Pokrycie przestrzeni - Covering space

Mapa pokrywająca spełnia lokalny warunek banalności. Intuicyjnie, mapy te wystają lokalnie „stos naleśników” powyżej w otwartym obszarze , U , na U .

W matematyce , zwłaszcza algebraiczna topologii , A pokrycia mapę (również występ pokrycie ) jest funkcją ciągłą z topologii powierzchni do topologii powierzchni tak, że każdy punkt ma otwarte otoczenie równomiernie pokryta przez (jak pokazano na rysunku). W tym przypadku nazywany jest nakrycie i przestrzeni podstawy występu pokrywającego. Z definicji wynika, że ​​każda pokrywająca mapa jest lokalnym homeomorfizmem .

Przestrzenie pokrywające odgrywają ważną rolę w teorii homotopii , analizie harmonicznej , geometrii riemannowskiej i topologii różniczkowej . Na przykład w geometrii riemannowskiej rozgałęzienie jest uogólnieniem pojęcia map pokrywających. Obejmujące przestrzenie są również głęboko powiązane z badaniem grup homotopii, a w szczególności grupy podstawowej . Ważnym zastosowaniem pochodzi z takim skutkiem, że, jeśli jest „wystarczająco dobre” przestrzeń topologiczna , istnieje bijection między zbierania wszystkich klas izomorfizmu z podłączonych pokryciami i klas conjugacy z podgrup o fundamentalnej grupy z .

Formalna definicja

Niech będzie przestrzenią topologiczną . Nakrycie z jest przestrzenią topologiczną wraz z ciągłym suriekcją mapie

takie, że dla każdego , istnieje otwarty sąsiedztwo z tak, że (The wstępnie obraz z niedostatecznie ) jest związkiem rozłączne zbiory otwarte w , z których każdy jest odwzorowywany homeomorphically na przy .

Równoważnie, przestrzeń zakrywającą może być zdefiniowana jako wiązka włókien z dyskretnymi włóknami.

Mapa nazywana jest mapą pokrycia , przestrzeń jest często nazywana przestrzenią bazową pokrycia, a przestrzeń nazywana jest całkowitą przestrzenią pokrycia. Dla dowolnego punktu w podstawie odwrotny obraz in jest koniecznie dyskretną przestrzenią zwaną włóknem nad .

Specjalne otwarte dzielnice o podane w definicji nazywane są równomiernie pokryte dzielnice . Równomiernie zadaszone dzielnice tworzą otwartą osłonę przestrzeni . W homeomorficzny egzemplarzy w o równomiernie pokryte sąsiedztwie nazywane są arkusze powyżej . Generalnie obrazuje się jako „unoszący się nad” z mapowaniem „w dół”, arkusze są ułożone poziomo nad sobą i nad , a włókno nad składa się z tych punktów, które leżą „pionowo nad” . W szczególności mapy obejmujące są lokalnie trywialne. Oznacza to, że lokalnie, każda mapa pokrycie jest izomorficzny "do występu w tym sensie, że nie jest homeomorfizmem, , od wstępnego obrazu , z równomiernie pokryte sąsiedztwie , na , którym jest włókno, spełniającą lokalne warunki banalizacji , co stanowi: jeśli jest rzutem na pierwszy czynnik, to złożenie jest równe lokalnie (w obrębie ).

Alternatywne definicje

Wielu autorów nakłada na przestrzenie i w definicji mapy pokrycia pewne warunki łączności . W szczególności wielu autorów wymaga, aby obie przestrzenie były połączone ścieżką i lokalnie połączone ścieżką . Może to okazać się pomocne, ponieważ wiele twierdzeń obowiązuje tylko wtedy, gdy dane przestrzenie mają te właściwości. Niektórzy autorzy pomijają założenie o suriektywności, bo jeśli jest spójna i niepusta, to suriektywność mapy pokrywającej w rzeczywistości wynika z innych aksjomatów.

