Izometria - Isometry

W matematyce An isometry (lub zbieżność lub przekształcenie przystające ) jest odległość -preserving przemiana pomiędzy przestrzeni metrycznych , zwykle przyjmuje się bijective .

Skład się z dwóch przeciwległych izometrycznych bezpośredni isometry. Odbicie w linii jest przeciwległa izometryczny, jak R 1 i R 2 w obrazie. Translacja T jest izometrią bezpośrednią: ruchem sztywnym .

Wprowadzenie

Biorąc pod uwagę przestrzeń metryczną (luźno zbiór i schemat przypisywania odległości między elementami zbioru), izometria jest przekształceniem, które odwzorowuje elementy na tę samą lub inną przestrzeń metryczną w taki sposób, że odległość między elementami obrazu w nowej przestrzeni metrycznej jest równa odległości między elementami w oryginalnej przestrzeni metrycznej. W dwuwymiarowej lub trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie figury geometryczne są przystające, jeśli są powiązane izometrią; wiążąca je izometria jest albo ruchem sztywnym (przesunięciem lub obrotem), albo złożeniem ruchu sztywnego i odbicia .

Izometrie są często używane w konstrukcjach, w których jedna przestrzeń jest osadzona w innej przestrzeni. Na przykład dopełnienie przestrzeni metrycznej M obejmuje izometrię od M do M' , zbiór ilorazowy przestrzeni sekwencji Cauchy'ego na M . Przestrzeń pierwotna M jest więc izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią pełnej przestrzeni metrycznej i jest zwykle utożsamiana z tą podprzestrzenią. Inne konstrukcje osadzania pokazują, że każda przestrzeń metryczna jest izomorficznie izomorficzna z domkniętym podzbiorem pewnej unormowanej przestrzeni wektorowej i że każda pełna przestrzeń metryczna jest izomorficzna z zamkniętym podzbiorem pewnej przestrzeni Banacha .

Izometryczny surjektywny operator liniowy na przestrzeni Hilberta nazywa się operatorem unitarnym .

Definicja izometrii

Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi z metrykami (np. odległościami) d X i d Y . Mapę f  : XY jest nazywany isometry lub odległość zachowania , jeśli dla każdego a , bX trzeba

Izometria jest automatycznie wstrzykiwana ; w przeciwnym razie dwa różne punkty, a i b , mogłyby być odwzorowane na ten sam punkt, co zaprzecza aksjomatowi zbieżności metryki d . Ten dowód jest podobny do dowodu, że osadzanie porządku między częściowo uporządkowanymi zbiorami jest iniektywne. Oczywiście każda izometria pomiędzy przestrzeniami metrycznymi jest osadzeniem topologicznym.

Globalny izometria , izometrycznym izomorfizmem lub mapowanie zbieżność jest bijective isometry. Jak każda inna bijekcja, globalna izometria ma funkcję inverse . Odwrotność globalnej izometrii jest również globalną izometrią.

Dwie przestrzenie metryczne X i Y nazywane są izometrycznymi, jeśli istnieje izometria bijektywna od X do Y . Zestaw z bijective izometrycznych z metryki przestrzeni na siebie tworzy grupę względem składu funkcji , zwany grupą isometry .

Istnieje również słabsze pojęcie izometrii torowej lub izometrii łukowej :

Isometry ścieżka lub arcwise izometria jest mapa, która zachowuje długości krzywych ; taka mapa niekoniecznie jest izometrią w sensie zachowania odległości i niekoniecznie musi być bijektywna czy nawet iniektywna. Termin ten jest często skrócony do po prostu izometrii , więc należy uważać, aby określić z kontekstu, jaki typ jest przeznaczony.

Przykłady

Izometrie między przestrzeniami unormowanymi

Poniższe twierdzenie pochodzi od Mazura i Ulama.

Definicja : Punktem środkowym dwóch elementów x i y w przestrzeni wektorowej jest wektor 1/2( x + y ) .

Twierdzenie  —  Niech A  : XY będzie surjektywną izometrią między przestrzeniami unormowanymi, która odwzorowuje 0 na 0 ( Stefan Banach nazwał takie odwzorowania rotacjami ), gdzie zauważ, że A nie jest z założenia izometrią liniową . Następnie A odwzorowuje punkty środkowe na punkty środkowe i jest liniowe jako odwzorowanie liczb rzeczywistych . Jeśli X i Y są złożonymi przestrzeniami wektorowymi, to A może nie być liniowe jako odwzorowanie na .

Izometria liniowa

Biorąc pod uwagę dwie unormowane przestrzenie wektorowe i , izometria liniowa jest mapą liniową, która zachowuje normy:

dla wszystkich . Izometrie liniowe to mapy zachowujące odległość w powyższym sensie. Są globalnymi izometriami wtedy i tylko wtedy, gdy są surjektywne .

W wewnętrznej przestrzeni produktu powyższa definicja redukuje się do

dla wszystkich , co jest równoznaczne z powiedzeniem tego . Oznacza to również, że izometrie zachowują produkty wewnętrzne, ponieważ

Izometrie liniowe nie zawsze są jednak operatorami unitarnymi , ponieważ wymagają one dodatkowo tego i .

Zgodnie z twierdzeniem Mazura-Ulama każda izometria unormowanych przestrzeni wektorowych nad R jest afiniczna .

Przykłady

Rozdzielacze

Izometria rozmaitości to dowolne (gładkie) odwzorowanie tej rozmaitości na siebie lub na inną rozmaitość, która zachowuje pojęcie odległości między punktami. Definicja izometrii wymaga pojęcia metryki na rozmaitości; Rozmaitość z metryką (dodatnio-określoną) to rozmaitość riemannowska , rozmaitość z metryką nieokreśloną to rozmaitość pseudo-Riemanna . Tak więc izometrie są badane w geometrii riemannowskiej .

Lokalny isometry z jednego ( pseudo -) Riemanna kolektora do drugiego jest mapa która cofa się tensor metryczną na drugim kolektorem do tensora metryki pierwszego. Gdy takie odwzorowanie jest również dyfeomorfizmem , takie odwzorowanie nazywa się izometrią (lub izomorfizmem izometrycznym ) i dostarcza pojęcia izomorfizmu ("sameness") w kategorii Rm rozmaitości Riemanna.

Definicja

Niech i będą dwiema (pseudo-)riemannowskimi rozmaitościami i niech będą dyfeomorfizmem. Wtedy nazywa się izometrią (lub izomorfizmem izometrycznym ) if

gdzie oznacza wycofanie tensora metryki rangi (0, 2) przez . Równoważnie, w kategoriach pushforward , mamy to dla dowolnych dwóch pól wektorowych na (tj. odcinkach wiązki stycznej ),

Jeśli jest lokalnym dyfeomorfizmem takim, że , to nazywa się lokalną izometrią .

Nieruchomości

Zbiór izometrii zwykle tworzy grupę, grupę izometryczną . Gdy grupa jest grupą ciągłą , nieskończenie małymi generatorami grupy są pola wektorów zabijania .

Twierdzenie Myersa-Steenroda stwierdza, że ​​każda izometria między dwoma połączonymi rozmaitościami Riemanna jest gładka (różniczkowalna). Druga postać tego twierdzenia mówi, że grupa izometryczna rozmaitości riemannowskiej jest grupą Liego .

Rozmaitości riemannowskie, które mają izometrie zdefiniowane w każdym punkcie, nazywane są przestrzeniami symetrycznymi .

Uogólnienia

  • Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę rzeczywistą ε, ε-izometria lub prawie izometria (zwana również przybliżeniem Hausdorffa ) jest mapą między przestrzeniami metrycznymi, taką, że
    1. dla x , x ′ ∈ X jeden ma | d Y (ƒ( x ),ƒ( x ′))− d X ( x , x ′)| < ε, i
    2. dla dowolnego punktu yY istnieje punkt xX z d Y ( y ,ƒ( x )) < ε
Oznacza to, że izometria ε zachowuje odległości z dokładnością do ε i nie pozostawia żadnego elementu kodomeny dalej niż ε od ​​obrazu elementu domeny. Zauważ, że nie zakłada się, że ε-izometrie są ciągłe .
  • Ogranicza właściwość isometry charakteryzuje prawie izometryczne matryce rzadkich wektorów.
  • Kolejnym użytecznym uogólnieniem jest quasi-izometria .
  • Można również zdefiniować element w abstrakcyjnej C*-algebrze jako izometrię:
    jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy .
Zauważ, że jak wspomniano we wstępie, niekoniecznie jest to element jednolity, ponieważ generalnie nie ma, że ​​lewa odwrotność jest prawą odwrotnością.

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia

Bibliografia