Prawdziwa forma (teoria Lie) - Real form (Lie theory)

Grupa teoria → grup Lie Lie grup
Klasyczne grupy
Prostych grup Lie Lista prostych grup Lie Klasyczny n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré grupa Conformal dyfeomorfizmu Pętla euklidesowa
algebry Liego
Półprosty Lie algebra
przestrzeń jednorodna
teoria reprezentacji
Grupy leżeć w fizyce
naukowcy Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Tabela grup Lie
v T mi

W matematyce , pojęcie rzeczywistej postaci dotyczy przedmiotów zdefiniowanych na polu z rzeczywistych i skomplikowanych numerów. Prawdziwy Lie Algebra g ₀ nazywamy rzeczywistym postaci kompleksu Lie Algebra g jeżeli g jest complexification o g ₀ :

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ simeq {\ mathfrak} {G} _ {0} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}.}$

Pojęcie rzeczywistej formy mogą być również zdefiniowane dla złożonych grup Lie . Prawdziwe postacie kompleks półprosty grup Lie i algebry Liego zostały całkowicie sklasyfikowane przez Élie Cartan .

Prawdziwe postacie do grup Liego i grup algebraicznych

Korzystanie z korespondencji pomiędzy grupami Lie Lie Lie i algebry, pojęcie prawdziwej postaci mogą być definiowane dla grup Lie. W przypadku liniowych grup algebraicznych , pojęcia complexification i prawdziwej postaci mają naturalną opis w języku geometrii algebraicznej .

Klasyfikacja

Podobnie jak kompleks półprosty algebrami Lie klasyfikuje schematów Dynkin , rzeczywiste kształty linii półprosty Lie Algebra klasyfikuje schematów Satake , które uzyskuje się na podstawie wykresu Dynkin tworzą kompleks przez znakowanie kilka wierzchołków czarny (wypełniony) i podłączenia innego wierzchołki w parach za pomocą strzałek, zgodnie z określonymi regułami.

Jest to podstawowa faktem struktury teorii złożonych półprosty algebrach Lie że każdy taki Algebra ma dwa specjalne rzeczywiste formy: jedną jest zwarty rzeczywisty kształt i odpowiada w zwartej grupie znajdują się pod korespondencji Lie (jego schemat Satake ma wszystkie wierzchołki zaczernione) a drugi jest podzielone rzeczywisty kształt i odpowiada grupie Lie, który jest tak daleko jak to możliwe, z czym kompaktowa (jego schemat Satake ma zaczernione wierzchołki i nie strzałki). W przypadku złożonych specjalnej grupy liniowe SL ( n , C ), kompaktowy rzeczywisty kształt jest Grupa Su SU ( n ), a proporcja rzeczywisty kształt jest prawdziwe szczególną grupę liniową SL ( n , R ). Klasyfikacja rzeczywistych form półprosty algebrach Lie przeprowadzono przez Élie Cartan w kontekście Riemanna miejscach symetrycznych . Ogólnie rzecz biorąc, nie może być więcej niż dwóch prawdziwych postaciach.

Załóżmy, że g ₀ jest półprosty Lie algebra nad ciałem liczb rzeczywistych. Przez kryterium Cartan w postać Zabijanie jest niezdegenerowanych i może być diagonalized w odpowiedniej zasadzie z ukośnych pozycji +1 lub -1. Przez twierdzenie o bezwładności form kwadratowych , liczba pozytywnych wpisów, lub dodatni wskaźnik intertia, jest niezmienna od forma dwuliniowa, czyli nie zależy od wyboru podstawy diagonalizing. Jest to liczba między 0 a wymiar g , który jest ważnym niezmiennikiem algebry Lie rzeczywistym, zwany jego indeks .

Podział na prawdziwy forma

Prawdziwy postać g ₀ złożonego półprosty Lie Algebra g mówi się, że jest podzielone , czy normalna , jeśli w każdym Cartan rozkładu g ₀ = K ₀  ⊕  P ₀ , przestrzeń s ₀ zawiera maksymalną Abelowych podalgebrą g ₀ , to znaczy jego Cartan podalgebrą . Élie Cartan udowodnił, że każdy kompleks półprosty Lie algebra g ma podziału prawdziwą formę, która jest unikalna co do izomorfizmu. Ma maksymalny wskaźnik wśród wszystkich prawdziwych postaciach.

Postać podzielonego odpowiada schemacie Satake bez zaczernionych wierzchołków i nie strzałkami.

Kompaktowa forma rzeczywistym

Prawdziwy Lie algebra g ₀ nazywana jest zwarty , jeżeli forma Zabijanie jest ujemny określony , tj indeks g ₀ wynosi zero. W tym przypadku g ₀  =  k ₀ jest kompaktowy Lie algebra . Wiadomym jest, że w ramach korespondencji Lie , kompaktowe algebry Liego odpowiadają zwartych grup Liego .

Kompaktowa forma odpowiada schemat Satake ze wszystkimi wierzchołkami poczerniałe.

Budowa kompaktowej formie rzeczywistym

Ogólnie rzecz biorąc, budowa kompaktowej formie rzeczywistym wykorzystuje strukturę teorii półprosty algebr Liego. Dla klasycznych algebr Liego jest bardziej wyraźna konstrukcja.

Niech g ₀ być prawdziwym Lie algebra macierzy nad R , który jest zamknięty pod mapą transpozycji

${\ Displaystyle X \, aby {X} ^ {T}.}$

Wtedy g ₀ rozkłada się na sumę prostą jego skośnej-symetryczna część k ₀ , a jej część symetryczną p ₀ , to jest rozkład Cartan :

${\ Displaystyle {\ mathfrak} {G} _ {0} = {\ mathfrak {k}} _ {0} \ Oplus {\ mathfrak {t}} _ {0}.}$

Complexification g o g ₀ rozkłada się do bezpośredniego sumy g ₀ i ig ₀ . Przestrzeń prawdziwy wektor macierzy

${\ Displaystyle {\ mathfrak {u}} _ {0} = {\ mathfrak {k}} _ {0} \ Oplus I {\ mathfrak {t}} _ {0}}$

jest podprzestrzeń kompleksu Lie Algebra g , która jest zamknięta na podstawie komutatora, składa się z ukośnych-Hermitian matryc . Wynika z tego, że u ₀ jest prawdziwym Lie podalgebrą g , że jego forma Zabijanie jest ujemny określony (co kompaktowy Lie algebra), i że complexification z U ₀ jest g . W związku z tym, u ₀ jest zwarta postać g .

Zobacz też

• Complexification (grupa Lie)

Uwagi

Referencje