Przykłady

  • Każda przestrzeń trywialnie się zakrywa.
  • Połączona i lokalnie połączona ścieżkami przestrzeń topologiczna ma uniwersalną osłonę wtedy i tylko wtedy, gdy jest po prostu połączona półlokalnie .
  • jest uniwersalną okładką koła
  • Grupa spinowa to podwójne pokrycie specjalnej grupy ortogonalnej i uniwersalne pokrycie, gdy . Przypadkowe lub wyjątkowe izomorfizmy dla grup Liego dają następnie izomorfizmy między grupami spinowymi o niskim wymiarze i klasycznymi grupami Liego.
  • Grupa unitarna ma osłonę uniwersalną .
  • Hipersfera jest podwójna osłona realnej przestrzeni rzutowej i jest uniwersalnym pokrycie .
  • Każdy kolektor ma orientowaną podwójną pokrywę, która jest połączona wtedy i tylko wtedy, gdy kolektor nie jest orientowany.
  • Twierdzenie uniformizacji twierdzi, że każda powierzchnia Riemanna ma uniwersalną osłonę konforemnie równoważnym do sfery Riemanna , płaszczyzny zespolonej lub dysku urządzenia.
  • Uniwersalną osłoną klina okręgów jest graf Cayleya wolnej grupy na generatorach, czyli siatka Bethego .
  • Torus jest podwójna pokrywa butelki Kleina . Można to zobaczyć za pomocą wielokątów dla torusa i butelki Kleina oraz obserwując, że podwójna osłona koła (osadzenie w wysyłaniu ).
  • Każdy wykres ma dwudzielną podwójną okładkę . Ponieważ każdy wykres jest homotopijny do klina kół, jego uniwersalną okładką jest wykres Cayleya.
  • Każde zanurzenie od zwartej rozmaitości do rozmaitości tego samego wymiaru jest przykryciem jej obrazu.
  • Innym skutecznym narzędziem konstruowania przestrzeni pokrywających jest wykorzystanie ilorazów przez swobodne skończone działania grupowe.
  • Na przykład przestrzeń jest zdefiniowana przez iloraz (osadzone w ) za pomocą -action . Przestrzeń ta, zwana przestrzenią soczewkową , ma grupę podstawową i posiada osłonę uniwersalną .
  • Mapa schematów afinicznych tworzy przestrzeń zakrywającą jako grupa przekształceń pokładu. To przykład cyklicznej okładki Galois .

Nieruchomości

Wspólne lokalne nieruchomości

  • Każda okładka to lokalny homeomorfizm ; to znaczy, do każdego nie istnieje sąsiedztwo z c i otoczenie w taki sposób, że ograniczenie P do U daje homeomorfizmem od U do V . Oznacza to, że C i X współdzielą wszystkie lokalne właściwości. Jeśli X jest po prostu połączone, a C jest połączone, to obowiązuje to również globalnie, a pokrycie p jest homeomorfizmem.
  • Jeśli i obejmują mapy, to tak samo jest z mapą podaną przez .

Homeomorfizm włókien

Dla każdego x w X , światłowód nad x jest dyskretnym podzbiorem C . Na każdym podłączonego urządzenia z X , włókna są homeomorficzny.

Jeśli X jest połączone, istnieje dyskretna przestrzeń F taka, że ​​dla każdego x w X światłowód nad x jest homeomorficzny z F, a ponadto dla każdego x w X istnieje sąsiedztwo U od x takie, że jego pełny obraz wstępny p -1 ( U ) jest homeomorficzny do U × F . W szczególności liczność włókna nad x jest równa liczności F i nazywana jest stopniem pokrycia p  : CX . Tak więc, jeśli każde włókno ma n elementów, mówimy o n- krotnym nakryciu (dla przypadku n = 1 , nakrycie jest trywialne; gdy n = 2 , nakrycie jest podwójne ; gdy n = 3 , nakrycie jest potrójne pokrywa i tak dalej).

