Ogólna grupa liniowa - General linear group

W matematyce The ogólnie grupę liniową stopnia n jest zestaw n x n odwracalnych matryce wraz z działaniem zwykłych mnożenie macierzy . Tworzy to grupę , ponieważ iloczyn dwóch macierzy odwracalnych jest ponownie odwracalny, a odwrotność macierzy odwracalnej jest odwracalna, z macierzą jednostkową jako elementem tożsamości grupy. Grupa jest tak nazwana, ponieważ kolumny macierzy odwracalnej są liniowo niezależne , stąd wektory/punkty, które definiują, znajdują się w ogólnej pozycji liniowej , a macierze w ogólnej grupie liniowej przyjmują punkty w ogólnej pozycji liniowej do punktów w ogólnej pozycji liniowej.

Mówiąc dokładniej, konieczne jest sprecyzowanie, jakie obiekty mogą pojawiać się we wpisach macierzy. Na przykład ogólna grupa liniowa nad R (zbiór liczb rzeczywistych ) jest grupą n × n odwracalnych macierzy liczb rzeczywistych i jest oznaczana przez GL _n ( R ) lub GL( n , R ) .

Bardziej ogólnie, ogólna grupa liniowa stopnia n nad dowolnym polem F (takim jak liczby zespolone ) lub pierścień R (taki jak pierścień liczb całkowitych ) jest zbiorem n × n macierzy odwracalnych z wpisami z F (lub R ), ponownie z mnożeniem macierzy jako operacją grupową. Typową notacją jest GL _n ( F ) lub GL( n , F ) lub po prostu GL( n ), jeśli pole jest zrozumiałe.

Bardziej ogólnie, ogólna grupa liniowa przestrzeni wektorowej GL( V ) jest abstrakcyjną grupą automorfizmu , niekoniecznie zapisaną jako macierze.

Specjalną grupę liniową , napisany SL ( N , M ) lub SL _n ( M ) jest podgrupa o GL ( n , f ) składającej się z matrycy z determinantą 1.

Grupa GL( n , F ) i jej podgrupy są często nazywane grupami liniowymi lub grupami macierzowymi (grupa abstrakcyjna GL( V ) jest grupą liniową, ale nie macierzową). Grupy te są ważne w teorii reprezentacji grupowych , a także pojawiają się w ogólnych badaniach symetrii przestrzennych i symetrii przestrzeni wektorowych , a także w badaniach wielomianów . Grupę modułową można zrealizować jako iloraz specjalnej grupy liniowej SL(2, Z ) .

Jeśli n ≥ 2 , to grupa GL( n , F ) nie jest abelowa .

Ogólna grupa liniowa przestrzeni wektorowej

Jeśli V jest przestrzenią liniową nad ciałem F , ogólna grupa liniowa V , napisany GL ( V ) lub Aut ( V ), to grupa wszystkich automorfizmów z V , czyli zbiór wszystkich bijective liniowej przekształceń V → V , wraz ze składem funkcjonalnym jako działaniem grupowym. Jeśli V ma skończony wymiar n , to GL( V ) i GL( n , F ) są izomorficzne . Izomorfizm nie jest kanoniczny; zależy to od wyboru podstawy w V . Biorąc pod uwagę podstawę ( e ₁ , ..., e _n ) z V i automorfizmem T w GL ( V ), mamy wtedy do każdego podstawie wektora e _i że

{\ Displaystyle T (e_ {i}) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} e_ {j}}

dla niektórych stałych a _ij w F ; macierz odpowiadająca T jest wtedy tylko macierzą z wpisami podanymi przez a _ij .

W podobny sposób, na pierścienia przemiennego R grupę GL ( n , R ) może być interpretowany jako grupa automorfizmy o swobodnym R -module M rangi n . Można również zdefiniować GL( M ) dla dowolnego modułu R , ale generalnie nie jest to izomorficzne z GL( n , R ) (dla dowolnego n ).

W zakresie uwarunkowań

Nad polem F macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest niezerowy. Dlatego alternatywną definicją GL( n , F ) jest grupa macierzy z niezerowym wyznacznikiem.

Nad pierścieniem przemiennym R , potrzebna jest większa ostrożność: macierz nad R jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznikiem jest jednostka w R , to znaczy, jeśli jej wyznacznik jest odwracalny w R . Dlatego GL( n , R ) można zdefiniować jako grupę macierzy, których wyznacznikami są jednostki.

W przypadku nieprzemiennego pierścienia R determinanty wcale nie zachowują się dobrze. W tym przypadku, GL ( n , R ) może być zdefiniowana jako grupa jednostkowej w pierścieniu macierzy M ( n , R ) .

