Przestrzeń euklidesowa - Euclidean space

Punkt w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej można zlokalizować za pomocą trzech współrzędnych.

Przestrzeń euklidesowa jest podstawową przestrzenią geometrii klasycznej . Początkowo, było to trójwymiarowej przestrzeni z euklidesowej geometrii , lecz w nowoczesnych matematycznych są euklidesowe dowolnego nieujemną wymiarze , w tym trójwymiarowej przestrzeni i w płaszczyźnie euklidesowej (wymiar dwa). Został wprowadzony przez starożytnego greckiego matematyka Euklidesa z Aleksandrii , a kwalifikator Euklides jest używany do odróżnienia go od innych przestrzeni, które później odkryto w fizyce i matematyce współczesnej.

Geometria starożytnej Grecji wprowadziła przestrzeń euklidesową do modelowania fizycznego wszechświata . Ich wielką innowacją było udowodnienie wszystkich własności przestrzeni jako twierdzeń , wychodząc od kilku podstawowych własności, zwanych postulatami , które albo uważano za oczywiste (np. przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta ), albo wydawały się niemożliwe do zrealizowania. udowodnić ( postulat równoległy ).

Po wprowadzeniu pod koniec XIX wieku geometrii nieeuklidesowych , dawne postulaty zostały ponownie sformalizowane w celu zdefiniowania przestrzeni euklidesowych poprzez teorię aksjomatyczną . Wykazano, że inna definicja przestrzeni euklidesowych za pomocą przestrzeni wektorowych i algebry liniowej jest równoważna definicji aksjomatycznej. Jest to definicja, która jest częściej używana we współczesnej matematyce i szczegółowo opisana w tym artykule.

We wszystkich definicjach przestrzenie euklidesowe składają się z punktów, które są określone tylko przez właściwości, które muszą mieć, aby utworzyć przestrzeń euklidesową.

W każdym wymiarze istnieje zasadniczo tylko jedna przestrzeń euklidesowa; czyli wszystkie przestrzenie euklidesowe danego wymiaru są izomorficzne . Dlatego w wielu przypadkach możliwa jest praca z określoną przestrzenią euklidesową, która jest generalnie rzeczywistą przestrzenią $n$ wyposażoną w iloczyn skalarny . Izomorfizmem z przestrzeni euklidesowej do współpracowników z każdego punktu $n$ -tuple z liczb rzeczywistych , które zlokalizować punkt w przestrzeni euklidesowej i nazywane są współrzędne kartezjańskie tego punktu. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Definicja

Historia definicji

Przestrzeń euklidesowa została wprowadzona przez starożytnych Greków jako abstrakcja naszej przestrzeni fizycznej. Ich wielką innowacją, pojawiającą się w Elementach Euklidesa, było zbudowanie i udowodnienie całej geometrii, wychodząc od kilku bardzo podstawowych właściwości, które są wyabstrahowane ze świata fizycznego i nie mogą być matematycznie udowodnione z powodu braku bardziej podstawowych narzędzi. Własności te nazywane są postulatami lub aksjomatami we współczesnym języku. Ten sposób definiowania przestrzeni euklidesowej jest nadal używany pod nazwą geometrii syntetycznej .

W 1637 roku René Descartes wprowadził współrzędne kartezjańskie i wykazał, że pozwala to zredukować problemy geometryczne do obliczeń algebraicznych na liczbach. Ta redukcja geometrii do algebry była poważną zmianą punktu widzenia, ponieważ do tego czasu liczby rzeczywiste — czyli liczby wymierne i niewymierne razem — były definiowane w kategoriach geometrii, jako długości i odległości.

Geometria euklidesowa nie była stosowana w przestrzeniach więcej niż trzech wymiarów aż do XIX wieku. Ludwig Schläfli uogólnił geometrię euklidesową na przestrzenie o n wymiarach, stosując metody syntetyczne i algebraiczne, i odkrył wszystkie regularne politopy (wyższe wymiarowe odpowiedniki brył platońskich ), które istnieją w przestrzeniach euklidesowych o dowolnej liczbie wymiarów.

Pomimo szerokiego zastosowania podejścia Kartezjusza, które nazwano geometrią analityczną , definicja przestrzeni euklidesowej pozostała niezmieniona do końca XIX wieku. Wprowadzenie abstrakcyjnych przestrzeni wektorowych pozwoliło na ich wykorzystanie w definiowaniu przestrzeni euklidesowych o definicji czysto algebraicznej. Wykazano, że ta nowa definicja jest równoważna z klasyczną definicją pod względem aksjomatów geometrycznych. To właśnie ta algebraiczna definicja jest obecnie najczęściej używana do wprowadzania przestrzeni euklidesowych.

Motywacja współczesnej definicji

Jednym ze sposobów, aby myśleć o płaszczyźnie euklidesowej jest jako zestaw z punktów spełniających pewne relacje, wyrazić w kategoriach odległości i kątów. Na przykład istnieją dwie podstawowe operacje (nazywane ruchami ) na płaszczyźnie. Jednym z nich jest translacja , czyli przesunięcie płaszczyzny tak, aby każdy punkt był przesunięty w tym samym kierunku io tę samą odległość. Drugim jest obrót wokół stałego punktu na płaszczyźnie, w którym wszystkie punkty na płaszczyźnie obracają się wokół tego stałego punktu pod tym samym kątem. Jedną z podstawowych zasad geometrii euklidesowej jest to, że dwie figury (zazwyczaj uważane za podzbiory ) płaszczyzny powinny być uważane za równoważne ( przystające ), jeśli jedna może zostać przekształcona w drugą przez pewną sekwencję przesunięć, obrotów i odbić (patrz poniżej ).

Aby wszystko to było matematycznie precyzyjne, teoria musi jasno zdefiniować, czym jest przestrzeń euklidesowa i związane z nią pojęcia odległości, kąta, przesunięcia i obrotu. Nawet gdy jest używana w teoriach fizycznych , przestrzeń euklidesowa jest abstrakcją oderwaną od rzeczywistych fizycznych lokalizacji, określonych ram odniesienia , instrumentów pomiarowych i tak dalej. Czysto matematyczna definicja przestrzeni euklidesowej pomija również pytania o jednostki długości i inne wymiary fizyczne : odległość w przestrzeni „matematycznej” jest liczbą , a nie czymś wyrażonym w calach czy metrach.

