Grupa pętli - Loop group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Normalna podgrupa Grupa ilorazów Produkt (pół) bezpośredni Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelowy dwuścienny nilpotent rozpuszczalny Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Elementarna grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein cztery grupy V Grupa dwuścienna D n Grupa kwaternionów Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Lie Elektrozawór okrąg Ogólny liniowy GL ( n ) Specjalny liniowy SL ( n ) Ortogonalne O ( n ) Euklidesa E ( n ) Specjalne ortogonalne SO ( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalne jednostkowe SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończona wymiarowa grupa Lie O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Lie algebry
Półprosta algebra Lie
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstw w fizyce
Naukowcy Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Słownik Tabela grup Lie
v t mi

W matematyce , ą grupa pętla jest grupa z pętli w topologiczny grup G z mnożenia określonym punktowo .

Definicja

W jego najbardziej ogólnej formie pętli grupa jest grupą ciągłych odwzorowań z kolektora M do topologicznej grupę G .

Dokładniej, niech M = S ¹ , koło na płaszczyźnie zespolonej , niech LG oznaczają miejsca z ciągłych mapy S ¹ → G , tj

${\ Displaystyle LG = \ {\ gamma: S ^ {1} \ do G | \ gamma \ w C (S ^ {1}, G) \},}$

wyposażony w topologię zwartą-otwartą . Element LG nazywa się pętlę w G . Punktowe mnożenie takich pętli daje LG strukturę grupy topologicznej. Sparametryzuj S ¹ z θ ,

${\ Displaystyle \ gamma: \ theta \ w S ^ {1} \ mapsto \ gamma (\ teta) \ w G,}$

i zdefiniuj mnożenie w LG przez

${\ Displaystyle (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2}) (\ teta) \ equiv \ gamma _ {1} (\ teta) \ gamma _ {2} (\ teta).}$

Zespolenie Z asocjatywnego w G . Odwrotność jest podana przez

${\ Displaystyle \ gamma ^ {- 1}: \ gamma ^ {- 1} (\ teta) \ equiv \ gamma (\ teta) ^ {- 1},}$

i tożsamość wg

${\ displaystyle e: \ theta \ mapsto e \ in G.}$

Przestrzeń LG nazywa się wolną grupę pętli na G . Grupa pętli to dowolna podgrupa grupy swobodnych pętli LG .

Przykłady

Ważnym przykładem grupy pętli jest grupa

${\ displaystyle \ Omega G \,}$

pętli oparciu o G . Jest zdefiniowany jako jądro mapy oceny

${\ Displaystyle e_ {1}: LG \ do G, \ gamma \ mapsto \ gamma (1)}$ ,

i więc jest zamknięty normalnie podgrupy z LG . (Tutaj e ₁ jest mapą, która wysyła pętlę do jej wartości w .) Zauważ, że możemy osadzić G w LG jako podgrupę stałych pętli. W konsekwencji dochodzimy do dokładnej sekwencji podziału${\ Displaystyle 1 \ w S ^ {1}}$

${\ Displaystyle 1 \ do \ Omega G \ do LG \ do G \ do 1}$ .

Przestrzeń LG rozdziela się jako produkt pół-bezpośredni ,

${\ displaystyle LG = \ Omega G \ rtimes G}$ .

Możemy też myśleć omów G jako przestrzeń pętli na G . Z tego punktu widzenia Ω G jest przestrzenią H w odniesieniu do konkatenacji pętli. Pozornie wydaje się, że zapewnia to Ω G dwie bardzo różne mapy produktów. Można jednak wykazać, że konkatenacja i mnożenie punktowe są homotopijne . Tak więc, zgodnie z teorią homotopii Ω G , mapy te są wymienne.

Grupy pętli zostały wykorzystane do wyjaśnienia fenomenu Bäcklund przekształceń w solitonowych równań przez Chuu-Lian Terng i Karen Uhlenbeck .

Uwagi

Bibliografia

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1997). A. van Groesen; EM de Jager; APE Ten Kroode (red.). Skończone i nieskończenie wymiarowe algebry Liego i ich zastosowania w fizyce . Studia z fizyki matematycznej. 7 . Holandia Północna. ISBN   978-0-444-82836-1 - przez ScienceDirect .
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), grupy pętli , Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications, Nowy Jork: Oxford University Press , ISBN   978-0-19-853535-5 , MR   0900587 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link )

Zobacz też

• Przestrzeń pętli
• Algebra pętli
• Quasigroup