Kula -Sphere

Kula
Szkielet kuli 10deg 6r.svg
Rzut perspektywiczny kuli
Rodzaj Powierzchnia gładka Powierzchnia
algebraiczna
Euler char. 2
Grupa symetrii O(3)
Powierzchnia 4πr 2
Tom 4/3πr 3

Kula (od starożytnej greki σφαῖρα ( sphaîra ) „ kula  , kula”) to obiekt geometryczny , który jest trójwymiarowym odpowiednikiem dwuwymiarowego koła . Kula to zbiór punktów , które znajdują się w tej samej odległości r od danego punktu w przestrzeni trójwymiarowej. Dany punkt jest środkiem kuli, a r jest promieniem kuli. Najwcześniejsze znane wzmianki o sferach pojawiają się w pracach starożytnych matematyków greckich .

Kula jest podstawowym obiektem w wielu dziedzinach matematyki . Kule i prawie kuliste kształty pojawiają się także w przyrodzie i przemyśle. Bąbelki , takie jak bańki mydlane , w równowadze przybierają kulisty kształt. Ziemia jest często w geografii przybliżana jako sfera , a sfera niebieska jest ważnym pojęciem w astronomii . Wytwarzane przedmioty, w tym zbiorniki ciśnieniowe oraz większość zakrzywionych luster i soczewek , oparte są na kulach. Kulki toczą się płynnie w dowolnym kierunku, więc większość piłek używanych w sporcie i zabawkach jest kulistych, podobnie jak łożyska kulkowe .

Podstawowa terminologia

Dwa prostopadłe promienie kuli

Jak wspomniano wcześniej r jest promieniem kuli; każda linia biegnąca od środka do punktu na kuli jest również nazywana promieniem.

Jeśli promień rozciąga się przez środek na przeciwną stronę kuli, tworzy średnicę . Podobnie jak promień, długość średnicy jest również nazywana średnicą i oznaczana jako d . Średnice to najdłuższe odcinki linii, które można narysować między dwoma punktami na kuli: ich długość jest dwukrotnością promienia, d = 2 r . Dwa punkty na kuli połączone średnicą są względem siebie antypodami .

Kula jednostkowa to kula o promieniu jednostkowym ( r =1). Dla wygody często przyjmuje się, że kule mają swój środek w początku układu współrzędnych, a sfery w tym artykule mają środek w początku, chyba że wspomniano o środku.

Wielkie koło na kuli ma taki sam środek i promień jak kula i dzieli ją na dwie równe półkule .

Chociaż Ziemia nie jest idealnie kulista, terminy zapożyczone z geografii są wygodne do zastosowania do tej kuli. Jeśli określony punkt na sferze jest (arbitralnie) wyznaczony jako jej biegun północny , jej antypodalny punkt nazywany jest biegunem południowym . Wielkie koło w równej odległości od każdego z nich jest wtedy równikiem . Wielkie kręgi biegnące przez bieguny nazywane są liniami długości geograficznej lub południkami . Linię łączącą dwa bieguny można nazwać osią obrotu . Małe kółka na sferze, które są równoległe do równika, są liniami szerokości geograficznej . W geometrii niezwiązanej z ciałami astronomicznymi, terminologia geocentryczna powinna być używana tylko dla ilustracji i jako taka odnotowana , chyba że nie ma szans na nieporozumienie.

Matematycy uważają sferę za dwuwymiarową zamkniętą powierzchnię osadzoną w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Rozróżniają kulę i kulę , która jest trójwymiarową rozmaitością, której granica obejmuje objętość zawartą w kuli. Kula otwarta wyklucza samą kulę, podczas gdy kula zamknięta obejmuje kulę: kula zamknięta jest połączeniem kuli otwartej i kuli, a kula jest granicą kuli (zamkniętej lub otwartej). Rozróżnienie między kulą a kulą nie zawsze było zachowane, a zwłaszcza starsze odniesienia matematyczne mówią o kuli jako o bryle. Podobna jest różnica między „ kołem ” i „ dyskiem ” w płaszczyźnie .

Małe kulki nazywane są czasami sferulami, np. w sferulach marsjańskich .

Równania

W geometrii analitycznej sfera o środku ( x 0 , y 0 , z 0 ) i promieniu r jest miejscem wszystkich punktów ( x , y , z ) takich , że

Ponieważ można ją wyrazić jako wielomian kwadratowy, sfera jest powierzchnią kwadratową , rodzajem powierzchni algebraicznej .

Niech a, b, c, d, e będą liczbami rzeczywistymi z 0 i put

Następnie równanie

nie ma punktów rzeczywistych jako rozwiązań, jeśli i nazywa się równaniem urojonej sfery . Jeśli , jedynym rozwiązaniem jest punkt , a równanie jest równaniem sfery punktowej . Wreszcie, w przypadku , jest równaniem kuli, której środek jest i której promień wynosi .

Jeśli a w powyższym równaniu wynosi zero, to f ( x , y , z ) = 0 jest równaniem płaszczyzny. Tak więc płaszczyzna może być uważana za kulę o nieskończonym promieniu, której środek jest punktem na nieskończoności .

Parametryczny

Równanie parametryczne dla kuli o promieniu i środku można sparametryzować za pomocą funkcji trygonometrycznych .

Użyte tutaj symbole są takie same, jak we współrzędnych sferycznych . r jest stałe, podczas gdy θ zmienia się od 0 do π i waha się od 0 do 2 π .

Nieruchomości

Zamknięta objętość

Kula i cylindryczny opisany

W trzech wymiarach objętość wewnątrz kuli (czyli objętość kuli , ale klasycznie nazywana objętością kuli) jest

gdzie r to promień, a d to średnica kuli. Archimedes najpierw wyprowadził ten wzór, pokazując, że objętość wewnątrz kuli jest dwukrotnością objętości między kulą a opisanym cylindrem tej kuli (mająca wysokość i średnicę równą średnicy kuli). Można to udowodnić wpisując stożek do góry nogami w półkulę, zwracając uwagę, że pole przekroju stożka plus pole przekroju kuli jest takie samo jak pole przekroju cylindra opisującego i stosując zasadę Cavalieriego . Wzór ten można również wyprowadzić za pomocą rachunku całkowego , tj. całkowania dysku w celu zsumowania objętości nieskończonej liczby okrągłych dysków o nieskończenie małej grubości ułożonych obok siebie i wyśrodkowanych wzdłuż osi x od x = − r do x = r , zakładając kula o promieniu r jest wyśrodkowana na początku.

Dowód objętości kuli za pomocą rachunku różniczkowego

Przy dowolnym danym x przyrost objętości ( δV ) jest równy iloczynowi pola przekroju dysku w punkcie x i jego grubości ( δx ):

Całkowita objętość jest sumą wszystkich przyrostowych objętości:

W granicy, gdy δx zbliża się do zera, równanie to staje się:

W dowolnym danym x trójkąt prostokątny łączy x , y i r z początkiem; stąd zastosowanie twierdzenia Pitagorasa daje:

Korzystanie z tego podstawienia daje

które można ocenić, aby dać wynik

Alternatywny wzór znajduje się przy użyciu współrzędnych sferycznych , z elementem objętości

więc

Dla większości praktycznych celów objętość wewnątrz kuli wpisanej w sześcian można w przybliżeniu określić jako 52,4% objętości sześcianu, ponieważ V =π/6 d 3 , gdzie d jest średnicą kuli, a także długością boku sześcianu orazπ/6 0,5236. Na przykład kula o średnicy 1  m ma 52,4% objętości sześcianu o długości krawędzi 1  m, czyli około 0,524 m 3 .

Powierzchnia

Pole powierzchni kuli o promieniu r wynosi:

Archimedes po raz pierwszy wyprowadził ten wzór z faktu, że rzut na boczną powierzchnię opisanego cylindra zachowuje powierzchnię. Inne podejście do uzyskania wzoru wynika z faktu, że jest on równy pochodnej wzoru na objętość po r , ponieważ całkowitą objętość wewnątrz kuli o promieniu r można traktować jako sumę pola powierzchni nieskończonej liczby kulistych powłok o nieskończenie małej grubości, koncentrycznie ułożonych jedna w drugiej od promienia 0 do promienia r . Przy nieskończenie małej grubości rozbieżność między wewnętrzną i zewnętrzną powierzchnią dowolnej powłoki jest nieskończenie mała, a elementarna objętość przy promieniu r jest po prostu iloczynem pola powierzchni przy promieniu r i nieskończenie małej grubości.

Dowód pola powierzchni za pomocą rachunku różniczkowego

Przy dowolnym promieniu r przyrost objętości ( δV ) jest równy iloczynowi pola powierzchni przy promieniu r ( A ( r ) ) i grubości powłoki ( δr ):

Całkowita objętość jest sumą wszystkich objętości powłoki:

W granicy, gdy δr zbliża się do zera, równanie to staje się:

Zastępca V :

Różniczkowanie obu stron tego równania względem r daje A jako funkcję r :

Jest to ogólnie skracane jako:

gdzie r jest teraz uważane za stały promień kuli.

Alternatywnie, element powierzchni na kuli jest podany we współrzędnych sferycznych przez dA = r 2 sin θ dθ dφ . We współrzędnych kartezjańskich elementem pola powierzchni jest

Całkowitą powierzchnię można zatem uzyskać przez całkowanie :

Kula ma najmniejszą powierzchnię ze wszystkich powierzchni otaczających daną objętość i obejmuje największą objętość spośród wszystkich zamkniętych powierzchni o danej powierzchni. Kula pojawia się zatem w naturze: na przykład bąbelki i małe krople wody są mniej więcej kuliste, ponieważ napięcie powierzchniowe lokalnie minimalizuje powierzchnię.

Pole powierzchni w stosunku do masy kuli nazywa się polem powierzchni właściwej i może być wyrażone z powyższych równań jako

gdzie ρ to gęstość (stosunek masy do objętości).

Inne właściwości geometryczne

Kula może być skonstruowana jako powierzchnia utworzona przez obrót koła wokół dowolnej z jej średnic ; jest to zasadniczo tradycyjna definicja sfery podana w Elementach Euklidesa . Ponieważ koło jest szczególnym typem elipsy , sfera jest szczególnym typem elipsoidy obrotowej . Zastępując okrąg elipsą obróconą wokół jego głównej osi , kształt staje się wydłużoną sferoidą ; obrócona wokół osi mniejszej, spłaszczona sferoida.

Kula jest jednoznacznie określona przez cztery punkty, które nie są współpłaszczyznowe . Mówiąc bardziej ogólnie, sfera jest jednoznacznie określona przez cztery warunki, takie jak przejście przez punkt, styczna do płaszczyzny itp. Ta właściwość jest analogiczna do właściwości, że trzy niewspółliniowe punkty określają unikalny okrąg na płaszczyźnie.

W konsekwencji sfera jest jednoznacznie określona przez (czyli przechodzi przez) okrąg i punkt nie leżący na płaszczyźnie tego okręgu.

Badając wspólne rozwiązania równań dwóch sfer , można zauważyć, że dwie sfery przecinają się w kole, a płaszczyzna zawierająca to koło nazywana jest płaszczyzną radykalną przecinających się sfer. Chociaż płaszczyzna radykalna jest płaszczyzną rzeczywistą, okrąg może być urojony (kule nie mają wspólnego punktu rzeczywistego) lub składać się z jednego punktu (kule są w tym punkcie styczne).

Kąt między dwiema sferami w rzeczywistym punkcie przecięcia jest dwuściennym kątem wyznaczonym przez płaszczyzny styczne do sfer w tym punkcie. Dwie kule przecinają się pod tym samym kątem we wszystkich punktach ich okręgu przecięcia. Przecinają się pod kątem prostym (są prostopadłe ) wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat odległości między ich środkami jest równy sumie kwadratów ich promieni.

Ołówek kulek

Jeśli f ( x , y , z ) = 0 i g ( x , y , z ) = 0 są równaniami dwóch różnych sfer to

jest również równaniem kuli dla dowolnych wartości parametrów s i t . Zbiór wszystkich sfer spełniających to równanie nazywamy ołówkiem sfer wyznaczonym przez dwie pierwotne sfery. W tej definicji kula może być płaszczyzną (nieskończony promień, środek w nieskończoności) i jeśli obie pierwotne kule są płaszczyznami, to wszystkie kule ołówka są płaszczyznami, w przeciwnym razie istnieje tylko jedna płaszczyzna (płaszczyzna radykalna) w ołówek.

Jedenaście właściwości kuli

Wektor normalny do kuli, płaszczyzna normalna i jej przekrój normalny. Krzywizna krzywej przecięcia jest krzywizną przekroju. Dla kuli każdy normalny przekrój przez dany punkt będzie kołem o tym samym promieniu: promieniu kuli. Oznacza to, że każdy punkt na kuli będzie punktem pępowiny.

W swojej książce Geometry and the Imagination David Hilbert i Stephan Cohn-Vossen opisują jedenaście właściwości sfery i dyskutują, czy te właściwości jednoznacznie określają sferę. Płaszczyzna ma kilka właściwości , którą można traktować jako kulę o nieskończonym promieniu. Te właściwości to:

  1. Wszystkie punkty na kuli znajdują się w tej samej odległości od stałego punktu. Również stosunek odległości jego punktów od dwóch punktów stałych jest stały.
    Pierwsza część to zwykła definicja sfery i jednoznacznie ją określa. Druga część może być łatwo wywnioskowana i podąża za podobnym wnioskiem Apoloniusza z Pergi dla koła . Ta druga część dotyczy również samolotu .
  2. Kontury i płaskie odcinki kuli są okręgami.
    Ta właściwość jednoznacznie definiuje sferę.
  3. Kula ma stałą szerokość i stały obwód.
    Szerokość powierzchni to odległość między parami równoległych płaszczyzn stycznych. Wiele innych zamkniętych wypukłych powierzchni ma stałą szerokość, na przykład korpus Meissnera . Obwód powierzchni to obwód granicy jej rzutu prostopadłego na płaszczyznę. Każda z tych właściwości implikuje drugą.
  4. Wszystkie punkty kuli to pępki .
    W każdym punkcie powierzchni normalny kierunek jest prostopadły do ​​powierzchni, ponieważ na kuli są to linie rozchodzące się promieniście ze środka kuli. Przecięcie płaszczyzny zawierającej normalną z powierzchnią utworzy krzywą zwaną przekrojem normalnym, a krzywizna tej krzywej jest krzywizną normalną . W przypadku większości punktów na większości powierzchni różne sekcje będą miały różne krzywizny; ich maksymalne i minimalne wartości nazywane są krzywiznami głównymi . Każda zamknięta powierzchnia będzie miała co najmniej cztery punkty zwane punktami pępowinowymi . Na pępku wszystkie krzywizny przekroju są równe; w szczególności główne krzywizny są równe. Punkty pępowinowe można traktować jako punkty, w których powierzchnia jest ściśle zbliżona do kuli.
    Dla kuli krzywizny wszystkich normalnych odcinków są równe, więc każdy punkt jest pępowiną. Kula i płaszczyzna to jedyne powierzchnie posiadające tę właściwość.
  5. Kula nie ma powierzchni środków.
    Dla danego przekroju normalnego istnieje krąg krzywizny, który jest równy krzywiźnie przekroju, jest styczny do powierzchni, a jego linie środkowe leżą wzdłuż linii normalnej. Na przykład dwa środki odpowiadające maksymalnej i minimalnej krzywiźnie przekroju nazywane są ogniskami , a zbiór wszystkich takich środków tworzy powierzchnię ogniskową .
    W przypadku większości powierzchni powierzchnia ogniskowa tworzy dwa arkusze, z których każdy jest powierzchnią i spotyka się w punktach pępowinowych. Kilka przypadków jest wyjątkowych:
    * W przypadku powierzchni kanałów jeden arkusz tworzy krzywą, a drugi arkusz jest powierzchnią
    * W przypadku stożków , cylindrów, torów i cyklidów oba arkusze tworzą krzywe.
    * W przypadku kuli środek każdego koła oscylującego znajduje się w środku kuli, a powierzchnia ogniskowa tworzy pojedynczy punkt. Ta właściwość jest unikalna dla kuli.
  6. Wszystkie geodezyjne sfery są krzywymi zamkniętymi.
    Geodezja to krzywe na powierzchni, które dają najkrótszą odległość między dwoma punktami. Są uogólnieniem pojęcia linii prostej w płaszczyźnie. Dla sfery geodezja to wielkie koła. Wiele innych powierzchni ma tę właściwość.
  7. Ze wszystkich ciał stałych o określonej objętości kula jest tą o najmniejszej powierzchni; spośród wszystkich ciał stałych o danej powierzchni, kula jest tą, która ma największą objętość.
    Wynika to z nierówności izoperimetrycznej . Te właściwości definiują kulę w unikalny sposób i można je zobaczyć w bańkach mydlanych : bańka mydlana obejmuje stałą objętość, a napięcie powierzchniowe minimalizuje jej powierzchnię dla tej objętości. Swobodnie unosząca się bańka mydlana zbliża się zatem do kuli (chociaż takie siły zewnętrzne jak grawitacja nieznacznie zniekształcą kształt bańki). Można to również zaobserwować na planetach i gwiazdach, gdzie grawitacja minimalizuje powierzchnię dla dużych ciał niebieskich.
  8. Kula ma najmniejszą całkowitą krzywiznę średnią spośród wszystkich brył wypukłych o danej powierzchni.
    Średnia krzywizna jest średnią z dwóch głównych krzywizn, która jest stała, ponieważ dwie główne krzywizny są stałe we wszystkich punktach kuli.
  9. Kula ma stałą średnią krzywiznę.
    Kula jest jedyną osadzoną powierzchnią, która nie ma granic ani osobliwości o stałej dodatniej średniej krzywiźnie. Inne takie zanurzone powierzchnie, jak powierzchnie minimalne , mają stałą średnią krzywiznę.
  10. Kula ma stałą dodatnią krzywiznę Gaussa.
    Krzywizna Gaussa jest iloczynem dwóch głównych krzywizn. Jest to samoistna właściwość, którą można określić mierząc długość i kąty i która jest niezależna od tego, jak powierzchnia jest osadzona w przestrzeni. W związku z tym wygięcie powierzchni nie zmieni krzywizny Gaussa, a inne powierzchnie o stałej dodatniej krzywiźnie Gaussa można uzyskać, wycinając małą szczelinę w kuli i wyginając ją. Wszystkie te inne powierzchnie miałyby granice, a kula jest jedyną powierzchnią, która nie ma granicy o stałej, dodatniej krzywiźnie Gaussa. Pseudosfera jest przykładem powierzchni o stałej ujemnej krzywiźnie Gaussa .
  11. Kula jest przekształcana w siebie przez trzyparametrową rodzinę sztywnych ruchów.
    Obracanie wokół dowolnej osi sfery jednostkowej w punkcie początkowym spowoduje mapowanie sfery na siebie. Dowolny obrót wokół linii przechodzącej przez początek może być wyrażony jako kombinacja obrotów wokół osi trzech współrzędnych (patrz kąty Eulera ). Dlatego istnieje trójparametrowa rodzina obrotów, tak że każdy obrót przekształca sferę w siebie; ta rodzina jest grupą rotacyjną SO(3) . Płaszczyzna jest jedyną inną powierzchnią z trójparametrową rodziną przekształceń (przesunięcia wzdłuż osi x i y oraz obroty wokół początku). Walce kołowe są jedynymi powierzchniami z dwuparametrowymi rodzinami ruchów sztywnych, a powierzchnie obrotowe i helikoidy są jedynymi powierzchniami z jednoparametrową rodziną.

Leczenie według obszaru matematyki

Geometria sferyczna

Wielkie koło na kuli

Podstawowymi elementami geometrii płaszczyzny euklidesowejpunkty i linie . Na sferze punkty są zdefiniowane w zwykłym sensie. Analogiem „linii” jest geodezja , która jest wielkim kołem ; charakterystyczną cechą wielkiego koła jest to, że płaszczyzna zawierająca wszystkie jego punkty również przechodzi przez środek kuli. Pomiar długości łuku pokazuje, że najkrótszą drogą pomiędzy dwoma punktami leżącymi na kuli jest krótszy odcinek wielkiego koła , który zawiera te punkty.

Wiele twierdzeń z geometrii klasycznej jest prawdziwych również dla geometrii sferycznej, ale nie wszystkie są zgodne, ponieważ kula nie spełnia niektórych postulatów geometrii klasycznej , w tym postulatu równoległego . W trygonometrii sferycznej kąty są definiowane między wielkimi okręgami. Trygonometria sferyczna różni się od zwykłej trygonometrii pod wieloma względami. Na przykład suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego zawsze przekracza 180 stopni. Ponadto dowolne dwa podobne trójkąty sferyczne są przystające.

Dowolna para punktów na kuli, które leżą na linii prostej przechodzącej przez środek kuli (tj. średnicę) nazywamy punktami antypodalnymi — na kuli odległość między nimi wynosi dokładnie połowę długości obwodu. Dowolna inna (tj. nie antypodalna) para odrębnych punktów na sferze

  • leżeć na wyjątkowym wielkim kręgu,
  • podzielić go na jeden mniejszy (tj. krótszy) i jeden większy (tj. dłuższy) łuk , oraz
  • mają długość małego łuku jako najkrótszą odległość między nimi na sferze.

Geometria sferyczna jest formą geometrii eliptycznej , która wraz z geometrią hiperboliczną tworzy geometrię nieeuklidesową .