Jako grupa kłamstw

Prawdziwy przypadek

Ogólna grupa liniowa GL( n , R ) nad ciałem liczb rzeczywistych jest rzeczywistą grupą Liego o wymiarze n ² . Aby to zobaczyć, zauważ, że zbiór wszystkich n × n macierzy rzeczywistych, M _n ( R ), tworzy rzeczywistą przestrzeń wektorową o wymiarze n ² . Podzbiór GL( n , R ) składa się z tych macierzy, których wyznacznik jest niezerowy. Wyznacznikiem jest odwzorowanie wielomianowe , a zatem GL( n , R ) jest otwartą podrozmaitością afiniczną M _n ( R ) ( niepustym otwartym podzbiorem M _n ( R ) w topologii Zariskiego ), a zatem gładką rozmaitością o tym samym wymiarze.

Algebra Lie z GL ( n , R ) , oznaczoną składa się ze wszystkich n x n rzeczywistych matryc z komutatorem , służącą jako uchwyt Lie. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n},}$

Jako rozmaitość GL( n , R ) nie jest spójna, lecz ma dwie połączone składowe : macierze z wyznacznikiem dodatnim i macierze z wyznacznikiem ujemnym. Składnik tożsamościowy , oznaczany przez GL ⁺ ( n , R ) , składa się z rzeczywistych macierzy n × n z dodatnim wyznacznikiem. Jest to również grupa Liego o wymiarze n ² ; ma tę samą algebrę Liego co GL( n , R ) .

Grupa GL( n , R ) jest również niezwarta . „The” ilość zwarty podgrupy z GL ( n , R ) jest prostopadła grupy O ( n ), przy czym przez "" ilość zwarty podgrupa GL ⁺ ( n , R ) jest szczególną grupą prostopadłe SO ( n ). Co do SO( n ), grupa GL ⁺ ( n , R ) nie jest po prostu połączona (z wyjątkiem sytuacji, gdy n = 1) , ale raczej ma podstawową grupę izomorficzną z Z dla n = 2 lub Z ₂ dla n > 2 .

Złożona sprawa

Ogólna grupa liniowa nad ciałem liczb zespolonych , GL( n , C ) , jest zespoloną grupą Liego o wymiarze zespolonym n ² . Jako rzeczywista grupa Liego (poprzez urzeczywistnienie) ma wymiar 2 n ² . Zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy tworzy prawdziwą podgrupę Liego. Odpowiadają one inkluzjom

GL( n , R ) < GL( n , C ) < GL( 2n , R ),

które mają rzeczywiste wymiary n ² , 2 n ² i 4 n ² = (2 n ) ² . Złożone macierze n- wymiarowe można scharakteryzować jako rzeczywiste 2 n- wymiarowe macierze, które zachowują liniowo złożoną strukturę — konkretnie, które komutują z macierzą J taką, że J ² = − I , gdzie J odpowiada pomnożeniu przez jednostkę urojoną i .

Algebra Lie odpowiadające GL ( n , C ) składa się ze wszystkich n x n złożonych macierzy z komutatorem , służącą jako uchwyt Lie.

W przeciwieństwie do rzeczywistego przypadku, GL( n , C ) jest połączony . Wynika to po części, ponieważ multiplikatywna grupa liczb zespolonych C ^∗ jest połączona. Rozmaitość grupowa GL( n , C ) nie jest zwarta; raczej jego maksymalną zwartą podgrupą jest grupa unitarna U( n ). Co do U( n ), rozmaitość grupowa GL( n , C ) nie jest po prostu połączona, ale ma grupę podstawową izomorficzną z Z .

Nad skończonymi polami

Cayley tabeli z GL (2, 2) , która jest izomorficzny S ₃ .

Jeśli F jest ciałem skończonym z q elementami, to czasami piszemy GL( n , q ) zamiast GL( n , F ) . Kiedy p jest liczbą pierwszą, GL ( n , s ) jest zewnętrzna grupa automorfizmem z grupą Z _pⁿ , a także automorfizmem grupy, bo Z _Pⁿ jest abelowa, więc wewnętrzna grupa automorfizmem jest trywialne.

Kolejność GL( n , q ) to:

{\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).}

Można to wykazać, licząc możliwe kolumny macierzy: pierwsza kolumna może być dowolną wartością poza wektorem zerowym; druga kolumna może nie być wielokrotnością pierwszej kolumny; i ogólnie, k- ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza liniowego rozpiętości pierwszych k -1 kolumn. W notacji q- analogowej jest to . ${\ Displaystyle [n] _ {q}! (q-1) ^ {n} q ^ {n \ wybierz 2}}$

Na przykład GL(3, 2) ma porządek (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168 . Jest to grupa automorfizmu płaszczyzny Fano i grupy Z ₂³ , znana również jako PSL(2, 7 ) .

Mówiąc bardziej ogólnie, można policzyć punkty Grassmannianu nad F , czyli innymi słowy liczbę podprzestrzeni danego wymiaru k . Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy stabilizatorów jednej z takich podprzestrzeni i podzielenia na wzór właśnie podany przez twierdzenie orbita-stabilizator .

Preparaty te są związane z rozkładem Schubert z Grassmannian i są q -analogs dotyczące liczby bettiego złożonych Grassmannians. To była jedna ze wskazówek prowadzących do przypuszczeń Weila .

Zauważ, że w limicie q ↦ 1 rząd GL( n , q ) idzie do 0! – ale przy prawidłowej procedurze (dzieląc przez ( q − 1) ⁿ ) widzimy, że jest to porządek grupy symetrycznej (patrz artykuł Lorscheida) – w filozofii pola z jednym elementem interpretuje się więc grupę symetryczną jako ogólna grupa liniowa nad ciałem z jednym elementem: S _n ≅ GL( n , 1) .

Historia

Ogólna grupa liniowa nad polem pierwszym, GL( ν , p ) została skonstruowana i jej kolejność obliczona przez Évariste Galois w 1832 roku, w jego ostatnim liście (do Chevaliera) i drugim (z trzech) załączonych rękopisach, których użył w kontekst badania grupy Galois ogólnego równania porządku p ^ν .

Specjalna grupa liniowa

Specjalna grupa liniowa SL( n , F ) , to grupa wszystkich macierzy z wyznacznikiem 1. Są one wyjątkowe, ponieważ leżą na podrozmaitości – spełniają równanie wielomianowe (ponieważ wyznacznikiem jest wielomian we wpisach). Macierze tego typu tworzą grupę, gdyż wyznacznikiem iloczynu dwóch macierzy jest iloczyn wyznaczników każdej macierzy. SL ( N , M ) jest podgrupa normalna z GL ( n , F ) .

Jeśli piszemy F ^x dla multiplikatywnego grupy z F (z wyłączeniem 0), wówczas wyznacznikiem jest homomorfizmem grupy

det: GL( n , F ) → F ^× .

to jest surjektywne, a jego jądro to specjalna grupa liniowa. Dlatego, zgodnie z pierwszym twierdzeniem o izomorfizmie , GL( n , F )/SL( n , F ) jest izomorficzny z F ^× . W rzeczywistości GL( n , F ) można zapisać jako iloczyn półpośredni :

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^×

Specjalna grupa liniowa jest również grupą pochodną (znaną również jako podgrupa komutatora) GL( n , F ) (dla pola lub pierścienia podziału F ) pod warunkiem, że lub k nie jest polem z dwoma elementami . $n\neq 2$

Gdy C jest R lub C , SL ( N , M ) jest podgrupa Lie z GL ( N , M ) wymiaru n ² - 1 . Algebra Lie z SL ( N , M ) składa się ze wszystkich n x n macierzy na F z znikające śladu . Nawias Lie jest podawany przez komutator .

Szczególna grupa liniowa SL ( n , R ) może być scharakteryzowana jako grupa objętości i orientacji zabezpieczonego liniowe przemiany R ⁿ .

Grupa SL( n , C ) jest po prostu połączona, podczas gdy SL( n , R ) nie. SL( n , R ) ma tę samą grupę podstawową co GL ⁺ ( n , R ) , czyli Z dla n = 2 i Z ₂ dla n > 2 .

Inne podgrupy

Podgrupy diagonalne

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę GL( n , F ) izomorficzną do ( F ^× ) ⁿ . W polach takich jak R i C odpowiadają one przeskalowaniu przestrzeni; dylatacje i skurcze tzw.

Skalarne macierz jest macierzą diagonalną, który stanowi czas CONSTANT macierzą jednostkową . Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych tworzy podgrupę GL( n , F ) izomorficzną z F ^× . Ta grupa jest środek o GL ( n , F ) . W szczególności jest to normalna, abelowa podgrupa.

Centrum SL ( N , M ) jest po prostu to zbiór wszystkich skalarnych macierzy z panelem determinanty i jest izomorficzny grupy n th korzeni jedności w polu F .

Grupy klasyczne

Tak zwane grupy klasyczne to podgrupy GL( V ), które zachowują jakąś formę dwuliniową na przestrzeni wektorowej V . Należą do nich

grupa ortogonalna , O( V ), która zachowuje niezdegenerowaną formę kwadratową na V ,
grupa symplektyczna , Sp( V ), która zachowuje formę symplektyczną na V (niezdegenerowana forma przemienna ),
grupa unitarna , U( V ), która, gdy F = C , zachowuje niezdegenerowaną formę hermitowską na V .

Grupy te dostarczają ważnych przykładów grup Liego.

Powiązane grupy i monoidy

Rzutowa grupa liniowa

Rzutowa grupę liniową PGL ( N , M ) i rzutowe specjalny liniową grupę PSL ( n , F ) są ilorazy z GL ( n , F ) i SL ( n , F ) przez ich centrów (składające się z wielokrotności w nim macierz tożsamości); są indukowanym działaniem na powiązaną przestrzeń projekcyjną .

Grupa afiniczna

Afinicznej grupa Aff ( N , M ) jest przedłużeniem z GL ( n , f ) grupa przekładów F ⁿ . Można go zapisać jako iloczyn półpośredni :

Aff( n , F ) = GL( n , F ) ⋉ F ⁿ

gdzie GL( n , F ) działa na F ⁿ w naturalny sposób. Grupa afiniczne mogą być traktowane jako grupy wszystkich afinicznych przemian z afinicznej przestrzeni leżących przestrzeń wektorową F ^N .

Jedna ma analogiczne konstrukcje dla innych podgrup ogólnej grupy liniowej: na przykład specjalna grupa afiniczna to podgrupa zdefiniowana przez produkt półbezpośredni SL( n , F ) ⋉ F ⁿ , a grupa Poincaré to grupa afiniczna związana z Grupa Lorentza , O(1, 3, F ) F ⁿ .

Ogólna grupa półliniowa

Ogólnie semilinear grupa ΓL ( N , M ) jest grupa wszystkich odwracalnych semilinear przemian i zawiera Gl. Transformacja półliniowa to transformacja liniowa „do skrętu”, czyli „do automorfizmu pola przy mnożeniu przez skalar”. Można go zapisać jako iloczyn półpośredni:

ΓL( n , F ) = Gal( F ) ⋉ GL( n , F )

gdzie Gal( F ) jest grupą Galois z F (nad swoim polem pierwszym ), która działa na GL( n , F ) poprzez akcję Galois na wpisach.

Głównym przedmiotem zainteresowania jest w ΓL ( n , F ), jest to, że wiąże się rzutowa semilinear grupa PΓL ( N , M ) (który zawiera PGL ( N , M )) jest grupa kolineacja z przestrzeni rzutowej na n > 2 , a tym samym semilinear mapy są interesujące w geometrii rzutowej .

Pełny monoid liniowy

Jeśli usunie się ograniczenie wyznacznika niezerowego, otrzymaną strukturą algebraiczną jest monoid , zwykle nazywany pełnym monoidem liniowym , ale czasami także pełna liniowa półgrupa , ogólny liniowy monoid itp. W rzeczywistości jest to regularna półgrupa .

Nieskończona ogólna grupa liniowa

Nieskończony ogólnie grupę liniową lub stabilny pełna grupa liniowa jest bezpośrednie ograniczenie wtrąceń GL ( n , F ) → GL ( n + 1 F ) , co górna lewej matrycy bloku . Jest oznaczany przez GL( F ) lub GL(∞, F ) i może być również interpretowany jako odwracalne macierze nieskończone, które różnią się od macierzy jednostkowej tylko w skończonej liczbie miejsc.

Jest używany w algebraicznej teorii K do definiowania K ₁ , a nad liczbami rzeczywistymi ma dobrze zrozumianą topologię dzięki okresowości Botta .

Nie należy jej mylić z przestrzenią (ograniczonych) operatorów odwracalnych na przestrzeni Hilberta , która jest większą grupą i topologicznie znacznie prostszą, a mianowicie kurczliwą – patrz twierdzenie Kuipera .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Springer, Tonny Albert (1998). Liniowe Grupy Algebraiczne (wyd. 2). Birkhäuser. Numer ISBN 978-0-8176-4839-8.

Linki zewnętrzne

„Ogólna grupa liniowa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
"GL (2, P ) i GL (3, 3), działając na punkty" przez Eda Pegg, Jr. , demonstracji Wolfram Projektu 2007.

Languages

In other projects