Podgrupa hali - Hall subgroup

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Normalna podgrupa Grupa ilorazów Produkt (pół) bezpośredni Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelowy dwuścienny nilpotent rozpuszczalny Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Elementarna grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein cztery grupy V Grupa dwuścienna D n Grupa kwaternionów Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Lie Elektrozawór okrąg Ogólny liniowy GL ( n ) Specjalny liniowy SL ( n ) Ortogonalne O ( n ) Euklidesa E ( n ) Specjalne ortogonalne SO ( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalne jednostkowe SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończona wymiarowa grupa Lie O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

W matematyce , A Hall podgrupa skończonego grupie G jest podgrupą, których kolejność jest względnie pierwsze jego wskaźnika . Zostały wprowadzone przez teoretyka grupy Philip Hall  ( 1928 ).

Definicje

Hall dzielnik (zwany również jednolity dzielnik ) liczb całkowitych n jest dzielnikiem d z n , takich, że d i n / d jest względnie pierwsze. Najłatwiejszym sposobem znalezienia dzielników Halla jest zapisanie na czynniki pierwsze faktoryzacji dla danej liczby i wzięcie dowolnego iloczynu składników mnożenia (pełnej potęgi dowolnego z czynników pierwszych), w tym 0 z nich dla iloczynu 1 lub wszystkich z nich za iloczyn równy liczbie pierwotnej. Na przykład, aby znaleźć dzielniki Halla równe 60, pokaż na czynniki pierwsze 2 ² · 3 · 5 i weź dowolny iloczyn {3,4,5}. Zatem dzielniki Halla liczby 60 to 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 i 60.

Hall podgrupy z G jest podgrupą, której położenie jest Hall dzielnik rzędu G . Innymi słowy, jest to podgrupa, której kolejność jest względnie pierwsza w stosunku do indeksu.

Jeśli π jest zbiorem liczb pierwszych, a następnie Halla gatunku -subgroup jest podgrupą, której położenie jest iloczynem liczb pierwszych w Õ i którego indeks nie jest podzielna przez jakiekolwiek bodźce w Õ .

Przykłady

• Każda podgrupa Sylow w grupie jest podgrupą Hall.
• Naprzemienna grupa A ₄ rzędu 12 jest rozwiązalna, ale nie ma podgrup rzędu 6, mimo że 6 dzieli 12, pokazując, że twierdzenie Halla (patrz poniżej) nie może zostać rozszerzone na wszystkie dzielniki rzędu grupy rozwiązalnej.
• Jeśli G = A ₅ , jedyna prosta grupa rzędu 60, to 15 i 20 są dzielnikami Halla rzędu G , ale G nie ma podgrup tych rzędów.
• Prostą grupę celu 168 ma dwie różne klasy conjugacy Halla podgrupy rzędu 24 (chociaż są one połączone za pomocą zewnętrznego automorfizm z G ).
• Prosta grupa rzędu 660 ma dwie podgrupy Halla rzędu 12, które nie są nawet izomorficzne (a więc z pewnością nie są sprzężone, nawet pod zewnętrznym automorfizmem). Normalizator z Sylow 2-podgrupie rzędu 4 jest izomorficzny grupy przemiennego A ₄ w kolejności 12, natomiast normalizator podgrupie rzędu 2 lub 3, jest izomorficzny do dwuściennej grupy porządku 12.

Twierdzenie Halla

Hall (1928) udowodnił, że jeśli G jest skończoną rozwiązalną grupą, a π jest dowolnym zbiorem liczb pierwszych, to G ma podgrupę Hall π , a dowolne dwie podgrupy Hall π są sprzężone. Co więcej, każda podgrupa, której kolejność jest iloczynem liczb pierwszych w π, jest zawarta w jakiejś podgrupie Hall π . Wynik ten można traktować jako uogólnienie twierdzenia Sylowa na podgrupy Halla, ale powyższe przykłady pokazują, że takie uogólnienie jest fałszywe, gdy grupy nie da się rozwiązać.

Istnienie podgrup Halla można udowodnić przez indukcję rzędu G , wykorzystując fakt, że każda skończona grupa dająca się rozwiązać ma normalną elementarną podgrupę abelową. Dokładniej, ustal minimalną normalną podgrupę A , która jest albo grupą π, albo grupą π ', ponieważ G jest oddzielna π . Przez indukcję jest podgrupa H o G zawierające A takiej, że H / jest Sali gatunku -subgroup z G / A . Jeśli jest π -group czym H jest Sali gatunku -subgroup z G . Z drugiej strony, jeśli jest π” -group, następnie przez Schur-Zassenhaus twierdzenie ma dopełnienie w H , czyli hali gatunku -subgroup z G .

Odwrotność do twierdzenia Halla

Dowolna skończona grupa, która ma podgrupę Halla π dla każdego zbioru liczb pierwszych π, jest rozwiązalna. Jest to uogólnienie twierdzenia Burnside'a, że każda grupa, której rząd ma postać p ^a q ^b dla liczb pierwszych p i q, jest rozwiązalna, ponieważ twierdzenie Sylowa implikuje, że istnieją wszystkie podgrupy Halla. Nie daje to (obecnie) innego dowodu twierdzenia Burnside'a, ponieważ twierdzenie Burnside'a jest używane do udowodnienia tej odwrotności.

Systemy Sylow

System Sylow jest zbiorem Sylow p- podgrup S _p dla każdej liczby pierwszej p takiej, że S _p S _q = S _q S _p dla wszystkich p i q . Jeśli mamy system Sylow, to podgrupa wygenerowana przez grupy S _p dla p w π jest podgrupą Hall π . Bardziej precyzyjna wersja twierdzenia Halla mówi, że każda możliwa do rozwiązania grupa ma układ Sylow, a dowolne dwa układy Sylow są sprzężone.

Normalne podgrupy Halla

Każdy normalny Halla PODGRUPA H skończonej grupy G posiada uzupełnienia , oznacza to, że pewne podgrupy K z G , która przecina H trywialny i takie, że HK  =  G (jak G jest iloczynów produkt z H i K ). To jest twierdzenie Schura-Zassenhausa .

Zobacz też

• Tworzenie

Bibliografia

• Gorenstein, Daniel (1980), grupy skończone , Nowy Jork: Chelsea Publishing Co., ISBN   0-8284-0301-5 , MR   0569209 .
• Hall, Philip (1928), „A note on soluble groups”, Journal of the London Mathematical Society , 3 (2): 98–105, doi : 10.1112 / jlms / s1-3.2.98 , JFM   54.0145.01 , MR   1574393