Algebra dzielenia - Division algebra

W dziedzinie matematyki zwanych algebra , o algebra podział jest, z grubsza rzecz biorąc, to algebra nad ciałem , w którym podział , z wyjątkiem zera, zawsze jest to możliwe.

Definicje

Formalnie zaczynamy od niezerowej algebry D nad ciałem . Nazywamy D Algebra podział jeżeli z jakiegokolwiek pierwiastka a w D i dowolnej niezerowej elementu B w D istnieje dokładnie jeden element X w D z a = BX i dokładnie jeden element Y w D w taki sposób, a = YB .

W przypadku algebr asocjacyjnych definicję można uprościć w następujący sposób: niezerowa algebra asocjacyjna nad ciałem jest algebrą dzielenia wtedy i tylko wtedy, gdy ma multiplikatywny element tożsamości 1 i każdy niezerowy element a ma multiplikatywną odwrotność (tj. element x z ax = xa = 1 ).

Algebry dzielenia asocjacyjnego

Najbardziej znanym przykładem asocjacyjnych algebrach podziału są te realne skończonych wymiarowej (to znaczy, algebrami na pole R w liczb rzeczywistych , które finite- wymiarowych jako przestrzeń wektorową ciągu liczb rzeczywistych). Frobeniusa twierdzenie wskazuje, że do izomorfizmie są trzy takie same algebrami: Real (wymiar 1), w dziedzinie zespolonej (wymiary 2), a kwaterniony (wymiar 4).

Małe twierdzenie Wedderburna stwierdza, że ​​jeśli D jest algebrą o skończonym podziale, to D jest ciałem skończonym .

Nad algebraicznie zamkniętym ciałem K (na przykład liczb zespolonych C ) nie ma skończono-wymiarowych algebr dzielenia asocjacyjnego, z wyjątkiem samego K.

Algebry dzielenia asocjacyjnego nie mają zerowych dzielników . Skończonych wymiarowe unital asocjacyjny Algebra (w dowolnym zakresie) jest Algebra podział wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma on dzielnik zera.

Ilekroć jest asocjacyjny unital Algebra na polu F i S jest moduł prosty przez A , to pierścień endomorfizm z S jest Algebra podział przez F ; każda algebra podziału asocjacyjnego nad F powstaje w ten sposób.

Centrum asocjacyjnego podział Algebra D na pole K jest pole zawierające K . Wymiar takiej algebry nad jej środkiem, jeśli jest skończony, jest kwadratem idealnym : jest równy kwadratowi wymiaru maksymalnego podpola D nad środkiem. Biorąc pod uwagę pole F , to równoważności Brauer klas prostych (zawiera tylko trywialne ideały dwustronne) asocjacyjne algebry podział, którego środek jest F i które są skończenie wymiarowe nad F może być przekształcony w grupie, grupy Brauer pola F .

Jednym ze sposobów konstruowania skończeniowymiarowych algebr podziału asocjacyjnego na dowolnych polach są algebry kwaternionów (patrz także kwaternion ).

W przypadku nieskończenie-wymiarowych algebr podziału asocjacyjnego najważniejszymi przypadkami są te, w których przestrzeń ma jakąś rozsądną topologię . Zobacz na przykład algebry dzielenia znormalizowanego i algebry Banacha .

Niekoniecznie algebry dzielenia asocjacyjnego

Jeśli nie zakłada się, że algebra dzielenia jest asocjacyjna, zwykle zamiast niej narzuca się jakiś słabszy warunek (taki jak alternatywność lub łączność potęgowa ). Zobacz algebrę nad polem, aby zobaczyć listę takich warunków.

Po liczbach rzeczywistych istnieją (aż do izomorfizmu) tylko dwie jednolite przemienne algebry podziału skończonego wymiaru: same liczby rzeczywiste i liczby zespolone. Są to oczywiście oba skojarzenia. W przypadku niezespolonego przykładu rozważ liczby zespolone z mnożeniem zdefiniowane przez sprzężenie zespolone zwykłego mnożenia:

Jest to przemienna, niezespolona algebra dzielenia wymiaru 2 po liczbach rzeczywistych i nie zawiera elementu jednostkowego. Istnieje nieskończenie wiele innych nieizomorficznych, przemiennych, niezespolonych, skończonych wymiarowych, rzeczywistych algebr wydzielonych, ale wszystkie mają wymiar 2.

W rzeczywistości każda skończenie wymiarowa algebra przemiennego podziału jest 1- lub 2-wymiarowa. Jest to znane jako twierdzenie Hopfa i zostało udowodnione w 1940 roku. W dowodzie zastosowano metody z topologii . Chociaż późniejszy dowód został znaleziony przy użyciu geometrii algebraicznej , nie jest znany żaden bezpośredni dowód algebraiczny. Zasadnicze twierdzenie algebry jest konsekwencją twierdzenia Hopfa.

Porzucając wymóg przemienności, Hopf uogólnił swój wynik: każda skończona-wymiarowa algebra podziału rzeczywistego musi mieć wymiar potęgi 2.

Późniejsza praca wykazała, że ​​w rzeczywistości każda skończona-wymiarowa algebra podziału rzeczywistego musi mieć wymiar 1, 2, 4 lub 8. Zostało to niezależnie udowodnione przez Michela Kervaire'a i Johna Milnora w 1958 roku, ponownie używając technik topologii algebraicznej , w szczególności K -teoria . Adolf Hurwitz wykazał w 1898 r., Że tożsamość zachowywana jest tylko dla wymiarów 1, 2, 4 i 8. (patrz twierdzenie Hurwitza ). Kilku wczesnych matematyków podjęło wyzwanie skonstruowania algebry dzielenia trzech wymiarów. Kenneth O. May zbadał te próby w 1966 roku.

Musi istnieć jakakolwiek prawdziwa algebra podziału skończonego wymiaru po liczbach rzeczywistych

  • izomorficzny do R lub C, jeśli unitarny i przemienny (równoważnie: asocjacyjny i przemienny)
  • izomorficzny z kwaternionami, jeśli nieprzemienny, ale asocjacyjny
  • izomorficzny z oktonionami, jeśli nie jest asocjacyjny, ale alternatywny .

O wymiarze skończonej algebry dzielenia A nad ciałem K wiadomo, co następuje :

  • dim A = 1, jeśli K jest algebraicznie zamknięte ,
  • dim A = 1, 2, 4 lub 8, jeśli K jest rzeczywiście zamknięte i
  • Jeśli K jest ani prawdziwe, ani algebraicznie zamknięte, to istnieje nieskończenie wiele wymiarów, w których istnieje podział algebry ponad K .

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Lam (2001), s. 203
  2. ^ Cohn (2003), Propozycja 5.4.5, s. 150
  3. ^ Roger Penrose (2005). Droga do rzeczywistości . Zabytkowe. ISBN   0-09-944068-7 . , s.202
  4. ^ Kenneth O. May (1966) „The Impossiblility of a Division Algebra ofectors in Three Dimensional Space”, American Mathematical Monthly 73 (3): 289–91 doi : 10,2307 / 2315349

Bibliografia

Linki zewnętrzne