Nieokreślona grupa ortogonalna - Indefinite orthogonal group

W matematyce The nieokreślony ortogonalne grupy , O ( p , q ) jest grupa Lie wszystkich liniowych przemian z o n - trójwymiarowy rzeczywistego miejsca wektora , które opuszczają niezmiennika niezdegenerowanych , symetryczną postać dwuliniowo z podpisem ( p , q ) , gdzie n = p + q . Jest również nazywany grupą pseudoortogonalną lub uogólnioną grupą ortogonalną . Wymiar grupy to n ( n − 1)/2 .

Nieokreślony szczególną grupą prostopadłe , SO ( t , q ) jest podgrupa o O ( p , q ), obejmującej wszystkie elementy z wyznacznik 1. Inaczej niż w określonym przypadku, SO ( P , Q ) nie jest połączony - ma 2 składniki – i istnieją dwie dodatkowe podgrupy indeksów skończonych, a mianowicie połączone SO ⁺ ( p , q ) i O ⁺ ( p , q ) , które składają się z 2 składników – patrz § Topologia dla definicji i dyskusji.

Sygnatura postaci określa grupę aż do izomorfizmu ; zamianę s o Q wynosi zastępując metryka jego negatywu, a więc nadaje się do tej samej grupy. Jeśli p lub q jest równe zero, to grupa jest izomorficzna ze zwykłą grupą ortogonalną O( n ). W dalszej części zakładamy, że zarówno p, jak i q są dodatnie.

Grupa O( p , q ) jest zdefiniowana dla przestrzeni wektorowych nad liczbami rzeczywistymi . W przestrzeniach zespolonych wszystkie grupy O( p , q ; C ) są izomorficzne ze zwykłą grupą ortogonalną O( p + q ; C ) , ponieważ transformacja zmienia sygnaturę formy. Nie należy tego mylić z nieokreśloną unitarną grupą U( p , q ), która zachowuje półtoraliniową formę podpisu ( p , q ) . ${\ Displaystyle z_ {j} \ mapsto iz_ {j}}$

W wymiarze parzystym n = 2 p , O( p , p ) jest znane jako podzielona grupa ortogonalna .

Przykłady

Podstawowym przykładem jest odwzorowanie ściśnięcia , które jest grupą SO ⁺ (1, 1) przekształceń liniowych (składnika tożsamościowego) z zachowaniem hiperboli jednostkowej . Konkretnie są to macierze i mogą być interpretowane jako rotacje hiperboliczne, podobnie jak grupa SO(2) może być interpretowana jako rotacje kołowe.${\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {mała matryca} \ cosh (\ alfa) i \ sinh (\ alfa) \ \ \ sinh (\ alfa) i \ cosh (\ alfa) \ koniec {mała matryca}} \ prawo], }$

W fizyce grupa Lorentza O(1,3) ma centralne znaczenie, będąc otoczeniem dla elektromagnetyzmu i szczególnej teorii względności . (Niektóre teksty używają O(3,1) dla grupy Lorentza; jednak O(1,3) jest powszechne w kwantowej teorii pola, ponieważ właściwości geometryczne równania Diraca są bardziej naturalne w O(1,3) .)

Definicja macierzy

Można zdefiniować O( p , q ) jako grupę macierzy , tak jak dla klasycznej grupy ortogonalnej O( n ). Rozważ macierz diagonalną podaną przez ${\ Displaystyle (p + q) \ razy (p + q)}$ ${\displaystyle g}$

${\ Displaystyle g = \ operatorname {diag} (\ underbrace {1, \ ldots, 1} _ {p}, \ underbrace {-1, \ ldots, -1} _ {q}).}$

Wtedy możemy zdefiniować symetryczną formę dwuliniową on wzorem ${\displaystyle [\cdot,\cdot]_{p,q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p+q}}$

${\ Displaystyle [x, y] _ {p, q} = \ langle x, gy \ rangle = x_ {1} y_ {1} + \ cdots + x_ {p} y_ {p} - x_ {p + 1} y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$,

gdzie jest standardowym iloczynem wewnętrznym na . ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle }$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p+q}}$

Następnie definiujemy jako grupę macierzy, które zachowują tę dwuliniową formę: ${\ Displaystyle \ operatorname {O} (p, q)}$${\ Displaystyle (p + q) \ razy (p + q)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {O} (p, q) = \ {A \ w M_ {p + q} (\ mathbb {R}) | [Ax, Ay] _ {p, q} = [x, y] _{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$.

Mówiąc dokładniej, składa się z macierzy takich, że ${\ Displaystyle \ operatorname {O} (p, q)}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle gA ^ {\ operatorname {tr}} g = A ^ {-1}}$,

gdzie jest transpozycja od . ${\ Displaystyle A ^ {\ operatorname {tr} }}$${\ Displaystyle A}$

Grupę izomorficzną (w rzeczywistości sprzężoną podgrupę GL( p + q ) ) otrzymuje się przez zastąpienie g dowolną symetryczną macierzą z p dodatnimi wartościami własnymi i q ujemnymi. Diagonalizacja tej macierzy daje sprzężenie tej grupy ze standardową grupą O( p , q ) .

Podgrupy

Grupę SO ⁺ ( p , q ) i powiązane podgrupy O( p , q ) można opisać algebraicznie. Podziel macierz L w O( p , q ) jako macierz blokową :

${\ Displaystyle L = {\ zacząć {pmatrix} A & B \ \ C i D \ koniec {pmatrix}}}$

gdzie A , B , C i D to odpowiednio bloki p × p , p × q , q × p i q × q . Można wykazać, że zbiór macierzy w O( p , q ), których lewy górny blok A p × p ma dodatni determinant jest podgrupą. Lub, ujmując to inaczej, jeśli

${\ Displaystyle L = {\ zacząć {pmatrix} A & B \ \ C & D \ koniec {pmatrix}} \; \ operatorname {i} \; M = {\ zacząć {pmatrix} W & X \ \ Y & Z \ koniec {pmatrix}}}$

są w O( p , q ) , to

${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {sgn} \ det A) (\ operatorname {sgn} \ det W) = \ operatorname {sgn} \ det (AW+BY).}$

Analogiczny wynik dla prawego dolnego bloku q × q również jest słuszny . Podgrupa SO ⁺ ( p , q ) składa się z macierzy L takich, że det A i det D są dodatnie.

Dla wszystkich macierzy L w O( p , q ) determinanty A i D mają tę właściwość, że W szczególności podgrupa SO( p , q ) składa się z macierzy L takich, że det A i det D mają ten sam znak . ${\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}$${\displaystyle |\det A|=|\det d|\geq 1.}$

Topologia

Zakładając, że zarówno p, jak i q są dodatnie, żadna z grup O( p , q ) ani SO ( p , q ) nie jest połączona , mając odpowiednio cztery i dwa składniki. π ₀ (O( p , q )) ≅ C ₂ × C ₂ to czterogrupa Kleina , przy czym każdy czynnik określa, czy element zachowuje lub odwraca odpowiednie orientacje na podprzestrzeniach wymiarowych p i q, na których forma jest określona; zauważ, że odwrócenie orientacji tylko na jednej z tych podprzestrzeni powoduje odwrócenie orientacji na całą przestrzeń. Specjalna grupa ortogonalna ma składowe π ₀ (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, z których każdy albo zachowuje obie orientacje, albo odwraca obie orientacje, w każdym przypadku zachowując ogólna orientacja.

Składnik identyczność z O ( p , q ), często oznaczone SO ⁺ ( p , q ), i może być identyfikowany z zestawu elementów w SO ( p , q ) , że zachowanie obu kierunkach. Notacja ta jest powiązana z notacją O ⁺ (1, 3) dla ortochronicznej grupy Lorentza , gdzie + odnosi się do zachowania orientacji w pierwszym (czasowym) wymiarze.

Grupa O( p , q ) również nie jest zwarta , ale zawiera zwarte podgrupy O( p ) i O( q ) działające na podprzestrzeniach, na których forma jest określona. W rzeczywistości, O ( p ) x O ( Q ), to ilość zwarty podgrupa o O ( p , q ) , a S (O ( p ) x O ( P )) jest ilość zwarty podgrupa SO ( p , q ) . Podobnie SO( p ) × SO( q ) jest maksymalnie zwartą podgrupą SO ⁺ ( p , q ) . Przestrzenie są więc homotopijnie równoważne iloczynom (specjalnych) grup ortogonalnych, z których można obliczyć niezmienniki algebrotopologiczne. (Zobacz Maksymalną podgrupę kompaktową .)

W szczególności podstawowym grupę o SO ⁺ ( p , q ) jest iloczynem z podstawowych grup składników, π ₁ (SO ⁺ ( p , q )) = π ₁ (SO ( t )) x π ₁ (SO ( q )) i wyraża się wzorem:

π 1 (SO + ( p , q ))	p = 1	p = 2	p ≥ 3
q = 1	C 1	Z	C 2
q = 2	Z	Z × Z	Z × C 2
q ≥ 3	C 2	C 2 × Z	C, 2 x C 2

Podziel grupę ortogonalną

W parzystych wymiarach grupa środkowa O( n , n ) jest znana jako podzielona grupa ortogonalna i jest szczególnie interesująca, ponieważ występuje na przykład jako grupa transformacji T-dualności w teorii strun. Jest to podzielona grupa Liego odpowiadająca zespolonej algebrze Liego, więc _{2 n} (grupa Liego rozszczepionej postaci rzeczywistej algebry Liego); dokładniej, składnik tożsamości jest podzieloną grupą Liego, ponieważ składników nietożsamości nie można zrekonstruować z algebry Liego. W tym sensie jest przeciwieństwem określonej grupy ortogonalnej O( n ) := O( n , 0) = O(0, n ) , która jest zwartą postacią rzeczywistą zespolonej algebry Liego.

Obudowa (1, 1) odpowiada multiplikatywna grupa o numerach podziału kompleksu .

Pod względem bycia grupą typu Liego – tj. konstrukcji grupy algebraicznej z algebry Liego – podzielone grupy ortogonalne to grupy Chevalleya , podczas gdy niedzielone grupy ortogonalne wymagają nieco bardziej skomplikowanej konstrukcji i są to grupy Steinberga .

Podzielone grupy ortogonalne są używane do konstruowania uogólnionej odmiany flag nad ciałami niealgebraicznie domkniętymi.

Zobacz też

• Grupa ortogonalna
• Grupa Lorentza
• Grupa Poincaré
• Symetryczna forma dwuliniowa

Bibliografia