Wymiar (przestrzeń wektorowa) - Dimension (vector space)

W matematyce The wymiar z przestrzeni wektor V jest liczność (liczba wektorów) z oparciu o V na jej podstawie pola . Czasami nazywany jest wymiarem Hamela (od Georga Hamela ) lub wymiarem algebraicznym, aby odróżnić go od innych typów wymiarów .

Dla każdej przestrzeni wektorowej istnieje podstawa, a wszystkie bazy w przestrzeni wektorowej mają jednakową liczność; w rezultacie wymiar przestrzeni wektorowej jest jednoznacznie określony. Mówimy, że V jest skończony wymiar, jeśli wymiar V jest skończony , i nieskończenie wymiarowy, jeśli jego wymiar jest nieskończony .

Wymiar przestrzeni wektorowej V nad polem F można zapisać jako dim F ( V ) lub jako [V: F], czytaj „wymiar V nad F ”. Kiedy F można wywnioskować z kontekstu, zwykle zapisuje się dim ( V ).

Przykłady

Przestrzeń wektorowa R 3 ma

w standardowej podstawy , a w związku z tym mamy dim R ( R 3 ) = 3. Ogólnie, DIM R ( R n ) = n , a jeszcze ogólniej dim F ( M n ) = n dla każdego pola F .

Te liczby zespolone C są zarówno rzeczywista i zespolona miejsca wektora; mamy wym. R ( C ) = 2 i wym. C ( C ) = 1. Zatem wymiar zależy od pola podstawowego.

Jedyną przestrzenią wektorową o wymiarze 0 jest {0}, przestrzeń wektorowa składająca się tylko z zerowego elementu.

Fakty

Jeśli W jest liniowy podprzestrzeń z V , a następnie dim ( W ) ≤ dim ( V ).

Aby pokazać, że dwie skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe są równe, często stosuje się następujące kryterium: jeśli V jest skończoną wymiarową przestrzenią wektorową, a W jest liniową podprzestrzenią V, gdzie dim ( W ) = dim ( V ), to W = V .

R n ma standardową podstawę { e 1 , ..., e n }, gdzie e i jest i-tą kolumną odpowiedniej macierzy tożsamości . Dlatego R n ma wymiar n .

Dowolne dwie przestrzenie wektorowe nad F mające ten sam wymiar są izomorficzne . Dowolna mapa bijektywna między ich bazami może być w unikalny sposób rozszerzona do bijektywnej mapy liniowej między przestrzeniami wektorowymi. Jeśli B jest jakimś zbiorem, to przestrzeń wektorowa o wymiarze | B | przez F może być skonstruowany w sposób następujący: przyjąć zbiór F ( B ) wszystkich funkcji f  : B F w taki sposób, F ( b ) = 0 dla wszystkich, ale skończoną wiele b w B . Funkcje te można dodawać i mnożyć przez elementy F , uzyskując pożądaną przestrzeń wektorową F.

Ważny wynik dotyczący wymiarów daje twierdzenie o nieważności rang dla odwzorowań liniowych .

Jeśli F / K jest rozszerzenie ciała , a następnie F jest w szczególności przestrzeni A Wektor nad K . Co więcej, każda przestrzeń V wektora F jest również przestrzenią wektorową K. Wymiary są powiązane wzorem

wym. K ( V ) = wym. K ( F ) wym. F ( V ).

W szczególności każda złożona przestrzeń wektorowa o wymiarze n jest rzeczywistą przestrzenią wektorową o wymiarze 2 n .

Niektóre proste wzory wiążą wymiar przestrzeni wektorowej z licznością pola podstawowego i licznością samej przestrzeni. Jeśli V jest przestrzenią wektorową nad polem F to, oznaczając wymiar V przez wymiar V , otrzymujemy:

Jeśli dim V jest skończone, to | V | = | F | dim V .
Jeśli słabe V jest nieskończone, to | V | = max (| F |, dim V ).

Uogólnienia

Przestrzeń wektorową można postrzegać jako szczególny przypadek matroidu , w tym ostatnim istnieje dobrze zdefiniowane pojęcie wymiaru. Długość modułu , a rangę grupa przemienna zarówno kilka właściwości podobne do wymiaru przestrzeni wektorowej.

Wymiar Krull przemiennej pierścienia , nazwany Wolfgang Krull (1899-1971), definiuje się jako liczbę maksymalną surowych wtrąceń w rosnącym łańcuchu ideał pierwszy w pierścieniu.

Ślad

Wymiar przestrzeni wektorowej można alternatywnie scharakteryzować jako ślad na operatora tożsamości . Na przykład wydaje się, że jest to definicja cykliczna, ale pozwala na użyteczne uogólnienia.

Po pierwsze, pozwala zdefiniować pojęcie wymiaru, gdy ma się ślad, ale nie ma naturalnego poczucia podstawy. Na przykład, można mieć algebrę A z mapami (włączenie skalarów, zwanych jednostkami ) i mapę (odpowiadającą śladowi , zwaną count ). Kompozycja jest skalarem (będącym operatorem liniowym na jednowymiarowej przestrzeni), która odpowiada „śladowi tożsamości” i daje pojęcie wymiaru dla abstrakcyjnej algebry. W praktyce w bialgebrach wymaga się, aby ta mapa była tożsamością, którą można uzyskać normalizując liczebność przez podzielenie przez wymiar ( ), więc w tych przypadkach stała normalizująca odpowiada wymiarowi.

Alternatywnie, można by prześledzić operatory w nieskończenie wymiarowej przestrzeni; w tym przypadku (skończony) ślad jest zdefiniowany, mimo że nie istnieje (skończony) wymiar, i daje pojęcie „wymiaru operatora”. Wchodzą one w rubryce „ klasowych ślad operatorów” na przestrzeni Hilberta , lub bardziej ogólnie operatorów jądrowych na przestrzeni Banacha .

Subtelniejsze uogólnienie polega na rozważeniu śladu rodziny operatorów jako pewnego rodzaju „pokręconego” wymiaru. Ma to istotne znaczenie w teorii reprezentacji , gdzie charakter reprezentacji jest śladem reprezentacji, stąd funkcja o wartościach skalarnych na grupie, której wartością dla tożsamości jest wymiar reprezentacji, ponieważ reprezentacja wysyła tożsamość w grupie do macierzy tożsamości: można postrzegać inne wartości znaku jako „skręcone” wymiary i znaleźć analogie lub uogólnienia twierdzeń o wymiarach do stwierdzeń o postaciach lub reprezentacjach. Wyrafinowany przykład tego pojawia się w teorii potwornego bimbru : j -invariant to stopniowany wymiar nieskończenie-wymiarowej stopniowanej reprezentacji grupy potworów , a zastąpienie wymiaru postacią daje serię McKaya-Thompsona dla każdego elementu grupa potworów.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Źródła

Linki zewnętrzne