Geometria różnicowa

Kula jest gładką powierzchnią o stałej krzywiźnie Gaussa w każdym punkcie równej 1/ r 2 . Zgodnie z Theorema Egregium Gaussa ta krzywizna jest niezależna od osadzenia kuli w przestrzeni trójwymiarowej. Również zgodnie z Gauss, kula nie może być zmapowana do płaszczyzny, zachowując zarówno obszary, jak i kąty. Dlatego każda projekcja mapy wprowadza pewną formę zniekształcenia.

Kula o promieniu r ma element powierzchni . Można to znaleźć w elemencie objętości we współrzędnych sferycznych , gdzie r utrzymywane jest na stałym poziomie.

Kula o dowolnym promieniu ze środkiem na zero jest powierzchnią integralną o następującej postaci różniczkowej :

To równanie odzwierciedla fakt, że wektor położenia i płaszczyzna styczna w punkcie są zawsze względem siebie prostopadłe . Co więcej, wektor normalny skierowany na zewnątrz jest równy wektorowi pozycji przeskalowanemu przez 1/r .

W geometrii riemannowskiej przypuszczenie obszaru wypełnienia mówi , że półkula jest optymalnym (najmniejszym obszarem) izometrycznym wypełnieniem okręgu riemannowskiego .

Topologia

W topologii n - sfera jest zdefiniowana jako przestrzeń homeomorficzna do granicy ( n +1) -kuli ; zatem jest homeomorficzna z n -sferą euklidesową, ale być może brakuje jej metryki .

  • Kula 0 to para punktów o topologii dyskretnej .
  • 1-sfera to koło ( do homeomorfizmu); więc na przykład (obraz) dowolny węzeł jest 1-sferą.
  • 2-sfera to zwykła sfera (aż do homeomorfizmu); zatem na przykład każda sferoida jest 2-sferą.

Kula n jest oznaczona S n . Jest to przykład zwartej rozmaitości topologicznej bez granic . Kula nie musi być gładka ; jeśli jest gładka, nie musi być dyfeomorficzna ze sferą euklidesową (sfera egzotyczna ).

Kula jest odwrotnym obrazem jednopunktowego zbioru pod funkcją ciągłą || x || , więc jest zamknięty; S n jest również ograniczone, więc jest zwarte przez twierdzenie Heinego-Borela .

Co ciekawe, można wywrócić zwykłą kulę na lewą stronę w trójwymiarowej przestrzeni z możliwymi samoprzecięciami, ale bez tworzenia żadnych zagnieceń, w procesie zwanym wywinięciem kuli .

Antypodalny iloraz kuli to powierzchnia zwana rzeczywistą płaszczyzną rzutową , którą można również traktować jako półkulę północną ze zidentyfikowanymi antypodowymi punktami równika.

Krzywe na sferze

Płaski przekrój kuli: 1 koło
Współosiowe przecięcie kuli i walca: 2 okręgi

Kręgi

Okręgi na sferze, podobnie jak okręgi na płaszczyźnie, składają się ze wszystkich punktów znajdujących się w pewnej odległości od ustalonego punktu na sferze. Przecięcie kuli i płaszczyzny to okrąg, punkt lub pustka. Wielkie koła to przecięcie kuli z płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli: inne nazywane są małymi okręgami.

Bardziej skomplikowane powierzchnie mogą również przecinać kulę w okręgach: przecięcie kuli z powierzchnią obrotową, której oś zawiera środek kuli (są współosiowe ) składa się z okręgów i/lub punktów, jeśli nie są puste. Na przykład diagram po prawej pokazuje przecięcie kuli i walca, który składa się z dwóch okręgów. Gdyby promień walca był promieniem kuli, przecięcie byłoby pojedynczym okręgiem. Gdyby promień walca był większy niż promień kuli, przecięcie byłoby puste.

Loksodrom

Loksodrom

W nawigacji lokodrom lub lokodrom to łuk przecinający wszystkie południki długości geograficznej pod tym samym kątem. Loksodromy są takie same jak linie proste w rzucie Mercator . Lokodrom nie jest sferyczną spiralą . Z wyjątkiem kilku prostych przypadków wzór loksodromy jest skomplikowany.

Krzywe Clelia

sferyczna spirala z

Krzywa Clelia to krzywa na sferze, dla której długość i szerokość geograficzna spełniają równanie

.