Właściwości liftingujące

Jeśli p  : CX jest okryciem a γ jest ścieżką w X (tj. ciągłą mapą z przedziału jednostkowego [0, 1] do X ) oraz cC jest punktem „leżącym nad” γ(0) (tj. p ( c ) = γ(0)) , to istnieje unikalna ścieżka Γ w C leżąca nad γ (tzn. p ∘ Γ = γ ) taka, że Γ(0) = c . Krzywa Γ nazywana jest podniesieniem γ. Jeśli x i y są dwoma punktami w X połączonymi ścieżką, to ta ścieżka zapewnia dwójekcję między włóknem nad x i włóknem nad y poprzez właściwość podnoszenia.

Ogólniej, niech f  : ZX będzie ciągła mapa do X ze ścieżką podłączony i lokalnie ścieżka połączona przestrzeń Z . Ustal punkt bazowy zZ i wybierz punkt cC "leżący nad" f ( z ) (tj. p ( c ) = f ( z ) ). Istnieje wtedy winda z F (czyli ciągłej mapę g  : ZC , dla których pg = F i g ( z ) = C ), tylko wtedy, gdy te indukowane homomorfizmy f #  : π 1 ( Z , z ) → π 1 ( X , f ( z )) i p #  : π 1 ( C , c ) → π 1 ( X , f ( z )) na poziomie grup podstawowych spełniają

 

 

 

 

( )

Co więcej, jeśli taka winda g ( f) istnieje, jest unikalna.

W szczególności, jeśli założymy , że przestrzeń Z jest po prostu połączona (tak, że π 1 ( Z , z ) jest trywialne), warunek (♠) jest automatycznie spełniony i każda ciągła mapa od Z do X może zostać podniesiona. Ponieważ przedział [0, 1] jest po prostu połączony, właściwość podnoszenia dla ścieżek jest szczególnym przypadkiem właściwości podnoszenia dla map wymienionych powyżej.

Jeżeli P  : CX jest przykrycie i cC i xX są takie, że P ( c ) = x , a następnie p # to za pomocą wstrzyknięć na poziomie podstawowych grup i indukowane homomorfizmy p #  : π n ( C , c ) → π n ( X , x )izomorfizmami dla wszystkich n ≥ 2 . Oba te stwierdzenia można wywnioskować z właściwości podnoszenia w przypadku map ciągłych. Surjectivity o p # dla n równe 2 wynika z faktu, że w przypadku wszystkich tego typu n The n -sphere S n jest łatwo połączony i każdy ciągły mapę z S N z X może być podniesiona do C .

Równorzędność

Niech p 1  : C 1X i p 2  : C 2X będą dwoma pokryciami. Mówi się, że dwa pokrycia p 1 i p 2równoważne, jeśli istnieje homeomorfizm p 21  : C 2C 1 i taki, że p 2 = p 1p 21 . Równoważności klasy powłok odpowiadają klasom conjugacy z podgrup podstawowej grupy z X , jak przedstawiono poniżej. Jeśli p 21  : C 2C 1 jest pokryciem (a nie homeomorfizmem) i p 2 = p 1p 21 , to mówi się, że p 2 dominuje p 1 .

Pokrycie kolektora

Ponieważ pokrycia są lokalnymi homeomorfizmami , pokrycie topologicznej n - rozmaitości jest n- rozmaitością. (Można udowodnić, że przestrzeń pokrywająca jest policzalna jako druga z faktu, że podstawowa grupa rozmaitości jest zawsze policzalna .) Jednak przestrzeń zakryta przez n- rozmaitość może być rozmaitością nie-Hausdorffa . Przykład podaje się, gdy C będzie płaszczyzną z usuniętym początkiem, a X przestrzenią ilorazu uzyskaną przez utożsamienie każdego punktu ( x , y ) z (2 x , y /2) . Jeśli p  : CX jest odwzorowaniem ilorazowym , to jest pokryciem , ponieważ działanie Z na C generowane przez f ( x , y ) = (2 x , y /2) jest właściwie nieciągłe . Punkty p (1, 0) i p (0, 1) nie mają sąsiedztw rozłącznych w X .

Dowolna przestrzeń pokrycia rozmaitości różniczkowej może być wyposażona w (naturalną) strukturę różniczkowalną, która zamienia p (omawianą mapę pokrycia) w lokalny dyfeomorfizm – mapę o stałej randze n .

Pokrowce uniwersalne

Zasłona jest uniwersalną zakrywką, jeśli jest po prostu połączona . Nazwa uniwersalna osłona pochodzi od następującej ważnej własności: jeśli odwzorowanie q : DX jest uniwersalnym pokryciem przestrzeni X a odwzorowanie p  : CX jest dowolnym pokryciem przestrzeni X, gdzie przestrzeń pokrywająca C jest połączona, wtedy istnieje mapa pokrywająca f  : DC taka , że pf = q . Można to sformułować jako

Osłona uniwersalna (przestrzeni X ) zakrywa każdą połączoną osłonę (przestrzeni X ).

Odwzorowanie f jest jednoznaczne w następującym sensie: jeśli ustalimy punkt x w przestrzeni X i punkt d w przestrzeni D z q ( d ) = x i punkt c w przestrzeni C z p ( c ) = x , to istnieje jednoznaczne odwzorowanie pokrycia f  : DC takie , że pf = q i f ( d ) = c .

Jeśli przestrzeń X ma uniwersalne pokrycie, to ta uniwersalna pokrywa jest zasadniczo unikalna: jeśli odwzorowania q 1  : D 1X i q 2  : D 2X są dwoma uniwersalnymi pokryciami przestrzeni X, to istnieje homeomorfizm f  : D 1D 2 takie, że q 2f = q 1 .

Przestrzeń X ma uniwersalną osłonę, jeśli jest połączona , lokalnie połączona ścieżką i półlokalnie połączona po prostu . Uniwersalna osłona przestrzeni X może być skonstruowana jako pewna przestrzeń ścieżek w przestrzeni X . Mówiąc dokładniej, tworzy wiązkę główną z grupą podstawową π 1 ( X ) jako grupą strukturalną.

Podany powyżej przykład RS 1 jest pokrowcem uniwersalnym. Odwzorowanie S 3 → SO(3) od kwaternionów jednostkowych do rotacji przestrzeni 3D opisanej kwaternionymi i rotacji przestrzennej jest również okładką uniwersalną.

Jeśli przestrzeń niesie jakąś dodatkową strukturę, to jej uniwersalna osłona zwykle ją dziedziczy:

Uniwersalna osłona pojawiła się po raz pierwszy w teorii funkcji analitycznych jako naturalna dziedzina kontynuacji analitycznej .

Pokrycia G

Niech G będzie grupą dyskretną działającą na przestrzeni topologicznej X . Oznacza to, że każdy element g z G jest sprzężony z homeomorfizm H g z X na siebie w taki sposób, że H g H jest zawsze równa H g ∘ H h dla każdej z dwóch elementów g i h o G . (Innymi słowy, grupowe działanie grupy G na przestrzeni X jest po prostu grupowym homomorfizmem grupy G w grupę Homeo( X ) samohomeomorfizmów X .) Naturalne jest pytanie, w jakich warunkach rzut z X na przestrzeń orbity X / G jest mapą pokrywającą. Nie zawsze tak jest, ponieważ akcja może mieć stałe punkty. Przykładem tego jest cykliczna grupa rzędu 2 działająca na produkt X × X przez działanie skrętu, w którym element nie-tożsamości działa przez ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Zatem badanie relacji między podstawowymi grupami X i X / G nie jest takie proste.

Jednak grupa G działa na fundamentalny groupoid X , a więc badanie najlepiej przeprowadzić, biorąc pod uwagę grupy działające na grupoidach i odpowiadających im grupoidach orbitalnych . Teoria tego jest przedstawiona w rozdziale 11 książki Topologia i grupoidy, o których mowa poniżej. Główny wynik jest taki, że dla nieciągłych działań grupy G na przestrzeni Hausdorffa X, która dopuszcza osłonę uniwersalną, wówczas fundamentalna grupoida przestrzeni orbity X / G jest izomorficzna z grupoidą orbity fundamentalnej grupoidy X , czyli ilorazem tego groupoidu przez działanie grupy G . Prowadzi to do obliczeń jawnych, na przykład grupy podstawowej symetrycznego kwadratu przestrzeni.

