Kompozycja funkcji - Function composition
Funkcjonować |
---|
x ↦ f ( x ) |
Przykłady domen i kodomen |
Klasy/właściwości |
Konstrukcje |
Uogólnienia |
W matematyce , skład funkcja jest operacja trwa dwie funkcje f i g i wytwarza funkcji h , tak że H ( x ) = g ( F ( x )) . W tej operacji funkcja g jest stosowana do wyniku zastosowania funkcji f do x . Oznacza to, że funkcje f : X → Y i G : Y → Z są składa otrzymując funkcję, która mapuje x w X na g ( f ( x )) w Z .
Intuicyjnie, jeśli z jest funkcją od y , a y jest funkcją od x , to z jest funkcją od x . Wynikowa funkcja złożona jest oznaczona jako g ∘ f : X → Z , zdefiniowana przez ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x )) dla wszystkich x w X . Notacja g ∘ f jest czytana jako „ g koło f ”, „ g okrągła f ”, „ g o f ”, „ g złożone z f ”, „ g po f ”, „ g następujące po f ”, „ g z f ” , " f następnie g " lub " g na f " lub "złożenie g i f ". Intuicyjnie tworzenie funkcji jest procesem łączenia, w którym wyjście funkcji f zasila wejście funkcji g .
Kompozycja funkcji jest szczególnym przypadkiem kompozycji relacji , czasami również oznaczanej przez . W rezultacie wszystkie własności złożenia relacji są prawdziwe dla złożenia funkcji, chociaż złożenie funkcji ma pewne dodatkowe własności.
Składanie funkcji różni się od mnożenia funkcji i ma zupełnie inne właściwości; w szczególności kompozycja funkcji nie jest przemienna .
Przykłady
- Składanie funkcji na zbiorze skończonym: Jeśli f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} i g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , a następnie g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , jak pokazano na postać.
- Składanie funkcji na zbiorze nieskończonym : Jeśli f : ℝ → ℝ (gdzie ℝ jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych ) jest dane przez f ( x ) = 2 x + 4 i g : ℝ → ℝ jest dane przez g ( x ) = x 3 , to:
- ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 i
- ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3 .
- Jeżeli wysokość samolotu w czasie t to a ( t ) , a ciśnienie powietrza na wysokości x wynosi p ( x ) , wtedy ( p ∘ a ) ( t ) jest ciśnieniem wokół samolotu w czasie t .
Nieruchomości
Złożenie funkcji jest zawsze asocjacyjne — właściwość odziedziczona po złożeniu relacji . Oznacza to, że jeśli f , g i h są możliwe do złożenia , wtedy f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h . Ponieważ nawiasy nie zmieniają wyniku, są na ogół pomijane.
W ścisłym sensie złożenie g ∘ f ma sens tylko wtedy, gdy przeciwdziedzina f jest równa domenie g ; w szerszym sensie wystarczy, aby te pierwsze były podzbiorem tych drugich. Ponadto często wygodnie jest milcząco ograniczyć dziedzinę f , tak że f wytwarza tylko wartości z dziedziny g . Na przykład, złożenie g ∘ f funkcji f : ℝ → (−∞,+9] zdefiniowane przez f ( x ) = 9 − x 2 i g : [0,+∞) → ℝ zdefiniowane przez można zdefiniować na przedział [-3, +3] .
Mówi się, że funkcje g i f komutują ze sobą, jeśli g ∘ f = f ∘ g . Przemienność jest specjalną właściwością, osiąganą tylko przez określone funkcje i często w szczególnych okolicznościach. Na przykład | x | + 3 = | x + 3 | tylko gdy x ≥ 0 . Zdjęcie przedstawia inny przykład.
Kompozycja funkcji jeden-do-jednego (iniektywnej) jest zawsze jeden-do-jednego. Podobnie, kompozycja na (suriekcją) działa na zawsze. Wynika z tego, że kompozycja dwóch bijekcji jest również bijekcją. Funkcja odwrotna kompozycji (przy założeniu odwracalności) ma tę właściwość, że ( f ∘ g ) -1 = g -1 ∘ f -1 .