Standardowym sposobem matematycznego określenia przestrzeni euklidesowej, prowadzona w pozostałej części tego wyrobu, to do określenia przestrzeni euklidesowej jako zbiór punktów, w którym działa się rzeczywistą przestrzeń wektorową , w przestrzeni tłumaczenia który jest wyposażony w iloczyn skalarny . Działanie translacji sprawia, że przestrzeń staje się przestrzenią afiniczną , a to pozwala na definiowanie linii, płaszczyzn, podprzestrzeni, wymiaru i równoległości . Produkt wewnętrzny umożliwia określenie odległości i kątów.

Zestaw z $n$ -tuples liczb rzeczywistych wyposażonych w iloczynu skalarnego jest euklidesowa przestrzeń wymiaru $n$ . Odwrotnie, wybór punktu zwanego początkiem i bazy ortonormalnej przestrzeni przesunięć jest równoznaczny z określeniem izomorfizmu między przestrzenią euklidesową o wymiarze $n$ a postrzeganą jako przestrzeń euklidesową. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Wynika z tego, że wszystko, co można powiedzieć o przestrzeni euklidesowej można powiedzieć o związku z tym, wielu autorów, zwłaszcza na poziomie podstawowym, zadzwoń do standardowej przestrzeni euklidesowej wymiaru $n$ , lub po prostu w przestrzeni euklidesowej wymiaru $n$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Powodem, dla wprowadzenia takiego streszczenie definicji euklidesowych i do pracy z nią, a nie jest to, że często korzystne jest pracować w koordynacji wolne i powstanie wolna sposób (to znaczy, bez wyboru korzystnego podstawę i korzystny początek ). Innym powodem jest to, że w świecie fizycznym nie ma źródła ani podstawy. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Definicja techniczna

A Przestrzeń wektora euklidesowego jest skończenie wymiarowąprzestrzenią produktu wewnętrznegonadliczbami rzeczywistymi.

Euklidesowa przestrzeń jest afiniczne przestrzeń nad liczb rzeczywistych , tak że związane z nimi przestrzeń wektor jest euklidesową wektora przestrzennego. Przestrzenie euklidesowe są czasami nazywane euklidesowymi przestrzeniami afinicznymi dla odróżnienia ich od euklidesowych przestrzeni wektorowych.

Jeśli $E$ jest przestrzenią euklidesową, często oznacza się jej skojarzoną z nią przestrzeń wektorową . Wymiar przestrzeni euklidesowej jest wymiarem skojarzonej z nią przestrzeni wektorowej. ${\overrightarrow {E}}.$

Elementy $E$ nazywane są punktami i są zwykle oznaczane wielkimi literami. Elementy z nazywane są wektorami euklidesowymi lub wektorami swobodnymi . Nazywa się je również translacjami , chociaż właściwie translacja jest transformacją geometryczną wynikającą z działania wektora euklidesowego na przestrzeń euklidesową. ${\overrightarrow {E}}$

Działanie translacji $v$ na punkt $P$ daje punkt oznaczony jako $P + v$ . To działanie spełnia

{\ Displaystyle P + (V + W) = (P + V) + W.}

(Drugie $+$ po lewej stronie to dodawanie wektorów; wszystkie inne $+$ oznaczają działanie wektora na punkcie. Ten zapis nie jest dwuznaczny, ponieważ dla rozróżnienia dwóch znaczeń $+$ , wystarczy spojrzeć na charakter jego lewego argumentu).

Fakt, że akcja jest swobodna i przechodnia oznacza, że dla każdej pary punktów $(P, Q)$ istnieje dokładnie jeden wektor $v$ taki, że $P + v = Q$ . Ten wektor $v$ oznaczamy $Q - P$ lub ${\overrightarrow {PQ}}.$

Jak wyjaśniono wcześniej, niektóre z podstawowych własności przestrzeni euklidesowych wynikają ze struktury przestrzeni afinicznej. Zostały one opisane w § Struktura afiniczna i jej podrozdziały. Właściwości wynikające z produktu wewnętrznego wyjaśniono w § Struktura metryczna i jej podrozdziały.

Przykłady prototypowe

Dla dowolnej przestrzeni wektorowej dodawanie działa swobodnie i przechodnie na samą przestrzeń wektorową. W ten sposób przestrzeń euklidesowa może być postrzegana jako przestrzeń euklidesowa, która ma samą siebie jako skojarzoną przestrzeń wektorową.

Typowy przypadek euklidesowej przestrzeni wektorowej jest postrzegany jako przestrzeń wektorowa wyposażona w iloczyn skalarny jako iloczyn skalarny . Znaczenie tego konkretnego przykładu przestrzeni euklidesowej polega na tym, że każda przestrzeń euklidesowa jest z nią izomorficzna . Dokładniej, biorąc pod uwagę przestrzeni euklidesowej $E$ wymiaru $n$ wybór punktu, zwany pochodzenie oraz ortonormalną bazę z określa izomorfizmem euklidesowych od $E$ do ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\overrightarrow {E}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Ponieważ każda przestrzeń euklidesowa wymiaru $n$ jest z nią izomorficzna, przestrzeń euklidesowa jest czasami nazywana standardową przestrzenią euklidesową wymiaru $n$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Struktura afiniczna

Niektóre podstawowe własności przestrzeni euklidesowych zależą jedynie od faktu, że przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią afiniczną . Nazywane są właściwościami afinicznymi i obejmują pojęcia linii, podprzestrzeni i równoległości, które są szczegółowo opisane w kolejnych podrozdziałach.

