grupa Frobenius - Frobenius group

W matematyce , ą grupa Frobeniusa jest przechodni grupa permutacji w ograniczonym zestawie tak, że nie nietrywialnym elementem poprawia więcej niż jeden punkt i pewne trywialne elementem ustala punkt. Są one nazwane FG Frobenius .

Struktura

Podgrupa H grupy Frobenius G ustalające punkt zbioru X nazywana jest uzupełnieniem Frobeniusa . Pierwszego elementu wraz ze wszystkimi elementami w żaden koniugatu H utworzeniem normalnego podgrupę nazwie Frobeniusa jądra K . (Jest to twierdzenie w wyniku Frobenius (1901) , nie jest jeszcze żaden dowód tego twierdzenia, że nie stosuje teorię znaków , ale patrz). Grupa Frobeniusa G jest iloczynów produkt z K i H :

${\ Displaystyle G = K \ rtimes H}$,

Zarówno jądro Frobenius i dopełnieniem Frobenius mają bardzo ograniczony struktur. Thompson JG  ( 1960 ) okazało się, że jądro Frobeniusa K jest Grupa Nilpotentna . Jeśli H ma nawet kolejność wtedy K jest abelowa. Frobeniusa dopełniacza H ma tę właściwość, że każda podgrupa, której położenie jest iloczynem liczb pierwszych 2 cykliczny; oznacza to, że jego podgrupy Sylow są cykliczne lub uogólnione kwaternionowej grupy. Każda grupa tak, że wszystkie podgrupy Sylow są cykliczne nazywa się Z-grupę , w szczególności musi być metacyclic grupy : oznacza to, że jest to przedłużenie grupami cyklicznymi. Jeżeli Frobeniusa uzupełnienie H nie jest rozpuszczalny następnie Zassenhaus wykazały, że ma normalny podgrupę indeksie 1 albo 2, który jest produktem SL ₂ (5), a metacyclic grupy zleceń względnie pierwsze do 30. W szczególności, jeśli Frobeniusa uzupełnienie zbiega z podgrupy pochodnej, to jest izomorficzny z SL (2,5). Jeżeli Frobeniusa dopełniacza H jest rozpuszczalny to ma normalną metacyclic podgrupy, tak że iloraz stanowi podgrupę grupy symetrycznie 4 punktów. Skończony grupa jest Frobeniusa uzupełniać tylko wtedy, gdy to ma wierne skończonej trójwymiarową reprezentację skończonym dziedzinie, w której elementy nie tożsamość grupy odpowiadają liniowy transformacji bez niezerowych punktów stałych.

Frobeniusa jądra K jest jednoznacznie określony przez G, jak to ma miejsce zabudowy podgrupy , a uzupełnienie Frobeniusa jest jednoznacznie określona do conjugacy przez twierdzenia Schur-Zassenhaus . W szczególności, ograniczony grupa G oznacza grupę Frobeniusa co najwyżej o jeden sposób.

Przykłady

Fano samolot

• Najmniejsza przykładem jest grupa symetryczny w 3 punktach, 6 elementów. Frobeniusa jądra K jest rzędu 3 i dopełniacza H jest rzędu 2.
• Dla każdego skończonego pola F _Q o Q (> 2) Elementy grupa odwracalnych przemian afinicznych , działającą w sposób naturalny na F _Q oznacza grupę Frobeniusa. Powyższy przykład odnosi się do przypadku, F ₃ , pole z trzech elementów.${\ Displaystyle x \ mapsto ax + b}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$
• Innym przykładem jest podgrupie rzędu 21 grupy kolineacja w płaszczyźnie Fano generowanego przez 3-krotnej symetrii σ ustalające punkt i cykliczny permutacji τ wszystkich 7 punktów spełniających στ = τ²σ. Identyfikacja F ₈ * do płaszczyzny Fano można σ być przyjmowane za ograniczenie automorfizm Frobenius Ď ( x ) = x ² F ₈ i τ się mnożenie przez dowolny element nie w głównego pola F ₂ (to znaczy generator z cyklicznym multiplikatywna grupa o F ₈ ). Ta grupa Frobenius działa po prostu przechodni na 21 flag w płaszczyźnie Fano, czyli linii z zaznaczonymi punktami.
• Dwuściennej grupy o uporządkowaniu 2 n z n nieparzystym oznacza grupę Frobeniusa z dopełniaczem o uporządkowaniu 2. Bardziej ogólnie, jeśli K jest każda grupa przemienna nieparzystego porządku a H jest rzędu 2 i działa na k przez odwrócenie, a następnie iloczynów produkt K.H jest grupa Frobenius.
• Wiele dalsze przykłady mogą być generowane przez następujące konstrukcje. Jeśli zastąpimy dopełnienie Frobenius grupy Frobenius przez nietrywialne podgrupie mamy kolejną grupę Frobenius. Jeśli mamy dwie grupy Frobenius K ₁ . H i K ₂ . H , a następnie ( K ₁  x  K ₂ ). H również oznacza grupę Frobeniusa.
• Jeżeli K jest brak grupa przemienna porządku 7 ³ z wykładnikiem 7 i H jest cykliczną grupą rzędu 3, to jest grupa Frobeniusa G , które jest przedłużeniem KH o H o K . Daje przykład grupy Frobenius z jądra non-Abelowych. Był to pierwszy przykład grupy Frobenius z nieabelowe jądra (został skonstruowany przez Otto Schmidta).
• Jeśli H jest grupa SL ₂ ( C ₅ ), w celu 120, działa on punkt stały swobodnie 2-wymiarowej przestrzeni wektorowej K na polu z 11 elementów. Rozszerzenie KH jest najmniejsza przykład nie- nierozwiązywalnym grupy Frobenius.
• Podgrupa w grupie Zassenhaus ustalające punkt jest grupą Frobeniusa.
• Grupy Frobenius'a których Mocowanie podgrupa arbitralnie dużej klasy nilpotency skonstruowano Ito niech q być mocy pierwotnej, d jest liczbą całkowitą dodatnią, a p głównym dzielnik q -1 d ≤ p . Rozwiązać pewne pole F z rzędu q i pewne elementy Z tej dziedzinie rzędu p . Frobeniusa uzupełnienie H jest cyklicznym podgrupa generowane przez macierzą diagonalną, której I, I” th wpisu z ⁱ . Frobeniusa jądra K jest Sylow q -subgroup GL ( d , q ), składające się z górnych trójkątnych matryc z nich na przekątnej. Jądro K ma nilpotency klasy D -1 i iloczynów produkt KH oznacza grupę Frobeniusa.

teoria reprezentacji

Nieredukowalnych złożone reprezentacje Frobenius grupy G mogą być odczytywane z tych H i K . Istnieją dwa rodzaje reprezentacji nieprzywiedlnych od G :

• Każdy nierozkładalny przedstawienie R stanowi H daje nieredukowalnego reprezentację G za pomocą mapy iloraz z G na H (to znaczy, w ograniczonym reprezentacji ). Dają nieredukowalnych reprezentacje G z K w jądrze.
• Jeśli S jakikolwiek nietrywialnym nierozkładalny reprezentacja K , a odpowiedniej reprezentacji indukowanej z G jest nierozkładalny. Dają nieredukowalnego reprezentacje G z K nie w ich jądrze.

alternatywne definicje

Istnieje szereg właściwości teoretycznych grupowych, które są interesujące z własnej prawa, a które stało się równoznaczne z grupy posiadającej reprezentacji permutacji, który sprawia, że ​​jest to grupa Frobenius.

• G oznacza grupę Frobeniusa wtedy i tylko wtedy, gdy G jest odpowiednią, nonidentity podgrupy H takiej, że H ∩ H ^g jest podgrupa tożsamość każdego g ∈ G - H , to jest H to malnormal podgrupa o G .

Definicja ta jest następnie uogólnione do badania trywialne zestawów przecięcia, co pozwoliło na wyniki w grupach Frobenius'a używanych w klasyfikacji grup CA być rozszerzone do wyników z grupy CN i wreszcie nieparzystej twierdzenia kolejności .

Zakładając, że jest iloczynów produktu normalnego podgrupy K i uzupełnia H , a następnie dodaje się ograniczenia centralizers odpowiadają G oznacza grupę Frobeniusa z Frobeniusa uzupełnienie H : ${\ Displaystyle G = K \ rtimes H}$

• Centrujące C _G ( k ) jest podgrupa K dla każdego nonidentity K w K .
• C _H ( k ) = 1 dla wszystkich nonidentity K w K .
• C _G ( H ) ≤ H dla każdego nonidentity h H.

Referencje

• Frobeniusa, G. (1901), "Überowa auflösbare Gruppen. IV." Organizmowi. Ber. (w języku niemieckim): 1216-1230, doi : 10,3931 / e-rara-18836 , JFM  32.0137.01
• B. Huppert, Endliche Gruppen I , Springer 1967
• IM Isaacs, Charakter teorii grup skończonych , AMS Chelsea 1976
• DS Passman, grupa permutacji , Benjamin 1968
• Thompson, John G. (1960), "Normal p uzupełnieniem dla grup skończonych", Mathematische Zeitschrift , 72 : 332-354, doi : 10.1007 / BF01162958 , ISSN  0025-5874 , MR  0117289