tego, że kompozycja dwóch bijekcji jest również bijekcją. Funkcja odwrotna kompozycji (przy założeniu odwracalności) ma tę właściwość, że ( f  ∘  g ) -1 = g -1f -1 .

Pochodne kompozycji zawierających funkcje różniczkowalne można znaleźć za pomocą reguły łańcucha . Wyższe pochodne takich funkcji podaje wzór Faà di Bruno .

Skład monoidów

Załóżmy, że jedna ma dwie (lub więcej) funkcje f : XX , g : XX mające tę samą domenę i kodziedzinę; są one często nazywane przekształceniami . Następnie można utworzyć łańcuchy złożonych ze sobą przekształceń, takie jak ffgf . Takie łańcuchy mają algebraiczną strukturę o monoid , zwany monoid transformacja lub (znacznie rzadziej) à skład monoid . Ogólnie rzecz biorąc, monoidy transformacyjne mogą mieć niezwykle skomplikowaną budowę. Jednym z godnych uwagi przykładów jest krzywa de Rama . Zbiór wszystkich funkcji f : XX jest nazywany półgrupą pełnej transformacji lub półgrupą symetryczną na  X . (W rzeczywistości można zdefiniować dwie półgrupy w zależności od tego, jak definiuje się operację półgrupy jako lewą lub prawą kompozycję funkcji.)

Podobieństwo który przekształca trójkąt EFA do trójkąta ATB jest kompozycja jednokładności H   i obrotu  R , przy czym wspólny środek jest  S.  Na przykład, obraz na podstawie obrotu  R jest  U , który może być napisany  R ( ) = U.  H ( U ) = B  oznacza , że odwzorowanie  H przekształca U   w B .  Zatem  H ( R ( A )) = ( H ∘ R ) ( A ) = B .

Jeżeli przekształcenia są bijektywne (a więc odwracalne), to zbiór wszystkich możliwych kombinacji tych funkcji tworzy grupę przekształceń ; a jeden mówi, że grupa jest generowana przez te funkcje. Podstawowy wynik teorii grup, twierdzenie Cayleya , zasadniczo mówi, że każda grupa jest w rzeczywistości tylko podgrupą grupy permutacyjnej (aż do izomorfizmu ).

Zbiór wszystkich funkcji bijektywnych f : XX (zwanych permutacjami ) tworzy grupę ze względu na złożenie funkcji. Jest to grupa symetryczna , czasami nazywana też grupą kompozycyjną .

W półgrupie symetrycznej (ze wszystkich przekształceń) znajduje się również słabsze, niejednoznaczne pojęcie odwrotności (nazywane pseudoodwrotnością), ponieważ półgrupa symetryczna jest półgrupą regularną .

Uprawnienia funkcjonalne

Jeśli Y X , to f : XY może składać się ze sobą; jest to czasami oznaczane jako f 2 . To jest:

( ff )(x) = f ( f ( x )) = f 2 ( x )
( fff )(x) = f ( f ( f ( x ))) = f 3 ( x )
( ffff )(x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )

Bardziej ogólnie, dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 2 , n- ta potęga funkcjonalna może być zdefiniowana indukcyjnie przez f n = ff n −1 = f n −1f , notacja wprowadzona przez Hansa Heinricha Bürmanna i Johna Fredericka Williama Herschela . Powtarzające się złożenie takiej funkcji z samą sobą nazywamy funkcją iterowaną .

  • Zgodnie z konwencją, f 0 jest zdefiniowane jako mapa tożsamości w domenie f , id X .
  • Jeśli nawet Y = X i f : XX dopuszcza funkcję odwrotną f −1 , ujemne potęgi funkcyjne f n są zdefiniowane dla n > 0 jako zanegowana potęga funkcji odwrotnej: f n = ( f −1 ) n .