Pochodne kompozycji zawierających funkcje różniczkowalne można znaleźć za pomocą reguły łańcucha . Wyższe pochodne takich funkcji podaje wzór Faà di Bruno .
Skład monoidów
Załóżmy, że jedna ma dwie (lub więcej) funkcje f : X → X , g : X → X mające tę samą domenę i kodziedzinę; są one często nazywane przekształceniami . Następnie można utworzyć łańcuchy złożonych ze sobą przekształceń, takie jak f ∘ f ∘ g ∘ f . Takie łańcuchy mają algebraiczną strukturę o monoid , zwany monoid transformacja lub (znacznie rzadziej) à skład monoid . Ogólnie rzecz biorąc, monoidy transformacyjne mogą mieć niezwykle skomplikowaną budowę. Jednym z godnych uwagi przykładów jest krzywa de Rama . Zbiór wszystkich funkcji f : X → X jest nazywany półgrupą pełnej transformacji lub półgrupą symetryczną na X . (W rzeczywistości można zdefiniować dwie półgrupy w zależności od tego, jak definiuje się operację półgrupy jako lewą lub prawą kompozycję funkcji.)
Jeżeli przekształcenia są bijektywne (a więc odwracalne), to zbiór wszystkich możliwych kombinacji tych funkcji tworzy grupę przekształceń ; a jeden mówi, że grupa jest generowana przez te funkcje. Podstawowy wynik teorii grup, twierdzenie Cayleya , zasadniczo mówi, że każda grupa jest w rzeczywistości tylko podgrupą grupy permutacyjnej (aż do izomorfizmu ).
Zbiór wszystkich funkcji bijektywnych f : X → X (zwanych permutacjami ) tworzy grupę ze względu na złożenie funkcji. Jest to grupa symetryczna , czasami nazywana też grupą kompozycyjną .
W półgrupie symetrycznej (ze wszystkich przekształceń) znajduje się również słabsze, niejednoznaczne pojęcie odwrotności (nazywane pseudoodwrotnością), ponieważ półgrupa symetryczna jest półgrupą regularną .
Uprawnienia funkcjonalne
Jeśli Y ⊆ X , to f : X → Y może składać się ze sobą; jest to czasami oznaczane jako f 2 . To jest:
- ( f ∘ f )(x) = f ( f ( x )) = f 2 ( x )
- ( f ∘ f ∘ f )(x) = f ( f ( f ( x ))) = f 3 ( x )
- ( f ∘ f ∘ f ∘ f )(x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )
Bardziej ogólnie, dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 2 , n- ta potęga funkcjonalna może być zdefiniowana indukcyjnie przez f n = f ∘ f n −1 = f n −1 ∘ f , notacja wprowadzona przez Hansa Heinricha Bürmanna i Johna Fredericka Williama Herschela . Powtarzające się złożenie takiej funkcji z samą sobą nazywamy funkcją iterowaną .
- Zgodnie z konwencją, f 0 jest zdefiniowane jako mapa tożsamości w domenie f , id X .
- Jeśli nawet Y = X i f : X → X dopuszcza funkcję odwrotną f −1 , ujemne potęgi funkcyjne f − n są zdefiniowane dla n > 0 jako zanegowana potęga funkcji odwrotnej: f − n = ( f −1 ) n .
Uwaga: Jeśli f przyjmuje swoje wartości w pierścieniu (w szczególności dla wartości rzeczywistej lub wartości zespolonej f ), istnieje ryzyko pomyłki, ponieważ f n może również oznaczać n- krotny iloczyn f , np. f 2 ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . W przypadku funkcji trygonometrycznych zwykle oznacza się to drugie, przynajmniej dla dodatnich wykładników. Na przykład w trygonometrii ta notacja w indeksie górnym reprezentuje standardową potęgę, gdy jest używana z funkcjami trygonometrycznymi : sin 2 ( x ) = sin( x ) · sin( x ) . Jednak dla ujemnych wykładników (zwłaszcza −1), zwykle odnosi się to do funkcji odwrotnej, np. tan −1 = arctan ≠ 1/tan .
W niektórych przypadkach, gdy dla danej funkcji f równanie g ∘ g = f ma unikalne rozwiązanie g , funkcję tę można zdefiniować jako funkcjonalny pierwiastek kwadratowy z f , a następnie zapisać jako g = f 1/2 .