Grupa transformacji pokładu (zakrywania), regularne osłony

Obejmujący transformację lub przekształcenie pokład lub automorfizmem okładka jest homeomorfizm tak, że . Zbiór wszystkich przekształceń pokładów tworzy grupę pod kompozycją , grupę przekształceń pokładu . Transformacje talii są również nazywane transformacjami pokrywającymi . Każda transformacja pokładu permutuje elementy każdego włókna. Definiuje to działanie grupowe grupy transformacji pokładu na każdym włóknie. Należy zauważyć, że dzięki unikatowej właściwości podnoszenia, jeśli nie jest tożsamością i jest połączone ze ścieżką, to nie ma stałych punktów .

Załóżmy teraz, że jest to mapa pokrywająca i (a zatem także ) jest połączona i połączona lokalnie ścieżką. Działanie na każdy błonnik jest bezpłatne . Jeśli to działanie jest przechodnie na jakimś włóknie, to jest przechodnie na wszystkich włóknach, a pokrycie nazywamy regularnym (lub normalnym lub Galois ). Każde takie regularne pokrycie jest pakietem głównym , gdzie jest uważany za dyskretną grupę topologiczną.

Każda uniwersalna okładka jest regularna, a grupa transformacji talii jest izomorficzna z grupą podstawową .

Jako kolejny ważny przykład rozważmy płaszczyznę zespoloną i płaszczyznę zespoloną minus początek. Następnie mapa ze jest regularne okładka. Transformacje pokładowe są mnożeniami z -tymi pierwiastkami jedności, a zatem grupa transformacji pokładowej jest izomorficzna z grupą cykliczną . Podobnie mapa z okładką uniwersalną.

Akcja monodromii

Ponownie załóżmy, że jest mapa pokrywająca i C (a zatem także X ) jest połączone i lokalnie połączone ze ścieżką. Jeśli x jest w X, a c należy do światłowodu nad x (tj. ) i jest ścieżką z , to ta ścieżka wznosi się do unikalnej ścieżki w C z punktem początkowym c . Punktem końcowym tej uniesionej ścieżki nie musi być c , ale musi leżeć we włóknie nad x . Okazuje się, że ten punkt końcowy zależy tylko od klasy γ w grupie podstawowej π 1 ( X , x ) . W ten sposób otrzymujemy właściwą Grupa Działania z gatunku 1 ( X , x ) na włókno nad x . Nazywa się to działaniem monodromii .

Istnieją dwa działania na włóknie nad x  : Aut( p ) działa po lewej stronie i π 1 ( X , x ) działa po prawej stronie. Te dwie akcje są kompatybilne w następującym sensie: dla wszystkich f w Aut( p ), c w p −1 ( x ) i γ w π 1 ( X , x ) .

Jeśli p jest uniwersalnym pokrywę, a następnie Aut ( P ) może być naturalnie identyfikowany z grupy przeciwnej od gatunku 1 ( X , x ) , tak że po lewej działanie grupy przeciwieństwo gatunku 1 ( x , x ) pokrywa się z działaniem Aut( p ) na włóknie ponad x . Zauważ, że Aut( p ) i π 1 ( X , x ) są w tym przypadku naturalnie izomorficzne (ponieważ grupa jest zawsze naturalnie izomorficzna do swojego przeciwieństwa poprzez gg- 1 ) .

Jeśli p jest regularnym pokryciem, to Aut( p ) jest naturalnie izomorficzne do ilorazu π 1 ( X , x ) .

Generalnie (dobrych spacji), aut ( P ) jest naturalnie izomorficzna iloraz normalizer z p * ( π 1 ( C , c )) w gatunku 1 ( X , X ) na p * ( Õ 1 ( C , c ) , gdzie p ( c ) = x .

