Izometria - Isometry
W matematyce An isometry (lub zbieżność lub przekształcenie przystające ) jest odległość -preserving przemiana pomiędzy przestrzeni metrycznych , zwykle przyjmuje się bijective .
Wprowadzenie
Biorąc pod uwagę przestrzeń metryczną (luźno zbiór i schemat przypisywania odległości między elementami zbioru), izometria jest przekształceniem, które odwzorowuje elementy na tę samą lub inną przestrzeń metryczną w taki sposób, że odległość między elementami obrazu w nowej przestrzeni metrycznej jest równa odległości między elementami w oryginalnej przestrzeni metrycznej. W dwuwymiarowej lub trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie figury geometryczne są przystające, jeśli są powiązane izometrią; wiążąca je izometria jest albo ruchem sztywnym (przesunięciem lub obrotem), albo złożeniem ruchu sztywnego i odbicia .
Izometrie są często używane w konstrukcjach, w których jedna przestrzeń jest osadzona w innej przestrzeni. Na przykład dopełnienie przestrzeni metrycznej M obejmuje izometrię od M do M' , zbiór ilorazowy przestrzeni sekwencji Cauchy'ego na M . Przestrzeń pierwotna M jest więc izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią pełnej przestrzeni metrycznej i jest zwykle utożsamiana z tą podprzestrzenią. Inne konstrukcje osadzania pokazują, że każda przestrzeń metryczna jest izomorficznie izomorficzna z domkniętym podzbiorem pewnej unormowanej przestrzeni wektorowej i że każda pełna przestrzeń metryczna jest izomorficzna z zamkniętym podzbiorem pewnej przestrzeni Banacha .
Izometryczny surjektywny operator liniowy na przestrzeni Hilberta nazywa się operatorem unitarnym .
Definicja izometrii
Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi z metrykami (np. odległościami) d X i d Y . Mapę f : X → Y jest nazywany isometry lub odległość zachowania , jeśli dla każdego a , b ∈ X trzeba
Izometria jest automatycznie wstrzykiwana ; w przeciwnym razie dwa różne punkty, a i b , mogłyby być odwzorowane na ten sam punkt, co zaprzecza aksjomatowi zbieżności metryki d . Ten dowód jest podobny do dowodu, że osadzanie porządku między częściowo uporządkowanymi zbiorami jest iniektywne. Oczywiście każda izometria pomiędzy przestrzeniami metrycznymi jest osadzeniem topologicznym.
Globalny izometria , izometrycznym izomorfizmem lub mapowanie zbieżność jest bijective isometry. Jak każda inna bijekcja, globalna izometria ma funkcję inverse . Odwrotność globalnej izometrii jest również globalną izometrią.
Dwie przestrzenie metryczne X i Y nazywane są izometrycznymi, jeśli istnieje izometria bijektywna od X do Y . Zestaw z bijective izometrycznych z metryki przestrzeni na siebie tworzy grupę względem składu funkcji , zwany grupą isometry .
Istnieje również słabsze pojęcie izometrii torowej lub izometrii łukowej :
Isometry ścieżka lub arcwise izometria jest mapa, która zachowuje długości krzywych ; taka mapa niekoniecznie jest izometrią w sensie zachowania odległości i niekoniecznie musi być bijektywna czy nawet iniektywna. Termin ten jest często skrócony do po prostu izometrii , więc należy uważać, aby określić z kontekstu, jaki typ jest przeznaczony.
- Przykłady
- Każde odbicie , translacja i obrót to globalna izometria w przestrzeniach euklidesowych . Zobacz także grupa euklidesowa i przestrzeń euklidesowa § izometrie .
- Mapa w to izometria ścieżka ale nie isometry. Zauważ, że w przeciwieństwie do izometrii nie jest iniektywna.
Izometrie między przestrzeniami unormowanymi
Poniższe twierdzenie pochodzi od Mazura i Ulama.
- Definicja : Punktem środkowym dwóch elementów x i y w przestrzeni wektorowej jest wektor 1/2( x + y ) .
Twierdzenie — Niech A : X → Y będzie surjektywną izometrią między przestrzeniami unormowanymi, która odwzorowuje 0 na 0 ( Stefan Banach nazwał takie odwzorowania rotacjami ), gdzie zauważ, że A nie jest z założenia izometrią liniową . Następnie A odwzorowuje punkty środkowe na punkty środkowe i jest liniowe jako odwzorowanie liczb rzeczywistych ℝ . Jeśli X i Y są złożonymi przestrzeniami wektorowymi, to A może nie być liniowe jako odwzorowanie na ℂ .
Izometria liniowa
Biorąc pod uwagę dwie unormowane przestrzenie wektorowe i , izometria liniowa jest mapą liniową, która zachowuje normy:
dla wszystkich . Izometrie liniowe to mapy zachowujące odległość w powyższym sensie. Są globalnymi izometriami wtedy i tylko wtedy, gdy są surjektywne .
W wewnętrznej przestrzeni produktu powyższa definicja redukuje się do
dla wszystkich , co jest równoznaczne z powiedzeniem tego . Oznacza to również, że izometrie zachowują produkty wewnętrzne, ponieważ
Izometrie liniowe nie zawsze są jednak operatorami unitarnymi , ponieważ wymagają one dodatkowo tego i .
Zgodnie z twierdzeniem Mazura-Ulama każda izometria unormowanych przestrzeni wektorowych nad R jest afiniczna .
- Przykłady
- Izometryczne odwzorowania liniowe od C n do samego siebie są podane przez macierze unitarne .
Rozdzielacze
Izometria rozmaitości to dowolne (gładkie) odwzorowanie tej rozmaitości na siebie lub na inną rozmaitość, która zachowuje pojęcie odległości między punktami. Definicja izometrii wymaga pojęcia metryki na rozmaitości; Rozmaitość z metryką (dodatnio-określoną) to rozmaitość riemannowska , rozmaitość z metryką nieokreśloną to rozmaitość pseudo-Riemanna . Tak więc izometrie są badane w geometrii riemannowskiej .
Lokalny isometry z jednego ( pseudo -) Riemanna kolektora do drugiego jest mapa która cofa się tensor metryczną na drugim kolektorem do tensora metryki pierwszego. Gdy takie odwzorowanie jest również dyfeomorfizmem , takie odwzorowanie nazywa się izometrią (lub izomorfizmem izometrycznym ) i dostarcza pojęcia izomorfizmu ("sameness") w kategorii Rm rozmaitości Riemanna.
Definicja
Niech i będą dwiema (pseudo-)riemannowskimi rozmaitościami i niech będą dyfeomorfizmem. Wtedy nazywa się izometrią (lub izomorfizmem izometrycznym ) if
gdzie oznacza wycofanie tensora metryki rangi (0, 2) przez . Równoważnie, w kategoriach pushforward , mamy to dla dowolnych dwóch pól wektorowych na (tj. odcinkach wiązki stycznej ),
Jeśli jest lokalnym dyfeomorfizmem takim, że , to nazywa się lokalną izometrią .
Nieruchomości
Zbiór izometrii zwykle tworzy grupę, grupę izometryczną . Gdy grupa jest grupą ciągłą , nieskończenie małymi generatorami grupy są pola wektorów zabijania .
Twierdzenie Myersa-Steenroda stwierdza, że każda izometria między dwoma połączonymi rozmaitościami Riemanna jest gładka (różniczkowalna). Druga postać tego twierdzenia mówi, że grupa izometryczna rozmaitości riemannowskiej jest grupą Liego .
Rozmaitości riemannowskie, które mają izometrie zdefiniowane w każdym punkcie, nazywane są przestrzeniami symetrycznymi .
Uogólnienia
- Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę rzeczywistą ε, ε-izometria lub prawie izometria (zwana również przybliżeniem Hausdorffa ) jest mapą między przestrzeniami metrycznymi, taką, że
- dla x , x ′ ∈ X jeden ma | d Y (ƒ( x ),ƒ( x ′))− d X ( x , x ′)| < ε, i
- dla dowolnego punktu y ∈ Y istnieje punkt x ∈ X z d Y ( y ,ƒ( x )) < ε
- Oznacza to, że izometria ε zachowuje odległości z dokładnością do ε i nie pozostawia żadnego elementu kodomeny dalej niż ε od obrazu elementu domeny. Zauważ, że nie zakłada się, że ε-izometrie są ciągłe .
- Ogranicza właściwość isometry charakteryzuje prawie izometryczne matryce rzadkich wektorów.
- Kolejnym użytecznym uogólnieniem jest quasi-izometria .
- Można również zdefiniować element w abstrakcyjnej C*-algebrze jako izometrię:
- jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy .
- Zauważ, że jak wspomniano we wstępie, niekoniecznie jest to element jednolity, ponieważ generalnie nie ma, że lewa odwrotność jest prawą odwrotnością.
- W przestrzeni pseudoeuklidesowej termin izometria oznacza liniową bijekcję zachowującą wielkość. Zobacz także Przestrzenie kwadratowe .
Zobacz też
- Twierdzenie Beckmana-Quarlesa
- Drugi dual przestrzeni Banacha jako izomorfizm izometryczny
- Izometria płaszczyzny euklidesowej
- Płaski (geometria)
- Grupa homeomorficzna
- Inwolucja
- Grupa izometryczna
- Ruch (geometria)
- Twierdzenie Myersa-Steenroda
- Izometrie 3D, które pozostawiają ustalony początek
- Częściowa izometria
- Osadzanie półokreślone
- Grupa kosmiczna
- Symetria w matematyce
Bibliografia
Bibliografia
- Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matth . Numer ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Bibliografia
- Coxeter, HSM (1969). Wprowadzenie do geometrii, wydanie drugie . Wiley . Numer ISBN 9780471504580.
- Lee, Jeffrey M. (2009). Rozmaitości i geometria różniczkowa . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-4815-9.