Specjalna grupa liniowa - Special linear group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, Z ) SL(2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór okrąg Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Algebry kłamstwa
Półprosta algebra Liego
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstwa w fizyce
Naukowcy Sophus kłamstwo Henri Poincaré Zabijanie Wilhelma Elie Cartan Hermanna Weyla Claude Chevalley Harisz-Chandra Armand Borel
Słownik Tabela grup kłamstw
v t mi

W matematyce The specjalny liniową grupę SL ( N , M ) stopnia n nad pole F jest zestaw n x n matryce z wyznacznik 1, przy czym grupy o zwykłej operacji mnożenia macierzy i inwersję macierzy . To jest normalny podgrupa o ogólnym grupę liniową podano przez jądro z determinantą

${\ Displaystyle \ det \ dwukropek \ operatorname {GL} (n, F) \ do F ^ {\ razy}.}$

gdzie piszemy F ^× dla multiplikatywnego grupy z F (czyli F z wyłączeniem 0).

Elementy te są „specjalne” w tym sensie , że tworzą algebraiczną podrozmaitość ogólnej grupy liniowej – spełniają równanie wielomianowe (ponieważ w hasłach wyznacznikiem jest wielomian).

Interpretacja geometryczna

Specjalną grupę liniową SL( n , R ) można scharakteryzować jako grupę objętości i orientacji z zachowaniem przekształceń liniowych R ⁿ ; odpowiada to interpretacji wyznacznika jako pomiaru zmiany objętości i orientacji.

Podgrupa kłamstw

Gdy C jest R lub C , SL ( N , M ) jest podgrupa Lie z GL ( N , M ) wymiaru n ² - 1 . Algebra Lie z SL ( N , M ) składa się ze wszystkich n x n macierzy na F z znikające śladu . Wspornik Lie jest przez komutator . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,f)}$

Topologia

Każda macierz odwracalna może być jednoznacznie reprezentowana zgodnie z rozkładem biegunowym jako iloczyn macierzy unitarnej i macierzy hermitowskiej z dodatnimi wartościami własnymi . Determinantą jednostkowego matrycy znajduje się na okręgu jednostkowym natomiast z hermitowskiego matrycy jest rzeczywisty i dodatni, i ponieważ w przypadku matrycy z grupy szczególnego liniowego iloczyn tych dwóch determinant musi wynosić 1, a każdy z nich może być 1. Zatem specjalną macierz liniową można zapisać jako iloczyn specjalnej macierzy unitarnej (lub specjalnej macierzy ortogonalnej w przypadku rzeczywistym) i dodatnio określonej macierzy hermitowskiej (lub macierzy symetrycznej w przypadku rzeczywistym) mającej wyznacznik 1.

Zatem topologia grupy SL( n , C ) jest iloczynem topologii SU( n ) i topologii grupy macierzy hermitowskich wyznacznika jednostkowego o dodatnich wartościach własnych. Hermitian macierzą jednostkową determinanty i mający pozytywne wartości własnych może być wyrażony jako wykładniczą o bezśladowy matrycy hermitowskiego i dlatego topologii tego jest to, że ( n ² - 1) -wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Ponieważ SU( n ) jest po prostu spójny , wnioskujemy, że SL( n , C ) jest również po prostu spójny, dla wszystkich n .

Topologia SL( n , R ) jest iloczynem topologii SO ( n ) i topologii grupy macierzy symetrycznych o dodatnich wartościach własnych i wyznaczniku jednostkowym. Ponieważ te ostatnie macierze mogą być jednoznacznie wyrażone jako wykładnik symetrycznych macierzy bezśladowych, to ta ostatnia topologia jest topologią ( n + 2)( n − 1)/2- wymiarową przestrzeń euklidesową. Zatem grupa SL( n , R ) ma tę samą grupę podstawową co SO( n ), to znaczy Z dla n = 2 i Z ₂ dla n > 2 . W szczególności oznacza to, że SL( n , R ) , w przeciwieństwie do SL( n , C ) nie jest po prostu połączony, ponieważ n jest większe niż 1.

Relacje do innych podgrup GL( n , A )

Dwie pokrewne podgrupy, które w niektórych przypadkach pokrywają się z SL, aw innych są przypadkowo łączone z SL, to podgrupa komutatorów GL oraz grupa generowana przez transwekcje . Są to obie podgrupy SL (transwekcje mają wyznacznik 1, a det jest odwzorowaniem na grupę abelową, czyli [GL, GL] ≤ SL), ale generalnie się z nią nie pokrywają.

Grupę generowaną przez transwekcje oznaczono jako E( n , A ) (dla macierzy elementarnych ) lub TV( n , A ) . Zgodnie z drugą relacją Steinberga , dla n ≥ 3 , transwekcje są komutatorami, więc dla n ≥ 3 , E( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )] .

Dla n = 2 transwekcje nie muszą być komutatorami ( macierze 2 × 2 ), jak widać na przykład, gdy A jest F ₂ , czyli polem dwóch elementów, wtedy

${\ Displaystyle \ Operatorname {Alt} (3) \ cong [\ Operator {GL} (2 \ mathbf {F} _ {2}), \ Operator {GL} (2 \ mathbf {F} _ {2}) )]<\nazwa operatora {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\nazwa operatora {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\nazwa operatora {GL} (2,\ mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}$

gdzie Alt(3) i Sym(3) oznaczają naprzemienne odp. symetryczna grupa na 3 literach.

Jeśli jednak A jest polem z więcej niż 2 elementami, to E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , a jeśli A jest polem z więcej niż 3 elementami, E (2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] .

W pewnych okolicznościach są one zbieżne: specjalna grupa liniowa nad polem lub domeną euklidesową jest generowana przez transwekcje, a stabilna specjalna grupa liniowa nad domeną Dedekinda jest generowana przez transwekcje. Dla bardziej ogólnych pierścieni stabilna różnica jest mierzona przez specjalną grupę Whiteheada SK ₁ ( A ):= SL( A )/E( A ) , gdzie SL( A ) i E( A ) są stabilnymi grupami specjalnej grupy liniowej i macierze elementarne.

Generatory i relacje

Pracując nad pierścieniem, w którym SL jest generowane przez transwekcje (takie jak pole lub domena euklidesowa ), można przedstawić prezentację SL za pomocą transwekcji z pewnymi relacjami. Transwekcje spełniają relacje Steinberga , ale to nie wystarcza: powstała grupa to grupa Steinberga , która nie jest specjalną grupą liniową, ale raczej uniwersalnym centralnym rozszerzeniem podgrupy komutatora GL.

Wystarczający zbiór relacji dla SL( n , Z ) dla n ≥ 3 jest określony przez dwie relacje Steinberga oraz trzecią relację ( Conder , Robertson & Williams 1992 , s. 19 ). Niech T _ij  := e _ij (1) będzie macierzą elementarną z jedynkami na przekątnej iw pozycji ij oraz zerami w innym miejscu (oraz i ≠ j ). Następnie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo [T_ {ij}, T_ {jk} \ prawo] & = T_ {ik} i {\ tekst {dla}} i \ neq k \ \ [4 pkt] \ lewo [ T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12 }T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

są kompletnym zbiorem relacji dla SL( n , Z ), n ≥ 3.

SL ^± ( n , F )

W charakterystyce innej niż 2 zbiór macierzy z wyznacznikiem ±1 tworzy kolejną podgrupę GL, z SL jako podgrupą indeksu 2 (koniecznie normalną); w charakterystyce 2 jest to to samo co SL. Tworzy to krótką dokładną sekwencję grup:

${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (n, F) \ do \ operatorname {SL} ^ {\ pm} (n, F) \ do \ {\ pm 1 \}}.$

Ta sekwencja dzieli się, biorąc dowolną macierz z wyznacznikiem -1 , na przykład macierz diagonalna Jeśli jest nieparzysta, ujemna macierz identyczności jest w SL ^± ( n , F ), ale nie w SL ( n , F ), a zatem grupa dzieli się jako wewnętrzny produkt bezpośredni . Jeśli jednak jest parzysty, jest już w SL( n , F ) , SL ^± nie dzieli się i generalnie jest nietrywialnym rozszerzeniem grupy . ${\displaystyle (-1,1,\kropki,1).}$${\displaystyle n=2k+1}$${\displaystyle-I}$ ${\ Displaystyle SL ^ {\ pm} (2k + 1, F) \ cong SL (2k + 1, F) \ razy \ {\ pm I \}}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle-I}$

Ponad liczbami rzeczywistymi, SL ^± ( n , R ) ma dwie połączone składowe , odpowiadające SL( n , R ) i inną składową, które są izomorficzne z identyfikacją zależną od wyboru punktu (macierz z wyznacznikiem −1 ). W wymiarze nieparzystym są one naturalnie identyfikowane przez , ale w wymiarze parzystym nie ma jednej naturalnej identyfikacji. ${\displaystyle-I}$

Struktura GL( n , F )

Grupa GL( n , F ) dzieli się na jej wyznacznik (używamy F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F ) jako monomorfizm od F ^× do GL( n , F ) , patrz iloczyn półpośredni ), a zatem GL ( n , M ) może być zapisana jako iloczynów produktu z SL ( n , F ) przez F ^x :

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^× .

Zobacz też

• SL(2, R )
• SL(2, C )
• Grupa modułowa
• Rzutowa grupa liniowa
• Mapa konformalna
• Reprezentacje klasycznych grup Liego

Bibliografia

• Conder, Marston ; Robertson, Edmund; Williams, Peter (1992), „Prezentacje dla 3-wymiarowych specjalnych grup liniowych nad pierścieniami całkowitymi”, Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 115 (1): 19-26, doi : 10.2307/2159559 , JSTOR  2159559 , MR  1079696
• Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: Wprowadzenie elementarne , Teksty magisterskie z matematyki, 222 (wyd. 2), Springer