Grupa euklidesowa - Euclidean group
Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup |
---|
Grupy kłamstw |
---|
W matematyce , A euklidesowa grupą jest grupa (euklidesowa) izometryczne o euklidesowej przestrzeni ; to znaczy transformacje tej przestrzeni, które zachowują odległość euklidesową między dowolnymi dwoma punktami (zwane również transformacjami euklidesowymi ). Grupa zależy tylko od wymiaru n przestrzeni i jest powszechnie oznaczana jako E( n ) lub ISO( n ).
Euklidesowa grupy E ( n ) obejmuje wszystkie tłumaczenia , rotacji i odbicia z ; i ich arbitralne skończone kombinacje. Grupa euklidesowa może być postrzegana jako grupa symetrii samej przestrzeni i zawiera grupę symetrii dowolnej figury (podzbioru) tej przestrzeni.
Izometria euklidesowa może być bezpośrednia lub pośrednia , w zależności od tego, czy zachowuje ręczność figur. Bezpośrednie izometrie euklidesowe tworzą podgrupę, specjalną grupę euklidesową , której elementy nazywane są ruchami sztywnymi lub ruchami euklidesowymi. Zawierają dowolne kombinacje przesunięć i rotacji, ale nie odbicia.
Te grupy są jednymi z najstarszych i najbardziej studiował, przynajmniej w sprawach o wymiarze 2 i 3 - w sposób dorozumiany, na długo przed pojęcie grupy został wymyślony.
Przegląd
Wymiarowość
Liczba stopni swobody dla E( n ) wynosi n ( n + 1)/2 , co daje 3 w przypadku n = 2 , a 6 dla n = 3 . Wśród nich, n może być przypisana do dostępnego symetrii translacyjnej i pozostałe N ( N - 1) / 2 do symetrii obrotowej .
Izometrie bezpośrednie i pośrednie
Bezpośrednie izometrie (tj izometrie zachowując skrętów na chiralnych podzbiory) zawierają podgrupę E ( n ), zwany specjalnej grupy euklidesowa i zwykle oznaczony przez E + ( n ) lub SE ( n ). Obejmują one tłumaczenia i rotacje oraz ich kombinacje; włączając w to transformację tożsamości, ale wykluczając jakiekolwiek refleksje.
Izometrie odwracające ręczność nazywane są pośrednimi lub przeciwstawnymi . Dla dowolnej ustalonej pośredniej izometrii R , takiej jak odbicie wokół pewnej hiperpłaszczyzny, każda inna pośrednia izometria może być uzyskana przez złożenie R z pewną bezpośrednią izometrią. Dlatego też pośrednie izometrie są zbiorem E + ( n ), który może być oznaczony przez E - ( n ). Wynika z tego, że podgrupa E + ( n ) ma indeks 2 w E ( n ).
Topologia grupy
Naturalna topologia przestrzeni euklidesowej implikuje topologię dla grupy euklidesowej E( n ). Mianowicie, sekwencja f I z izometrii ( I ∈ ) określa się, by zbiegały się wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu P z sekwencja punktów P i jest zbieżna.
Z tej definicji wynika, że funkcja jest ciągła tylko wtedy, gdy, dla dowolnego punktu P z , oblicza się funkcję określa f P ( t ) = ( f (t)) ( p ) jest ciągły. Taka funkcja jest nazywana „ciągłą trajektorią” w E( n ).
Okazuje się, że w tej topologii jest połączona specjalna grupa euklidesowa SE( n ) = E + ( n ). To znaczy, biorąc pod uwagę dowolne dwa bezpośrednie izometrycznych A i B z istnieje ciągły tor F w E + ( N ) w taki sposób, że f (0) = i F (1) = B . To samo dotyczy izometrii pośrednich E - ( n ). Z drugiej strony, grupa E( n ) jako całość nie jest połączona: nie ma ciągłej trajektorii, która zaczyna się w E + ( n ) i kończy w E − ( n ).
Ciągłe trajektorie w E(3) odgrywają ważną rolę w mechanice klasycznej , ponieważ opisują fizycznie możliwe ruchy ciała sztywnego w trójwymiarowej przestrzeni w czasie. Bierze f (0), aby być przekształcenie identyczności I o , który opisuje położenie początkowe ciała. Pozycja i orientacja ciała w dowolnym późniejszym czasie t zostanie opisana przez transformację f (t). Ponieważ f (0)= I jest w E + (3), to samo musi dotyczyć f (t) w dowolnym późniejszym czasie. Z tego powodu bezpośrednie izometrie euklidesowe są również nazywane „ruchami sztywnymi”.
Struktura kłamstwa
Grupy euklidesowe są nie tylko grupami topologicznymi , są to grupy Liego , tak więc pojęcia rachunku różniczkowego mogą być natychmiast zaadaptowane do tego ustawienia.
Związek z grupą afiniczną
Grupa euklidesowa E( n ) jest podgrupą grupy afinicznej dla n wymiarów iw taki sposób, aby respektować półbezpośrednią strukturę produktu obu grup. Daje to a fortiori dwa sposoby zapisywania elementów w wyraźnym zapisie. To są:
- przez parę ( A , b ) , z macierzą ortogonalną A an n × n , a b rzeczywistym wektorem kolumnowym o rozmiarze n ; lub
- przez pojedynczą macierz kwadratową o rozmiarze n + 1 , jak wyjaśniono dla grupy afinicznej .
Szczegóły dotyczące pierwszej reprezentacji podano w następnej sekcji.
W warunkach Felix Klein „s programu Erlangen , możemy odczytać z tego, że geometrii euklidesowej , geometrii euklidesowej grupy symetrii, jest zatem specjalizację z geometrii afinicznej . Obowiązują wszystkie twierdzenia afiniczne. Geneza geometrii euklidesowej pozwala na zdefiniowanie pojęcia odległości , z którego można następnie wywnioskować kąt .
Szczegółowa dyskusja
Struktura podgrupy, reprezentacja macierzowa i wektorowa
Grupa euklidesowa jest podgrupą grupy przekształceń afinicznych .
Ma jako podgrupy grupę translacyjną T( n ) i grupę ortogonalną O( n ). Każdy element E( n ) jest translacją, po której następuje transformacja ortogonalna (liniowa część izometrii), w unikalny sposób:
gdzie A jest macierzą ortogonalną
lub to samo przekształcenie ortogonalne, po którym następuje translacja:
gdzie c = Ab
T( n ) jest normalną podgrupą E( n ): dla każdego translacji t i każdej izometrii u , skład
- u -1 tu
to znowu tłumaczenie.
Razem te fakty sugerują, że E( n ) jest półbezpośrednim iloczynem O( n ) rozszerzonym przez T( n ), który jest zapisany jako . Innymi słowy, O( n ) jest (w naturalny sposób) także grupą ilorazową E( n ) przez T( n ):
Teraz SO( n ), specjalna grupa ortogonalna , jest podgrupą O( n ) indeksu drugiego. Dlatego E( n ) ma podgrupę E + ( n ), również o indeksie dwa, składającą się z izometrii bezpośrednich . W takich przypadkach wyznacznikiem A jest 1.
Są one reprezentowane jako translacja, po której następuje obrót , a nie jako translacja, po której następuje jakieś odbicie (w wymiarach 2 i 3 są to znane odbicia w linii lub płaszczyźnie lustra , które można uznać za zawierające początek , lub w 3D, odbicia wirnika ).
Relacja ta jest powszechnie pisana jako:
lub równoważnie:
- .
Podgrupy
Rodzaje podgrup E( n ):
- Grupy skończone .
- Zawsze mają stały punkt. W 3D na każdy punkt przypada dla każdej orientacji dwa maksymalne (w odniesieniu do inkluzji) spośród skończonych grup: O h i I h . Grupy I h są nawet maksymalne wśród grup obejmujących następną kategorię.
- Policzalnie nieskończone grupy bez dowolnie małych przesunięć, obrotów lub kombinacji
- tj. dla każdego punktu zbiór obrazów pod izometriami jest topologicznie dyskretny (np. dla 1 ≤ m ≤ n grupa generowana przez m translacji w niezależnych kierunkach i ewentualnie skończona grupa punktów). Obejmuje to kraty . Przykładami bardziej ogólnymi niż te są dyskretne grupy przestrzenne .
- Policzalnie nieskończone grupy z dowolnie małymi przesunięciami, rotacjami lub kombinacjami
- W tym przypadku są punkty, dla których zbiór obrazów pod izometriami nie jest zamknięty. Przykładami takich grup są, w 1D, grupa generowana przez translację 1 i jedną z √ 2 , aw 2D, grupa generowana przez obrót wokół początku o 1 radian.
- Grupy niepoliczalne, w których występują punkty, dla których zbiór obrazów pod izometriami nie jest domknięty
- (np. w 2D wszystkie translacje w jednym kierunku i wszystkie translacje o odległości wymierne w innym kierunku).
- Grupy niepoliczalne, gdzie dla wszystkich punktów zbiór obrazów pod izometriami jest zamknięty
- na przykład:
- wszystkie izometrie bezpośrednie, które utrzymują punkt początkowy, lub ogólniej, jakiś punkt (w 3D zwana grupą rotacyjną )
- wszystkie izometrie, które utrzymują ustalony początek, lub ogólniej, jakiś punkt ( grupa ortogonalna )
- wszystkie izometrie bezpośrednie E + ( n )
- cała grupa euklidesowa E( n )
- jedna z tych grup w m- wymiarowej podprzestrzeni połączona z dyskretną grupą izometrii w ortogonalnej ( n − m )-wymiarowej przestrzeni
- jedna z tych grup w m- wymiarowej podprzestrzeni połączona z drugą w ortogonalnej ( n − m )-wymiarowej przestrzeni
Przykłady kombinacji w 3D:
- wszystkie obroty wokół jednej stałej osi
- jw. połączone z odbiciem w płaszczyznach przechodzących przez oś i/lub w płaszczyźnie prostopadłej do osi
- jw. w połączeniu z dyskretną translacją wzdłuż osi lub ze wszystkimi izometriami wzdłuż osi
- dyskretna grupa punktów, grupa fryzów lub grupa tapet w płaszczyźnie połączona z dowolną grupą symetrii w kierunku prostopadłym
- wszystkie izometrie będące kombinacją obrotu wokół pewnej osi i proporcjonalnego przesunięcia wzdłuż osi; ogólnie jest to połączone z k- krotnymi izometriami rotacyjnymi wokół tej samej osi ( k ≥ 1 ); zbiór obrazów punktu pod izometriami to k- krotna helisa ; ponadto może występować dwukrotny obrót wokół prostopadle przecinającej się osi, a zatem k -krotna spirala takich osi.
- dla dowolnej grupy punktowej: grupa wszystkich izometrii będących kombinacją izometrii w grupie punktowej i translacji; na przykład w przypadku grupy generowanej przez inwersję w początku: grupa wszystkich tłumaczeń i inwersja we wszystkich punktach; to uogólnione dwuściennej grupy R 3 , dih (R 3 ).
Przegląd izometrii w maksymalnie trzech wymiarach
E(1), E(2) i E(3) można podzielić na następujące kategorie, ze stopniami swobody :
Rodzaj izometrii | Stopnie swobody | Zachowuje orientację? |
---|---|---|
Tożsamość | 0 | tak |
Tłumaczenie | 1 | tak |
Odbicie w punkcie | 1 | Nie |
Rodzaj izometrii | Stopnie swobody | Zachowuje orientację? |
---|---|---|
Tożsamość | 0 | tak |
Tłumaczenie | 2 | tak |
Obrót o punkt | 3 | tak |
Odbicie w linii | 2 | Nie |
Odbicie poślizgu | 3 | Nie |
Rodzaj izometrii | Stopnie swobody | Zachowuje orientację? |
---|---|---|
Tożsamość | 0 | tak |
Tłumaczenie | 3 | tak |
Obrót wokół osi | 5 | tak |
Przemieszczenie śruby | 6 | tak |
Odbicie w samolocie | 3 | Nie |
Operacja samolotu ślizgowego | 5 | Nie |
Niewłaściwa rotacja | 6 | Nie |
Inwersja w punkcie | 3 | Nie |
Twierdzenie Chaslesa zakłada, że każdy element E + (3) jest przemieszczeniem śruby .
Zobacz także izometrie 3D, które pozostawiają ustalony początek , grupę przestrzenną , inwolucję .
Izometrie dojazdów
Dla niektórych par izometrycznych skład nie zależy od kolejności:
- dwa tłumaczenia
- dwa obroty lub śruby wokół tej samej osi
- odbicie względem płaszczyzny i przesunięcie w tej płaszczyźnie, obrót wokół osi prostopadłej do płaszczyzny lub odbicie względem płaszczyzny prostopadłej
- odbicie poślizgu względem płaszczyzny i przesunięcie w tej płaszczyźnie
- inwersja w punkcie i dowolna izometria utrzymująca punkt nieruchomy
- obrót o 180° wokół osi i odbicie w płaszczyźnie przez tę oś
- obrót o 180° wokół osi i obrót o 180° wokół osi prostopadłej (powoduje obrót o 180° wokół osi prostopadłej do obu)
- dwa odbicia wirnika wokół tej samej osi, względem tej samej płaszczyzny
- dwa odbicia poślizgu względem tej samej płaszczyzny
Klasy koniugatu
Translacje o określoną odległość w dowolnym kierunku tworzą klasę sprzężoną ; grupa translacji jest połączeniem tych na wszystkie odległości.
W 1D wszystkie odbicia są w tej samej klasie.
W 2D obroty o ten sam kąt w obu kierunkach należą do tej samej klasy. Odbicia poślizgu z przesunięciem o tę samą odległość należą do tej samej klasy.
W 3D:
- Inwersje w odniesieniu do wszystkich punktów są w tej samej klasie.
- Obroty o ten sam kąt należą do tej samej klasy.
- Obroty wokół osi połączone z translacją wzdłuż tej osi są w tej samej klasie, jeśli kąt jest taki sam i odległość translacji jest taka sama.
- Odbicia w samolocie należą do tej samej klasy
- Odbicia w płaszczyźnie połączone z translacją w tej płaszczyźnie o tę samą odległość należą do tej samej klasy.
- Obroty wokół osi o ten sam kąt nie równy 180°, połączone z odbiciem w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi, należą do tej samej klasy.
Zobacz też
- Stałe punkty grup izometrycznych w przestrzeni euklidesowej
- Izometria płaszczyzny euklidesowej
- Grupa Poincaré
- Obroty i odbicia współrzędnych
- Odbicie przez pochodzenie
- Płaszczyzna obrotu
Bibliografia
- Cederberg, Judith N. (2001). Kurs współczesnej geometrii . str. 136 -164. Numer ISBN 978-0-387-98972-3.
- Williama Thurstona . Geometria i topologia trójwymiarowa. Cz. 1 . Pod redakcją Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 s. ISBN 0-691-08304-5