Więcej o strukturze grupy

Niech p  : CX będzie mapą pokrywającą, w której zarówno X, jak i C są połączone ścieżką. Niech xX będzie punktem bazowym X i niech cC będzie jednym z jego przedobrazów w C , czyli p ( c ) = x . Jest wywołane homomorfizm z podstawowej grupy p #  : π 1 ( C , C ) → π 1 ( x , x ) , który jest za pomocą wstrzyknięć przez obiekt podnoszenia zasłon. W szczególności, jeśli γ jest zamkniętą pętlą w c taką, że p # ([ γ ]) = 1 , czyli pγ jest zerowa homotopia w X , to rozważ zerową homotopię pγ jako odwzorowanie f  : D 2X z 2-tarczowego D 2 do X tak, że ograniczenie f do granicy S 1 z D 2 jest równe pγ . Przez właściwość podnoszenia odwzorowanie f podnosi się do ciągłego odwzorowania g  : D 2C tak , że ograniczenie g do granicy S 1 z D 2 jest równe γ . W związku z tym, γ jest zerowa homotopijne w ° C , tak, że jądro o p #  : π 1 ( C , C ) → π 1 ( x , x ) jest trywialne, a zatem s #  : π 1 ( C , C ) → π 1 ( X , x ) to homomorfizm iniekcyjny.

Dlatego π 1 ( C , c ) jest izomorficzny z podgrupą p # ( π 1 ( C , c )) z π 1 ( X , x ) . Jeśli c 1C jest innym wstępnym obrazem x w C, to podgrupy p # ( π 1 ( C , c )) i p # ( π 1 ( C , c 1 ))sprzężone w π 1 ( X , x ) o p -image z krzywej C łączącego C do c 1 . Zatem odwzorowanie pokrywające p  : CX definiuje klasę sprzężeń podgrup π 1 ( X , x ) i można wykazać , że równoważne pokrycia X definiują tę samą klasę sprzężeń podgrup π 1 ( X , x ) .

Dla pokrycia p  : CX grupa p # ( π 1 ( C , c )) również może być równa

zbiór klas homotopii tych zamkniętych krzywych γ opartych na x, których windy γ C w C , zaczynając od c , są krzywymi zamkniętymi w c . Jeśli X i C są połączone ścieżką, stopień pokrycia p (czyli moc dowolnego włókna z p ) jest równy indeksowi [ π 1 ( X , x ) : p # ( π 1 ( C , c ) )) ] podgrupy p # ( π 1 ( C , c ) ) w π 1 ( X , x ) .

Kluczowy wynik teorii przestrzeni pokrywającej mówi, że dla „wystarczająco dobrej” przestrzeni X (a mianowicie, jeśli X jest połączone ścieżką, lokalnie połączone ścieżką i częściowo połączone po prostu lokalnie ) istnieje w rzeczywistości bijekcja między klasami równoważności ścieżki -połączone osłony X i klasy koniugacji podgrup grupy podstawowej π 1 ( X , x ) . Głównym krokiem w udowodnieniu tego wyniku jest ustalenie istnienia okrywy uniwersalnej, czyli okrywy odpowiadającej trywialnej podgrupie π 1 ( X , x ) . Po ustaleniu istnienia uniwersalnego pokrycia C dla X , jeśli Hπ 1 ( X , x ) jest dowolną podgrupą, przestrzeń C / H jest pokryciem X odpowiadającym H . Należy również sprawdzić, czy dwa pokrycia X odpowiadające tej samej (klasie sprzężeń) podgrupy π 1 ( X , x ) są równoważne. Połączone kompleksy komórkowe i połączone rozmaitości są przykładami „wystarczająco dobrych” przestrzeni.

Niech N ( Γ p ) będzie normalizatorem Γ p w π 1 ( X , x ) . Grupa transformacji pokładowej Aut( p ) jest izomorficzna z grupą ilorazową Np )/Γ p . Jeśli p jest pokryciem uniwersalnym, to Γ p jest grupą trywialną , a Aut( p ) jest izomorficzny z π 1 ( X ).

