Grupa ilorazów - Quotient group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Normalna podgrupa Grupa ilorazów Produkt (pół-) bezpośredni Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelowy dwuścienny nilpotent rozpuszczalny Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Elementarna grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein cztery grupy V Grupa dwuścienna D n Grupa kwaternionów Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Lie Elektrozawór okrąg Ogólny liniowy GL ( n ) Specjalny liniowy SL ( n ) Ortogonalne O ( n ) Euklidesa E ( n ) Specjalne ortogonalne SO ( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalne jednostkowe SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończona wymiarowa grupa Lie O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

Grupa iloraz lub czynnik grupa jest matematycznym grupa się sumując te same elementy większej grupy, stosując stosunek równoważności , który zachowuje pewne struktury grupę (reszta konstrukcji jest „uwzględnionych” out). Na przykład, grupę cykliczną o dodawanie modulo n może być otrzymany z grupy liczb z dodatkiem identyfikując elementy, które różnią się o wielokrotność n oraz określenie struktury grupy, która działa na każdym z tych kategorii (znane jako klasy kongruencji ) jako pojedyńcza jednostka. Jest częścią pola matematycznego znanego jako teoria grup .

W iloraz grupy, klasa równoważna z elementu osobistego jest zawsze normalny podgrupa pierwotnej grupy i inne klasy równoważne są dokładnie cosets tego normalnego podgrupy. Wynikowy iloraz jest zapisywany jako G / N , gdzie G to oryginalna grupa, a N to normalna podgrupa. (Jest to wymawiane „ G mod N ”, gdzie „mod” jest skrótem od modulo ).

Znaczna waga grup ilorazowych wynika z ich związku z homomorfizmami . Pierwszy Izomorfizm twierdzenie wskazuje, że obraz jakiejkolwiek grupy G pod homomorfizmu zawsze izomorficzne z ilorazu G . W szczególności, obraz G pod Homomorfizm cp : G → H jest izomorficzny G / ker ( φ ) gdzie ker ( φ ) oznacza jądro z cp .

Podwójnego pojęcie grupy ilorazu jest podgrupy , przy czym te dwa główne sposoby formowania mniejszą grupę z większą. Każda normalna podgrupa ma odpowiednią grupę ilorazów, utworzoną z większej grupy przez wyeliminowanie rozróżnienia między elementami podgrupy. W teorii kategorii grupy ilorazowe są przykładami obiektów ilorazowych , które są dwojakie do podobiektów . W przypadku innych przykładów ilorazu przedmiotów, zobacz iloraz pierścień , iloraz przestrzeń (liniowy matematycznego) , iloraz przestrzeń (topologii) , a iloraz zestawu .

Definicja i ilustracja

Mając grupę G i podgrupę H oraz element a ∈ G , można rozważyć odpowiedni lewy coset : aH  : = { ah  : h ∈ H }. Kosety to naturalna klasa podzbiorów grupy; na przykład pod uwagę grupa przemienna G z liczb całkowitych , z działania zdefiniowany przez zwykłe dodanie, i podgrupy H parzystych całkowitymi. Następnie mamy dokładnie dwa cosety: 0 + H , które są parzystymi liczbami całkowitymi, i 1 + H , które są nieparzystymi liczbami całkowitymi (tutaj używamy notacji addytywnej dla operacji binarnej zamiast notacji multiplikatywnej).

Dla ogólnej podgrupy H pożądane jest zdefiniowanie zgodnej operacji grupowej na zbiorze wszystkich możliwych cosetów, { aH  : a ∈ G }. Jest to możliwe dokładnie wtedy, gdy H jest normalną podgrupą, patrz poniżej. Podgrupa N w grupie G jest normalnie tylko wtedy, gdy równość warstwa aN = Na odnosi się do wszystkich A ∈ G . Normalne podgrupa G oznacza się N ◁ G .

Definicja

Niech N być normalną podgrupę grupy G . Definiowania zestawu G / N być zbiorem wszystkich lewej cosets z N w G . To znaczy G / N = { aN  : a ∈ G } . Ponieważ element tożsamości e ∈ N , a ∈ aN . Zdefiniuj operację binarną na zbiorze cosetów G / N w następujący sposób. Dla każdego aN i Bn w G / N , produkt aN i Bn ( aN ) ( Bn ), jest ( ab ) N . Działa to tylko dlatego, ( ab ) N nie zależy od wyboru przedstawicieli, a i b , każdej lewej warstwa, aN i BN . Aby to udowodnić, załóżmy Xn = aN i Yn = Bn niektórych X , Y , , b ∈ G . Następnie

( ab ) N = a ( bN ) = a ( yN ) = a ( Ny ) = ( aN ) y = ( xN ) y = x ( Ny ) = x ( yN ) = ( xy ) N.

Zależy to od tego, że N jest normalną podgrupą. Pozostaje ona być wykazały, że warunek ten jest nie tylko wystarczająca ale należy zdefiniować operację G / N .

Aby pokazać, że jest to konieczne, weźmy pod uwagę, że dla podgrupy N z G otrzymaliśmy, że operacja jest dobrze zdefiniowana. Oznacza to, że dla wszystkich xN = aN i Yn = Bn, dla X , Y , , b ∈ G ( ab ) N = ( XY ) N.

Niech N ∈ N a g ∈ G . Ponieważ eN = nN, mamy, gN = ( np. ) N = ( ng ) N.

Teraz gN = ( ng ) N ⇔ N = g ^-1 ( ng ) N ⇔ g ^-1 ng ∈ N ∀ n ∈ N a g ∈ G .

W związku z tym N jest normalną podgrupa G .

Można również sprawdzić, czy ta operacja na G / N jest zawsze asocjacyjna. G / N ma element neutralny N i odwrotnością elementu aN zawsze może być reprezentowany przez z ^-1 N . W związku z tym, zestaw G / N wraz z działaniem określonej przez ( aN ) ( Bn ) = ( ab ) N tworzy grupę, grupę iloraz G przez N .

Ze względu na normalność N , lewy i prawy cosets cosets z N w G są takie same, a więc, G / N mógł zostać zdefiniowany jako zbiór odpowiednich cosets z N w G .

Przykład: Dodawanie modulo 6

Na przykład rozważmy grupę z dodatkiem modulo 6: G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Rozważ podgrupę N = {0, 3}, co jest normalne, ponieważ G jest abelem . Wtedy zbiór (po lewej) cosetów ma rozmiar trzeci:

G / N = { a + N  : a ∈ G } = {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}} = {0+ N , 1+ N , 2+ N }.

Zdefiniowana powyżej operacja binarna sprawia, że ​​zestaw ten tworzy grupę znaną jako grupa ilorazowa, która w tym przypadku jest izomorficzna z grupą cykliczną rzędu 3.

Motywacja do nazwy „iloraz”

Powodem G / N nazywa się grupą iloraz pochodzi z podziałem na całkowite . Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy odpowiedź 4, ponieważ można przegrupować 12 obiektów w 4 podkolekcje po 3 obiekty. Grupa ilorazów to ten sam pomysł, chociaż otrzymujemy ostateczną odpowiedź jako grupę zamiast liczby, ponieważ grupy mają więcej struktury niż arbitralny zbiór obiektów.

Aby rozwinąć, patrząc na G / N z N jako normalną podgrupę G , struktura grupy jest używana do tworzenia naturalnego „przegrupowania”. Są cosets z N w G . Ponieważ zaczęliśmy od grupy i normalnej podgrupy, ostateczny iloraz zawiera więcej informacji niż tylko liczba cosetów (co daje zwykły podział), ale zamiast tego ma strukturę samej grupy.

Przykłady

Liczby całkowite parzyste i nieparzyste

Rozważ grupę liczb całkowitych Z (w trakcie dodawania) i podgrupę 2 Z składającą się ze wszystkich parzystych liczb całkowitych. To jest normalna podgrupa, ponieważ Z jest abelem . Są tylko dwa cosety: zbiór parzystych liczb całkowitych i zbiór nieparzystych liczb całkowitych, dlatego grupa ilorazowa Z / 2 Z jest grupą cykliczną z dwoma elementami. Ta grupa ilorazowa jest izomorficzna ze zbiorem {0,1} z dodatkiem modulo 2; nieformalnie mówi się czasem, że Z / 2 Z równa się zbiorem {0,1} z dodatkiem modulo 2.

Przykład dokładniej wyjaśniony ...

Niech resztki z dzielenia przez . ${\ Displaystyle \ gamma (m) =}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 2}$

Wtedy kiedy jest parzyste, a kiedy nieparzyste. ${\ Displaystyle \ gamma (m) = 0}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ gamma (m) = 1}$${\ displaystyle m}$

Z definicji , jądro , ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

ker ( ) jest zbiorem wszystkich parzystych liczb całkowitych. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle = \ {m \ w \ mathbb {Z}: \ gamma (m) = 0 \}}$

Niech ker ( ). ${\ displaystyle H =}$${\ displaystyle \ gamma}$

Następnie jest podgrupa, ponieważ tożsamość w , czyli jest w , ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle H}$

suma dwóch parzystych liczb całkowitych jest parzysta, a zatem jeśli i są w , jest w (zamknięcie) ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle m + n}$${\ displaystyle H}$

a jeśli jest parzysta, jest również równa, a więc zawiera swoje odwrotności. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle -m}$${\ displaystyle H}$

Zdefiniuj / H jak dla ${\ displaystyle \ mu:}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ to \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mu (aH) = \ gamma (a)}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {Z}}$

i / H jest grupą ilorazową lewych kosetów; / H . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle = \ {H, 1 + H \}}$

Przy okazji mamy zdefiniowane , to jeśli jest nieparzysta i jeśli jest parzysta. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (aH)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a}$

Zatem jest izomorfizmem od / H do . ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Resztki z dzielenia liczb całkowitych

Nieznaczne uogólnienie ostatniego przykładu. Ponownie rozważ grupę liczb całkowitych Z, która jest dodawana. Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważymy podgrupę n Z z Z zawierający wszystkie wielokrotności n . Ponownie n Z jest normalne w Z, ponieważ Z jest abelowe. Cosety to zbiór { n Z , 1+ n Z , ..., ( n −2) + n Z , ( n −1) + n Z }. Liczba całkowita k należy do coseta r + n Z , gdzie r jest resztą z dzielenia k przez n . Iloraz Z / n Z można traktować jako grupę „reszt” modulo n . To jest cykliczna grupa rzędu n .

Złożone pierwiastki całkowite 1

Dwunaste pierwiastki jedności , które są punktami na złożonym okręgu jednostkowym , tworzą multiplikatywną grupę abelową G , pokazaną na rysunku po prawej stronie jako kolorowe kulki, a liczba w każdym punkcie daje złożoną argumentację. Rozważmy jej podgrupę N utworzoną z czwartego pierwiastka jedności, pokazaną jako czerwone kulki. Ta normalna podgrupa dzieli grupę na trzy kosety, pokazane na czerwono, zielono i niebiesko. Można sprawdzić, czy cosety tworzą grupę trzech elementów (iloczyn elementu czerwonego z elementem niebieskim jest niebieski, odwrotność elementu niebieskiego jest zielony itd.). Zatem grupa ilorazowa G / N to grupa trzech kolorów, która okazuje się być grupą cykliczną z trzema elementami.

Liczby rzeczywiste modulo liczby całkowite

Rozważmy dodawaną grupę liczb rzeczywistych R i podgrupę Z liczb całkowitych. Każdy coset Z w R jest zbiorem postaci a + Z , gdzie a jest liczbą rzeczywistą. Od ₁ + Z i ₂ + Z są identyczne zestawy gdy nie- części całkowitymi o o ₁ i a ₂ są takie same, można nałożyć ograniczenie 0 ≤ a <1 , bez zmiany znaczenie. Dodawanie takich cosetów odbywa się poprzez dodanie odpowiednich liczb rzeczywistych i odjęcie 1, jeśli wynik jest większy lub równy 1. Grupa ilorazów R / Z jest izomorficzna z grupą kół , grupą liczb zespolonych o wartości bezwzględnej 1 po pomnożeniu lub odpowiednio, grupa obrotów w 2D wokół początku, czyli specjalna grupa ortogonalna SO (2). Izomorfizm jest dany przez f ( a + Z ) = exp (2 πia ) (patrz tożsamość Eulera ).

Macierze liczb rzeczywistych

Jeśli G jest grupą odwracalnych macierzy rzeczywistych 3 × 3 , a N jest podgrupą macierzy rzeczywistych 3 × 3 z wyznacznikiem 1, to N jest normalne w G (ponieważ jest jądrem determinantowego homomorfizmu ). Kosety N są zbiorami macierzy z podanym wyznacznikiem, a zatem G / N jest izomorficzna z multiplikatywną grupą niezerowych liczb rzeczywistych. Grupa N jest znana jako specjalna grupa liniowa SL (3).

Arytmetyka modularna typu Integer

Rozważmy grupę abelową Z ₄ = Z / 4 Z (czyli zbiór {0, 1, 2, 3} z dodatkiem modulo 4) i jej podgrupę {0, 2} . Grupa ilorazów Z ₄ / {0, 2} to {{0, 2}, {1, 3}} . To jest grupa z elementem tożsamości {0, 2} i operacjami grupowymi, takimi jak {0, 2} + {1, 3} = {1, 3} . Zarówno podgrupa {0, 2}, jak i grupa ilorazów {{0, 2}, {1, 3}} są izomorficzne z Z ₂ .

Mnożenie liczb całkowitych

Rozważmy grupę multiplikatywną . Zestaw N o n p pozostałości JeSt multiplikatywna podgrupa izomorficzna . Wtedy N jest normalne w G, a grupa czynników G / N ma kosety N , (1+ n ) N , (1+ n ) ² N, ..., (1+ n ) ^{n −1} N. Kryptosystem Pailliera opiera się na przypuszczeniu , że trudno jest wyznaczyć coset losowego elementu G bez znajomości faktoryzacji n . ${\ Displaystyle G = \ mathbf {Z} _ {n ^ {2}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {n} ^ {*}}$

Nieruchomości

Grupa iloraz G / G jest izomorficzny z grupy trywialne (grupa), z jednego elementu, a G / { e } jest izomorficzny G .

Zamówienie z G / N definicji liczba elementów jest równa | G  : N | The Index z N w G . Jeśli G jest skończony, indeks jest równa kolejności G podzielony przez rzędu N . Zbiór G / N może być skończony, chociaż zarówno G, jak i N są nieskończone (na przykład Z / 2 Z ).

Nie jest to "naturalny" suriekcją grupa homomorfizm π  : G → G / N , wysyłając każdy element g z G do warstwa z N , do którego g należy, że ma: π ( g ) = gN . Mapowanie π jest czasami nazywany kanoniczne projekcją G na G / N . Jej jądro jest N .

Istnieje bijektywna zgodność między podgrupami G, które zawierają N, a podgrupami G / N ; jeśli H jest podgrupą G zawierającą N , to odpowiednią podgrupą G / N jest π ( H ). Ta zgodność dotyczy również normalnych podgrup G i G / N i jest sformalizowana w twierdzeniu o kratownicy .

Kilka ważnych własności grup ilorazowych zostało opisanych w podstawowym twierdzeniu o homomorfizmach i twierdzeniach o izomorfizmie .

Jeśli G jest abelowa , nilpotent , rozpuszczalny , cykliczny lub skończenie generowane , a więc jest G / N .

Jeśli H jest podgrupą w skończonej grupie G , a rząd H jest połową rzędu G , to H jest gwarantowaną podgrupą normalną, więc G / H istnieje i jest izomorficzne do C ₂ . Wynik ten można również określić jako „dowolna podgrupa o wskaźniku 2 jest normalna” iw tej postaci odnosi się również do nieskończonych grup. Ponadto, jeśli P jest najmniejsza liczba pierwsza podzielenie kolejność skończonej grupy G , a następnie, jeśli G / H ma kolejność s , H może być normalny podgrupa G .

Biorąc pod uwagę, G i podgrupa normalna N , a G jest rozszerzenie grupy z G / N o N . Można by zapytać, czy to rozszerzenie jest trywialne czy podzielone; Innymi słowy, można by zapytać, czy G jest bezpośrednim produktem lub iloczynów produktu z N i G / N . Jest to szczególny przypadek problemu z rozszerzeniem . Przykład, w którym rozszerzenie nie jest podzielone, jest następujący: Niech G = Z ₄ = {0, 1, 2, 3} i N = {0, 2}, co jest izomorficzne z Z ₂ . Wtedy G / N jest również izomorficzna do Z ₂ . Ale Z ₂ ma tylko trywialny automorfizm , więc jedynym iloczynem pół-bezpośrednim N i G / N jest iloczyn bezpośredni. Ponieważ Z ₄ różni się od Z ₂ x Z ₂ , możemy stwierdzić, że G jest pół-bezpośrednim produktem N i G / N .

Iloraz grup Liego

Jeśli jest to grupa Lie i jest normalna i zamknięte (topologicznych niż algebraicznej tego słowa znaczeniu), Lie podgrupy z iloraz / jest grupa spoczywają. W tym przypadku, pierwotna grupa ma strukturę wiązki włókien (konkretnie, główny -bundle ), z miejscem podstawa / i włókna . Wymiar / równy . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ mathrm {dim} \ G- \ mathrm {dim} \ N}$

Zwróć uwagę, że warunek, który jest zamknięty, jest konieczny. Rzeczywiście, jeśli nie jest zamknięta, to przestrzeń ilorazowa nie jest przestrzenią T1 (ponieważ w ilorazie jest coset, którego nie można oddzielić od tożsamości przez zbiór otwarty), a zatem nie jest przestrzenią Hausdorffa . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$

Dla nienormalnej podgrupy Lie , przestrzeń / lewych kosetów nie jest grupą, ale po prostu różniczkowalną rozmaitością, na którą oddziałuje. Wynik jest znany jako jednorodna przestrzeń . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$

Zobacz też

• Rozszerzenie grupy
• Kategoria ilorazu
• Krótka dokładna sekwencja

Uwagi

Bibliografia

• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2003), Abstract Algebra (3rd ed.), New York: Wiley , ISBN   978-0-471-43334-7
• Herstein, IN (1975), Topics in Algebra (2nd ed.), New York: Wiley , ISBN   0-471-02371-X