Uwaga: Jeśli f przyjmuje swoje wartości w pierścieniu (w szczególności dla wartości rzeczywistej lub wartości zespolonej f ), istnieje ryzyko pomyłki, ponieważ f n może również oznaczać n- krotny iloczyn  f , np. f 2 ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . W przypadku funkcji trygonometrycznych zwykle oznacza się to drugie, przynajmniej dla dodatnich wykładników. Na przykład w trygonometrii ta notacja w indeksie górnym reprezentuje standardową potęgę, gdy jest używana z funkcjami trygonometrycznymi : sin 2 ( x ) = sin( x ) · sin( x ) . Jednak dla ujemnych wykładników (zwłaszcza −1), zwykle odnosi się to do funkcji odwrotnej, np. tan −1 = arctan ≠ 1/tan .

W niektórych przypadkach, gdy dla danej funkcji f równanie gg = f ma unikalne rozwiązanie g , funkcję tę można zdefiniować jako funkcjonalny pierwiastek kwadratowy z f , a następnie zapisać jako g = f 1/2 .

Mówiąc ogólnie, podczas g n = F ma unikalne rozwiązanie dla pewnej liczby naturalne n > 0 , wtedy K m / n może być zdefiniowany jako g m .

Pod dodatkowymi ograniczeniami pomysł ten można uogólnić, tak aby liczba iteracji stała się parametrem ciągłym; Układ taki nazywamy w tym przypadku przepływem , określanym rozwiązaniami równania Schrödera . Funkcje i przepływy iterowane występują naturalnie w badaniu fraktali i układów dynamicznych .

Aby uniknąć niejasności, niektóre matematyków zdecydować się na stosowanie do oznaczenia kompozycyjną znaczenie, pisanie f n ( x ) dla n -tej iteracji z funkcji f ( x ) , tak jak, na przykład, F ∘3 ( x ) Znaczenie f ( f ( f ( x ))) . W tym samym celu f [ n ] ( x ) zostało użyte przez Benjamina Peirce'a, podczas gdy Alfred Pringsheim i Jules Molk zasugerowali zamiast tego n f ( x ) .

Alternatywne notacje

Wielu matematyków, szczególnie w teorii grup , pomija symbol kompozycji, pisząc gf dla gf .

W połowie XX wieku niektórzy matematycy uznali, że pisanie „ gf ” oznaczające „najpierw zastosuj f , potem zastosuj g ” jest zbyt mylące i postanowili zmienić notację. Piszą " xf " dla " f ( x ) " i " ( xf ) g " dla " g ( f ( x )) ". Może to być bardziej naturalne i wydawać się prostsze niż pisanie funkcji po lewej stronie w niektórych obszarach – na przykład w algebrze liniowej , gdy x jest wektorem wierszowym , a f i g oznaczają macierze , a składanie odbywa się przez mnożenie macierzy . Ta alternatywna notacja nazywana jest notacją przyrostkową . Kolejność jest ważna, ponieważ złożenie funkcji niekoniecznie jest przemienne (np. mnożenie macierzy). Kolejne przekształcenia stosujące i komponujące po prawej stronie są zgodne z sekwencją czytania od lewej do prawej.

Matematycy posługujący się notacją przyrostkową mogą pisać " fg ", co oznacza, że ​​najpierw zastosuj f, a następnie zastosuj g , zgodnie z kolejnością, w jakiej symbole występują w notacji przyrostkowej, czyniąc notację " fg " niejednoznaczną. Informatycy mogą w tym celu napisać „ f  ; g ”, ujednolicając w ten sposób kolejność kompozycji. Aby odróżnić lewy operator kompozycji od średnika tekstowego, w notacji Z znak ⨾ jest używany dla kompozycji relacji do lewej . Ponieważ wszystkie funkcje są relacjami binarnymi , dobrze jest użyć średnika [fat] również do składania funkcji ( więcej informacji na temat tej notacji można znaleźć w artykule o tworzeniu relacji ).

Operator kompozycji

Dana funkcja  g , operator składania C g jest zdefiniowany jako ten operator, który odwzorowuje funkcje na funkcje jako

Operatory kompozycji są badane w dziedzinie teorii operatorów .

W językach programowania

Kompozycja funkcji pojawia się w takiej czy innej formie w wielu językach programowania .

