Maksymalny torus — Maximal torus

W matematycznej teorii zwartych grup Liego szczególną rolę odgrywają podgrupy torusów, w szczególności podgrupy torusów maksymalnych .

Torusa w zwartej grupie Lie G jest zwarty , połączony , abelowa Lie podgrupy z G (a zatem izomorficzne z normą torusa T ⁿ ). Maksymalny torus to taki, który jest maksymalne wśród takich podgrup. Oznacza to, że T jest torusem maksymalnym, jeśli dla dowolnego torusa T ′ zawierającego T mamy T = T ′. Każdy torus jest zawarty w torusie maksymalnym po prostu przez względy wymiarowe . Niezwarta grupa Liego nie musi mieć żadnych nietrywialnych tori (np. R ⁿ ).

Wymiar maksymalnej torusa w G nazywa się rangę z G . Ranga jest dobrze zdefiniowana, ponieważ wszystkie maksymalne tori okazują się być sprzężone . Dla grup półprostych ranga jest równa liczbie węzłów w powiązanym diagramie Dynkina .

Przykłady

Jednolitą grupę u ( n ) jest to maksymalna torusa podgrupy wszystkich macierze diagonalne . To jest,

${\ Displaystyle T = \ lewo \ {\ nazwa operatora {diag} \ lewo (e ^ {i \ theta _ {1}}, e ^ {i \ theta _ {2}}, \ kropki, e ^ { i \ theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.}$

T jest wyraźnie izomorficzny z iloczynem n okręgów, więc unitarna grupa U( n ) ma rangę n . Maksymalny torus w specjalnej grupie unitarnej SU( n ) ⊂ U( n ) jest po prostu przecięciem T i SU( n ), który jest torusem o wymiarze  n  − 1.

Maksymalny torus w specjalnej grupie ortogonalnej SO(2 n ) jest określony przez zbiór wszystkich jednoczesnych obrotów w dowolnym ustalonym wyborze n parami prostopadłych płaszczyzn (tj. dwuwymiarowych przestrzeni wektorowych). Konkretnie, jeden maksymalny torus składa się ze wszystkich macierzy blokowo-przekątnych z blokami ukośnymi, gdzie każdy blok ukośny jest macierzą rotacji. Jest to również maksymalny torus w grupie SO( 2n +1), gdzie działanie ustala pozostały kierunek. Tak więc zarówno SO(2 n ) jak i SO(2 n +1) mają rangę n . Na przykład w grupie rotacyjnej SO(3) maksymalne tory są podane przez obroty wokół stałej osi. ${\displaystyle 2\razy 2}$

Grupa symplektyczna Sp( n ) ma rangę n . Maksymalny torus jest określony przez zbiór wszystkich macierzy diagonalnych, których wszystkie wpisy leżą w ustalonej zespolonej podalgebrze H .

Nieruchomości

Niech G będzie zwartą, spójną grupą Liego i niech będzie algebrą Liego z G . Pierwszym głównym wynikiem jest twierdzenie o torusie, które można sformułować w następujący sposób: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Twierdzenie o torusie : Jeśli T jest jednym ustalonym maksymalnym torusem w G , to każdy element G jest sprzężony z elementem T .

Twierdzenie to ma następujące konsekwencje:

• Wszystkie maksymalne tori w G są sprzężone.
• Wszystko maksymalny tori mają ten sam wymiar, znany jako rangi z G .
• Maksymalny torus w G jest maksymalną podgrupą abelową, ale odwrotność nie musi mieć miejsca.
• Maksymalne tori w G to dokładnie podgrupy Liego odpowiadające maksymalnym abelowym podalgebrom (por. podalgebry Cartana )${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Każdy element G leży w jakimś maksymalnym torusie; zatem mapa wykładnicza dla G jest surjektywna.
• Jeśli G ma wymiar n i rangę r, to n − r jest parzyste.

System korzeniowy

Jeśli T jest torusem maksymalnym w zwartej grupie Liego G , system korzeniowy można zdefiniować w następujący sposób. Pierwiastki są wagami dla sprzęgniętego działania T w złożonej algebrze Liego z G . Aby być bardziej precyzyjnym, oznaczmy algebrę Liego z T , oznaczmy algebrę Liego z , i oznaczmy złożoność . Następnie mówimy, że element jest pierwiastkiem dla G względem T, jeśli i istnieje niezerowa taka, że ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C}}:={\mathfrak {g}}\oplus ja {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle \ alfa \ w {\ mathfrak {t}}}$${\ Displaystyle \ alfa \ neq 0}$${\ Displaystyle X \ w {\ mathfrak {g}} _ {\ mathbb {C}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Ad} _ {e ^ {H}} (X) = e ^ {i \ langle \ alfa, H \ rangle} X}$

dla wszystkich . Oto stały iloczyn skalarny, który jest niezmienny pod działaniem sprzężonego działania połączonych zwartych grup Liego. ${\ Displaystyle H \ w {\ mathfrak {t}}}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

System korzeniowy, jako podzbiór algebry Liego z T , ma wszystkie zwykłe właściwości systemu korzeniowego, z wyjątkiem tego, że pierwiastki nie mogą obejmować . System korzeniowy jest kluczowym narzędziem w zrozumieniu klasyfikacji i teorii reprezentacji z G . ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Grupa Weyl

Biorąc torusa T (niekoniecznie maksymalnej), przy czym grupa Weyl z G w zakresie T może być określona jako normalizator z T modulo centrujące z T . To jest,

${\ Displaystyle W (T, G): = N_ {G} (T) / C_ {G} (T).}$

Ustal maksymalny torus w G; wtedy odpowiednia grupa Weyla jest nazywana grupą Weyla G (zależy to do izomorfizmu od wyboru T ). ${\displaystyle T=T_{0}}$

Pierwsze dwa główne wyniki dotyczące grupy Weyl są następujące.

• Centralizator T w G jest równy T , więc grupa Weyl jest równa N ( T )/ T .
• Grupa Weyl jest generowana przez refleksje na temat korzeni powiązanej algebry Liego. Tak więc, grupa Weyl z T jest izomorficzny z grupy Weyl z systemu korzeniowego o Algebra ukształtowanie G .

Wymienimy teraz niektóre konsekwencje tych głównych wyników.

• Dwa elementy w T są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzężone z elementem W . Oznacza to, że każda klasa sprzężeń G przecina T dokładnie na jednej orbicie Weyla . W rzeczywistości przestrzeń klas sprzężeń w G jest homeomorficzna z przestrzenią orbity T / W .
• Grupa Weyla działa przez ( zewnętrzne ) automorfizmy na T (i jej algebrze Liego).
• Składnik tożsamości normalizatora T jest również równy T . Grupa Weyl jest zatem równa grupy składników o N ( T ).
• Grupa Weyl jest skończona.

Teorii reprezentacji z G jest zasadniczo określone przez T i W .

Jako przykład rozważmy przypadek, w którym jesteśmy przekątną podgrupą . Następnie należy do wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowuje każdy standardowy element bazowy na wielokrotność innego standardowego elementu bazowego , to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy permutuje standardowe elementy bazowe, aż do pomnożenia przez pewne stałe. Grupa Weyl jest w tym przypadku grupą permutacyjną na elementach. ${\ Displaystyle G = SU (n)}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle x\w g}$${\ Displaystyle N (T)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle n}$

Wzór na całkę Weyla

Załóżmy, że f jest funkcją ciągłą na G . Wtedy całka nad G od f względem znormalizowanej miary Haara dg może być obliczona w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ int _ {G} f (g) \ dg = | W | ^ {-1} \ int _ {T} | \ Delta (t) | ^ {2} \ int _ {G /T}f\lewo(yty^{-1}\prawo)\,d[y]\,dt,}}$

gdzie jest znormalizowaną miarą objętości na rozmaitości ilorazowej i jest znormalizowaną miarą Haara na T . Tutaj Δ jest podane przez wzór w mianowniku Weyl i jest porządkiem grupy Weyl. Ważny szczególny przypadek tego wyniku występuje, gdy f jest funkcją klasy , czyli niezmiennikiem funkcji w koniugacji. W takim przypadku mamy ${\displaystyle d[r]}$${\displaystyle G/T}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle |W|}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ int _ {G} f (g) \ dg = | W | ^ {-1} \ int _ {T} f (t) | \ Delta (t) | ^ {2} \ dt.}}$

Rozważmy jako przykład przypadek , gdzie jest podgrupą diagonalną. Wtedy wzór całkowy Weyla dla funkcji klas przyjmuje następującą jawną postać: ${\ Displaystyle G = SU(2)}$${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ int _ {SU (2)} f (g) \ dg = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ lewo (\ mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{ \frac {d\theta }{2\pi }}.}}$

Tutaj znormalizowaną miarą Haara on jest , i oznacza macierz diagonalną z wpisami diagonalnymi i . ${\ Displaystyle | W | = 2}$${\ Displaystyle T}$${\displaystyle {\frac {d\theta}}{2\pi}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {diag} \ lewo (e ^ {i \ theta}, e ^ {-i \ theta} \ prawej)}$${\ Displaystyle e ^ {i \ theta}}$${\displaystyle e^{-i\theta}}$

Zobacz też

• Kompaktowa grupa
• Podgrupa Cartan
• Podalgebra Cartana
• Algebra Liego Torala
• Rozkład Bruhata
• Formuła postaci Weyla
• Teoria reprezentacji połączonej zwartej grupy Liego

Bibliografia

• Adams, JF (1969), Wykłady na temat grup kłamstw , University of Chicago Press, ISBN 0226005305
• Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (rozdział 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X
• Dieudonné, J. (1977), grupy Compact Lie i półproste grupy Lie, rozdział XXI , Traktat o analizie, 5 , Academic Press, ISBN 012215505X
• Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), Grupy kłamstwa , Universitext, Springer, ISBN 3540152938
• Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, Algebry Liego i reprezentacje: Wprowadzenie elementarne , Teksty podyplomowe z matematyki, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometria różniczkowa, grupy Liego i przestrzenie symetryczne , Academic Press, ISBN 0821828487
• Hochschild, G. (1965), Struktura grup Liego , Holden-Day