Odmiana abelowa - Abelian variety

W matematyce , szczególnie w geometrii algebraicznej , analizie zespolonej i algebraicznej teorii liczb , rozmaitość abelowa jest rzutową rozmaitością algebraiczną , która jest również grupą algebraiczną , tj. ma prawo grupy , które można zdefiniować za pomocą funkcji regularnych . Rozmaitości abelowe są jednocześnie jednymi z najczęściej badanych obiektów w geometrii algebraicznej i niezbędnymi narzędziami do wielu badań nad innymi zagadnieniami geometrii algebraicznej i teorii liczb.

Odmianę abelową można zdefiniować za pomocą równań mających współczynniki w dowolnej dziedzinie ; następnie mówi się, że odmiana jest zdefiniowana na tym polu. Historycznie pierwszymi badanymi odmianami abelowymi były te określone w dziedzinie liczb zespolonych . Takie odmiany abelowe okazują się dokładnie tymi złożonymi tori, które można osadzić w złożonej przestrzeni rzutowej . Szczególnym przypadkiem, co jest ważne również z punktu widzenia teorii liczb, są rozmaitości abelowe zdefiniowane nad algebraicznymi ciałami liczbowymi. Techniki lokalizacyjne prowadzą naturalnie od odmian abelowych określonych przez pola liczbowe do odmian zdefiniowanych przez pola skończone i różne pola lokalne . Ponieważ pole liczbowe jest polem ułamkowym domeny Dedekind , dla każdej niezerowej liczby pierwszej z domeny Dedekind istnieje mapa z domeny Dedekind do ilorazu domeny Dedekind przez liczbę pierwszą, która jest polem skończonym dla wszystkich skończonych liczb pierwszych . To indukuje odwzorowanie z pola ułamkowego do dowolnego takiego skończonego pola. Mając krzywą z równaniem zdefiniowanym na polu liczbowym, możemy zastosować tę mapę do współczynników, aby uzyskać krzywą zdefiniowaną na pewnym skończonym polu, gdzie wybory skończonego pola odpowiadają skończonym liczbom pierwszym pola liczbowego.

Odmiany abelowe występują naturalnie jako odmiany jakobijskie (połączone składowe zera w odmianach pikarda ) i odmiany albańskie innych odmian algebraicznych. Prawo grupowe odmiany abelowej jest z konieczności przemienne, a odmiana nie jest pojedyncza . Eliptyczna krzywa jest abelowa różnorodność wymiarów 1. odmiany abelowe mieć wymiar Kodaira 0.

Historia i motywacja

Na początku XIX wieku teoria funkcji eliptycznych zdołała stworzyć podstawy dla teorii całek eliptycznych , co pozostawiło otwartą drogę do badań. Standardowe formularze dla całek eliptycznych obejmowała pierwiastki z sześciennych i Quartic wielomianów . Co by się stało, gdyby zastąpiły je wielomiany wyższego stopnia, powiedzmy quintics ?

W pracy Nielsa Abela i Carla Jacobiego sformułowano odpowiedź: dotyczyłoby to funkcji dwóch zmiennych zespolonych , mających cztery niezależne okresy (tj. wektory okresu). Dało to pierwsze spojrzenie na abelową odmianę wymiaru 2 ( powierzchnię abelową ): to, co teraz nazwano by jakobianem hipereliptycznej krzywej rodzaju 2 .

Po Ablu i Jacobim, jednymi z najważniejszych współtwórców teorii funkcji abelowych byli Riemann , Weierstrass , Frobenius , Poincaré i Picard . Temat był wówczas bardzo popularny, mając już sporą literaturę.

Pod koniec XIX wieku matematycy zaczęli stosować metody geometryczne w badaniu funkcji abelowych. Ostatecznie w latach dwudziestych Lefschetz położył podwaliny pod badania funkcji abelowych w zakresie złożonych tori. Wydaje się również, że jako pierwszy użył nazwy „odmiana abelowa”. To André Weil w latach czterdziestych XX wieku nadał temu przedmiotowi nowoczesne podstawy w języku geometrii algebraicznej.

Obecnie rozmaitości abelowe stanowią ważne narzędzie w teorii liczb, w układach dynamicznych (dokładniej w badaniach układów hamiltonowskich ) oraz w geometrii algebraicznej (zwłaszcza rozmaitości pikardowskie i rozmaitości albańskie ).

Teoria analityczna

Definicja

Złożony torus wymiaru g to torus o wymiarze rzeczywistym 2 g , który niesie strukturę złożonej rozmaitości . Zawsze może być otrzymany jako iloraz z g wymiarową złożoną przestrzeni wektorowej przez kratę Rank 2 g . Złożona rozmaitość abelowa wymiaru g to złożony torus wymiaru g, który jest również rzutową rozmaitością algebraiczną nad ciałem liczb zespolonych. Ponieważ są to złożone tori, odmiany abelowe mają strukturę grupy . Morfizmem odmian abelian jest morfizmem z podstawowych odmian algebraicznych że zachowuje element neutralny dla struktury grupy. Isogeny jest morfizmem skończony do jednego.