Funkcje wielowymiarowe

Częściowa kompozycja jest możliwa dla funkcji wielowymiarowych . Funkcja powstała, gdy jakiś argument x i funkcji f zostanie zastąpiony funkcją g, nazywana jest złożeniem f i g w niektórych kontekstach inżynierii komputerowej i jest oznaczona jako f | x i = g

Gdy g jest prostą stałą b , złożenie degeneruje się do (częściowej) wyceny, której wynik jest również znany jako ograniczenie lub kofaktor .

Ogólnie rzecz biorąc, złożenie funkcji wielowymiarowych może obejmować kilka innych funkcji jako argumentów, jak w definicji pierwotnej funkcji rekurencyjnej . Biorąc pod uwagę, F , A n funkcja -ary i n m funkcji -ary g 1 , ..., g N , kompozycja F z g 1 , ..., g n , to m -ary funkcja

.

Jest to czasami nazywane uogólnionego kompozytowego lub nakładanie z f o g 1 , ..., g n . Częściową kompozycję tylko w jednym argumencie, o której wspomniano wcześniej, można utworzyć z tego bardziej ogólnego schematu, ustawiając wszystkie funkcje argumentów z wyjątkiem jednej, która ma być odpowiednio wybranymi funkcjami projekcji . Tutaj g 1 , ..., g n może być postrzegane jako pojedynczy wektor / krotka -valued funkcji w tym uogólnione systemu, w tym przypadku to właśnie standardową definicją kompozycji funkcji.

Zbiór skończonych operacji na pewnym zbiorze bazowym X nazywany jest klonem, jeśli zawiera wszystkie projekcje i jest zamknięty w uogólnionej kompozycji. Zauważ, że klon zazwyczaj zawiera operacje różnych arności . Pojęcie komutacji również znajduje interesujące uogólnienie w przypadku wielowymiarowym; mówimy, że funkcja f o arności n komutuje z funkcją g o arności m, jeśli f jest homomorfizmem zachowującym g , i na odwrót, tj.:

.

Operacja jednoargumentowa zawsze komutuje ze sobą, ale niekoniecznie jest tak w przypadku operacji binarnej (lub wyższej arity). Operacja binarna (lub wyższa arity), która łączy się ze sobą, nazywana jest medialną lub entropiczną .

Uogólnienia

Kompozycję można uogólnić na dowolne relacje binarne . Jeśli RX × Y i SY × Z są dwiema relacjami binarnymi, to ich złożenie RS jest relacją zdefiniowaną jako {( x , z ) ∈ X × Z  : yY . ( x , y ) ∈ R ( y , z ) ∈ S } . Traktując funkcję jako szczególny przypadek relacji binarnej (a mianowicie relacji funkcjonalnych ), złożenie funkcji spełnia definicję złożenia relacji. Małe kółko RS zostało użyte do infiksowego zapisu kompozycji relacji , jak również funkcji. Jednak gdy jest używany do reprezentowania kompozycji funkcji , sekwencja tekstu jest odwracana, aby odpowiednio zilustrować różne sekwencje operacji.

W ten sam sposób definiuje się skład dla funkcji cząstkowych, a twierdzenie Cayleya ma swój odpowiednik zwany twierdzeniem Wagnera-Prestona .

Kategoria zestawów z funkcjami jak morfizmów jest prototypowy kategorii . Aksjomaty kategorii są w rzeczywistości inspirowane właściwościami (a także definicją) złożenia funkcji. Struktury nadane przez kompozycję są aksjomatyzowane i uogólniane w teorii kategorii z pojęciem morfizmu jako kategorycznego zastąpienia funkcji. Odwrotna kolejność składania we wzorze ( f  ∘  g ) -1 = ( g -1f -1 ) dotyczy składania relacji przy użyciu relacji odwrotnych , a więc w teorii grup . Struktury te tworzą kategorie sztyletów .

Typografia

Symbol kompozycji jest zakodowany jako U+2218 RING OPERATOR (HTML  ∘ · ∘, ∘ ); zobacz artykuł o symbolach stopni, aby uzyskać podobne znaki Unicode. W TeX jest to napisane \circ.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne