Linia projekcyjna - Projective line

W matematyce , o rzutowe linia jest, z grubsza rzecz biorąc, rozszerzenie zwykłej linii przez punkt zwany punktem w nieskończoności . Stwierdzenie i dowód wielu twierdzeń geometrii są uproszczone przez wynikową eliminację przypadków szczególnych; na przykład dwie różne linie rzutowe na płaszczyźnie rzutowej spotykają się dokładnie w jednym punkcie (nie ma przypadku „równoległego”).

Istnieje wiele równoważnych sposobów formalnego zdefiniowania linii rzutowej; jednym z najczęstszych jest zdefiniowanie linii rzutowej nad ciałem K , powszechnie oznaczanej P ¹ ( K ), jako zbioru jednowymiarowych podprzestrzeni dwuwymiarowej K - wektorowej przestrzeni . Ta definicja jest szczególnym przykładem ogólnej definicji przestrzeni rzutowej .

Linia rzutowa nad liczbami rzeczywistymi jest rozmaitością ; zobacz rzeczywistą linię projekcyjną, aby uzyskać szczegółowe informacje.

Jednorodne współrzędne

Wybranym miejscu rzutowej linii P ¹ ( K ) może być reprezentowane przez klasę równoważnikowym od współrzędnych jednorodnych , które przybiera postać pary

[x_{1}:x_{2}]

elementów K , które nie są oba zerami. Dwie takie pary są równoważne, jeśli różnią się ogólnym niezerowym współczynnikiem λ :

[x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].

Linia przedłużona o punkt w nieskończoności

Linia rzutowa może być utożsamiana z linią K przedłużoną o punkt na nieskończoności . Dokładniej, prosta K może być utożsamiana z podzbiorem P ¹ ( K ) podanym przez

{\ Displaystyle \ lewo \ {[x: 1] \ w \ mathbf {P} ^ {1} (K) \ mid x \ w K \ po prawej \}.}

Ten podzbiór obejmuje wszystkie punkty w P ¹ ( K ) z wyjątkiem jednego, który nazywa się punktem w nieskończoności :

{\ Displaystyle \ infty = [1: 0].}

Pozwala to rozszerzyć arytmetykę na K do P ¹ ( K ) o wzory

{\frac {1}{0}}=\infty ,\qquad {\frac {1}{\infty}}=0,

{\ Displaystyle x \ cdot \ infty = \ infty \ quad {\ tekst {jeśli}} \ quad x \ nie = 0}

{\ Displaystyle x + \ infty = \ infty \ quad {\ tekst {jeśli}} \ quad x \ nie = \ infty}

Przekładając tę arytmetykę na współrzędne jednorodne daje, gdy [0 : 0] nie występuje:

[x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{ 2}y_{2}],

[x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],

[x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}].

Przykłady

Prawdziwa linia rzutowa

Linia rzutowa nad liczbami rzeczywistymi nazywana jest rzeczywistą linią rzutową . Można ją również traktować jako prostą K wraz z wyidealizowanym punktem w nieskończoności ∞ ; punkt łączy się z obydwoma końcami K, tworząc zamkniętą pętlę lub okrąg topologiczny.

Przykład jest uzyskiwany przez rzutowanie punktów w R ² na okrąg jednostkowy, a następnie identyfikację punktów diametralnie przeciwnych . Z punktu widzenia teorii grup możemy przyjąć iloraz podgrupy {1, -1}.

Porównaj rozszerzoną linię liczb rzeczywistych , która rozróżnia ∞ i −∞.

Złożona linia rzutowa: sfera Riemanna

Dodanie punktu w nieskończoności do płaszczyzny zespolonej skutkuje przestrzenią, która topologicznie jest sferą . Stąd złożona linia rzutowa jest również znana jako sfera Riemanna (lub czasami sfera Gaussa ). Jest stale używany w analizie zespolonej , geometrii algebraicznej i teorii rozmaitości zespolonych , jako najprostszy przykład zwartej powierzchni Riemanna .

Dla skończonego pola

Linia rzutowa na ograniczonym polu F _Q o Q elementów ma q + 1 punktów. Pod wszystkimi innymi względami nie różni się od linii rzutowych określonych nad innymi rodzajami pól. W warunkach homogenicznych współrzędnych [ x : Y ] , q tych punktów ma postać:

[a : 1]

dla każdego

a

w

F q

,

a pozostały punkt w nieskończoności można przedstawić jako [1 : 0].

Grupa symetrii

Dość ogólnie grupa homografii o współczynnikach w K działa na linii rzutowej P ¹ ( K ). Ta grupowa akcja jest przechodnia , tak że P ¹ ( K ) jest jednorodną przestrzenią dla grupy, często zapisywaną PGL ₂ ( K ) dla podkreślenia projekcyjnego charakteru tych przekształceń. Przechodniość mówi, że istnieje homografia, która przekształci dowolny punkt Q na dowolny inny punkt R . Punkt w nieskończoności o P ¹ ( K ) jest zatem artefakt wyboru współrzędnych: współrzędnych jednorodnych

{\ Displaystyle [X: Y] \ Sim [\ Lambda X: \ Lambda Y]}

wyrazić jednowymiarową podprzestrzeń przez pojedynczy niezerowy punkt ( X , Y ) leżący w niej, ale symetrie linii rzutowej mogą przesunąć punkt ∞ = [1 : 0] do dowolnego innego i w żaden sposób nie jest to wybitny.

Dużo więcej jest prawdą, ponieważ niektóre przekształcenia mogą przyjąć dowolne różne punkty Q _i dla i = 1, 2, 3 do dowolnej innej trójki R _i różnych punktów ( potrójna przechodnia ). Ta ilość specyfikacji „zużyje” trzy wymiary PGL ₂ ( K ); innymi słowy, akcja grupowa jest ostro 3-przechodnia . Obliczeniowym aspektem tego jest współczynnik krzyżowy . Rzeczywiście, uogólniona odwrotność jest prawdziwa: ostro 3-przechodnia akcja grupowa jest zawsze (izomorficzna do) uogólnioną formą działania PGL ₂ ( K ) na linii rzutowej, zastępując „pole” przez „pole KT” (uogólniając odwrotność do słabszego rodzaju inwolucji) i „PGL” przez odpowiednie uogólnienie rzutowych map liniowych.

Jako krzywa algebraiczna

Linia rzutowa jest podstawowym przykładem krzywej algebraicznej . Z punktu widzenia geometrii algebraicznej P ¹ ( K ) jest krzywą nieosobliwą z rodzaju 0 . Jeśli K jest algebraicznie domknięta , jest to unikalna taka krzywa nad K , aż do racjonalnej równoważności . Na ogół (nieosobliwe) krzywa rodzaju 0 racjonalnie równoważnik ponad K do stożkowej C , która z kolei birationally równoważne rzutowej linii wtedy i tylko wtedy C jest zdefiniowany przez punkt K ; geometrycznie taki punkt P może być użyty jako początek, aby wyraźnie określić równoważność narodową..

Pole funkcyjne prostej rzutowej jest ciałem K ( T ) funkcji wymiernych nad K , w pojedynczym T nieoznaczonym . W automorfizmy polowych z K ( T ) w ciągu K są dokładnie grupy PGL ₂ ( K ), omówionych powyżej.

Każde pole funkcyjne K ( V ) rozmaitości algebraicznej V nad K , inne niż pojedynczy punkt, ma podciało izomorficzne z K ( T ). Z punktu widzenia geometrii biracjonalnej oznacza to, że będzie istniała racjonalna mapa od V do P ¹ ( K ), która nie jest stała. Obraz pominie tylko skończoną liczbę punktów P ¹ ( K ), a odwrócony obraz typowego punktu P będzie miał wymiar dim V − 1 . To jest początek metod w geometrii algebraicznej, które są indukcyjne na wymiarze. Racjonalne mapy odgrywać rolę analogiczną do meromorficznych funkcji z analizy zespolonej , a nawet w przypadku zwartej powierzchni Riemanna te dwa pojęcia tożsame.

Jeśli teraz przyjmiemy, że V ma wymiar 1, otrzymamy obraz typowej krzywej algebraicznej C przedstawionej „nad” P ¹ ( K ). Zakładając, że C jest nieosobliwe (co nie oznacza utraty ogólności począwszy od K ( C ) ), można wykazać, że takie racjonalne odwzorowanie od C do P ¹ ( K ) będzie faktycznie wszędzie zdefiniowane. (Tak nie jest, jeśli istnieją osobliwości, ponieważ na przykład podwójny punkt, w którym krzywa przecina się sama, może dać nieokreślony wynik po odwzorowaniu racjonalnym.) Daje to obraz, w którym główną cechą geometryczną jest rozgałęzienie .

Wiele krzywych, np. krzywe hipereliptyczne , można przedstawić abstrakcyjnie, jako rozgałęzione osłony linii rzutowej. Według wzoru Riemanna-Hurwitza rodzaj zależy wtedy tylko od rodzaju rozgałęzienia.

Racjonalne krzywa jest krzywą, która jest birationally równoważne do rzutowej linii (patrz racjonalnego różne ); jego rodzaj to 0. Wymierna krzywa normalna w przestrzeni rzutowej P ⁿ jest krzywą wymierną, która nie leży w żadnej właściwej podprzestrzeni liniowej; wiadomo, że istnieje tylko jeden przykład (do równoważności rzutowej), podany parametrycznie we współrzędnych jednorodnych jako

[1 : t : t ² : ... : t ⁿ ].

Zobacz skręcony sześcian dla pierwszego interesującego przypadku.

Languages

In other projects