Akcja grupowa - Group action

Cykliczną grupę C ₃ składa się z obrotami o 0 °, 120 ° i 240 ° działa na zestaw trzech wierzchołków.

W matematyce , o działanie grupy na przestrzeni jest homomorfizmem grupy danej grupy do grupy przekształceń przestrzeni. Podobnie działanie grupowe na strukturze matematycznej jest homomorfizmem grupy w grupie automorfizmu struktury. Mówi się, że grupa działa na przestrzeń lub strukturę. Jeśli grupa działa na strukturę, zwykle działa również na obiektach zbudowanych z tej struktury. Na przykład grupa izometrii euklidesowych oddziałuje na przestrzeń euklidesową, a także na narysowane w niej figury. W szczególności działa na zbiór wszystkich trójkątów . Podobnie, grupa symetrii o wielościanu działa na wierzchołkach , na krawędziach , a powierzchnie wielościanu.

Akcja grupowa na (skończenie wymiarowej) przestrzeni wektorowej nazywana jest reprezentacją grupy. Pozwala to na zidentyfikowanie wielu grup z podgrupami $GL(n, K)$ , grupy macierzy odwracalnych wymiaru $n$ nad ciałem $K$ .

Symetryczna grupa $S n$ działa na dowolny zestaw z $n$ elementami poprzez permutację elementów zestawu. Chociaż grupa wszystkich permutacji zbioru formalnie zależy od zbioru, koncepcja działania grupowego pozwala rozważyć jedną grupę do badania permutacji wszystkich zbiorów o tej samej kardynalności .

Definicja

Lewa akcja grupowa

Jeżeli $G$ jest grupą z elementem tożsamościowym $e$ , a $X$ jest zbiorem, to ( lewa ) akcja grupowa $α$ z $G$ na $X$ jest funkcją

{\ Displaystyle \ alfa \ dwukropek G \ razy X \ do X}

spełnia następujące dwa aksjomaty:

Tożsamość:	${\ Displaystyle \ alfa (e, x) = x}$
Zgodność:	${\ Displaystyle \ alfa \ lewo (g, \ alfa \ lewo (h, x \ prawo) \ prawo) = \ alfa \ lewo (gh, x \ prawo)}$

(z $α (g, x)$ często skracane do $gx$ lub $g \cdot x ,$ gdy rozważane działanie jest jasne z kontekstu):

Tożsamość:	${\ Displaystyle e \ cdot x = x}$
Zgodność:	${\ Displaystyle g \ cdot (h \ cdot x) = (gh) \ cdot x}$

dla wszystkich $g$ i $h$ w $G$ i wszystkich $x$ w $X$ .

Grupa $G$ ma działać na $X$ (od lewej). Zbiór $X$ wraz z działaniem $G$ nazywany jest (po lewej ) $G$ - zbiorem .

Z tych dwóch aksjomatów wynika, że dla dowolnego ustalonego $g$ w $G$ funkcja od $X$ do siebie, która odwzorowuje $x$ na $g \cdot x$ jest bijekcją, z odwrotną bijekcją odpowiadającą mapą dla $g- 1$ . Dlatego można równoważnie zdefiniować grupowe działanie $G$ na $X$ jako homomorfizm grupowy od $G$ do symetrycznej grupy $Sym(X)$ wszystkich bijekcji od $X$ do siebie.

Prawidłowa akcja grupowa

Podobnie, prawy zespół działanie z $G$ na $X$ jest funkcją

{\ Displaystyle \ alfa \ dwukropek X \ razy G \ do X}

(z $α (x, g)$ często skracane do $xg$ lub $x \cdot g,$ gdy rozważane działanie jest jasne z kontekstu)

spełnia analogiczne aksjomaty:

Tożsamość:	$x\cdot e=x$
Zgodność:	${\ Displaystyle (x \ cdot g) \ cdot h = x \ cdot (gh)}$

dla wszystkich $g$ i $h$ w $G$ i wszystkich $x$ w $X$ .

Różnica między lewą i prawą akcją polega na kolejności, w jakiej iloczyn $gh$ działa na $x$ . W przypadku akcji w lewo, $h$ działa jako pierwsze, a następnie $g jako$ drugie. W przypadku prawidłowego działania, $g$ działa jako pierwsze, a następnie $h jako$ drugie. Ze względu na wzór $(gh) -1 = h -1 g -1$ , lewa akcja może być skonstruowana z prawego działania przez złożenie z odwrotnym działaniem grupy. Również prawe działanie grupy $G$ na $X$ może być traktowane jako lewe działanie jej przeciwnej grupy $G op$ na $X$ .

Tak więc, aby ustalić ogólne właściwości działań grupowych, wystarczy wziąć pod uwagę tylko działania lewe. Są jednak przypadki, w których nie jest to możliwe. Na przykład pomnożenie grupy indukuje zarówno lewe działanie, jak i prawe działanie na samej grupie — pomnożenie odpowiednio po lewej i po prawej stronie.

Rodzaje działań

Akcja G na X nazywa się:

Przechodni, jeśliXjestniepustei jeśli dla każdej paryx,ywXistniejegwGtakie, że g ⋅ x = y . Na przykład, działanie symetryczna grupaXjest przechodni, działanie zogólnej grupy liniowegolubspecjalnej grupy liniowez przestrzeni wektorVo V ∖ {0}jest przechodni, ale działanieortogonalne grupyo euklidesowej PowierzchniaEnie jest przejściowe o E ∖ {0}(to jest przechodni wsferze jednostkowejodE, chociaż).
Wierny (lubskuteczna ), jeśli dla każdego dwóch odrębnychg,hwGistniejexwXtakich, że g ⋅ x ≠ H ⋅ x ; lub równoważnie, jeśli dla każdego g ≠ e wGistniejexwXtakie, że g ⋅ x ≠ x . Innymi słowy, w wiernym działaniu grupowym różne elementyGwywołują różne permutacjeX. W kategoriach algebraicznych grupaGdziała wiernie naXwtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający homomorfizm grupie symetrycznej, G → Sym( X ), ma trywialnejądro. Tak więc, dla wiernego działania,G osadzasię wgrupie permutacyjnejnaX; konkretnie,Gjest izomorficzny ze swoim obrazem w Sym(X). JeśliGnie działa wiernie naX, możemy łatwo zmodyfikować grupę, aby uzyskać wierne działanie. Jeśli określenie N = { g z G : g ⋅ x = x dla wszystkich x w X }, aNjestnormalnie podgrupyzG; rzeczywiście jest to jądro homomorfizmu G → Sym( X ). Grupaczynników G/Ndziała wiernie naXprzez ustawienie( gN ) ⋅ x = g ⋅ x . Pierwotne działanieGnaXjest wierne wtedy i tylko wtedy, gdy N = { e }. Najmniejszy zbiór, na którym można zdefiniować wierne działanie, może się znacznie różnić dla grup tej samej wielkości. Na przykład:
- Trzy grupy o wielkości 120 są symetryczne grupa S ₅ The dwudziestościan grupa i grupa cykliczna . Najmniejsze zestawy, na których można zdefiniować wierne akcje, mają odpowiednio rozmiar 5, 12 i 16. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /120 \ mathbb {Z}}$
- W abelowe grupy o wielkości 2 ^N zawierają grupę cykliczną , jak również (w bezpośrednim produktem z n kopii ), ale ta ostatnia występuje wiernie zestawu wielkości 2 n , podczas gdy te pierwsze mogą nie działać dokładnie na zestawie mniejsze od siebie. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2 ^ {n} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}) ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
Swobodny (lubpółregularnylubpunktowy swobodny), jeśli przy danymg,hwG, istnieniexwXz g ⋅ x = h ⋅ x implikuje g = h . Równoważnie: jeśligjest elementem grupy i istniejexwXz g ⋅ x = x (to znaczy, jeśligma co najmniej jeden punkt stały), togjest tożsamością. Zauważ, że darmowa akcja na niepustym zestawie jest wierna.
Zwykły (lubpo prostu przechodnie lubostro przechodnie), jeśli jest zarówno przechodnia, jak i wolna; jest to równoznaczne z powiedzeniem, że na każde dwax,ywXistnieje dokładnie jednogwGtakie, że g ⋅ x = y . W tym przypadkuXnazywamygłówną jednorodną przestrzeniądlaGlubG-torsora. Działanie dowolnej grupyGna siebie przez mnożenie od lewej jest regularne, a więc również wierne. Każda grupa może zatem być osadzona w grupie symetrycznej na swoich własnych elementach Sym(G). Ten wynik jest znany jakotwierdzenie Cayleya.
n -przechodnie jeśli X ma co najmniej n elementów i dla wszystkich różnych x ₁ , ..., x _n i wszystkich różnych y ₁ , ..., y _n , istnieje g w G takie, że g ⋅ x _k = r _k o 1 ≤ k ≤ n . Akcja 2-przechodnia jest również nazywanapodwójnie przechodnie , akcja 3-przechodnia jest również nazywanapotrójnie przechodniąi tak dalej. Takie działania definiują interesujące klasy podgrup w grupach symetrycznych: grupy2-przechodniei ogólniejmnożąc grupy przechodnie. Akcja grupy symetrycznej na zbiorze składającym się znelementów jest zawszen-przechodnia; działaniegrupy naprzemiennejjest (n − 2) – przechodnie.
Ostro n -przechodni, jeśli istnieje dokładnie jeden takig.
Prymitywne, jeśli jest przechodnie i nie zachowuje żadnego nietrywialnego podziałuX. Zobaczgrupę permutacji prymitywnych,aby uzyskać szczegółowe informacje.
Lokalnie wolne, jeśli G jest grupą topologiczną , a sąsiedztwo U z e w G jest takie, że ograniczenie działania do U jest wolne; to znaczy, jeśli g ⋅ x = x dla pewnego x i pewnego g w U, to g = e .

Ponadto, jeśli G działa na przestrzeni topologicznej X , to działanie jest następujące:

Zastanawianie się, czy każdy punkt x w X ma sąsiedztwo U takie, żejest skończone. Na przykład działanieonby tłumaczenia jest wędrujące. Wędruje też akcja grupy modułowej na półpłaszczyźnie Poincaré. ${\ Displaystyle \ {g \ w G: g \ cdot U \ czapka U \ neq \ pusty zestaw \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
Prawidłowo nieciągły, jeśli X jest przestrzenią lokalnie zwartą i dla każdego zwartego podzbioru K ⊂ X zbiór jest skończony. Podane powyżej czynności wędrowne są również właściwie nieciągłe. Z drugiej strony działanie na dane przez jest wędrujące i swobodne, ale nie jest właściwie nieciągłe. ${\ Displaystyle \ {g \ w G: gK \ czapka K \ neq \ pusty zestaw \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}}$ ${\ Displaystyle n \ cdot (x, y) = (2 ^ {n} x, 2 ^ {-n} y)}$
Prawidłowe, jeśliGjest grupą topologiczną i mapa zjestwłaściwa. JeśliGjestdyskretna, a następnie properness jest równoważna odpowiedniej nieciągłości naG-actions. ${\ Displaystyle G \ razy X \ rightarrow X \ razy X: (g, x) \ mapsto (g \ cdot x, x)}$
Mówi się, że ma dyskretne orbity, jeśli orbita każdego x w X pod działaniem G jest dyskretna w X .
Obejmujące przestrzeń działania , jeśli każdy punkt x w X ma otoczenie U takie, że . ${\ Displaystyle \ {g \ w G: g \ cdot U \ czapka U \ neq \ pusty zestaw \} = \ {e \}}$

Jeśli X jest niezerowym modułem nad pierścieniem R, a działanie G jest R- liniowe, to mówi się, że jest

Nieredukowalne, jeśli nie ma niezerowego odpowiedniego niezmiennego submodułu.

Orbity i stabilizatory

W związku pięciu czworościanów grupą symetrii jest (obrotowa) grupa dwudziestościenna I rzędu 60, podczas gdy stabilizatorem jednego wybranego czworościanu jest (obrotowa) grupa czworościenna T rzędu 12, a przestrzeń orbity I / T ( rzędu 60/12 = 5) jest naturalnie utożsamiany z 5 czworościanem – coset gT odpowiada czworościanowi, do którego g wysyła wybrany czworościan.

Rozważmy grupę G działającą na zbiorze X . Orbity pierwiastka X w X jest zestaw elementów X , którym x może być przemieszczane przez elementy G . Orbita x jest oznaczona przez G ⋅ x :

{\ Displaystyle G \ cdot x = \ lewo \ {g \ cdot x \ średni g \ w G \ po prawej \}.}

Właściwości zdefiniowanie grupy gwarancji, że zbiór orbit (punkty x w) x pod działaniem G tworzą partycję z X . Przynależną równoważność stosunek jest określony przez mówiąc x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g na G w g ⋅ x = y . Orbity są wtedy klasami równoważności w tej relacji; dwa elementy x i y są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich orbity są takie same, to znaczy G ⋅ x = G ⋅ y .

Akcja grupowa jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie jedną orbitę, to znaczy, jeśli istnieje x w X z G ⋅ x = X . Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy G ⋅ x = X dla wszystkich x w X (biorąc pod uwagę, że X nie jest puste).

Zbiór wszystkich orbit X pod działaniem G zapisujemy jako X / G (lub rzadziej: G \ X ) i nazywamy ilorazem działania. W sytuacjach geometrycznych można to nazwaćprzestrzeń orbity , podczas gdy w sytuacjach algebraicznych można ją nazwać przestrzeniąkoinwarianty i zapisaneX_G , w przeciwieństwie do niezmienników (punkty stałe), oznaczoneX^G : koinwarianty sąilorazem,podczas gdy niezmienniki sąpodzbiorem. Terminologia i notacja koinwariantna są używane szczególnie wkohomologiigrupowejihomologii grupowej, które wykorzystują tę samą konwencję indeksu górnego/dolnego.

Niezmienne podzbiory

Jeżeli Y jest podzbiorem z X , jeden zapisuje G ⋅ Y dla zestawu { g ⋅ y : y ∈ Y i g ∈ G } . Mówi się, że podzbiór Y jest niezmienny pod G, jeśli G ⋅ Y = Y (co jest równoważne G ⋅ Y ⊆ Y ). W takim przypadku G działa również na Y , ograniczając działanie do Y . Podzbiór Y nazywamy ustalonym pod G, jeśli g ⋅ y = y dla wszystkich g w G i wszystkich y w Y . Każdy podzbiór ustalony pod G jest również niezmienny pod G , ale nie odwrotnie.

Każda orbita jest niezmiennym podzbiorem X, na którym G działa przechodnie . I odwrotnie, każdy niezmienny podzbiór X jest sumą orbit. Działanie G na X jest przechodnie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy są równoważne, co oznacza, że jest tylko jedna orbita.

G niezmienny element X to x ∈ X w taki sposób, g ⋅ x = x dla wszystkich g ∈ G . Zbiór wszystkich takich X jest oznaczona X ^G i zwane G Niezmienniki z X . Gdy X jest G -module , X ^G jest zerowe kohomologie grupa G ze współczynników X i wyższe grupy kohomologii są pochodne Funktory z funktora z G -invariants.

Punkty stałe i podgrupy stabilizatorów

Biorąc pod uwagę g w G i x w X przy g ⋅ x = x , mówi się, że „ x jest stałym punktem g ” lub że „ g ustala x ”. Dla każdego x w X The podgrupa stabilizatora z G w stosunku do X (znany także grupa izotropowość lub małe grupy ) stanowi zbiór wszystkich elementów G mocujące x :

{\ Displaystyle G_ {x} = \ {g \ w G \ średni g \ cdot x = x \}.}

Jest to podgrupa z G , chociaż zwykle nie jest normalny. Działanie G na X jest swobodne wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie stabilizatory są trywialne. Jądro N homomorfizmu z grupą symetryczną, G → Sym( X ) , jest dane przez przecięcie stabilizatorów G _x dla wszystkich x w X . Jeśli N jest trywialne, mówi się, że działanie jest wierne (lub skuteczne).

Niech x i y będą dwoma elementami w X i niech g będzie elementem grupy takim, że y = g ⋅ x . Następnie dwie grupy stabilizatorów G _x i G _y są powiązane przez G _y = g G _x g ^-1 . Dowód: z definicji h ∈ G _y wtedy i tylko wtedy, gdy h ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Stosując g ^-1 po obu stronach tej równości daje ( g ^-1hg )⋅ x = x ; czyli g ^-1hg ∈ G _x . Podobnie następuje przeciwne włączenie, przyjmując h ∈ G _x i zakładając x = g ⁻¹ ⋅ y .

Powyższe mówi, że stabilizatory pierwiastków na tej samej orbicie są ze sobą sprzężone . W ten sposób do każdej orbity możemy powiązać klasę koniugatu podgrupy G (czyli zbiór wszystkich koniugatów podgrupy). Niech oznaczają klasa sprzężoności z H . Wtedy orbita O ma typ, jeśli stabilizator jakiegoś/dowolnego x w O należy do . Typ orbity maksymalnej jest często nazywany typem orbity głównej . ${\ Displaystyle (H)}$ ${\ Displaystyle (H)}$ ${\ Displaystyle G_ {x}}$ ${\ Displaystyle (H)}$

Twierdzenie o stabilizatorze orbity i lemat Burnside'a

Orbity i stabilizatory są ze sobą ściśle powiązane. Dla ustalonego x w X , rozważ odwzorowanie f : G → X dane przez g ↦ g · x . Z definicji obraz f ( G ) na tej mapie to orbita G · x . Warunkiem, aby dwa elementy miały ten sam obraz, jest

{\ Displaystyle f (g) = f (h) \ iff g \ cdot x = h \ cdot x \ iff g ^ {-1} h \ cdot x = x \ iff g ^ {-1} h \ w G_ { x}\iff h\in gG_{x}}

.

Innymi słowy, wtedy i tylko wtedy i leżą w tym samym zestawie dla podgrupy stabilizatora . Tak więc, włókna z F, w dowolnym Y w G · x jest zawarte w takim warstwa, a każda taka warstwa występuje także w postaci włókien. Dlatego f określa bijekcję między zbiorem cosetów dla podgrupy stabilizatora a orbitą G · x , która wysyła . Ten wynik jest znany jako twierdzenie o stabilizatorze orbity . ${\ Displaystyle f (g) = f (h)}$ $g$ ${\ Displaystyle h}$ ${\ Displaystyle G_ {x}}$ ${\ Displaystyle f ^ {-1} (\ {y \})}$ ${\ Displaystyle G/G_ {x}}$ ${\ Displaystyle gG_ {x} \ mapsto g \ cdot x}$

Jeśli G jest skończone, to twierdzenie o stabilizatorze orbity wraz z twierdzeniem Lagrange'a daje

{\ Displaystyle | G \ cdot x | = [G \ ,: \, G_ {x}] = | G | / | G_ {x} |}

innymi słowy długość orbity x razy rząd jej stabilizatora jest rządem grupy. W szczególności oznacza to, że długość orbity jest dzielnikiem porządku grupowego.

Przykład: Niech G będzie grupą rzędu pierwszego p działającą na zbiorze X zawierającym k elementów. Ponieważ każda orbita ma 1 lub p elementów, istnieją przynajmniej orbity o długości 1, które są G- niezmiennymi elementami.

k{\bmod {p}}

Ten wynik jest szczególnie przydatny, ponieważ można go wykorzystać do zliczania argumentów (zwykle w sytuacjach, gdy X również jest skończone).

Wykres sześcienny z oznaczonymi wierzchołkami

Przykład: Możemy użyć twierdzenia o stabilizatorze orbity, aby policzyć automorfizmy grafu . Rozważmy graf sześcienny jak na rysunku i niech G oznacza jego grupę automorficzną . Wtedy G działa na zbiorze wierzchołków {1, 2, ..., 8}, a ta akcja jest przechodnia, co można zobaczyć tworząc obroty wokół środka sześcianu. Tak więc, zgodnie z twierdzeniem o stabilizatorze orbity, . Stosując teraz twierdzenie do stabilizatora G ₁ , możemy otrzymać . Każdy element G, który ustala 1, musi wysłać 2 do 2, 4 lub 5. Jako przykład takich automorfizmów rozważ obrót wokół osi przekątnej o 1 i 7, o które permutuje 2,4,5 i 3,6,8 , oraz poprawki 1 i 7. Tak więc . Zastosowanie twierdzenia po raz trzeci daje . Każdy element G, który ustala 1 i 2, musi wysłać 3 do 3 lub 6. Odbicie sześcianu w płaszczyźnie przez 1,2,7 i 8 jest takim automorfizmem wysyłającym 3 do 6, a więc . Widzimy też, że składa się on tylko z automorfizmu tożsamościowego, ponieważ każdy element G ustalający 1, 2 i 3 musi także ustalać wszystkie inne wierzchołki, ponieważ są one określone przez ich sąsiedztwo z 1, 2 i 3. Łącząc poprzednie obliczenia, możemy teraz uzyskać .

{\ Displaystyle | G | = | G \ cdot 1 | | G_ {1} | = 8 | G_ {1} |}

{\ Displaystyle | G_ {1} | = | (G_ {1}) \ cdot 2 | | (G_ {1}) _ {2} |}

2\pi/3

{\ Displaystyle \ lewo | (G_ {1}) \ cdot 2 \ prawo | = 3}

{\ Displaystyle | (G_ {1}) _ {2} | = | ((G_ {1}) _ {2}) \ cdot 3 | | ((G_ {1}) _ {2}) _ {3} |}

{\ Displaystyle \ lewo | ((G_ {1}) _ {2}) \ cdot 3 \ prawo | = 2}

((G_{1})_{2})_{3}

{\ Displaystyle | G | = 8 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 48}

Wynikiem ściśle powiązanym z twierdzeniem o stabilizatorze orbity jest lemat Burnside'a :

{\ Displaystyle | X / G | = {\ Frac {1} {| G |}} \ suma _ {g \ w G} | X ^ {g} |}

gdzie X ^g jest zbiorem punktów ustalonych przez g . Wynik ten ma zastosowanie głównie wtedy, gdy G i X są skończone, gdy można go interpretować w następujący sposób: liczba orbit jest równa średniej liczbie punktów ustalonych na element grupy.

Mocowanie grupy G , zestaw posiadanie różnic skończonych G -Służy tworzy pierścień, zwany pierścieniem Burnside z G , którym odpowiada dodatkiem do rozłącznego jedności oraz rozmnażania i produktu kartezjańskiej .

Przykłady

ten trywialne działanie jakiejkolwiek grupyGw dowolnym ustalonymXjest określona g ⋅ x = x dla wszystkichgzGi wszystkichXnaX; oznacza to, że każdy element grupy indukujepermutację tożsamościnaX.
W każdej grupie G mnożenie od lewej jest działaniem G na G : g ⋅ x = gx dla wszystkich g , x w G . Akcja ta jest swobodna i przechodnia (regularna) i stanowi podstawę szybkiego dowodu twierdzenia Cayleya - że każda grupa jest izomorficzna z podgrupą symetrycznej grupy permutacji zbioru G .
W każdej grupie G z podgrupą H mnożenie od lewej jest działaniem G na zbiorze cosetów G/H : g ⋅ aH = gaH dla wszystkich g , a w G . W szczególności, jeśli H nie zawiera nietrywialnych normalnych podgrup G, indukuje to izomorfizm z G do podgrupy grupy permutacyjnej stopnia [G:H] .
W każdej z grup G , koniugacji jest działanie G w G : g ⋅ x = gxg ^-1 . Notacja wykładnicza jest powszechnie stosowana dla wariantu o działaniu prawostronnym: x ^g = g ^-1xg ; spełnia ( x ^g ) ^h = x ^gh .
W każdej grupie G z podgrupą H koniugacja jest działaniem G na koniugaty H : g ⋅ K = gKg ^-1 dla wszystkich g w G i K koniugatów H .
Symetryczna grupa S _n i jej podgrupy działają na zbiorze { 1, …, n } permutując jego elementy
Grupa symetrii wielościanu działa na zbiór wierzchołków tego wielościanu. Działa również na zbiór ścian lub zbiór krawędzi wielościanu.
Grupa symetrii dowolnego obiektu geometrycznego działa na zbiór punktów tego obiektu.
Grupa automorfizmu przestrzeni wektorowej (lub grafu , grupy, pierścienia...) działa na przestrzeni wektorowej (lub zbioru wierzchołków grafu, grupy, pierścienia...).
Ogólna grupa liniowa GL( n , K ) i jej podgrupy, w szczególności podgrupy Lie (w tym specjalna grupa liniowa SL( n , K ) , grupa ortogonalna O( n , K ) , specjalna grupa ortogonalna SO( n , K ) , a grupa symplektyczna Sp( n , K ) ) to grupy Liego działające w przestrzeni wektorowej K ⁿ . Operacje na grupach podaje się mnożąc macierze z grup przez wektory z K ⁿ .
Ogólna grupa liniowa GL( n , Z ) działa na Z ⁿ poprzez naturalne działanie macierzy. Orbity jego działania są klasyfikowane przez największy wspólny dzielnik współrzędnych wektora w Z ⁿ .
Grupa afiniczna działa przechodnie na punkty przestrzeni afinicznej , a podgrupa V grupy afinicznej (czyli przestrzeni wektorowej) ma działanie przechodnie i swobodne (czyli regularne ) na te punkty; w rzeczywistości można to wykorzystać do określenia definicji przestrzeni afinicznej .
Rzutowa liniową grupę PGL ( n + 1, K ) i jego podgrup, a zwłaszcza jego podgrupy Lie, które są grupami Lie działające na przestrzeni rzutowej P ⁿ ( K ). Jest to iloraz działania ogólnej grupy liniowej na przestrzeń rzutową. Na szczególną uwagę zasługuje PGL(2, K ) , symetrie linii rzutowej, która jest ostro 3-przechodnia, zachowując współczynnik krzyżowania ; grupa Möbiusa PGL (2 C ), ma szczególne znaczenie.
W izometrie ustawy z samolotu na zestaw obrazów i wzorów 2D, takich jak wzory tapet . Definicję można doprecyzować, określając, co oznacza obraz lub wzór, na przykład funkcja położenia z wartościami w zestawie kolorów. Izometrie są w rzeczywistości jednym z przykładów grupy afinicznej (działania).
Zestawy poddana działaniu grupy G składało się z kategorii z G -Służy, w których obiekty są G -Służy i morfizmami są G -Set homomorfizmy: funkcje f : X → Y w taki sposób, g ⋅ ( F ( x )) = f ( g ⋅ x ) dla każdego g w G .
Grupa Galois z rozszerzeniem obszar L / K działa na polu l, ale ma tylko trywialne działanie na elementy podpolu K. podgrup Gal (l / K) odpowiadają podpól L zawierających K, czyli pośrednie pole rozszerzenia między L i K.
Dodatkowa grupa liczb rzeczywistych ( R , + ) działa na przestrzeń fazową " dobrze zachowujących się " systemów w mechanice klasycznej ( i ogólniej układach dynamicznych ) przez przesunięcie w czasie : jeśli t jest w R i x jest w fazie przestrzeni, to x opisuje stan systemu, a t + x definiuje się jako stan systemu t sekund później, jeśli t jest dodatnie lub − t sekund temu, jeśli t jest ujemne.
Grupa addytywna liczb rzeczywistych ( R , + ) działa na zbiór funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej na różne sposoby, przy czym ( t ⋅ f )( x ) równa się np. f ( x + t ) , f ( x ) + T , f ( XE ^t ) , f ( x ), e ^{, T} , f ( x + t ) e ^t , a f ( XE ^t ) + t , ale f ( XE ^T + t ) .
Biorąc pod uwagę działanie grupy G o X można zdefiniować indukowanej działanie G na zestaw zasilania z X , ustawiając g ⋅ U = { g ⋅ u : u ∈ u } dla każdego podzbioru U z X i każdy g z G . Jest to przydatne, na przykład, w badaniu działania dużej grupy Mathieu na zbiorze 24 oraz w badaniu symetrii w niektórych modelach skończonych geometrii .
W kwaterniony z normą 1 ( wersorów ), jak multiplikatywna grupa, działające na R ³ : Do takiego kwaternionów Z = cos α / 2 + V sin α / 2 odwzorowanie f ( x ) = oo x Z ^* jest obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt α wokół osi określonej przez wektor jednostkowy v ; z to ten sam obrót; zobacz kwaterniony i rotację przestrzenną . Zauważ, że nie jest to wierne działanie, ponieważ quaternion -1 pozostawia wszystkie punkty tam, gdzie były, podobnie jak quaternion 1.
Biorąc lewo G -Służy znajduje się lewy G -Set której elementy są G -equivariant mapy i lewym G -action podane przez (gdzie „ ” oznacza mnożenie przez prawo ). Ten zbiór G ma tę właściwość, że jego stałe punkty odpowiadają mapom ekwiwariantnym ; bardziej ogólnie, jest to obiekt wykładniczy w kategorii G- zbiorów. $X,Y$ ${\ Displaystyle Y ^ {X}}$ ${\ Displaystyle \ alfa: X \ razy G \ do Y}$ ${\ Displaystyle g \ cdot \ alfa = \ alfa \ circ (id_ {X} \ razy -g)}$ $-g$ $g$ ${\ Displaystyle X \ do Y}$

Akcje grupowe i grupoidy

Pojęcie działania grupowego można umieścić w szerszym kontekście, używając grupoidu działania związanego z działaniem grupowym, umożliwiając w ten sposób techniki z teorii grupoidów, takie jak prezentacje i fibracje . Dalej stabilizatory akcji są grupami wierzchołków, a orbity akcji są składnikami grupoidy akcji. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz książkę Topologia i groupoids, o której mowa poniżej. ${\ Displaystyle G' = G \ lrazy X}$

Ten grupoid działania ma morfizm p : G′ → G , który jest morfizmem pokrywającym grupoidy . Pozwala to na powiązanie takich morfizmów z mapami pokrywającymi w topologii.

Morfizmy i izomorfizmy między G- zbiorami

Jeśli X i Y są dwoma zbiorami G , morfizm od X do Y jest funkcją f : X → Y taką, że f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) dla wszystkich g w G i wszystkich x w X . Morfizmami G -Służy nazywane są również equivariant mapy lub G-mapy .

Złożenie dwóch morfizmów jest znowu morfizmem. Jeśli morfizm f jest bijektywny, to jego odwrotność jest również morfizmem. W tym przypadku f nazywamy izomorfizmem , a dwa zbiory G X i Y nazywamy izomorfizmem ; dla wszystkich praktycznych celów izomorficzne zbiory G są nie do odróżnienia.

Kilka przykładowych izomorfizmów:

Każde normalne działanie G jest izomorficzne z działaniem G na G przez mnożenie od lewej.
Każde wolne działanie G jest izomorficzne z G × S , gdzie S jest pewnym zbiorem, a G działa na G × S przez mnożenie od lewej na pierwszej współrzędnej. ( S można przyjąć jako zbiór orbit X / G .)
Każda przechodnia akcja G jest izomorficzna do lewej mnożenia przez G na zbiorze lewych kosetów jakiejś podgrupy H z G . ( H można przyjąć jako grupę stabilizatora dowolnego elementu oryginalnego zestawu G. )

Z tym pojęciem morfizmu, zbiór wszystkich zbiorów G tworzy kategorię ; ta kategoria jest toposem Grothendiecka (w rzeczywistości, zakładając klasyczną metalogikę, ten topos będzie nawet logiczny).

Ciągłe akcje grupowe

Często uważa działania grup ciągłych : grupa G jest grupą topologiczną, X jest przestrzenią topologiczną, a mapa G × X → X jest ciągła względem topologii produktu z G × X . Przestrzeń X nazywana jest również w tym przypadku przestrzenią G. Jest to rzeczywiście uogólnienie, ponieważ każdą grupę można uznać za grupę topologiczną przy użyciu topologii dyskretnej . Wszystkie wprowadzone powyżej pojęcia nadal działają w tym kontekście, jednak definiujemy morfizmy między przestrzeniami G jako ciągłe odwzorowania zgodne z działaniem G . Iloraz X / G dziedziczy topologię ilorazową z X i nazywa się przestrzenią ilorazową akcji. Powyższe stwierdzenia dotyczące izomorfizmów dla akcji regularnych, swobodnych i przechodnich nie są już aktualne dla ciągłych akcji grupowych.

Jeżeli X jest regularną przestrzenią pokrywającą inną przestrzeń topologiczną Y , to działanie grupy transformacji talii na X jest właściwie nieciągłe i wolne. Każda swobodna, właściwie nieciągła akcja grupy G na połączonej ścieżką przestrzeni topologicznej X powstaje w ten sposób: odwzorowanie ilorazowe X ↦ X / G jest regularnym odwzorowaniem pokrywającym, a grupa transformacji pokładu jest daną akcję G na X . Co więcej, jeśli X jest po prostu połączone, podstawowa grupa X / G będzie izomorficzna z G .

Wyniki te zostały uogólnione w książce Topology and Groupoids, o której mowa poniżej, w celu uzyskania fundamentalnej grupoidy przestrzeni orbity nieciągłego działania dyskretnej grupy w przestrzeni Hausdorffa, jako, w rozsądnych warunkach lokalnych, grupoida orbity fundamentalnej grupoidy przestrzeń. Pozwala to na obliczenia takie jak podstawowa grupa kwadratu symetrycznego przestrzeni X , czyli przestrzeń orbity iloczynu X ze sobą pod działaniem skrętu cyklicznej grupy rzędu 2 wysyłającej ( x , y ) do ( y , x ) ) .

Działanie grupy G na lokalnie zwartej przestrzeni X jest współzwarte, jeśli istnieje zwarty podzbiór A zbioru X taki, że GA = X . Dla prawidłowo nieciągłego oddziaływania, współzwartość jest równoważna zwartości przestrzeni ilorazowej X/G .

Działanie G na X jest uważane za właściwe, jeśli odwzorowanie G × X → X × X, które wysyła ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) jest właściwym odwzorowaniem .

Silnie ciągła akcja grupowa i gładkie punkty

O działaniu grupowym grupy topologicznej G na przestrzeni topologicznej X mówimy, że jest silnie ciągła, jeśli dla wszystkich x w X , odwzorowanie g ↦ g ⋅ x jest ciągłe w odniesieniu do odpowiednich topologii. Takie działanie indukuje działanie na przestrzeni funkcji ciągłych na X przez zdefiniowanie ( g ⋅ f )( x ) = f ( g ⁻¹ ⋅ x ) dla każdego g w G , f funkcji ciągłej na X , oraz x w X . Zauważ, że chociaż każda ciągła akcja grupowa jest silnie ciągła, odwrotność generalnie nie jest prawdziwa.

Podprzestrzeń punktów gładkich dla działania to podprzestrzeń X punktów x taka, że g ↦ g ⋅ x jest gładka, czyli ciągła i wszystkie pochodne są ciągłe.

Warianty i uogólnienia

Możemy również rozważyć działania monoidów na zbiorach, używając tych samych dwóch aksjomatów jak powyżej. Nie definiuje to jednak map bijective i relacji równoważności. Zobacz działanie półgrupowe .

Zamiast działań na zbiorach, możemy zdefiniować działania grup i monoidów na obiektach dowolnej kategorii: zacznij od obiektu X jakiejś kategorii, a następnie zdefiniuj działanie na X jako homomorfizm monoidu w monoid endomorfizmów X . Jeśli X posiada zbiór bazowy, wówczas wszystkie definicje i fakty podane powyżej mogą zostać przeniesione. Na przykład, jeśli weźmiemy kategorię przestrzeni wektorowych, w ten sposób otrzymujemy reprezentacje grup .

Możemy postrzegać grupę G jako kategorię z pojedynczym obiektem, w którym każdy morfizm jest odwracalny. (lewe) działanie grupowe jest więc niczym innym jak funktorem (kowariantnym) od G do kategorii zbiorów , a reprezentacją grupy jest funktor od G do kategorii przestrzeni wektorowych . Morfizm między G-zbiorami jest więc naturalną transformacją między funktorami działania grupowego. Analogicznie działaniem grupoidu jest funktor z grupoidu do kategorii zbiorów lub do jakiejś innej kategorii.

Oprócz ciągłych działań grup topologicznych na przestrzeniach topologicznych, jeden też często uważa gładkie działania grup leżą na gładkich rozmaitości , regularnych działań grup algebraicznych na rozmaitości algebraicznych i działań z programów grupowych na schematach . Wszystko to są przykłady obiektów grupowych działających na obiekty należące do ich kategorii.

Galeria

Orbita podstawowego trójkąta sferycznego (zaznaczona na czerwono) pod działaniem pełnej grupy oktaedrycznej.
Orbita podstawowego trójkąta sferycznego (zaznaczonego na czerwono) pod działaniem pełnej grupy dwudziestościennej.

Zobacz też

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

Aschbacher, Michael (2000). Teoria grup skończonych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-78675-1. MR 1777008 .
Brown, Ronald (2006). Topologia i grupoidy , Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8 .
Kategorie i grupoidy, PJ Higgins , do pobrania przedruk van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, które dotyczą zastosowań grupoidów w teorii grup i topologii.
Głupek, David; Richarda Foote'a (2004). Abstrakcyjna Algebra (3rd ed.). Wileya. Numer ISBN 0-471-43334-9.
Eie, Minking; Chang, Shou-Te (2010). Kurs algebry abstrakcyjnej . Światowy Naukowy. Numer ISBN 978-981-4271-88-2.
Rotman Józef (1995). Wprowadzenie do teorii grup . Teksty magisterskie z matematyki 148 (4th ed.). Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-94285-8.
Smith, Jonathan DH (2008). Wprowadzenie do algebry abstrakcyjnej . Podręczniki do matematyki. CRC Prasa. Numer ISBN 978-1-4200-6371-4.

Zewnętrzne linki

„Działanie grupy na rozmaitości” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Działanie grupowe” . MatematykaŚwiat .

Languages

In other projects