Mówiąc ogólnie, podczas g n = F ma unikalne rozwiązanie dla pewnej liczby naturalne n > 0 , wtedy K m / n może być zdefiniowany jako g m .
Pod dodatkowymi ograniczeniami pomysł ten można uogólnić, tak aby liczba iteracji stała się parametrem ciągłym; Układ taki nazywamy w tym przypadku przepływem , określanym rozwiązaniami równania Schrödera . Funkcje i przepływy iterowane występują naturalnie w badaniu fraktali i układów dynamicznych .
Aby uniknąć niejasności, niektóre matematyków zdecydować się na stosowanie ∘ do oznaczenia kompozycyjną znaczenie, pisanie f ∘ n ( x ) dla n -tej iteracji z funkcji f ( x ) , tak jak, na przykład, F ∘3 ( x ) Znaczenie f ( f ( f ( x ))) . W tym samym celu f [ n ] ( x ) zostało użyte przez Benjamina Peirce'a, podczas gdy Alfred Pringsheim i Jules Molk zasugerowali zamiast tego n f ( x ) .
Alternatywne notacje
Wielu matematyków, szczególnie w teorii grup , pomija symbol kompozycji, pisząc gf dla g ∘ f .
W połowie XX wieku niektórzy matematycy uznali, że pisanie „ g ∘ f ” oznaczające „najpierw zastosuj f , potem zastosuj g ” jest zbyt mylące i postanowili zmienić notację. Piszą " xf " dla " f ( x ) " i " ( xf ) g " dla " g ( f ( x )) ". Może to być bardziej naturalne i wydawać się prostsze niż pisanie funkcji po lewej stronie w niektórych obszarach – na przykład w algebrze liniowej , gdy x jest wektorem wierszowym , a f i g oznaczają macierze , a składanie odbywa się przez mnożenie macierzy . Ta alternatywna notacja nazywana jest notacją przyrostkową . Kolejność jest ważna, ponieważ złożenie funkcji niekoniecznie jest przemienne (np. mnożenie macierzy). Kolejne przekształcenia stosujące i komponujące po prawej stronie są zgodne z sekwencją czytania od lewej do prawej.
Matematycy posługujący się notacją przyrostkową mogą pisać " fg ", co oznacza, że najpierw zastosuj f, a następnie zastosuj g , zgodnie z kolejnością, w jakiej symbole występują w notacji przyrostkowej, czyniąc notację " fg " niejednoznaczną. Informatycy mogą w tym celu napisać „ f ; g ”, ujednolicając w ten sposób kolejność kompozycji. Aby odróżnić lewy operator kompozycji od średnika tekstowego, w notacji Z znak ⨾ jest używany dla kompozycji relacji do lewej . Ponieważ wszystkie funkcje są relacjami binarnymi , dobrze jest użyć średnika [fat] również do składania funkcji ( więcej informacji na temat tej notacji można znaleźć w artykule o tworzeniu relacji ).
Operator kompozycji
Dana funkcja g , operator składania C g jest zdefiniowany jako ten operator, który odwzorowuje funkcje na funkcje jako
Operatory kompozycji są badane w dziedzinie teorii operatorów .
W językach programowania
Kompozycja funkcji pojawia się w takiej czy innej formie w wielu językach programowania .
Funkcje wielowymiarowe
Częściowa kompozycja jest możliwa dla funkcji wielowymiarowych . Funkcja powstała, gdy jakiś argument x i funkcji f zostanie zastąpiony funkcją g, nazywana jest złożeniem f i g w niektórych kontekstach inżynierii komputerowej i jest oznaczona jako f | x i = g
Gdy g jest prostą stałą b , złożenie degeneruje się do (częściowej) wyceny, której wynik jest również znany jako ograniczenie lub kofaktor .
Ogólnie rzecz biorąc, złożenie funkcji wielowymiarowych może obejmować kilka innych funkcji jako argumentów, jak w definicji pierwotnej funkcji rekurencyjnej . Biorąc pod uwagę, F , A n funkcja -ary i n m funkcji -ary g 1 , ..., g N , kompozycja F z g 1 , ..., g n , to m -ary funkcja
- .
Jest to czasami nazywane uogólnionego kompozytowego lub nakładanie z f o g 1 , ..., g n . Częściową kompozycję tylko w jednym argumencie, o której wspomniano wcześniej, można utworzyć z tego bardziej ogólnego schematu, ustawiając wszystkie funkcje argumentów z wyjątkiem jednej, która ma być odpowiednio wybranymi funkcjami projekcji . Tutaj g 1 , ..., g n może być postrzegane jako pojedynczy wektor / krotka -valued funkcji w tym uogólnione systemu, w tym przypadku to właśnie standardową definicją kompozycji funkcji.
Zbiór skończonych operacji na pewnym zbiorze bazowym X nazywany jest klonem, jeśli zawiera wszystkie projekcje i jest zamknięty w uogólnionej kompozycji. Zauważ, że klon zazwyczaj zawiera operacje różnych arności . Pojęcie komutacji również znajduje interesujące uogólnienie w przypadku wielowymiarowym; mówimy, że funkcja f o arności n komutuje z funkcją g o arności m, jeśli f jest homomorfizmem zachowującym g , i na odwrót, tj.:
- .
Operacja jednoargumentowa zawsze komutuje ze sobą, ale niekoniecznie jest tak w przypadku operacji binarnej (lub wyższej arity). Operacja binarna (lub wyższa arity), która łączy się ze sobą, nazywana jest medialną lub entropiczną .
Uogólnienia
Kompozycję można uogólnić na dowolne relacje binarne . Jeśli R ⊆ X × Y i S ⊆ Y × Z są dwiema relacjami binarnymi, to ich złożenie R ∘ S jest relacją zdefiniowaną jako {( x , z ) ∈ X × Z : ∃ y ∈ Y . ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ S } . Traktując funkcję jako szczególny przypadek relacji binarnej (a mianowicie relacji funkcjonalnych ), złożenie funkcji spełnia definicję złożenia relacji. Małe kółko R ∘ S zostało użyte do infiksowego zapisu kompozycji relacji , jak również funkcji. Jednak gdy jest używany do reprezentowania kompozycji funkcji , sekwencja tekstu jest odwracana, aby odpowiednio zilustrować różne sekwencje operacji.
W ten sam sposób definiuje się skład dla funkcji cząstkowych, a twierdzenie Cayleya ma swój odpowiednik zwany twierdzeniem Wagnera-Prestona .
Kategoria zestawów z funkcjami jak morfizmów jest prototypowy kategorii . Aksjomaty kategorii są w rzeczywistości inspirowane właściwościami (a także definicją) złożenia funkcji. Struktury nadane przez kompozycję są aksjomatyzowane i uogólniane w teorii kategorii z pojęciem morfizmu jako kategorycznego zastąpienia funkcji. Odwrotna kolejność składania we wzorze ( f ∘ g ) -1 = ( g -1 ∘ f -1 ) dotyczy składania relacji przy użyciu relacji odwrotnych , a więc w teorii grup . Struktury te tworzą kategorie sztyletów .
Typografia
Symbol kompozycji ∘ jest zakodowany jako
U+2218 ∘ RING OPERATOR (HTML ∘
· ∘, ∘
); zobacz artykuł o symbolach stopni, aby uzyskać podobne znaki Unicode. W TeX jest to napisane \circ
.
Zobacz też
- Wykres pajęczyny – graficzna technika kompozycji funkcjonalnej
- Logika kombinacyjna
- Kompozycja ring , formalna aksjomatyzacja działania kompozycji
- Przepływ (matematyka)
- Kompozycja funkcji (informatyka)
- Funkcja zmiennej losowej , rozkład funkcji zmiennej losowej
- Rozkład funkcjonalny
- Funkcjonalny pierwiastek kwadratowy
- Funkcja wyższego rzędu
- Nieskończone kompozycje funkcji analitycznych
- Funkcja iterowana
- Rachunek lambda
Uwagi
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- „Funkcja złożona” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- „ Kompozycja funkcji ” Bruce'a Atwooda, projekt Wolfram Demonstrations , 2007.