Odwróćmy ten argument. Niech N być normalne podgrupy z gatunku 1 ( X , x ) . Powyższe argumenty określają (regularne) pokrycie p  : CX . Niech c 1 w C będzie we włóknie x . Następnie dla każdego innego C 2 na włókna X , istnieje dokładnie jeden pokład że przemiana odbywa C 1 do C 2 . Odpowiada to transformacji pokładu na krzywej g w C łączącego C 1 do C 2 .

Relacje z groupoidami

Jednym ze sposobów wyrażania algebraicznej treści teorii pokrywania przestrzeni jest użycie grupoidów i grupoidów fundamentalnych . Ten ostatni funktor daje równoważność kategorii

między kategorią pokrywającą przestrzenie dość ładnej przestrzeni X a kategorią grupoidów pokrywających morfizmy π 1 ( X ). W ten sposób określony rodzaj mapy przestrzeni jest dobrze modelowany przez określony rodzaj morfizmu grupoidów. Kategoria morfizmów pokryć grupoidu G jest również równoważna kategorii działań G na zbiorach, co pozwala na odzyskanie bardziej tradycyjnych klasyfikacji pokryć.

Relacje z klasyfikacją przestrzeni i kohomologią grupową

Jeśli X jest spójnym kompleksem komórkowym z grupami homotopii π n ( X ) = 0 dla wszystkich n ≥ 2 , to uniwersalna przestrzeń pokrycia T od X jest kurczliwa, co wynika z zastosowania twierdzenia Whiteheada do T . W tym przypadku X jest przestrzenią klasyfikującą lub K ( G , 1) dla G = π 1 ( X ) .

Ponadto dla każdego n ≥ 0 grupa komórkowej n -chains C n ( T ) (to jest wolna grupa przemienna podbudowie podaje n komórek beta w T ) posiada naturalną Z G - moduł strukturę. Tu na brak komórek beta σ w T i g z G komórka g σ jest dokładnie tłumaczyć z Ď przez obejmującego transformację T odpowiadającego g . Ponadto, C n ( t ) jest wolny Z G -module z wolnym Z G -basis podane przedstawiciele G -orbits z n komórek beta w T . W tym przypadku standardowy kompleks łańcucha topologicznego

gdzie ε jest mapą augmentacji , jest swobodną rozdzielczością Z G dla Z (gdzie Z jest wyposażony w trywialną strukturę modułu Z G , gm = m dla każdego gG i każdego mZ ). Ten rozdzielczości może być używany do obliczania grupy kohomologii z G z dowolnych współczynników.

Metoda Grahama Ellisa do obliczania rozdzielczości grup i innych aspektów algebry homologicznej, jak pokazano w jego pracy w J. Symbolic Comp. a jego strona wymieniona poniżej, ma na celu zbudowanie uniwersalnej okładki prospektywnej K ( G , 1) indukcyjnie w tym samym czasie co homotopia kontraktująca tej uniwersalnej okładki. To właśnie ta ostatnia daje metodę obliczeniową.

Uogólnienia

Jako teoria homotopii pojęcie pokrywania przestrzeni sprawdza się dobrze, gdy grupa transformacji pokładu jest dyskretna lub, równoważnie, gdy przestrzeń jest lokalnie połączona ścieżką . Jednakże, gdy grupa transformacji pokładu jest grupą topologiczną, której topologia nie jest dyskretna , pojawiają się trudności. Poczyniono pewne postępy w przypadku bardziej złożonych przestrzeni, takich jak hawajski kolczyk ; dalsze informacje znajdują się w odnośnikach.

Wiele z tych trudności rozwiązuje pojęcie semi-coveringu spowodowane przez Jeremy'ego Brazasa, patrz artykuł cytowany poniżej. Każda mapa przykrywająca jest półpokryciem, ale półpokrycia spełniają zasadę „2 z 3”: przy danej kompozycji h = fg map przestrzeni, jeśli dwie z map są półpokryciem, to również trzecia. Ta zasada nie dotyczy pokrycia, ponieważ kompozycja map pokrycia nie musi być mapą pokrycia.

