Element tożsamości -Identity element

W matematyce element tożsamości lub element neutralny operacji binarnej operującej na zbiorze jest elementem zbioru, który podczas wykonywania operacji pozostawia niezmieniony każdy element zbioru. Ta koncepcja jest używana w strukturach algebraicznych, takich jak grupy i pierścienie . Termin element tożsamości jest często skracany do tożsamości (jak w przypadku tożsamości addytywnej i tożsamości multiplikatywnej), gdy nie ma możliwości pomyłki, ale tożsamość w sposób dorozumiany zależy od operacji binarnej, z którą jest skojarzona.

Definicje

Niech ( S , ∗) będzie zbiorem  S wyposażonym w działanie binarne ∗. Wtedy element  eS nazywamy lewą tożsamością , jeśli ea = a dla wszystkich  aS , i prawą tożsamością , jeśli ae = a dla wszystkich  aS . Jeśli e jest zarówno tożsamością lewą, jak i prawą, to nazywa się to tożsamością dwustronną lub po prostu tożsamością .

Tożsamość w odniesieniu do dodawania nazywana jest tożsamością addytywną (często oznaczaną jako 0), a tożsamość w odniesieniu do mnożenia nazywana jest tożsamością multiplikatywną (często oznaczaną jako 1). Nie muszą to być zwykłe dodawanie i mnożenie — ponieważ podstawowa operacja może być raczej arbitralna. Na przykład w przypadku grupy element tożsamości jest czasami po prostu oznaczany symbolem . Rozróżnienie między tożsamością addytywną i multiplikatywną jest używane najczęściej w przypadku zestawów obsługujących zarówno operacje binarne, takie jak pierścienie , domeny całkowite i pola . Tożsamość multiplikatywna jest często nazywana jednością w tym ostatnim kontekście (pierścień z jednością). Nie należy tego mylić z jednostką w teorii pierścieni, która jest dowolnym elementem posiadającym odwrotność multiplikatywną . Z własnej definicji jedność sama w sobie jest z konieczności jednostką.

Przykłady

Ustawić Operacja Tożsamość
Liczby rzeczywiste + ( dodatek ) 0
Liczby rzeczywiste · ( mnożenie ) 1
Liczby zespolone + (dodatek) 0
Liczby zespolone · (mnożenie) 1
Liczby naturalne Najmniejsza wspólna wielokrotność 1
Nieujemne liczby całkowite Największy wspólny dzielnik 0 (pod większością definicji GCD)
m -by- n macierze Dodawanie macierzy Zerowa matryca
n -by- n macierzy kwadratowych Mnożenie macierzy I n ( macierz tożsamości )
m -by- n macierze ○ ( produkt Hadamarda ) J m ,  n ( macierz jedynek )
Wszystkie funkcje od zestawu  M do samego siebie ∘ ( kompozycja funkcji ) Funkcja tożsamości
Wszystkie rozkłady na grupieG ∗ ( splot ) δ ( delta Diraca )
Rozszerzone liczby rzeczywiste Minimalna /dolna +∞
Rozszerzone liczby rzeczywiste Maksymalna /najwyższa −∞
Podzbiory zbioru  M ∩ ( przecięcie ) m
Zestawy ∪ ( unia ) ∅ ( pusty zestaw )
Ciągi , listy Powiązanie Pusty ciąg , pusta lista
Algebra Boole'a ∧ ( logiczne i ) (prawda)
Algebra Boole'a ↔ ( logiczny dwuwarunkowy ) (prawda)
Algebra Boole'a ∨ ( logiczne lub ) ⊥ (fałsz)
Algebra Boole'a ⊕ ( wyłączne lub ) ⊥ (fałsz)
Węzły Suma węzłów Rozwiąż
Kompaktowe powierzchnie # ( suma połączona ) S 2
Grupy Produkt bezpośredni Grupa trywialna
Dwa elementy, { e ,  f }  ∗ zdefiniowane przez
ee = fe = e i
ff = ef = f
Zarówno e , jak i f są tożsamościami lewostronnymi,
ale nie ma tożsamości właściwej ani tożsamości
dwustronnej
Relacje jednorodne na zbiorze X Produkt względny Relacja tożsamości

Nieruchomości

W przykładzie S = { e, f } z podanymi równościami S jest półgrupą . Pokazuje możliwość ( S , ∗) posiadania kilku lewych tożsamości. W rzeczywistości każdy element może być lewą tożsamością. W podobny sposób może istnieć kilka właściwych tożsamości. Ale jeśli istnieje zarówno tożsamość prawa, jak i tożsamość lewa, to muszą być równe, co skutkuje pojedynczą tożsamością dwustronną.

Aby to zobaczyć, zauważ, że jeśli l jest tożsamością lewą, a r jest tożsamością prawą, to l = lr = r . W szczególności nigdy nie może istnieć więcej niż jedna tożsamość dwustronna: gdyby były dwie, powiedzmy e i f , wtedy ef musiałoby być równe zarówno e , jak i f .

Jest również całkiem możliwe, że ( S , ∗) nie ma elementu tożsamości, tak jak w przypadku parzystych liczb całkowitych w operacji mnożenia. Innym powszechnym przykładem jest iloczyn krzyżowy wektorów , gdzie brak elementu tożsamości jest związany z faktem, że kierunek dowolnego niezerowego iloczynu krzyżowego jest zawsze prostopadły do ​​dowolnego pomnożonego elementu. Oznacza to, że nie jest możliwe uzyskanie niezerowego wektora w tym samym kierunku co oryginał. Jeszcze inny przykład struktury bez elementu tożsamościowego dotyczy addytywnej półgrupy dodatnich liczb naturalnych .

Zobacz też

Uwagi i referencje

Bibliografia

Dalsze czytanie

  • M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoidy, akty i kategorie z zastosowaniami do produktów i wykresów wieńca , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , s. 14-15