Kiedy złożony torus niesie strukturę rozmaitości algebraicznej, struktura ta jest z konieczności unikalna. W przypadku g = 1 pojęcie rozmaitości abelowej jest takie samo jak krzywa eliptyczna , a każdy złożony torus daje początek takiej krzywej; dla g > 1 wiadomo od Riemanna, że warunek rozmaitości algebraicznej nakłada dodatkowe ograniczenia na złożony torus.

Warunki Riemanna

Następujące kryterium Riemanna decyduje o tym, czy dany złożony torus jest odmianą abelową, tj. czy może być osadzony w przestrzeni rzutowej. Niech X będzie g- wymiarowym torusem podanym jako X = V / L gdzie V jest złożoną przestrzenią wektorową o wymiarze g , a L jest siecią w V . Wtedy X jest odmianą abelową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dodatnio określona forma hermitowska na V, której część urojona przyjmuje wartości całkowite na L × L . Taka forma na X jest zwykle nazywana (niezdegenerowaną) formą Riemanna . Wybierając podstawę dla V i L , można ten warunek uściślić. Istnieje kilka równoważnych sformułowań tego; wszystkie są znane jako warunki Riemanna.

Jakobian krzywej algebraicznej

Każda krzywa algebraiczna C od rodzaju g ≥ 1 jest powiązany z Abelowych odmiany J wymiaru g , za pomocą analitycznej mapą C do J . Jako torus, J niesie przemienną strukturę grupy , a obraz C generuje J jako grupę. Dokładniej, J jest objęte przez C : każdy punkt w J pochodzi z g -krotki punktów w C . Badanie form różniczkowych na C , które dają początek całkom abelowym, od których wyrosła teoria, można wyprowadzić z prostszej, niezmienniczej teorii różniczek na J . Abelowa odmiany J nazywa się jakobian różne od C , do każdej krzywej nieosobliwej C na liczbach zespolonych. Z punktu widzenia geometrii birational jego pole funkcja jest stałą pola z grupy symetrycznie na g litery działających w dziedzinie funkcyjnego C ^g .

Funkcje abelowe

Funkcja abelowa to funkcja meromorficzna na odmianie abelowej, którą można zatem uznać za funkcję okresową n zmiennych zespolonych, mających 2 n niezależnych okresów; równoważnie jest to funkcja w polu funkcji odmiany abelowej. Na przykład w XIX wieku było duże zainteresowanie całkami hipereliptycznymi, które można wyrazić za pomocą całek eliptycznych. Sprowadza się to do pytania, że J jest iloczynem krzywych eliptycznych aż do izogenii.

Ważne twierdzenia

Jednym z ważnych twierdzeń o strukturze odmian abelowych jest twierdzenie Matsusaki . Stwierdza, że na polu algebraicznie domkniętym każda rozmaitość abelowa jest ilorazem jakobianu pewnej krzywej; to znaczy, istnieje pewne odrzucenie odmian abelowych, gdzie jest jakobian. Twierdzenie to pozostaje prawdziwe, jeśli pole gruntu jest nieskończone. ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle J \ do A}$ ${\ Displaystyle J}$

Definicja algebraiczna

Powszechnie stosowane są dwie równoważne definicje odmiany abelowej w ogólnym polu k :

połączone i całkowite algebraiczne grupa ponad k
podłączony i rzutowe algebraiczne grupa ponad k .

Gdy podstawą jest ciało liczb zespolonych, pojęcia te pokrywają się z poprzednią definicją. Na wszystkich podstawach krzywe eliptyczne są abelowymi odmianami wymiaru 1.

We wczesnych latach czterdziestych Weil użył pierwszej definicji (na dowolnym polu bazowym), ale początkowo nie mógł udowodnić, że implikuje ona drugą. Dopiero w 1948 r. udowodnił, że w przestrzeń rzutową można osadzać kompletne grupy algebraiczne. Tymczasem, aby udowodnić hipotezę Riemanna dla krzywych nad ciałami skończonymi , którą zapowiedział w pracy z 1940 r., musiał wprowadzić pojęcie rozmaitości abstrakcyjnej i przepisać podstawy geometrii algebraicznej, aby pracować z rozmaitościami bez zanurzeń rzutowych. (zobacz także sekcję historii w artykule Geometria algebraiczna ).

Struktura grupy punktów

Z definicji odmiana abelowa jest odmianą grupową. Można udowodnić, że jego grupa punktów jest przemienna .

Dla C , a więc i przez zasadniczo Lefschetz dla każdego algebraicznie zamkniętym obszarze o charakterystycznej zera, grupa skręcenie o Abelowych różnych wymiarów g jest izomorficzny z ( Q / Z ) ^{2 g} . Stąd jego n -skrętna część jest izomorficzna z ( Z / n Z ) ^{2 g} , tj. iloczynem 2 g kopii grupy cyklicznej rzędu n .

Gdy ciało bazowe jest ciałem algebraicznie domkniętym o charakterystyce p , skręcanie n jest nadal izomorficzne do ( Z / n Z ) ^{2 g ,} gdy n i p są względnie pierwsze . Gdy n i p nie są względnie pierwsze, można uzyskać ten sam wynik pod warunkiem, że zinterpretuje się to jako stwierdzenie, że skręcanie n definiuje skończony płaski schemat grupowy rzędu 2 g . Jeśli zamiast patrzeć na pełną strukturę schematu na n -skręcie, weźmiemy pod uwagę tylko punkty geometryczne, otrzymamy nowy niezmiennik dla odmian o charakterystyce p (tzw. p -rank, gdy n = p ).

Grupa k -punktów wymiernych dla globalnego pola k jest skończenie generowana przez twierdzenie Mordella-Weila . Stąd, zgodnie z twierdzeniem o strukturze skończenie generowanych grup abelian jest izomorficzny produkt o swobodnym grupa przemienna Z ^R i skończonej grupy przemiennej pewnego nieujemną liczbą całkowitą R zwany stopień odmiany Abelowych. Podobne wyniki dotyczą niektórych innych klas pól k .

Produkty

Iloczynem odmiany abelowej A o wymiarze m i odmiany abelowej B o wymiarze n , nad tym samym polem, jest odmiana abelowa o wymiarze m + n . Odmiana abelowa jest prosta, jeśli nie jest izogeniczna z produktem odmian abelowych o mniejszym wymiarze. Każda odmiana abelowa jest izogeniczna dla produktu prostych odmian abelowych.

Polaryzacja i podwójna odmiana abelowa

Podwójna odmiana abelowa

Z odmianą abelową A nad ciałem k kojarzy się podwójną odmianę abelową A ^v (na tym samym polu), co jest rozwiązaniem następującego problemu modułów . Rodzina wiązek liniowych stopnia 0 sparametryzowana przez odmianę k T jest zdefiniowana jako wiązka L na A × T taka, że

dla wszystkich t w T , ograniczenie L do A ×{ t } jest wiązką liniową stopnia 0,
ograniczenie L do {0}× T jest trywialną wiązką linii (tutaj 0 jest tożsamością A ).

Następnie istnieje odmiana A ^v i rodzina wiązek liniowych stopnia 0 P , wiązka Poincarégo, sparametryzowana przez A ^v tak, że rodzina L na T jest skojarzona z unikalnym morfizmem f : T → A ^v tak, że L jest izomorficzne z wycofanie P wzdłuż morfizmu 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Stosując to do przypadku, gdy T jest punktem, widzimy, że punkty A ^v odpowiadają wiązkom liniowym stopnia 0 na A , więc istnieje naturalna operacja grupowa na A ^v, dany przez iloczyn tensorowy wiązek liniowych, co sprawia, że w odmianę abelową.

Ta asocjacja jest dwoistością w tym sensie, że istnieje naturalny izomorfizm między podwójnym dualnym A ^vv i A (zdefiniowanym przez wiązkę Poincarégo) i że jest kontrawariantny funktorialny , tj. łączy się ze wszystkimi morfizmami f : A → B dualnymi morfizmami f ^v : B ^v → A ^v w sposób zgodny. N -torsion o Abelowych odmiany i n -torsion dwojakiego są podwójny do siebie, gdy n jest względnie pierwsze dla charakterystyki podstawy. Ogólnie - dla wszystkich n - n -schematy grup skręcania podwójnych odmian abelowych są bliźniaczkami Cartiera względem siebie. To uogólnia parowanie Weila dla krzywych eliptycznych.

Polaryzacje

Polaryzacji o Abelowych odmiany jest isogeny z Abelowych różnych podwójnemu który jest symetryczny w stosunku do podwójnego dualnością do odmian abelian i dla których pullback wiązki Poincaré wzdłuż powiązanego wykres morfizmu jest duży (tak, że jest podobny do dodatnio-określona forma kwadratowa). Spolaryzowane odmiany abelowe mają skończone grupy automorfizmu . Główny polaryzacja jest polaryzacja, która jest izomorfizmem. Jakobiany krzywych są naturalnie wyposażone w główną polaryzację, gdy tylko wybierze się arbitralny racjonalny punkt bazowy na krzywej, a krzywa może być zrekonstruowana z jej spolaryzowanego jakobianu, gdy rodzaj jest > 1. Nie wszystkie zasadniczo spolaryzowane odmiany abelowe są jakobianami Krzywe; zobacz problem Schottky'ego . Polaryzacja indukuje inwolucji Rosati na pierścieniu endomorfizm z A . ${\ Displaystyle \ operatorname {koniec} (A) \ otimes \ mathbb {Q}}$

Polaryzacje nad liczbami zespolonymi

W przypadku liczb zespolonych spolaryzowaną odmianę abelową można również zdefiniować jako odmianę abelową A wraz z wyborem formy Riemanna H . Dwie formy Riemanna H ₁ i H ₂ są nazywane równoważnymi, jeśli istnieją dodatnie liczby całkowite n i m takie, że nH ₁ = mH ₂ . Wybór klasy równoważności form Riemanna na A nazywa się polaryzacji z A . Morfizm spolaryzowanych odmian abelowych to morfizm A → B odmian abelowych taki, że cofnięcie formy Riemanna na B do A jest równoważne danej formie na A .

Schemat abelowy

Można również zdefiniować schemat odmian abelowych - teoretycznie i względem bazy . Pozwala to na jednolite traktowanie zjawisk takich jak mod p redukcji odmian abelowych (patrz Arytmetyka odmian abelowych ) i rodziny parametrów odmian abelowych. Abelowa schemat na schemacie baza S względnego wymiaru g to właściwe , gładka schemat grupa przez S , który geometryczny włókna są połączone i wymiarach g . Włókna schematu abelowego są odmianami abelowymi, więc można by pomyśleć o schemacie abelowym nad S jako o rodzinie odmian abelowych sparametryzowanych przez S .

Dla abelowego schematu A / S , grupa n -punktów skręcania tworzy skończony płaski schemat grupowy . Związek o s ⁿ -torsion punktów dla wszystkich N tworzy grupę p-podzielna . Deformacje schematów abelowych są, zgodnie z twierdzeniem Serre'a-Tate'a , rządzone przez właściwości deformacji powiązanych p- podzielnych grup.

Przykład

Niech będzie taki, który nie ma powtarzających się złożonych korzeni. Wtedy wyróżnik jest niezerowy. Niech , więc jest otwarty podschemat . Następnie kończy się plan abelowy . Może on być przedłużony do modelu Neron nad , która jest gładka schemat grupa ponad , ale model Neron nie jest właściwe, a co za tym idzie nie jest abelowa schemat powyżej . ${\ Displaystyle A, B \ w \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle x ^ {3} + topór + B}$ ${\ Displaystyle \ Delta = -16 (4A ^ {3} + 27 B ^ {2})}$ ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z} [1/\ Delta]}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {Specyfikacja} R}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Proj} R [x, y, z] / (y ^ {2} zx ^ {3} - Axz ^ {2} - Bz ^ {3})}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {Specyfikacja} R}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$

Nieistnienie

VA Abrashkin i Jean-Marc Fontaine niezależnie udowodnili, że nie ma niezerowych odmian abelowych nad Q z dobrą redukcją na wszystkich liczbach pierwszych. Równoważnie nie ma niezerowych schematów abelowych nad Spec Z . Dowód polega na wykazaniu, że współrzędne p ⁿ -punktów skręcających generują pola liczbowe z bardzo małym rozgałęzieniem, a więc z małym dyskryminacją, podczas gdy z drugiej strony istnieją dolne ograniczenia na dyskryminatory pól liczbowych.

Odmiana semiabelowa

Semiabelian odmiana jest przemienne odmiana grupa, która jest przedłużeniem o Abelowych odmiany przez torusa .

Zobacz też

Bibliografia

Źródła

Birkenhake, Christina; Lange, H. (1992), Complex Abelian Varieties , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-54747-3. Kompleksowe potraktowanie złożonej teorii, z przeglądem historii przedmiotu.
Dolgachev, IV (2001) [1994], "Schemat abelowy" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
Faltingi, Gerd ; Chai, Ching-Li (1990), Zwyrodnienie odmian abelowych , Springer Verlag , ISBN 3-540-52015-5
Milne, James, Abelian Varieties , pobrane 6 października 2016 r.. Notatki z kursów online.
Mumford, David (2008) [1970], odmiany abelowe , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-81-85931-86-9, MR 0282985 , OCLC 138290
Venkov, BB; Parshin, AN (2001) [1994], "Abelian_variety" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
Bruin, N; Flynn, EV, N-COVERS OF HIPERELLIPTIC CURVES (PDF) , Oxford: Mathematical Institute, University of Oxford. Opis jakobianu krzywych pokrywających

Languages

In other projects