Podprzestrzenie

Niech $E$ będzie przestrzenią euklidesową i związaną z nią przestrzenią wektorową. ${\overrightarrow {E}}$

Płaskim , euklidesowa podprzestrzeń lub afinicznej podprzestrzeń z $E$ jest podzbiorem $C$ z $E$ , tak że

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {F}} = \ {{\ overrightarrow {PQ}} \ środkowy p \ w F, Q \ w F \}}

jest liniowy podprzestrzeń z euklidesowej podprzestrzeni $F$ jest euklidesowa przestrzeń z co wiąże się przestrzeń wektorową. To podprzestrzeń liniowa nazywa się kierunek z $F$ . ${\overrightarrow {E}}.$ ${\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {F}}$

Jeśli $P$ jest punktem $F$ to

{\ Displaystyle F = \ {P + v \ mid v \ w {\ overrightarrow {F}} \}.}

I odwrotnie, jeśli $P$ jest punktem $E$ i $V$ jest liniowy podprzestrzeń z czym ${\overrightarrow {E}},$

{\ Displaystyle P + V = \ {P + v \ średni v \ w V \}}

jest podprzestrzenią euklidesową o kierunku $V$ .

Przestrzeń euklidesowa (tj. przestrzeń euklidesowa taka, że ) ma dwa rodzaje podprzestrzeni: jej podprzestrzenie euklidesowe i jej podprzestrzenie liniowe. Podprzestrzenie liniowe są podprzestrzeniami euklidesowymi, a podprzestrzeń euklidesowa jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wektor zerowy. ${\ Displaystyle E = {\ overrightarrow {E}}}$

Linie i segmenty

W przestrzeni euklidesowej prosta jest podprzestrzenią euklidesową wymiaru pierwszego. Ponieważ przestrzeń wektorowa o wymiarze jeden obejmuje dowolny niezerowy wektor, prosta jest zbiorem postaci

{\ Displaystyle \ {P + \ lambda {\ overrightarrow {PQ}} \ mid \ lambda \ w \ mathbb {R} \}}

gdzie $P$ i $Q$ to dwa różne punkty.

Wynika z tego, że istnieje dokładnie jedna linia, która przechodzi (zawiera) dwa różne punkty. Oznacza to, że dwie różne linie przecinają się co najwyżej w jednym punkcie.

Bardziej symetryczną reprezentacją linii przechodzącej przez $P$ i $Q$ jest

{\ Displaystyle \ {O + (1-\ Lambda ) {\ Overrightarrow {OP}} + \ Lambda {\ Overrightarrow {OQ}} \ Mid \ Lambda \ w \ mathbb {R} \}}

gdzie $O$ jest dowolnym punktem (nie jest to konieczne na linii).

W przestrzeni euklidesowej wektor zerowy jest zwykle wybierany dla $O$ ; pozwala to uprościć poprzednią formułę do

{\ Displaystyle \ {(1-\ lambda) P + \ lambda Q \ mid \ lambda \ w \ mathbb {R} \}}.

Standardowa konwencja pozwala na użycie tego wzoru w każdej przestrzeni euklidesowej, patrz Przestrzeń afiniczna § Kombinacje afiniczne i centrum bary .

Odcinek lub tylko odcinek , łączący punkty $P$ i $Q$ jest podzbiorem punktów, tak że $0 \leq X \leq 1$ w powyższych wzorach. Jest oznaczony jako $PQ$ lub $QP$ ; to jest

{\ Displaystyle PQ = QP = \ {P + \ lambda {\ overrightarrow {PQ}} \ mid 0 \ równoważnik \ lambda \ równoważnik 1 \}.}

Równoległość

Dwie podprzestrzenie $S$ i $T$ tego samego wymiaru w przestrzeni euklidesowej są równoległe, jeśli mają ten sam kierunek. Równoważnie są one równoległe, jeśli istnieje wektor translacji $v,$ który odwzorowuje jeden na drugi:

{\ Displaystyle T = S + v.}

Mając punkt $P$ i podprzestrzeń $S$ , istnieje dokładnie jedna podprzestrzeń, która zawiera $P$ i jest równoległa do $S$ , czyli W przypadku, gdy $S$ jest prostą (podprzestrzeń pierwszego wymiaru), ta własność jest aksjomatem Playfair . $P+{\overrightarrow {S}}.$

Wynika z tego, że na płaszczyźnie euklidesowej dwie linie albo spotykają się w jednym punkcie, albo są równoległe.

Pojęcie podprzestrzeni równoległych zostało rozszerzone na podprzestrzenie o różnych wymiarach: dwie podprzestrzenie są równoległe, jeśli kierunek jednej z nich zawiera się w kierunku do drugiej.

Struktura metryczna

Przestrzeń wektorowa związana z przestrzenią euklidesową $E$ jest przestrzenią produktu wewnętrznego . Oznacza to symetryczną formę dwuliniową ${\overrightarrow {E}}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ overrightarrow {E}} \ razy {\ overrightarrow {E}} i \ do \ mathbb {R} \ \ (x, y) i \ mapsto \ langle x, y \ rangle \end{wyrównany}}}

to jest dodatnio określone (czyli jest zawsze dodatnie dla $x$ $\neq 0$ ). ${\ Displaystyle \ langle x, x \ rangle }$

Wewnętrzna produktem euklidesowej przestrzeni jest często nazywany kropka produkt oraz wskazanym $x \cdot y$ . Dzieje się tak szczególnie w przypadku wybrania kartezjańskiego układu współrzędnych , ponieważ w tym przypadku iloczyn skalarny dwóch wektorów jest iloczynem skalarnym ich wektorów współrzędnych . Z tego powodu i ze względów historycznych notacja kropkowa jest częściej używana niż notacja nawiasowa dla iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowych. Ten artykuł będzie podążał za tym użyciem; to będzie oznaczane $x$ $\cdot$ $y$ w dalszej części tego artykułu. $\langle x,y\rangle$

Euklidesowa normą wektora $x$ jest

{\ Displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}

Iloczyn wewnętrzny i norma pozwalają na wyrażenie i udowodnienie wszystkich właściwości metrycznych i topologicznych geometrii euklidesowej . Kolejny podrozdział opisuje te najbardziej fundamentalne. W tych podrozdziałach $E$ oznacza dowolną przestrzeń euklidesową i oznacza jej wektorową przestrzeń translacji. ${\overrightarrow {E}}$

Odległość i długość

Odległość (dokładniej odległość euklidesowa ) między dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej jest normą wektora translacji, który mapuje jednego punktu do drugiego; to jest

{\ Displaystyle d (P, Q) = \ | {\ overrightarrow {PQ}} \ |.}

Długość odcinka $PQ$ jest odległością $d (P, P)$ pomiędzy jego końcowymi. Jest często oznaczany . $|PQ|$

Odległość jest metryką , ponieważ jest dodatnio określona, symetryczna i spełnia nierówność trójkąta

{\ Displaystyle d (P, Q) \ Leq d (P, R) + d (R, Q).}

Co więcej, równość jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy $R$ należy do segmentu $PQ$ . Ta nierówność oznacza, że długość dowolnej krawędzi trójkąta jest mniejsza niż suma długości pozostałych krawędzi. To jest początek terminu nierówność trójkąta .

Przy odległości euklidesowej każda przestrzeń euklidesowa jest całkowitą przestrzenią metryczną .

Ortogonalność

Dwa niezerowe wektory $ù$ i $V$ z są prostopadłe lub prostopadłe gdy ich wewnętrzny wynosi zero: ${\overrightarrow {E}}$

u\cdot v=0

Dwie liniowe podprzestrzenie są ortogonalne, jeśli każdy niezerowy wektor pierwszej jest prostopadły do każdego niezerowego wektora drugiej. Oznacza to, że przecięcie podprzestrzeni liniowej jest zredukowane do wektora zerowego. ${\overrightarrow {E}}$

Dwie proste, a ogólniej dwie podprzestrzenie euklidesowe są ortogonalne, jeśli ich kierunek jest ortogonalny. Dwie przecinające się prostopadłe linie nazywamy prostopadłymi .

Dwa odcinki $AB$ i $AC,$ które mają wspólny punkt końcowy, są prostopadłe lub tworzą kąt prosty, jeśli wektory i są prostopadłe. ${\overrightarrow {AB}}$ ${\overrightarrow {AC}}$

Jeśli $AB$ i $AC$ tworzą kąt prosty, trzeba

{\ Displaystyle | BC | ^ {2} = | AB | ^ {2} + | AC | ^ {2}.}

To jest twierdzenie Pitagorasa . Jej dowód jest w tym kontekście łatwy, ponieważ, wyrażając to w kategoriach iloczynu skalarnego, ma się za pomocą dwuliniowości i symetrii iloczynu skalarnego:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} | BC | ^ {2} & = {\ overrightarrow {BC}} \ cdot {\ overrightarrow {BC}} \ \ & = \ lewo ({\ overrightarrow {BA}} + { \overrightarrow {AC}}\right)\cdot \left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)\\&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA }}+{\overrightarrow {KP}}\cdot {\overrightarrow {KP}}-2{\overrightarrow {KP}}\cdot {\overrightarrow {KP}}\\&={\overrightarrow {KP}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}} }

Kąt

Kąty dodatnie i ujemne na płaszczyźnie zorientowanej

(niezorientowany) kąt $θ$ między dwoma niezerowymi wektorami $x$ i $y$ w is ${\overrightarrow {E}}$

{\ Displaystyle \ theta = \ arccos \ lewo ({\ Frac {x \ cdot r} {\ | x \ | \ | y \ |}} \ prawej)}

gdzie $arccos$ jest główną wartość z cosinus funkcji. Przez nierówność Cauchy'ego-Schwarza argument arcus cosinus mieści się w przedziale $[-1,1]$ . Dlatego $θ$ jest rzeczywiste, a $0 \leq θ \leq π$ (lub $0 \leq θ \leq 180,$ jeśli kąty są mierzone w stopniach).

Kąty nie są przydatne w linii euklidesowej, ponieważ mogą wynosić tylko 0 lub $π$ .

W zorientowanej płaszczyźnie euklidesowej można zdefiniować zorientowany kąt dwóch wektorów. Zorientowany kąt dwóch wektorów $x$ i $y$ jest wówczas przeciwieństwem zorientowanego kąta $y$ i $x$ . W tym przypadku kąt dwóch wektorów może mieć dowolną wartość modulo będącą całkowitą wielokrotnością $2 π$ . W szczególności kąt refleksyjny $π < θ < 2 π$ jest równy kątowi ujemnemu $- π < θ - 2 π < 0$ .

Kąt dwóch wektorów nie zmienia się, jeśli są pomnożone przez liczby dodatnie. Dokładniej, jeśli $x$ i $y$ są dwoma wektorami, a $λ$ i $μ$ są liczbami rzeczywistymi, to

{\ Displaystyle \ operatorname {kąt} (\ lambda x, \ mu r) = {\ zacząć {przypadki} \ operatorname {kąt} (x, y) \ qquad \ qquad {\ tekst {jeśli}} \ lambda {\ tekst { i }}\mu {\text{ mają ten sam znak}}\\\pi -\operatorname {kąt} (x,y)\qquad {\text{inaczej}}.\end{cases}}}

Jeśli $A$ , $B$ , i $C$ są trzema punktami w przestrzeni euklidesowej, kąt odcinków $AB$ i $AC$ jest kątem wektorów i Ponieważ mnożenie wektorów przez liczby dodatnie nie zmienia kąta, kąt dwóch połówkowych można zdefiniować proste z punktem początkowym $A$ : jest to kąt odcinków $AB$ i $AC$ , gdzie $B$ i $C$ są dowolnymi punktami, po jednym na każdej półprostej. Chociaż jest to mniej używane, można w podobny sposób zdefiniować kąt odcinków lub półprostych, które nie mają wspólnych punktów początkowych. ${\overrightarrow {AB}}$ ${\overrightarrow {AC}}.$

Kąt dwóch linii jest zdefiniowany w następujący sposób. Jeśli $θ$ jest kątem dwóch segmentów, po jednym na każdej linii, kąt dowolnych dwóch innych segmentów, po jednym na każdej linii, wynosi $θ$ lub $π - θ$ . Jeden z tych kątów należy do przedziału $[0, π /2]$ , a drugi do $[π /2, π]$ . Niezorientowane kąt dwóch linii jest jednym z przedziału $[0, π / 2]$ . W zorientowanej płaszczyźnie euklidesowej kąt zorientowania dwóch prostych należy do przedziału $[- π /2, π /2]$ .

współrzędne kartezjańskie

Każda przestrzeń euklidesowa wektora ma Baza Ortonormalna (w rzeczywistości nieskończenie wiele w wymiarze wyższym niż jeden, a dwa w jednym wymiarze), który jest podstawą w wektor jednostkowy ( ), które są parami ortogonalne ( dla $í$ $\neq$ $j$ ). Dokładniej, biorąc pod uwagę żadnych podstaw proces Gram-Schmidt wylicza ortonormalną bazę takie, że dla każdego $I$ , z liniowych przęsła z i są jednakowe. ${\ Displaystyle (e_ {1}, \ kropki, e_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ | e_ {i} \ | = 1}$ ${\ Displaystyle e_ {i} \ cdot e_ {j} = 0}$ $(b_{1},\kropki,b_{n}),$ ${\ Displaystyle (e_ {1}, \ kropki, e_ {i})}$ ${\ Displaystyle (b_ {1}, \ kropki, b_ {i})}$

Dana przestrzeń euklidesowa $E$ , układ kartezjański jest zbiorem danych składającym się z ortonormalnej bazy i punktu $E$ , zwanego początkiem i często oznaczanego $O$ . Ramka kartezjańska umożliwia zdefiniowanie współrzędnych kartezjańskich zarówno dla $E,$ jak iw następujący sposób. ${\overrightarrow {E}},$ ${\ Displaystyle (O, e_ {1}, \ kropki, e_ {n})}$ ${\overrightarrow {E}}$

Współrzędne kartezjańskie wektora $v$ są współczynnikami $v$ na podstawie Ponieważ baza jest ortonormalna, $i-$ ty współczynnik jest iloczynem skalarnym $e_{1},\kropki,e_{n}.$ ${\ Displaystyle v \ cdot e_ {i}.}$

Współrzędne kartezjańskie punktu $P$ od $E$ są współrzędnymi kartezjańskimi wektora ${\overrightarrow {OP}}.$

Inne współrzędne

3-wymiarowe współrzędne skośne

Ponieważ przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią afiniczną , można rozważyć jej układ afiniczny , który jest taki sam jak układ euklidesowy, z tym wyjątkiem, że podstawa nie musi być ortonormalna. Definiuje to współrzędne afiniczne , czasami nazywane współrzędnymi skośnymi, aby podkreślić, że wektory bazowe nie są parami ortogonalne.

Afinicznej podstawę z przestrzeni euklidesowej wymiaru $n$ jest zestaw $n + 1$ punktów, które nie są zawarte w hiperpłaszczyzna. Podstawa afiniczna definiuje współrzędne barycentryczne dla każdego punktu.

Wiele innych układów współrzędnych można zdefiniować w przestrzeni euklidesowej $E$ o wymiarze $n$ w następujący sposób. Niech $K$ być homeomorfizmem (lub Częściej dyfeomorfizmu ) z gęstym otwarte podzestawu od $E$ do otwartego podzbioru The współrzędnych punktu $x$ z $E$ są składnikami $f$ $($ $x$ $)$ . W ten sposób definiuje się biegunowy układ współrzędnych (wymiar 2) oraz sferyczny i cylindryczny układ współrzędnych (wymiar 3). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Dla punktów, które są poza dziedziną $f$ , współrzędne mogą czasami być zdefiniowane jako granica współrzędnych punktów sąsiednich, ale współrzędne te mogą nie być jednoznacznie zdefiniowane i mogą nie być ciągłe w sąsiedztwie punktu. Na przykład dla sferycznego układu współrzędnych długość geograficzna nie jest określona na biegunie, a na antyridianie długość geograficzna przechodzi w sposób nieciągły od –180° do +180°.

Ten sposób definiowania współrzędnych łatwo rozciąga się na inne struktury matematyczne, aw szczególności na rozmaitości .

Izometrie

Isometry dwóch przestrzeniach metrycznych jest bijection zachowując dystans, to jest

d(f(x),f(y))=d(x,y).

W przypadku euklidesowej przestrzeni wektorowej izometria odwzorowująca początek na początek zachowuje normę

{\ Displaystyle \ | f (x) \ | = \ | x \ |,}

ponieważ normą wektora jest jego odległość od wektora zerowego. Zachowuje również produkt wewnętrzny

{\ Displaystyle f (x) \ cdot f (y) = x \ cdot r}

odkąd

{\ Displaystyle x \ cdot y = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | x \ | ^ {2} - \ | y \ | ^ { 2}\prawo).}

Izometria euklidesowych przestrzeni wektorowych jest izomorfizmem liniowym .

Izometria przestrzeni euklidesowych definiuje izometrię związanych z nią przestrzeni euklidesowych. Oznacza to, że dwie izometryczne przestrzenie euklidesowe mają ten sam wymiar. I odwrotnie, jeśli $E$ i $F$ są przestrzeniami euklidesowymi, $O$ $\in$ $E$ , $O$ $'$ $\in$ $F$ , i są izometrią, wtedy mapa zdefiniowana przez ${\ Displaystyle f \ dwukropek E \ do F}$ ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ ${\ Displaystyle f \ dwukropek E \ do F}$

{\ Displaystyle f (P) = O'+ {\ overrightarrow {f}} \ lewo ({\ overrightarrow {OP}} \ prawej)}

jest izometrią przestrzeni euklidesowych.

Z powyższych wyników wynika, że izometria przestrzeni euklidesowych odwzorowuje linie na proste, a bardziej ogólnie podprzestrzenie euklidesowe na podprzestrzenie euklidesowe o tym samym wymiarze, a ograniczeniem izometrii na tych podprzestrzeniach są izometrie tych podprzestrzeni.

Izometria z prototypowymi przykładami

Jeśli $E$ jest przestrzenią euklidesową, skojarzoną z nią przestrzeń wektorową można uznać za przestrzeń euklidesową. Każdy punkt $O$ $\in$ $E$ definiuje izometrię przestrzeni euklidesowych ${\overrightarrow {E}}$

{\ Displaystyle P \ mapsto {\ overrightarrow {OP}},}

który odwzorowuje $O$ na wektor zerowy i ma identyczność jako skojarzoną mapę liniową. Odwrotna izometria to mapa

v\mapsto O+v.

Rama euklidesowa pozwala zdefiniować mapę ${\ Displaystyle (O, e_ {1}, \ kropki, e_ {n})}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E i \ do \ mathbb {R} ^ {n} \ \ P i \ mapsto \ lewo (e_ {1} \ cdot {\ overrightarrow {OP}}, \ kropki, e_ {n} \cdot {\overrightarrow {OP}}\right),\end{aligned}}}

która jest izometrią przestrzeni euklidesowych. Izometria odwrotna to

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbb {R} ^ {n} i \ do E \ \ (x_ {1} \ kropki, x_ {n}) i \ mapsto \ po lewej (O + x_ {1} e_ {1}+\kropki +x_{n}e_{n}\prawo).\end{wyrównany}}}

Oznacza to, że aż do izomorfizmu istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa danego wymiaru.

Uzasadnia to, że wielu autorów mówić jako o przestrzeni euklidesowej wymiaru $n$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Grupa euklidesowa

Izometrią z przestrzeni euklidesowej na siebie nazywa euklidesową izometrię , transformację euklidesową lub transformację sztywny . Sztywne przemiany euklidesowej forma przestrzeni grupa (w składzie ), zwany euklidesowa grupa często oznaczany $E (n)$ z $ISO (n)$ .

Najprostsze przekształcenia euklidesowe to translacje

{\ Displaystyle P \ do P + v.}

Są w bijective korespondencji z wektorami. Dlatego też przestrzeń translacji nazywamy przestrzenią wektorową związaną z przestrzenią euklidesową. Tłumaczenia tworzą normalną podgrupę grupy euklidesowej.

Izometria euklidesowa $f$ przestrzeni euklidesowej $E$ definiuje liniową izometrię związanej z nią przestrzeni wektorowej (przez izometrię liniową rozumiemy izometrię będącą jednocześnie odwzorowaniem liniowym ) w następujący sposób: oznaczając przez $Q$ $-$ $P$ wektor , jeśli $O$ jest dowolnym punktem $E$ , jeden ma ${\overrightarrow {f}}$ ${\overrightarrow {PQ}}$

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {f}} ({\ overrightarrow {OP}}) = f (P)-f (O).}

Łatwo jest udowodnić, że jest to mapa liniowa, która nie zależy od wyboru $O.$

Odwzorowanie jest homomorfizmem grupy z grupy euklidesowej na grupę izometrii liniowych, zwaną grupą ortogonalną . Jądrem tego homomorfizmu jest grupa translacji, co pokazuje, że jest to normalna podgrupa grupy euklidesowej. $f\to {\overrightarrow {f}}$

Izometrie ustalające dany punkt $P$ tworzą podgrupę stabilizatora grupy euklidesowej względem $P$ . Ograniczeniem do tego stabilizatora homomorfizmu powyższych grup jest izomorfizm. Tak więc izometrie, które ustalają dany punkt, tworzą grupę izomorficzną z grupą ortogonalną.

Niech $P$ będzie punktem, $f$ izometrią, a translacją $t$ odwzorowującą $P$ na $f (P)$ . Izometria ustala $P$ . Więc i euklidesowa grupa jest iloczynów produkt z grupy tłumaczeniowej i prostopadłym grupy. ${\ Displaystyle g = t ^ {-1} \ circ f}$ $f=t\circ g$

Specjalną grupę prostopadłe jest podgrupa normalna ortogonalnego grupy, które zachowują skrętów . Jest to podgrupa indeksu drugiego grupy ortogonalnej. Jej odwrotny obraz przez homomorfizm grupowy jest normalną podgrupą drugiego wskaźnika grupy euklidesowej, która nazywana jest specjalną grupą euklidesową lub grupą przemieszczenia . Jej elementy nazywane są ruchami sztywnymi lub przemieszczeniami . $f\to {\overrightarrow {f}}$

Ruchy sztywne obejmują tożsamość , translacje, obroty (ruchy sztywne, które ustalają przynajmniej jeden punkt), a także ruchy śrubowe .

Typowymi przykładami sztywnych przekształceń, które nie są sztywnymi ruchami, są odbicia , które są sztywnymi przekształceniami, które ustalają hiperpłaszczyznę i nie są tożsamością. Są to także przekształcenia polegające na zmianie znaku jednej współrzędnej nad jakimś układem euklidesowym.

Ponieważ specjalna grupa euklidesowa jest podgrupą indeksu drugiego grupy euklidesowej, przy danym odbiciu $r$ , każda transformacja sztywna, która nie jest ruchem sztywnym, jest iloczynem $r$ i ruchu sztywnego. Odbicie poślizg jest przykładem sztywnego transformacji, które nie są sztywne ruchu lub odbicie.

Wszystkie grupy, które zostały uwzględnione w tej sekcji, to grupy Liego i grupy algebraiczne .

Topologia

Odległość euklidesowa czyni przestrzeń euklidesową przestrzenią metryczną , a więc przestrzenią topologiczną . Ta topologia nazywana jest topologią euklidesową . W przypadku tej topologii jest to również topologia produktu . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Te zbiory otwarte są podzbiory, który zawiera otwartą piłkę wokół każdego ze swoich punktów. Innymi słowy, otwarte kule tworzą podstawę topologii .

Topologiczna wymiar z przestrzeni euklidesowej równa jej wymiar. Oznacza to, że przestrzenie euklidesowe o różnych wymiarach nie są homeomorficzne . Co więcej, twierdzenie o niezmienności dziedziny twierdzi, że podzbiór przestrzeni euklidesowej jest otwarty (dla topologii podprzestrzennej ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest homeomorficzny z otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej o tym samym wymiarze.

Przestrzenie euklidesowe są kompletne i lokalnie zwarte . Oznacza to, że domknięty podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty, jeśli jest ograniczony (to znaczy zawarty w kuli). W szczególności kulki zamknięte są zwarte.

Definicje aksjomatyczne

Definicja przestrzeni euklidesowych opisana w tym artykule różni się zasadniczo od definicji Euklidesa . W rzeczywistości Euklides nie zdefiniował formalnie przestrzeni, ponieważ uważano ją za opis świata fizycznego, który istnieje niezależnie od ludzkiego umysłu. Potrzeba formalnej definicji pojawiła się dopiero pod koniec XIX wieku, wraz z wprowadzeniem geometrii nieeuklidesowych .

Zastosowano dwa różne podejścia. Felix Klein zasugerował zdefiniowanie geometrii poprzez ich symetrie . Prezentacja przestrzeni euklidesowych podana w tym artykule zasadniczo pochodzi z jego programu Erlangen , z naciskiem położonym na grupy przekładów i izometrie.

Z drugiej strony David Hilbert zaproponował zestaw aksjomatów inspirowanych postulatami Euklidesa . Należą do geometrii syntetycznej , ponieważ nie zawierają definicji liczb rzeczywistych . Później GD Birkhoff i Alfred Tarski proponuje prostsze zestawy aksjomatów, które używają liczb rzeczywistych (patrz aksjomaty Birkhoffa i aksjomaty Tarskiego ).

W Geometryczna Algebra , Emil Artin udowodnił, że wszystkie te definicje przestrzeni euklidesowej są równoważne. Dość łatwo jest wykazać, że wszystkie definicje przestrzeni euklidesowych spełniają aksjomaty Hilberta, a te dotyczące liczb rzeczywistych (w tym powyższa definicja) są równoważne. Trudna część dowodu Artina jest następująca. W aksjomatach Hilberta kongruencja jest relacją równoważności na segmentach. Można zatem zdefiniować długość segmentu jako jego klasę równoważności. Trzeba więc udowodnić, że długość ta spełnia własności charakteryzujące nieujemne liczby rzeczywiste. Artin udowodnił to za pomocą aksjomatów równoważnych aksjomatom Hilberta.

Stosowanie

Od starożytnych Greków przestrzeń euklidesowa wykorzystywana jest do modelowania kształtów w świecie fizycznym. Jest więc używany w wielu naukach, takich jak fizyka , mechanika i astronomia . Jest również szeroko stosowany we wszystkich dziedzinach technicznych, które dotyczą kształtów, figur, lokalizacji i pozycji, takich jak architektura , geodezja , topografia , nawigacja , wzornictwo przemysłowe lub rysunek techniczny .

Przestrzeń o wymiarach wyższych niż trzy występuje w kilku nowoczesnych teoriach fizyki; zobacz Wyższy wymiar . Występują one również w przestrzeniach konfiguracyjnych z systemów fizycznych .

Poza geometrią euklidesową przestrzenie euklidesowe są również szeroko stosowane w innych dziedzinach matematyki. Przestrzeń styczna z rozmaitość różniczkowa są euklidesowe przestrzenie wektorowe. Bardziej ogólnie, rozmaitość jest przestrzenią lokalnie aproksymowaną przez przestrzenie euklidesowe. Większość geometrii nieeuklidesowych może być modelowana przez rozmaitość i osadzona w przestrzeni euklidesowej wyższego wymiaru. Na przykład przestrzeń eliptyczną można modelować za pomocą elipsoidy . Powszechne jest przedstawianie w przestrzeni euklidesowej obiektów matematycznych, które a priori nie mają natury geometrycznej. Przykładem wśród wielu jest zwykła reprezentacja wykresów .

Inne przestrzenie geometryczne

Od czasu wprowadzenia, pod koniec XIX wieku, geometrii nieeuklidesowych rozważano wiele rodzajów przestrzeni, o których można prowadzić rozumowanie geometryczne w taki sam sposób, jak w przypadku przestrzeni euklidesowych. Ogólnie rzecz biorąc, dzielą one pewne własności z przestrzeniami euklidesowymi, ale mogą też mieć własności, które mogą wydawać się dość dziwne. Niektóre z tych przestrzeni wykorzystują geometrię euklidesową do ich definicji lub mogą być modelowane jako podprzestrzenie przestrzeni euklidesowej wyższego wymiaru. Gdy taka przestrzeń jest określona aksjomatami geometrycznymi , osadzenie przestrzeni w przestrzeni euklidesowej jest standardowym sposobem dowodzenia niesprzeczności jej definicji, a dokładniej do udowodnienia, że jej teoria jest niesprzeczna, jeśli geometria euklidesowa jest niesprzeczna (czego nie można udowodnić ).

Afiniczna przestrzeń

Przestrzeń euklidesowa to przestrzeń afiniczna wyposażona w metrykę . Przestrzenie afiniczne mają wiele innych zastosowań w matematyce. W szczególności, ponieważ są zdefiniowane nad dowolnym polem , pozwalają na wykonywanie geometrii w innych kontekstach.

Gdy tylko rozważane są pytania nieliniowe, zazwyczaj warto rozważyć przestrzenie afiniczne nad liczbami zespolonymi jako rozszerzenie przestrzeni euklidesowych. Na przykład okrąg i linia mają zawsze dwa punkty przecięcia (prawdopodobnie nie różniące się od siebie) w złożonej przestrzeni afinicznej. Dlatego większość geometrii algebraicznej jest zbudowana w złożonych przestrzeniach afinicznych i przestrzeniach afinicznych nad ciałami algebraicznie domkniętymi . Kształty badane w geometrii algebraicznej w tych przestrzeniach afinicznych są zatem nazywane afinicznymi rozmaitościami algebraicznymi .

Przestrzenie afiniczne nad liczbami wymiernymi i ogólniej nad ciałami liczb algebraicznych zapewniają powiązanie między geometrią (algebraiczną) a teorią liczb . Na przykład, Wielkie Twierdzenie Fermata może być sformułowane: „ krzywa Fermata stopnia wyższego niż dwa nie ma punktu na płaszczyźnie afinicznej nad wymiernymi”.

Geometria w przestrzeniach afinicznych nad polami skończonymi również była szeroko badana. Na przykład krzywe eliptyczne nad polami skończonymi są szeroko stosowane w kryptografii .

Przestrzeń projekcyjna

Pierwotnie przestrzenie rzutowe zostały wprowadzone przez dodanie „ punktów w nieskończoności ” do przestrzeni euklidesowych i, bardziej ogólnie, do przestrzeni afinicznych, aby spełnić twierdzenie „dwie współpłaszczyznowe linie spotykają się dokładnie w jednym punkcie”. Przestrzeń rzutowa dzieli z przestrzeniami euklidesowymi i afinicznymi właściwość izotropowości , to znaczy nie ma właściwości przestrzeni pozwalającej na rozróżnienie dwóch punktów lub dwóch prostych. Dlatego bardziej izotropowe definicja jest powszechnie stosowany, który składa się w definiowaniu przestrzeni rzutowej za zestawem linii wektorów w przestrzeni wektorowej wymiaru jeszcze jeden.

Jeśli chodzi o afinicznych przestrzeniach rzutowe przestrzenie są zdefiniowane w dowolnym zakresie i są zasadnicze przestrzenie geometrii algebraicznych .

Geometrie nieeuklidesowe

Geometria nieeuklidesowa odnosi się zwykle do przestrzeni geometrycznych, w których postulat równoległy jest fałszywy. Należą do nich geometria eliptyczna , gdzie suma kątów trójkąta jest większa niż 180 ° oraz geometria hiperboliczna , gdzie suma ta jest mniejsza niż 180 °. Ich wprowadzenie w drugiej połowie XIX wieku i dowód, że ich teoria jest spójna (jeśli geometria euklidesowa nie jest sprzeczna) jest jednym z paradoksów leżących u źródeł fundamentalnego kryzysu matematyki początku XX wieku, a zmotywował do systematyzacji teorii aksjomatycznych w matematyce.

Zakrzywione przestrzenie

Kolektor jest przestrzeń, która w sąsiedztwie każdego punktu przypomina przestrzeni euklidesowej. Z technicznego punktu widzenia, kolektor jest przestrzenią topologiczną , tak, że każdy punkt ma otoczenie , które jest homeomorficzny do otwartego podzbioru w przestrzeni euklidesowej. Rozmaitość można sklasyfikować, zwiększając stopień tego „podobieństwa”, do rozmaitości topologicznych , różniczkowalnych , gładkich i analitycznych . Jednak żaden z tych typów „podobieństwa” nie uwzględnia odległości i kątów, nawet w przybliżeniu.

Odległości i kąty można zdefiniować na gładkiej rozmaitości, zapewniając gładko zmieniającą się metrykę euklidesową na przestrzeniach stycznych w punktach rozmaitości (te przestrzenie styczne są zatem przestrzeniami wektorów euklidesowych). Daje to rozmaitość Riemanna . Generalnie w rozmaitości riemannowskiej linie proste nie istnieją, ale ich rolę odgrywa geodezja , czyli „najkrótsze drogi” między dwoma punktami. Pozwala to na definiowanie odległości mierzonych wzdłuż geodezji oraz kątów pomiędzy geodezjami, czyli kątów ich stycznych w przestrzeni stycznych na ich przecięciu. Tak więc rozmaitości riemannowskie zachowują się lokalnie jak zakrzywiona przestrzeń euklidesowa.

Przestrzenie euklidesowe są trywialnymi rozmaitościami riemannowskimi. Przykładem ilustrującym tę studnię jest powierzchnia kuli . W tym przypadku geodezja to łuki wielkiego koła , które w kontekście nawigacji nazywa się ortodromami . Bardziej ogólnie, przestrzenie geometrii nieeuklidesowych mogą być zrealizowane jako rozmaitości riemannowskie.

Przestrzeń pseudoeuklidesowa

Wewnętrzny produkt z rzeczywistą przestrzeń wektorową jest pozytywny forma określona dwuliniowo , a więc charakteryzuje się dodatnim określonej formie kwadratowej . Przestrzeń pseudo euklidesowa jest afiniczne przestrzeń ze związanym rzeczywistej przestrzeni wektorowej wyposażonej nie zdegenerowane postaci kwadratowej (które może być nieokreślony ).

Podstawowym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Minkowskiego , który jest czasoprzestrzeń od Einsteina „s szczególnej teorii względności . Jest to przestrzeń czterowymiarowa, w której metrykę definiuje forma kwadratowa

x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},

gdzie ostatnia współrzędna ( t ) jest czasowa, a pozostałe trzy ( x , y , z ) są przestrzenne.

Aby uwzględnić grawitację , ogólna teoria względności wykorzystuje rozmaitość pseudo-Riemanna , w której przestrzenie Minkowskiego są przestrzeniami stycznymi . Krzywizny tego kolektora w punkcie, jest funkcją wartości pola grawitacyjnego w tym punkcie.

Zobacz też

Przestrzeń Hilberta , uogólnienie do wymiaru nieskończonego, stosowane w analizie funkcjonalnej

Przypisy

Bibliografia

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Artin, Emil (1988) [1957], Geometryczna Algebra , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp x + 214, doi : 10.1002/9781118164518 , ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557
Bal, WW Rouse (1960) [1908]. Krótkie sprawozdanie z historii matematyki (wyd. 4). Publikacje Dovera. Numer ISBN 0-486-20630-0.
Berger, Marcel (1987), Geometria I , Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Coxeter, HSM (1973) [1948]. Regularne Polytopes (3rd ed.). Nowy Jork: Dover. Schläfli... odkrył je przed 1853 rokiem - kiedy Cayley, Grassman i Möbius byli jedynymi ludźmi, którzy kiedykolwiek wpadli na pomysł geometrii w więcej niż trzech wymiarach.
Solomentsev, ED (2001) [1994], "Przestrzeń euklidesowa" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press

Languages

In other projects