Odwrotność mnożenia - Multiplicative inverse

Wykres przedstawiający schematyczne przedstawienie granic zbliżających się do nieskończoności
Funkcja odwrotności: y = 1/ x . Dla każdego x z wyjątkiem 0 y reprezentuje jego odwrotność multiplikatywną. Wykres tworzy prostokątną hiperbolę .

W matematyce , A Liczba odwrotna lub odwrotność do liczby X , oznaczoną przez 1 / x i x -1 jest liczbą, która po pomnożona przez X daje zwielokrotniony tożsamości , 1. Liczba odwrotna z frakcji a / b jest b / . Aby uzyskać odwrotność multiplikatywną liczby rzeczywistej, podziel 1 przez liczbę. Na przykład odwrotność 5 to jedna piąta (1/5 lub 0,2), a odwrotność 0,25 to 1 podzielone przez 0,25 lub 4. Funkcja odwrotności , funkcja f ( x ), która odwzorowuje x na 1/ x , jest jednym z najprostszych przykładów funkcji, która jest swoją własną odwrotnością ( inwolucją ).

Mnożenie przez liczbę jest tym samym, co dzielenie przez jej odwrotność i na odwrót. Na przykład mnożenie przez 4/5 (lub 0,8) da taki sam wynik jak dzielenie przez 5/4 (lub 1,25). Dlatego mnożenie przez liczbę, a następnie mnożenie przez jej odwrotność daje pierwotną liczbę (ponieważ iloczyn liczby i jej odwrotności wynosi 1).

Termin odwrotność był w powszechnym użyciu co najmniej już w trzecim wydaniu Encyclopædia Britannica (1797) do opisania dwóch liczb, których iloczynem jest 1; geometryczne ilości odwrotnie proporcjonalnie są opisane reciprocall w 1570 translacji Euclid jest pierwiastków .

W wyrażeniu odwrotność multiplikatywna , kwalifikator multiplikatywny jest często pomijany, a następnie milcząco rozumiany (w przeciwieństwie do odwrotności addytywnej ). Odwrotność multiplikatywna można zdefiniować w wielu dziedzinach matematycznych, jak również w liczbach. W takich przypadkach może się zdarzyć, że abba ; wtedy „odwrotność” zazwyczaj oznacza, że ​​element jest zarówno lewą, jak i prawą odwrotnością .

Notacja f- 1 jest czasami używana również dla funkcji odwrotnej funkcji f , która na ogół nie jest równa odwrotności multiplikatywnej. Na przykład odwrotność multiplikatywna 1/(sin x ) = (sin x ) -1 jest cosecansem x, a nie odwrotnością sinusa x oznaczoną przez sin -1 x lub arcsin x . Tylko dla map liniowych są one silnie powiązane (patrz niżej). Różnica terminologiczna odwrotność kontra odwrotność nie jest wystarczająca do dokonania tego rozróżnienia, ponieważ wielu autorów preferuje odwrotną konwencję nazewnictwa, prawdopodobnie ze względów historycznych (na przykład w języku francuskim funkcja odwrotna jest korzystnie nazywana bijekcją réciproque ).

Przykłady i kontrprzykłady

W liczbach rzeczywistych zero nie ma odwrotności, ponieważ żadna liczba rzeczywista pomnożona przez 0 nie daje 1 (iloczyn dowolnej liczby z zerem wynosi zero). Z wyjątkiem zera, odwrotności każdej liczby rzeczywistej są rzeczywiste, odwrotności każdej liczby wymiernej są wymierne, a odwrotności każdej liczby zespolonej są złożone. Właściwość, że każdy element inny niż zero ma odwrotność multiplikatywną, jest częścią definicji pola , której wszystkie są przykładami. Z drugiej strony żadna liczba całkowita inna niż 1 i -1 nie ma odwrotności całkowitej, a więc liczby całkowite nie są polem.

W modułowej arytmetyki The modułowy Liczba odwrotna od również zdefiniowane: jest to liczba x tak, że ax ≡ (1 mod n ) . Ta odwrotność multiplikatywna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy a i nwzględnie pierwsze . Na przykład odwrotność 3 modulo 11 to 4, ponieważ 4 3 ≡ 1 (mod 11) . Do jego obliczenia można użyć rozszerzonego algorytmu euklidesowego .

W sedenions są Algebra, w którym każdy element niezerowy ma zwielokrotniony wsteczne, które jednak ma dzielniki zera, to znaczy elementy niezerowe x , y , tak że XY  = 0.

Kwadratowych macierzy ma odwrotny , wtedy i tylko wtedy, gdy jego determinantą posiada odwrotność współczynnika pierścienia . Odwzorowanie liniowe, które ma macierz A- 1 w odniesieniu do pewnej bazy, jest zatem funkcją odwrotności mapy mającej A jako macierz w tej samej podstawie. Tak więc dwa różne pojęcia odwrotności funkcji są w tym przypadku silnie powiązane, podczas gdy w przypadku ogólnym należy je starannie rozróżnić (jak wspomniano powyżej).

Funkcje trygonometryczne są powiązane wzajemną tożsamością: cotangens jest odwrotnością tangensa; secans jest odwrotnością cosinusa; cosecans jest odwrotnością sinusa.

Pierścień, w którym każdy element niezerowy ma odwrotność multiplikatywną, jest pierścieniem dzielenia ; podobnie algebra, w której to zachodzi, jest algebrą dzielenia .

Liczby zespolone

Jak wspomniano powyżej, odwrotność każdej niezerowej liczby zespolonej z = a + bi jest zespolona. Można go wyznaczyć mnożąc zarówno górnej i dolnej części 1 / Z jego kompleksu koniugatu i stosując tę właściwość, że The wartości bezwzględnej od Z do kwadratu, który jest liczbą rzeczywistą 2 + b 2 :

Intuicja jest taka

daje nam sprzężenie zespolone o wielkości zredukowanej do wartości , więc ponowne dzielenie przez zapewnia, że ​​wielkość jest teraz równa odwrotności pierwotnej wielkości, stąd:

W szczególności, jeśli || z ||=1 ( z ma wielkość jednostkową), to . W konsekwencji jednostki urojone , ± i , mają odwrotność addytywną równą odwrotności multiplikatywnej i są jedynymi liczbami zespolonymi z tą właściwością. Na przykład, addytywne i multiplikatywne odwrotności i to odpowiednio -( i ) = - i oraz 1/ i = - i .

Dla liczby zespolonej w postaci biegunowej z = r (cos φ + i  sin φ) odwrotność przyjmuje po prostu odwrotność wielkości i ujemność kąta:

Intuicja geometryczna dla całki z 1/ x . Wszystkie trzy całki od 1 do 2, od 2 do 4 i od 4 do 8 są równe. Każdy region jest poprzednim regionem podzielonym o połowę w pionie i podwojonym w poziomie. Rozszerzając to, całka od 1 do 2 k jest k razy całka od 1 do 2, tak jak ln 2 k = k ln 2.

Rachunek różniczkowy

W rzeczywistości rachunku The pochodną od 1 / x = x -1 oblicza się według zasady prądu o mocy 1:

Reguła potęgowa dla całek ( wzór kwadraturowy Cavalieriego ) nie może być wykorzystana do obliczenia całki z 1/ x , ponieważ spowodowałoby to dzielenie przez 0:

Zamiast tego całka jest dana wzorem:
gdzie ln jest logarytmem naturalnym . Aby to pokazać, zauważ, że , więc jeśli i , mamy:

Algorytmy

Odwrotność może być obliczona ręcznie przy użyciu dzielenia długiego .

Obliczenie odwrotności jest ważne w wielu algorytmach dzielenia , ponieważ iloraz a / b można obliczyć najpierw obliczając 1/ b, a następnie mnożąc go przez a . Zauważając, że ma zero w x = 1/ b , metoda Newtona może znaleźć to zero, zaczynając od zgadywania i iterując przy użyciu reguły:

Trwa to aż do osiągnięcia pożądanej precyzji. Załóżmy na przykład, że chcemy obliczyć 1/17 ≈ 0,0588 z dokładnością do 3 cyfr. Przyjmując x 0 = 0,1, tworzona jest następująca sekwencja:

x 1 = 0,1 (2 − 17 × 0,1) = 0,03
x 2 = 0,03 (2 − 17 × 0,03) = 0,0447
x 3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
x 4 = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
x 5 = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Typowe początkowe przypuszczenie można znaleźć, zaokrąglając b do pobliskiej potęgi 2, a następnie używając przesunięcia bitowego do obliczenia odwrotności.

W matematyce konstruktywnej , aby liczba rzeczywista x miała odwrotność, nie wystarczy, że x ≠ 0. Zamiast tego należy podać liczbę wymierną r taką, że 0 <  r  < | x |. W odniesieniu do opisanego powyżej algorytmu aproksymacji jest to potrzebne, aby udowodnić, że zmiana y stanie się ostatecznie arbitralnie mała.

Wykres f( x ) = x x pokazujący minimum w (1/ e , e −1/ e ).

Ta iteracja może być również uogólniona na szerszy rodzaj odwrotności; na przykład odwrotność macierzy .

Odwrotności liczb niewymiernych

Każda liczba rzeczywista lub zespolona z wyłączeniem zera ma odwrotność, a odwrotności pewnych liczb niewymiernych mogą mieć ważne specjalne właściwości. Przykłady obejmują odwrotność e (≈ 0,367879) i odwrotność złotego podziału (≈ 0,618034). Pierwsza odwrotność jest szczególna, ponieważ żadna inna liczba dodatnia nie może wytworzyć mniejszej liczby, gdy zostanie poddana jej sile; jest globalne minimum od . Druga liczba jest jedyną liczbą dodatnią, która jest równa jej odwrotności plus jeden: . Jego odwrotność addycyjna jest jedyną liczbą ujemną, która jest równa jego odwrotności minus jeden: .

Funkcja daje nieskończoną liczbę liczb niewymiernych, które różnią się od siebie o liczbę całkowitą. Na przykład jest irracjonalne . Jego odwrotnością jest , dokładnie mniej. Takie liczby niewymierne mają ewidentną właściwość: mają tę samą część ułamkową co ich odwrotność, ponieważ liczby te różnią się liczbą całkowitą.

Dalsze uwagi

Jeśli mnożenie jest asocjacyjne, element x z odwrotnością multiplikatywną nie może być dzielnikiem zera ( x jest dzielnikiem zera, jeśli jakieś niezerowe y , xy = 0 ). Aby to zobaczyć, wystarczy pomnożyć równanie xy = 0 przez odwrotność x (po lewej), a następnie uprościć używając asocjatywności. W przypadku braku asocjacji sedeniony stanowią kontrprzykład.

Odwrotność nie obowiązuje: element, który nie jest dzielnikiem zera, nie gwarantuje odwrotności multiplikatywnej. W obrębie Z wszystkie liczby całkowite z wyjątkiem -1, 0, 1 dostarczają przykładów; nie są dzielnikami zera ani nie mają odwrotności w Z . Jeśli jednak pierścień lub algebra jest skończona , to wszystkie elementy a, które nie są dzielnikami zera, mają odwrotność (lewą i prawą). Najpierw zaobserwuj, że odwzorowanie f ( x ) = ax musi być iniektywne : f ( x ) = f ( y ) implikuje x = y :

Odrębne elementy są odwzorowywane na odrębne elementy, więc obraz składa się z tej samej skończonej liczby elementów, a mapa jest z konieczności surjektywna . W szczególności ƒ (mianowicie mnożenie przez a ) musi odwzorować jakiś element x na 1, ax = 1 , tak że x jest odwrotnością a .

Aplikacje

Rozszerzenie odwrotności 1/ q w dowolnej bazie może również działać jako źródło liczb pseudolosowych , jeśli q jest „odpowiednią” bezpieczną liczbą pierwszą , liczbą pierwszą postaci 2 p  + 1, gdzie p jest również liczbą pierwszą. W  wyniku rozwinięcia zostanie wytworzony ciąg liczb pseudolosowych o długości q − 1 .

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ „W równych Parallelipipedons zasady są odwrotne do ich wysokości”. OED „Wzajemność” §3a. Sir Henry Billingsley przekład Elementów XI, 34.
  2. ^ Anthony, Dr "Dowód, że INT(1/x)dx = lnx" . Zapytaj dr Math . Uniwersytet Drexel . Źródło 22 marca 2013 .
  3. ^ Mitchell, Douglas W., „Nieliniowy generator liczb losowych o znanej, długiej długości cyklu”, Cryptologia 17, styczeń 1993, 55-62.

Bibliografia

  • Maksymalnie okresowe odwrotności, Matthews RAJ Biuletyn Instytutu Matematyki i jego Zastosowania vol 28 s. 147-148 1992