Przypadkami specjalnymi są: krzywa Vivianiego ( ) i spirale sferyczne ( ), takie jak spirala Seifferta . Krzywe Cleli przybliżają drogę satelitów na orbicie polarnej .

Kuliste stożki

Analogiem przekroju stożkowego na kuli jest stożkowatość sferyczna , krzywa kwarcowa , którą można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów, w tym:

Wiele twierdzeń dotyczących płaskich przekrojów stożkowych rozciąga się również na stożki sferyczne.

Przecięcie kuli z bardziej ogólną powierzchnią

Ogólne skrzyżowanie sfera-walc

Jeśli sferę przecina inna powierzchnia, krzywe sferyczne mogą być bardziej skomplikowane.

Przykład
kula – walec

Przecięcie sfery z równaniem i cylindra z równaniem to nie tylko jedno czy dwa okręgi. Jest to rozwiązanie nieliniowego układu równań

(patrz niejawna krzywa i diagram)

Uogólnienia

Elipsoidy

Elipsoida to sfera, która została rozciągnięta lub ściśnięta w jednym lub kilku kierunkach. Dokładniej, jest to obraz kuli poddanej transformacji afinicznej . Elipsoida ma taki sam stosunek do kuli, jak elipsa do okręgu.

Wymiarowość

Sfery można uogólnić na przestrzenie o dowolnej liczbie wymiarów . Dla dowolnej liczby naturalnej nn -sfera”, często zapisywana jako S n , jest zbiorem punktów w ( n + 1 )-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, które znajdują się w stałej odległości r od centralnego punktu tej przestrzeni, gdzie r jest, jak poprzednio, dodatnią liczbą rzeczywistą. W szczególności:

  • S 0 : kula 0 składa się z dwóch dyskretnych punktów,r i r
  • S 1 : 1-sfera to okrąg o promieniu r
  • S 2 : 2-kula to zwykła kula
  • S 3 : 3-sfera to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Kule dla n > 2 są czasami nazywane hipersferami .

N -sfera o jednostkowym promieniu wyśrodkowana na początku jest oznaczona S n i jest często określana jako "" n -sfera). Zwykła sfera jest dwusferą, ponieważ jest dwuwymiarową powierzchnią, która jest osadzona w trójwymiarowej przestrzeni.

Przestrzenie metryczne

Bardziej ogólnie, w przestrzeni metrycznej ( E , d ) sfera o środku x i promieniu r > 0 jest zbiorem punktów y takich, że d ( x , y ) = r .

Jeśli środek jest punktem wyróżnionym, który jest uważany za początek E , tak jak w przestrzeni unormowanej , nie jest on wymieniony w definicji i zapisie. To samo dotyczy promienia, jeśli przyjmuje się, że jest on równy jeden, jak w przypadku sfery jednostkowej .

W przeciwieństwie do kuli , nawet duża kula może być zestawem pustym. Na przykład w Z n z metryką euklidesową sfera o promieniu r jest niepusta tylko wtedy, gdy r 2 można zapisać jako sumę n kwadratów liczb całkowitych .

Oktaedr to sfera w geometrii taksówki , a sześcian to sfera w geometrii wykorzystującej odległość Czebyszewa .

Historia

Geometrię kuli badali Grecy. Elementy Euklidesa definiuje sferę w księdze XI, omawia różne właściwości sfery w księdze XII i pokazuje, jak wpisać pięć regularnych wielościanów w sferę w księdze XIII. Euklides nie obejmuje pola powierzchni i objętości kuli, a jedynie twierdzenie, że objętość kuli zmienia się jako trzecia potęga jej średnicy, prawdopodobnie z powodu Eudoksosa z Knidos . Formuły objętości i powierzchni zostały po raz pierwszy określone w książce Archimedesa Na sferze i cylindrze metodą wyczerpania . Zenodorus jako pierwszy stwierdził, że dla danej powierzchni kula jest bryłą o maksymalnej objętości.

Archimedes pisał o problemie podziału kuli na segmenty, których objętości są w określonym stosunku, ale go nie rozwiązał. Rozwiązanie za pomocą paraboli i hiperboli podał Dionizodor z Amizusa (ok. I w. p.n.e.), a podobny problem — skonstruować odcinek równy objętością jednemu odcinkowi, a powierzchnią drugiemu odcinkowi — został rozwiązany później przez al-Quhiego .

Galeria

Regiony

Zobacz też

Uwagi i referencje

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki