Element tożsamości -Identity element
W matematyce element tożsamości lub element neutralny operacji binarnej operującej na zbiorze jest elementem zbioru, który podczas wykonywania operacji pozostawia niezmieniony każdy element zbioru. Ta koncepcja jest używana w strukturach algebraicznych, takich jak grupy i pierścienie . Termin element tożsamości jest często skracany do tożsamości (jak w przypadku tożsamości addytywnej i tożsamości multiplikatywnej), gdy nie ma możliwości pomyłki, ale tożsamość w sposób dorozumiany zależy od operacji binarnej, z którą jest skojarzona.
Definicje
Niech ( S , ∗) będzie zbiorem S wyposażonym w działanie binarne ∗. Wtedy element e z S nazywamy lewą tożsamością , jeśli e ∗ a = a dla wszystkich a w S , i prawą tożsamością , jeśli a ∗ e = a dla wszystkich a w S . Jeśli e jest zarówno tożsamością lewą, jak i prawą, to nazywa się to tożsamością dwustronną lub po prostu tożsamością .
Tożsamość w odniesieniu do dodawania nazywana jest tożsamością addytywną (często oznaczaną jako 0), a tożsamość w odniesieniu do mnożenia nazywana jest tożsamością multiplikatywną (często oznaczaną jako 1). Nie muszą to być zwykłe dodawanie i mnożenie — ponieważ podstawowa operacja może być raczej arbitralna. Na przykład w przypadku grupy element tożsamości jest czasami po prostu oznaczany symbolem . Rozróżnienie między tożsamością addytywną i multiplikatywną jest używane najczęściej w przypadku zestawów obsługujących zarówno operacje binarne, takie jak pierścienie , domeny całkowite i pola . Tożsamość multiplikatywna jest często nazywana jednością w tym ostatnim kontekście (pierścień z jednością). Nie należy tego mylić z jednostką w teorii pierścieni, która jest dowolnym elementem posiadającym odwrotność multiplikatywną . Z własnej definicji jedność sama w sobie jest z konieczności jednostką.
Przykłady
Ustawić | Operacja | Tożsamość |
---|---|---|
Liczby rzeczywiste | + ( dodatek ) | 0 |
Liczby rzeczywiste | · ( mnożenie ) | 1 |
Liczby zespolone | + (dodatek) | 0 |
Liczby zespolone | · (mnożenie) | 1 |
Liczby naturalne | Najmniejsza wspólna wielokrotność | 1 |
Nieujemne liczby całkowite | Największy wspólny dzielnik | 0 (pod większością definicji GCD) |
m -by- n macierze | Dodawanie macierzy | Zerowa matryca |
n -by- n macierzy kwadratowych | Mnożenie macierzy | I n ( macierz tożsamości ) |
m -by- n macierze | ○ ( produkt Hadamarda ) | J m , n ( macierz jedynek ) |
Wszystkie funkcje od zestawu M do samego siebie | ∘ ( kompozycja funkcji ) | Funkcja tożsamości |
Wszystkie rozkłady na grupie , G | ∗ ( splot ) | δ ( delta Diraca ) |
Rozszerzone liczby rzeczywiste | Minimalna /dolna | +∞ |
Rozszerzone liczby rzeczywiste | Maksymalna /najwyższa | −∞ |
Podzbiory zbioru M | ∩ ( przecięcie ) | m |
Zestawy | ∪ ( unia ) | ∅ ( pusty zestaw ) |
Ciągi , listy | Powiązanie | Pusty ciąg , pusta lista |
Algebra Boole'a | ∧ ( logiczne i ) | (prawda) |
Algebra Boole'a | ↔ ( logiczny dwuwarunkowy ) | (prawda) |
Algebra Boole'a | ∨ ( logiczne lub ) | ⊥ (fałsz) |
Algebra Boole'a | ⊕ ( wyłączne lub ) | ⊥ (fałsz) |
Węzły | Suma węzłów | Rozwiąż |
Kompaktowe powierzchnie | # ( suma połączona ) | S 2 |
Grupy | Produkt bezpośredni | Grupa trywialna |
Dwa elementy, { e , f } | ∗ zdefiniowane przez e ∗ e = f ∗ e = e i f ∗ f = e ∗ f = f |
Zarówno e , jak i f są tożsamościami lewostronnymi, ale nie ma tożsamości właściwej ani tożsamości dwustronnej |
Relacje jednorodne na zbiorze X | Produkt względny | Relacja tożsamości |
Nieruchomości
W przykładzie S = { e, f } z podanymi równościami S jest półgrupą . Pokazuje możliwość ( S , ∗) posiadania kilku lewych tożsamości. W rzeczywistości każdy element może być lewą tożsamością. W podobny sposób może istnieć kilka właściwych tożsamości. Ale jeśli istnieje zarówno tożsamość prawa, jak i tożsamość lewa, to muszą być równe, co skutkuje pojedynczą tożsamością dwustronną.
Aby to zobaczyć, zauważ, że jeśli l jest tożsamością lewą, a r jest tożsamością prawą, to l = l ∗ r = r . W szczególności nigdy nie może istnieć więcej niż jedna tożsamość dwustronna: gdyby były dwie, powiedzmy e i f , wtedy e ∗ f musiałoby być równe zarówno e , jak i f .
Jest również całkiem możliwe, że ( S , ∗) nie ma elementu tożsamości, tak jak w przypadku parzystych liczb całkowitych w operacji mnożenia. Innym powszechnym przykładem jest iloczyn krzyżowy wektorów , gdzie brak elementu tożsamości jest związany z faktem, że kierunek dowolnego niezerowego iloczynu krzyżowego jest zawsze prostopadły do dowolnego pomnożonego elementu. Oznacza to, że nie jest możliwe uzyskanie niezerowego wektora w tym samym kierunku co oryginał. Jeszcze inny przykład struktury bez elementu tożsamościowego dotyczy addytywnej półgrupy dodatnich liczb naturalnych .
Zobacz też
- Element absorbujący
- Liczba przeciwna
- Uogólnione odwrotność
- Tożsamość (równanie)
- Funkcja tożsamości
- Odwrotny element
- Monoid
- Pseudo-pierścień
- Quasigrupa
- Jednolita (ujednoznacznienie)
Uwagi i referencje
Bibliografia
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Pierwszy kurs algebry liniowej: z opcjonalnym wprowadzeniem do grup, pierścieni i pól , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
- Fraleigh, John B. (1976), Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (2nd ed.), Czytanie: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, IN (1964), Tematy z algebry , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Wprowadzenie do współczesnej algebry, wydanie poprawione , Boston: Allyn and Bacon , LCCN 68015225
Dalsze czytanie
- M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoidy, akty i kategorie z zastosowaniami do produktów i wykresów wieńca , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , s. 14-15