Innym uogólnieniem są działania grupy, które nie są wolne. Ross Geoghegan w swoim przeglądzie z 1986 r. ( MR 0760769 ) dwóch artykułów MA Armstronga na temat podstawowych grup przestrzeni orbitalnych napisał: „Te dwa artykuły pokazują, które części elementarnej teorii przestrzeni pokrywającej przenoszą się od przypadku wolnego do niewolnego. rodzaj podstawowego materiału, który powinien znajdować się w standardowych podręcznikach dotyczących podstawowych grup przez ostatnie pięćdziesiąt lat”. Obecnie „Topologia i Groupoidy” wymienione poniżej wydaje się być jedynym podstawowym tekstem o topologii, który obejmuje takie wyniki.

Aplikacje

Blokada gimbala występuje, ponieważ dowolna mapa T 3RP 3 nie jest mapą zakrywającą. W szczególności odpowiednia mapa przenosi dowolny element T 3 , czyli uporządkowaną trójkę (a,b,c) kątów (liczby rzeczywiste mod 2 π ), do składu trzech obrotów osi współrzędnych R x (a) ∘R y (b) ∘R z (c) odpowiednio przez te kąty. Każdy z tych rotacji i ich skład jest elementem grupy rotacyjnej SO (3), którą topologicznie jest RP 3 . Ta animacja przedstawia zestaw trzech gimbali zmontowanych razem, aby zapewnić trzy stopnie swobody. Gdy wszystkie trzy gimbale są ustawione w jednej płaszczyźnie (w tej samej płaszczyźnie), system może poruszać się tylko w dwóch wymiarach z tej konfiguracji, a nie w trzech, i jest zablokowany gimbalem . W tym przypadku może pochylać się lub odchylać, ale nie toczyć się (obracać się w płaszczyźnie, w której leżą wszystkie osie).

Ważnym praktycznym zastosowaniem pokrywania przestrzeni są wykresy na SO(3) , grupa rotacyjna . Ta grupa występuje powszechnie w inżynierii, ponieważ rotacje trójwymiarowe są intensywnie wykorzystywane w nawigacji , inżynierii morskiej i inżynierii kosmicznej i wielu innych. Topologicznie SO(3) jest rzeczywistą przestrzenią rzutową RP 3 , z podstawową grupą Z /2 i tylko (nietrywialną) przestrzenią obejmującą hipersferę S 3 , która jest grupą Spin(3) , reprezentowaną przez kwaterniony jednostkowe . Dlatego kwaterniony są preferowaną metodą przedstawiania rotacji przestrzennych — patrz kwaterniony i rotacja przestrzenna .

Jednak często pożądane jest reprezentowanie obrotów za pomocą zestawu trzech liczb, znanych jako kąty Eulera (w wielu wariantach), zarówno dlatego, że jest to koncepcyjnie prostsze dla kogoś zaznajomionego z rotacją planarną, jak i dlatego, że można zbudować kombinację trzech gimbali do wytwarzają rotacje w trzech wymiarach. Topologicznie odpowiada to mapie z 3-torusa T 3 o trzech kątach do rzeczywistej przestrzeni rzutowej RP 3 obrotów, a wynikowa mapa ma niedoskonałości, ponieważ ta mapa nie może być mapą zakrywającą. W szczególności, nieumiejętność lokalnej homeomorfizmu mapy w pewnych punktach jest określana jako blokada gimbala i jest pokazana na animacji po prawej stronie – w niektórych punktach (gdy osie są współpłaszczyznowe) ranga mapy wynosi 2, zamiast 3, co oznacza, że ​​z tego punktu można zrealizować tylko 2 wymiary obrotów, zmieniając kąty. Powoduje to problemy w aplikacjach i jest sformalizowane przez pojęcie przestrzeni zakrywającej.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia