Wolna grupa - Free group

Struktura algebraiczna → Teoria
grup Teoria grup
Grupa cykliczna.svg
Podstawowe pojęcia
Homomorfizmy grupowe
Grupy skończone
Klasyfikacja skończonych grup prostych
Grupy modułowe
  • PSL(2, Z )
  • SL(2, Z )
Grupy topologiczne i Liego
Nieskończenie wymiarowa grupa Liego
  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)
Grupy algebraiczne
Diagram pokazujący, jak wyglądałby wykres Cayleya dla wolnej grupy na dwóch generatorach. Każdy wierzchołek reprezentuje element wolnej grupy, a każda krawędź reprezentuje mnożenie przez a lub b .

W matematyce The wolna grupa F S przez dany zestaw S składa się ze wszystkich słów , które mogą być zbudowane z członków S , biorąc pod uwagę dwa słowa być inny, jeżeli ich równość wynika z axioms grupy (np St = suu -1 t , ale s ≠ t -1 dla s , t , u ∈ S ). Członkowie S nazywane są generatory z F S , a liczba wytwórców jest ranga wolnej grupy. Dowolna grupa G nazywana jest wolną, jeśli jest izomorficzna z F S dla pewnego podzbioru S z G , to znaczy, jeśli istnieje podzbiór S z G taki, że każdy element G może być zapisany dokładnie w jeden sposób jako iloczyn skończonego wiele elementów S i ich odwrotności (pomijając trywialne odmiany, takie jak st = suu -1 t ).

Pokrewnym, ale innym pojęciem jest wolna grupa abelowa ; oba pojęcia są szczególnymi przypadkami wolnego obiektu z uniwersalnej algebry . Jako takie, wolne grupy są definiowane przez ich uniwersalną własność .

Historia

Wolne grupy pojawiły się po raz pierwszy w badaniach geometrii hiperbolicznej , jako przykłady grup fuchsowskich (grupy dyskretne działające izometriami na płaszczyźnie hiperbolicznej ). W artykule z 1882 roku Walther von Dyck wskazał, że te grupy mają najprostsze możliwe prezentacje . Badanie algebraiczne wolnych grup zostało zainicjowane przez Jakoba Nielsena w 1924 roku, który nadał im ich nazwę i ustalił wiele ich podstawowych własności. Max Dehn zdał sobie sprawę z powiązania z topologią i uzyskał pierwszy dowód pełnego twierdzenia Nielsena-Schreiera . Otto Schreier opublikował algebraiczny dowód tego wyniku w 1927 r., a Kurt Reidemeister w swojej książce z 1932 r. o topologii kombinatorycznej zawarł obszerne omówienie wolnych grup . Później, w latach 30. XX wieku, Wilhelm Magnus odkrył związek między niższym centralnym szeregiem wolnych grup a wolnymi algebrami Liego .

Przykłady

Grupa ( Z ,+) liczb całkowitych nie ma rangi 1; zespół generujący to S = {1}. Liczby całkowite są również wolną grupą abelową , chociaż wszystkie wolne grupy rang są nieabelowe. Grupa swobodna na zbiorze dwuelementowym S występuje w dowodzie paradoksu Banacha–Tarskiego i jest tam opisana.

Z drugiej strony żadna nietrywialna grupa skończona nie może być wolna, ponieważ elementy swobodnego zbioru generującego wolnej grupy mają nieskończony porządek.

W algebraicznej topologii The podstawową grupę o bukiet k kół (zestaw k pętli mających tylko jeden punkt wspólny) jest wolna grupa o zestaw k elementów.

Budowa

Wolną grupę C S w konfiguracji zestawu generowania S może być skonstruowany w sposób następujący. S jest zbiorem symboli i zakładamy, że dla każdego s w S istnieje odpowiedni symbol „odwrotny”, s −1 , w zbiorze S −1 . Niech T  =  S  ∪  S −1 i zdefiniuj słowo w S jako dowolny pisany iloczyn elementów T . Oznacza to, że słowo w S jest elementem monoidu generowanego przez T . Puste słowo to słowo bez symboli. Na przykład, jeśli S  = { a ,  b ,  c }, to T  = { a ,  a -1 ,  b ,  b -1 ,  c ,  c -1 } i

to słowo w S .

Jeśli element S leży bezpośrednio obok jego odwrotności, słowo można uprościć, pomijając parę c, c- 1 :

Słowo, którego nie można dalej uprościć, nazywa się zredukowanym .

Wolna grupa F S jest zdefiniowana jako grupa wszystkich zredukowanych słów w S , z konkatenacją słów (po której następuje redukcja, jeśli to konieczne) jako działaniem grupowym. Tożsamość to puste słowo.

Słowo nazywa się cyklicznie zredukowanym, jeśli jego pierwsza i ostatnia litera nie są względem siebie odwrotne. Każde słowo jest sprzężone z cyklicznie zredukowanym słowem, a cyklicznie zredukowane sprzężenie cyklicznie zredukowanego słowa jest cykliczną permutacją liter w słowie. Na przykład b -1 abcb nie jest cyklicznie redukowany, ale jest sprzężony z abc , który jest cyklicznie redukowany. Jedyne cyklicznie zredukowane koniugaty abc to abc , bca i cab .

Własność uniwersalna

Grupa wolna F S jest grupą uniwersalną generowaną przez zbiór S . Można to sformalizować za pomocą następującej uniwersalnej własności : przy danej dowolnej funkcji f od S do grupy G , istnieje unikalny homomorfizm φ :  F S  →  G powodujący komutację następującego diagramu (gdzie nienazwane mapowanie oznacza włączenie z S do F S ):

Bezpłatna grupa Universal.svg

Oznacza to, że homomorfizmy F S  →  G odpowiadają jeden do jednego z funkcjami S  →  G . Dla grupy niewolnej obecność relacji ograniczyłaby możliwe obrazy generatorów pod wpływem homomorfizmu.

Aby zobaczyć, jak odnosi się to do definicji konstruktywnej, pomyśl o odwzorowaniu od S do F S jako wysyłaniu każdego symbolu do słowa składającego się z tego symbolu. Aby skonstruować φ dla danego f , najpierw zauważ, że φ wysyła puste słowo do tożsamości G i musi zgadzać się z f na elementach S . Dla pozostałych słów (składających się z więcej niż jednego symbolu) φ może być jednoznacznie rozszerzone, ponieważ jest to homomorfizm, tj. φ ( ab ) = φ ( a ) φ ( b ).

Powyższa właściwość charakteryzuje wolne grupy aż do izomorfizmu i jest czasami używana jako alternatywna definicja. Jest to znane jako uniwersalna własność wolnych grup, a zbiór generujący S nazywany jest bazą dla F S . Podstawa wolnej grupy nie jest jednoznacznie określona.

Charakteryzowanie się właściwością uniwersalną jest standardową cechą obiektów swobodnych w algebrze uniwersalnej . W języku teorii kategorii konstrukcja grupy wolnej (podobnie jak większość konstrukcji obiektów swobodnych) jest funktorem z kategorii zbiorów do kategorii grup . Funktor ten pozostaje obok funktora zapominającego od grup do zbiorów.

Fakty i twierdzenia

Niektóre właściwości wolnych grup wynikają z definicji:

  1. Każda grupa G jest homomorficznym obrazem jakiejś wolnej grupy F( S ). Niech S być zestaw generatorów o G . Odwzorowanie naturalne f : F( S ) → G jest epimorfizmem , który potwierdza twierdzenie. Równoważnie, G jest izomorficzny z grupą ilorazową pewnej wolnej grupy F( S ). Jądro cp jest zbiorem relacji w prezentacji z G . Jeśli S można tutaj wybrać jako skończone, to G nazywamy skończenie wygenerowanym .
  2. Jeśli S ma więcej niż jeden element, to F( S ) nie jest abelowe , a w rzeczywistości środek F( S ) jest trywialny (to znaczy składa się tylko z elementu tożsamości).
  3. Dwie wolne grupy F( S ) i F( T ) są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy S i T mają tę samą kardynalność . Ta kardynalność nazywana jest rangą wolnej grupy F . Tak więc dla każdej liczby kardynalnej k istnieje, aż do izomorfizmu, dokładnie jedna wolna grupa rzędu k .
  4. Wolna grupa skończonego rzędu n > 1 ma wykładnicze tempo wzrostu rzędu 2 n − 1.

Kilka innych powiązanych wyników to:

  1. Twierdzenie Nielsena-Schreiera : Każda podgrupa wolnej grupy jest wolna.
  2. Wolna grupa o randze k wyraźnie ma podgrupy o każdej randze mniejszej niż k . Mniej oczywiście, ( nieabelowa! ) wolna grupa rang co najmniej 2 ma podgrupy wszystkich rang policzalnych .
  3. Podgrupa komutator wolnej grupy rang k > 1 ma nieskończoną stopień; na przykład dla F( a , b ) jest ona dowolnie generowana przez komutatory [ a m , b n ] dla niezerowych m i n .
  4. Wolna grupa w dwóch elementach to SQ universal ; powyższe wynika, ponieważ każda grupa uniwersalna SQ ma podgrupy wszystkich policzalnych rang.
  5. Każdą grupę, która działa na drzewie, swobodnie i zachowanie orientacji jest wolna grupa policzalnych rangi (wydane przez 1 plus Charakterystyka Eulera z ilorazu wykresu ).
  6. Cayley wykres wolnej grupy skończonej rangi, w odniesieniu do swobodnego prądotwórczego, to drzewo , na którym grupa działa swobodnie, zachowując orientację.
  7. Groupoid podejście do tych wyników przedstawiono w pracy P.J. Higgins poniżej stanowi rodzaj ekstrahowano z podejścia z wykorzystaniem przestrzeni obejmujących . Pozwala to na uzyskanie mocniejszych wyników, na przykład na twierdzeniu Gruszki , i normalną postać dla fundamentalnej grupoidy grafu grup. W tym podejściu występuje znaczne wykorzystanie wolnych grupoidów na grafie skierowanym.
  8. Twierdzenie Gruszki ma taką konsekwencję, że jeśli podzbiór B wolnej grupy F na n elementach generuje F i ma n elementów, to B generuje F swobodnie.

Bezpłatna grupa abelowa

Dalsze informacje: Bezpłatna grupa abelowa

Wolną grupę abelowa na zestawie S jest określona przez jego uniwersalną właściwością w analogiczny sposób, z oczywistymi modyfikacjami: Rozważmy pary ( F , φ ), gdzie K jest grupą abelowa i φ : S → K jest funkcją. F jest wolną grupą abelową na S względem φ jeśli dla dowolnej grupy abelowej G i dowolnej funkcji ψ : S → G , istnieje unikalny homomorfizm f : F → G taki, że

F ( φ ( y )) = ψ ( a ) dla wszystkich S w S .

Wolna grupa abelowa na S może być jednoznacznie zidentyfikowana jako grupa wolna F( S ) modulo podgrupa generowana przez jej komutatory, [F( S ), F( S )], czyli jej abelianizacja . Innymi słowy, wolna grupa abelowa na S jest zbiorem słów, które są rozróżniane tylko do rzędu liter. Rangę wolnej grupy można zatem również zdefiniować jako rangę jej abelianizacji jako wolnej grupy abelowej.

Problemy Tarskiego

Około 1945 roku Alfred Tarski zapytał, czy wolne grupy na dwóch lub więcej generatorach mają tę samą teorię pierwszego rzędu i czy ta teoria jest rozstrzygalna . Sela (2006) odpowiedział na pierwsze pytanie, pokazując, że dowolne dwie nieabelowe wolne grupy mają tę samą teorię pierwszego rzędu, a Kharlampovich i Myasnikov (2006) odpowiedzieli na oba pytania, pokazując, że ta teoria jest rozstrzygalna.

Podobne nierozwiązane (stan na 2011 r.) pytanie w teorii prawdopodobieństwa swobodnego dotyczy tego, czy algebry grup von Neumanna dowolnych dwóch nieabelowych skończenie generowanych grup swobodnych są izomorficzne.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia