Grupa redukcyjna - Reductive group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W matematyce , A Redukcyjne grupa jest typu liniowego grupy algebraicznej na polu . Jedna z definicji jest to, że liniowy połączony algebraiczna grupy G przez idealny dziedzinie jest redukcyjne jeśli ma reprezentację skończonej jądro , które jest bezpośrednim suma z nieredukowalnych reprezentacji . Grupy redukcyjne obejmują niektóre z najważniejszych grup w matematyce, takie jak ogólna grupa liniowa GL ( n ) macierzy odwracalnych , specjalna grupa ortogonalna SO ( n ) i grupa symplektyczna Sp (2 n ). Proste grupy algebraiczne i (bardziej ogólnie) półproste grupy algebraiczne są redukcyjne.

Claude Chevalley wykazał, że klasyfikacja grup redukcyjnych jest taka sama dla każdego ciała algebraicznie domkniętego . W szczególności proste grupy algebraiczne są klasyfikowane za pomocą diagramów Dynkina , tak jak w teorii zwartych grup Liego lub złożonych półprostych algebr Liego . Grupy redukcyjne nad dowolnym polem są trudniejsze do sklasyfikowania, ale w przypadku wielu pól, takich jak liczby rzeczywiste R lub pole liczbowe , klasyfikacja jest dobrze zrozumiana. Klasyfikacji skończonych grup prostych mówi, że większość grup skończonych proste powstać grupy G ( k ) od k - racjonalne punktów prostego algebraicznych grupy G na skończonym polu k , lub jak drobne warianty tej konstrukcji.

Grupy redukcyjne mają bogatą teorię reprezentacji w różnych kontekstach. Po pierwsze, można zbadać reprezentacje grupy redukcyjnej G nad ciałem k jako grupą algebraiczną, które są działaniami G na k przestrzeniach wektorowych. Ale także można badać złożone reprezentacje grupy G ( k ), gdy K jest skończonego pola lub nieskończone trójwymiarowy jednostkowe reprezentacje rzeczywistego grupy redukcyjnego, albo automorficzna reprezentacje od An adelic grupy algebraicznych . We wszystkich tych obszarach stosowana jest teoria struktury grup redukcyjnych.

Definicje

Liniowy algebraiczna grupa nad polem k jest definiowany jako gładkiej zamkniętej systemu podgrupy z GL ( n ) w czasie k , na pewnej liczby całkowitej n . Równoważnie liniowa grupa algebraiczna nad k jest gładkim schematem grup afinicznych nad k .

Z unipotentnym radykałem

Połączone liniową algebraicznej grupy na polu algebraicznie zamkniętym nazywa półprosty jeśli każdy gładkie związane rozpuszczalny normalnego podgrupa z jest trywialne. Mówiąc bardziej ogólnie, połączona liniowa grupa algebraiczna nad algebraicznie domkniętym ciałem nazywana jest redukcyjną, jeśli największa gładko połączona unipotentna podgrupa normalna jest trywialna. Ta normalna podgrupa nazywana jest rodnikiem unipotentnym i jest oznaczona . (Niektórzy autorzy nie wymaga grup redukujących mają być połączone). Grupa na dowolnej dziedzinie k nazywa półprosty lub redukcyjne jeśli zmianę zasady jest półprosty lub redukcyjne, gdzie jest algebraiczna zamknięcie z k . (Jest to równoważne definicji grup redukcyjnych we wstępie, gdy k jest doskonałe.) Każdy torus nad k , taki jak grupa multiplikatywna G _m , jest redukcyjny. ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle R_ {u} (G)}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G_ {\ overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

Z teorią reprezentacji

Inną równoważną definicją grupy redukcyjnej jest grupa spójna dopuszczająca wierną półprostą reprezentację, która pozostaje półprosta w stosunku do jej algebraicznego zamknięcia, ^{strona 383} . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle k ^ {al}}$

Proste grupy redukcyjne

Liniowa grupa algebraiczna G nad ciałem k nazywana jest prostą (lub k - prostą ), jeśli jest półprosta, nietrywialna, a każda gładko połączona normalna podgrupa G nad k jest trywialna lub równa G . (Niektórzy autorzy nazywają tę właściwość „prawie prostą”.) Różni się to nieco od terminologii dla grup abstrakcyjnych tym, że prosta grupa algebraiczna może mieć nietrywialne centrum (chociaż centrum musi być skończone). Na przykład, dla każdej liczby całkowitej N , co najmniej 2, a każde pole jest K , grupa SL ( n ) w k jest prosta, a jego środek jest schemat μ grupa _n z n TH korzenie jedności.

Centralny isogeny grup redukujących jest suriekcją homomorfizm z jądra skończonej centralnej podgrupy programu. Każda grupa redukcyjna nad polem dopuszcza centralną izogenię z produktu torusa i kilku prostych grup. Na przykład nad dowolnym polem k ,

${\ Displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ razy SL (n)) / \ mu _ {n}.}$

Nieco niezręczne jest to, że definicja grupy redukcyjnej nad ciałem obejmuje przejście do domknięcia algebraicznego. Dla idealnego ciała k można tego uniknąć: liniowa grupa algebraiczna G nad k jest redukcyjna wtedy i tylko wtedy, gdy każda gładko połączona jednomocna normalna podgrupa k G jest trywialna. W przypadku dowolnego pola ta ostatnia właściwość definiuje grupę pseudoredukcyjną , która jest nieco bardziej ogólna.

Grupy redukcyjno-rozdzielcze

Grupa redukcyjna G nad ciałem k jest nazywana podziałem, jeśli zawiera podzielony maksymalny torus T nad k (to znaczy podzielony torus w G, którego zmiana podstawy na jest maksymalnym torusem w ). Jest to równoważne powiedzeniu, że T jest podzielonym torusem w G, który jest maksymalny wśród wszystkich k- tori w G . Tego rodzaju grupy są przydatne, ponieważ ich klasyfikację można opisać za pomocą danych kombinatorycznych zwanych danymi źródłowymi. ${\displaystyle {\overline {k}}}$${\ Displaystyle G_ {\ overline {k}}}$

Przykłady

GL _n i SL _n

Podstawowym przykładem grupy redukcyjnej jest ogólna grupa liniowa odwracalnych macierzy n × n nad ciałem k , dla liczby naturalnej n . W szczególności multiplikatywna grupa G _m jest grupa GL (1), a więc jego grupy G, _m ( k ) z k punktów -rational jest grupa k * niezerowych elementów K pod mnożenia. Inną grupą redukcyjną jest specjalna grupa liniowa SL ( n ) nad ciałem k , podgrupa macierzy z wyznacznikiem 1. W rzeczywistości SL ( n ) jest prostą grupą algebraiczną dla n co najmniej 2. ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n}}$

O( n ), SO( n ) i Sp ( n )

Ważną grupą prostą jest grupa symplektyczna Sp (2 n ) nad ciałem k , podgrupa GL (2 n ) zachowująca niezdegenerowaną przemienną postać dwuliniową w przestrzeni wektorowej k ^{2 n} . Podobnie grupa ortogonalna O ( q ) jest podgrupą ogólnej grupy liniowej, która zachowuje niezdegenerowaną formę kwadratową q na przestrzeni wektorowej nad ciałem k . Grupa algebraiczna O ( q ) ma dwie połączone składowe , a jej składnik tożsamościowy SO ( q ) jest redukcyjny, w rzeczywistości prosty dla q wymiaru n co najmniej 3. (Dla k cechy 2 i n nieparzystej, schemat grupowy O ( q ) jest w rzeczywistości spójna, ale nie gładka nad k . Prostą grupę SO ( q ) zawsze można zdefiniować jako maksymalną gładko połączoną podgrupę O ( q ) nad k .) Gdy k jest algebraicznie domknięte, dowolne dwie (niezdegenerowane) kwadratowe formy o tym samym wymiarze są izomorficzne, dlatego zasadne jest nazywanie tej grupy SO ( n ). Dla ogólnego ciała k różne formy kwadratowe wymiaru n mogą dawać nieizomorficzne grupy proste SO ( q ) nad k , chociaż wszystkie mają tę samą zmianę podstawy do domknięcia algebraicznego . ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Tori

Grupa i jej produkty nazywane są tori algebraicznym . Są one przykładami grup redukcyjnych, ponieważ osadzają się na przekątnej, az tej reprezentacji ich niepotężny rodnik jest trywialny. Na przykład osadza z mapy${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ razy \ mathbb {G} _ {m}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{2}}$

${\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ mapsto {\ zacząć {bmatrix} a_ {1} i 0 \ \ 0 i a_ {2} \ koniec {bmatrix}}}$

Nieprzykłady

• Żadna unipotentna grupa nie jest redukcyjna, ponieważ jej unipotentny radykał jest sobą. Obejmuje to grupę dodatków .${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$
• Grupa Borel z ma nietrywialnym unipotentne rodnik cholewy trójkątne matryc na przekątnej. Jest to przykład grupy nieredukcyjnej, która nie jest unipotentna.${\ Displaystyle B_ {n}}$${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ Displaystyle 1}$

Powiązana grupa redukcyjna

Zauważ, że normalność rodnika unipotentnego oznacza, że ​​grupa ilorazowa jest redukcyjna. Na przykład,${\ Displaystyle R_ {u} (G)}$${\ Displaystyle G / R_ {u} (G)}$

${\ Displaystyle B_ {n} / (R_ {u} (B_ {n})) \ cong \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {G} _ {m}}$

Inne charakterystyki grup redukcyjnych

Każda zwarta połączona grupa Liego ma złożoność , która jest złożoną redukcyjną grupą algebraiczną. W rzeczywistości ta konstrukcja daje korespondencję jeden do jednego między zwartymi połączonymi grupami Liego i złożonymi grupami redukcyjnymi, aż do izomorfizmu. Dla zwartej grupy Liego K ze złożonością G , włączenie z K do złożonej grupy redukcyjnej G ( C ) jest równoważnością homotopii , w odniesieniu do klasycznej topologii na G ( C ). Na przykład włączenie z grupy unitarnej U ( n ) do GL ( n , C ) jest równoważnością homotopii.

Dla grupy redukcyjnej G nad ciałem o charakterystyce zerowej wszystkie skończenie wymiarowe reprezentacje G (jako grupy algebraicznej) są całkowicie redukowalne , to znaczy są bezpośrednimi sumami reprezentacji nieredukowalnych. Stąd pochodzi nazwa „redukcyjne”. Należy jednak zauważyć, że całkowita redukowalność zawodzi dla grup redukcyjnych o charakterystyce dodatniej (oprócz tori). Bardziej szczegółowo: afinicznym schemat grupy G o skończonej typu na polu k nazywa się liniowo redukcyjne jeżeli jej przedstawienia skończonych wymiarowe są całkowicie sprowadzić. Dla k charakterystyki zero, G jest liniowo redukcyjnego, wtedy i tylko wtedy, gdy składnik tożsamości G ^O o G jest redukcyjne. Dla k charakterystycznej p > 0, jednak Masayoshi Nagata wykazały, że G jest liniowo redukcyjnego tylko wtedy, gdy G ^O jest multiplikatywnej typu i G / G ^O ma kolejność prim do p .

Korzenie

Klasyfikacja redukcyjnych grup algebraicznych odbywa się w kategoriach powiązanego systemu pierwiastkowego , jak w teoriach złożonych półprostych algebr Liego lub zwartych grup Liego. Oto sposób, w jaki pojawiają się korzenie dla grup redukcyjnych.

Niech G będzie podzieloną grupą redukcyjną nad ciałem k , a T będzie podzielonym maksymalnym torusem w G ; tak T jest izomorficzny ( G _m ) ⁿ jakiegoś n , z n zwany stopień o G . Każda reprezentacja T (jako grupy algebraicznej) jest bezpośrednią sumą reprezentacji jednowymiarowych. Masa dla G oznacza klasę Izomorfizm reprezentacji 1-wymiarowych T lub równoważnie homomorfizm T → G _m . Wagi tworzą grupę X ( T ) pod iloczynem tensorowym reprezentacji, przy czym X ( T ) jest izomorficzny z iloczynem n kopii liczb całkowitych , Z ⁿ .

Reprezentacja sprzężona jest działaniem G przez koniugację na jego algebrze Liego . Pierwiastek z G oznacza niezerową masy, który występuje w wyniku działania T ⊂ G o . Podprzestrzeń odpowiadająca każdemu pierwiastkowi jest jednowymiarowa, a podprzestrzeń ustalonej przez T jest dokładnie algebrą Liego z T . Dlatego algebra Liego z G rozkłada się na jednowymiarowe podprzestrzenie indeksowane przez zbiór Φ pierwiastków: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alfa \ w \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa}.}$

Na przykład, gdy G jest grupą GL ( n ), jej algebra Liego jest przestrzenią wektorową wszystkich macierzy n × n nad k . Niech T będzie podgrupą macierzy diagonalnych w G . Następnie dekompozycja w przestrzeni pierwiastkowej wyraża się jako suma prosta macierzy diagonalnych i 1-wymiarowych podprzestrzeni indeksowanych przez pozycje pozadiagonalne ( i , j ). Pisząc L ₁ ,..., L _n dla standardowej bazy dla siatki wagowej X ( T ) ≅ Z ⁿ , pierwiastkami są elementy L _i − L _j dla wszystkich i ≠ j od 1 do n . ${\ Displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$${\ Displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$

Korzenie grupy półprostej tworzą system korzeniowy ; jest to struktura kombinatoryczna, którą można całkowicie sklasyfikować. Mówiąc bardziej ogólnie, korzenie grupy redukcyjnej tworzą podstawę korzeniową , niewielką odmianę. Grupa Weyl z redukcyjnego grupy G oznaczają grupę iloraz z normalizer torusa maksymalnej przez torus, W = N _G ( T ) / T . Grupa Weyl jest w rzeczywistości skończoną grupą generowaną przez odbicia. Na przykład, dla grupy GL ( n ) (lub SL ( n )), grupa Weyl jest grupa symetryczne S _n .

Istnieje skończenie wiele podgrup borelowskich zawierających dany torus maksymalny i są one permutowane po prostu przechodnie przez grupę Weyl (działającą przez koniugację ). Wybór podgrupy borelowskiej określa zbiór pierwiastków dodatnich Φ ⁺ ⊂ Φ, z własnością, że Φ jest sumą rozłączną Φ ⁺ i −Φ ⁺ . Wprost, algebra Liego z B jest bezpośrednią sumą algebry Liego z T i dodatnich przestrzeni pierwiastkowych:

${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alfa \ w \ Phi ^ {+}} {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa}.}$

Na przykład, jeśli B jest borelowską podgrupą macierzy górnych trójkątów w GL ( n ), to jest to oczywista dekompozycja podprzestrzeni macierzy górnych trójkątów w . Pierwiastki dodatnie to L _i − L _j dla 1 ≤ i < j ≤ n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\ Displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$

Prosty korzeń oznacza pozytywny pierwiastek, który nie jest sumą dwóch innych pozytywnych korzeni. Napisz Δ dla zbioru pierwiastków prostych. Liczba R prostych korzeni jest równa rzędowi podgrupy komutatora z G , zwany półprosty stopień z G (która jest po prostu rangę G , jeżeli G jest półprosty). Na przykład, proste pierwiastki dla GL ( n ) (lub SL ( n )) to L _ja - L _{ja +1} dla 1 ≤ ja ≤ n - 1.

Systemy korzeniowe są klasyfikowane na podstawie odpowiedniego diagramu Dynkina , który jest skończonym grafem (z niektórymi krawędziami skierowanymi lub wielokrotnymi). Zbiór wierzchołków diagramu Dynkina to zbiór pierwiastków prostych. W skrócie, diagram Dynkina opisuje kąty między prostymi pierwiastkami i ich względną długością, w odniesieniu do iloczynu wewnętrznego grupy Weyla na sieci wagowej. Połączone diagramy Dynkina (odpowiadające prostym grupom) są przedstawione poniżej.

Dla rozszczepionej grupy redukcyjnej G nad ciałem k ważne jest to, że pierwiastek α ​​wyznacza nie tylko jednowymiarową podprzestrzeń algebry Liego z G , ale także kopię grupy addytywnej G _a w G o danym Lie algebra, zwana podgrupą pierwiastkową U _α . Podgrupa pierwiastkowa jest unikalną kopią grupy addytywnej w G, która jest znormalizowana przez T i ma daną algebrę Liego. Cała grupa G jest generowana (jako grupa algebraiczna) przez T i podgrupy pierwiastkowe, natomiast podgrupa borelowska B jest generowana przez T i podgrupy pierwiastkowe dodatnie. W rzeczywistości podzielona grupa półprosta G jest generowana przez same podgrupy główne.

Podgrupy paraboliczne

Dla rozdzielonej grupy redukcyjnej G nad polem k , gładko połączone podgrupy G, które zawierają daną podgrupę borelowską B z G, są w korespondencji jeden do jednego z podzbiorami zbioru Δ prostych pierwiastków (lub równoważnie, podzbiory zbioru wierzchołków diagramu Dynkina). Niech r będzie rzędu Δ, półprostego rzędu G . Każdy paraboliczny podgrupy z G jest sprzężony z podgrupy zawierającej B za pośrednictwem elementu G ( k ). W rezultacie istnieją dokładnie 2 ^r klas sprzężeń podgrup parabolicznych w G over k . Mówiąc wyraźnie, podgrupa paraboliczna odpowiadająca danemu podzbiorowi S z Δ jest grupą generowaną przez B wraz z podgrupami pierwiastkowymi U _−α dla α w S . Na przykład paraboliczne podgrupy GL ( n ), które zawierają powyższą podgrupę borelowską B, są grupami macierzy odwracalnych z wpisami zerowymi poniżej danego zestawu kwadratów wzdłuż przekątnej, takich jak:

${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zacząć {bmatrix} * & * & * & * \ \ * & * & * & * \ \ 0 & 0 & * & * \ \ 0 & 0 & 0 & * \ end {bmatrix}} \ prawo \}}$

Z definicji, podgrupa paraboliczna P grupy redukcyjnej G nad polem k jest gładką podgrupą k taką, że rozmaitość ilorazowa G / P jest właściwa nad k lub równoważnie rzutowa nad k . Zatem klasyfikacja podgrup parabolicznych sprowadza się do klasyfikacji rzutowych odmian jednorodnych dla G (z gładką grupą stabilizatorów; czyli bez ograniczenia dla k o charakterystyce zerowej). Dla GL ( n ) są to odmiany flag , parametryzujące ciągi podprzestrzeni liniowych o danych wymiarach a ₁ ,..., a _i zawarte w ustalonej przestrzeni wektorowej V wymiaru n :

${\ Displaystyle 0 \ podzbiór S_ {a_ {1}} \ podzbiór \ cdots \ podzbiór S_ {a_ {i}} \ podzbiór V.}$

Dla grupy ortogonalnej lub grupy symplektycznej rzutowe odmiany jednorodne mają podobny opis jak odmiany flag izotropowych w odniesieniu do danej formy kwadratowej lub formy symplektycznej. Dla każdej grupy redukującego G z A Borel PODGRUPA B , G / B nazywa się różne flagi lub flaga kolektor z G .

Klasyfikacja podzielonych grup redukcyjnych

Chevalley wykazał w 1958 r., że grupy redukcyjne nad dowolnym polem algebraicznie domkniętym są klasyfikowane do izomorfizmu na podstawie danych pierwiastkowych. W szczególności grupy półproste nad ciałem algebraicznie domkniętym są klasyfikowane do centralnych izogenii przez ich diagram Dynkina, a grupy proste odpowiadają diagramom połączonym. Tak więc istnieją proste grupy typów A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ . Wynik ten jest zasadniczo identyczny z klasyfikacjami zwartych grup Liego lub złożonych półprostych algebr Liego dokonanymi przez Wilhelma Killinga i Élie Cartana w latach 80. i 90. XIX wieku. W szczególności wymiary, centra i inne własności prostych grup algebraicznych można odczytać z listy prostych grup Liego . Godne uwagi jest to, że klasyfikacja grup redukcyjnych jest niezależna od charakterystyki. Dla porównania, istnieje znacznie więcej prostych algebr Liego o charakterystyce dodatniej niż o charakterystyce zerowej.

Te wyjątkowe grupy G typu G ₂ i E ₆ została wykonana wcześniej, co najmniej w postaci abstrakcyjnej grupy G ( k ), przez LE Dickson . Na przykład, grupa G ₂ jest grupa automorfizmem o oktawy cayleya Algebra na k . Natomiast grupy Chevalley typu F ₄ , E ₇ , E ₈ nad polem o dodatniej charakterystyce były zupełnie nowe.

Bardziej ogólnie, klasyfikacja podzielonych grup redukcyjnych jest taka sama w każdym polu. Grupę półprostą G nad polem k nazywamy po prostu spójną, jeśli każda centralna izogeneza od grupy półprostej do G jest izomorfizmem. (Dla G semisimple nad liczbami zespolonymi, bycie po prostu spójnym w tym sensie jest równoważne G ( C ) będącemu po prostu spójnym w klasycznej topologii.) Klasyfikacja Chevalleya mówi, że nad każdym ciałem k istnieje unikatowa prosta spójna podzielona grupa półprosta G z danym diagramem Dynkina, z prostymi grupami odpowiadającymi połączonym diagramom. Z drugiej strony grupa półprosta jest typu sprzężonego, jeśli jej środek jest trywialny. Podzielone grupy półproste nad k z danym diagramem Dynkina to dokładnie grupy G / A , gdzie G jest grupą po prostu spójną, a A jest schematem k- podgrup w środku G .

Na przykład proste połączone podzielone grupy proste nad polem k odpowiadające „klasycznym” diagramom Dynkina są następujące:

• A _n : SL ( n + 1) nad k ;
• B _n : grupa spinowa Spin(2 n +1) związana z kwadratową formą wymiaru 2 n +1 nad k z indeksem Witta n , na przykład forma

${\ Displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n + 1}) = x_ {1} x_ {2} + x_ {3} x_ {4} + \ cdots + x_ {2n-1} x_ { 2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C _n : grupa symplektyczna Sp (2 n ) nad k ;
• D _n : grupa spinowa Spin(2 n ) związana z kwadratową postacią wymiaru 2 n nad k z indeksem Witta n , który można zapisać jako:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n} .}$

Zewnętrzna grupa automorfizmem grupy podzielonego redukcyjnego G na polu k jest izomorficzny grupy automorfizmem zerowych głównego G . Ponadto grupa automorfizmu G dzieli się jako produkt półpośredni :

${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (G) \ cong \ Operatorname {Out} (G) \ ltimes (G / Z) (k)}$

gdzie Z jest środkiem G . Dla podzielonej półprostej po prostu połączonej grupy G nad ciałem, zewnętrzna grupa automorfizmu G ma prostszy opis: jest to grupa automorfizmu diagramu Dynkina G .

Schematy grup redukcyjnych

Schemat grupowy G nad schematem S nazywamy redukcyjnym, jeśli morfizm G → S jest gładki i afiniczny, a każde włókno geometryczne jest redukcyjne. (Dla punktu p w S , odpowiadające mu włókno geometryczne oznacza zmianę bazy G na algebraiczne zamknięcie pola reszt p .) Rozszerzając pracę Chevalleya, Michel Demazure i Grothendieck wykazali, że schematy podziału grup redukcyjnych na dowolny niepusty schemat S są sklasyfikowane według danych głównych. To stwierdzenie obejmuje istnienie grup Chevalleya jako schematów grupowych na Z i mówi, że każda podzielona grupa redukcyjna na schemacie S jest izomorficzna ze zmianą zasady grupy Chevalley z Z na S . ${\ Displaystyle G_ {\ overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

Prawdziwe grupy redukcyjne

W kontekście grup Liego, a nie grup algebraicznych, rzeczywistą grupą redukcyjną jest grupa Liego G taka, że ​​istnieje liniowa grupa algebraiczna L nad R, której składnik tożsamościowy (w topologii Zariskiego ) jest redukcyjny, a homomorfizm G → L ( R ), którego jądro jest skończone i którego obraz jest otwarty w L ( R ) (w topologii klasycznej). Standardowo przyjmuje się również, że obraz reprezentacji sprzężonej Ad( G ) jest zawarty w Int( g _C ) = Ad( L ⁰ ( C )) (co jest automatyczne dla połączenia G ).

W szczególności każda połączona półprosta grupa Liego (co oznacza, że ​​jej algebra Liego jest półprosta) jest redukcyjna. Również grupa Liego R jest w tym sensie redukcyjna, ponieważ może być postrzegana jako składnik tożsamościowy GL (1, R ) R *. Problem klasyfikacji rzeczywistych grup redukcyjnych w dużej mierze sprowadza się do klasyfikacji prostych grup Liego. Są one klasyfikowane według ich diagramu Satake ; lub można po prostu odwołać się do listy prostych grup Liego (aż do skończonych przekryć).

Użyteczne teorie reprezentacji dopuszczalnych i reprezentacji unitarnych zostały opracowane dla rzeczywistych grup redukcyjnych w tej ogólności. Główne różnice między tą definicją a definicją redukcyjnej grupy algebraicznej polegają na tym, że grupa algebraiczna G nad R może być połączona jako grupa algebraiczna, podczas gdy grupa Liego G ( R ) nie jest połączona, a także po prostu połączone grupy.

Na przykład rzutowa grupa liniowa PGL (2) jest połączona jako grupa algebraiczna nad dowolnym ciałem, ale jej grupa punktów rzeczywistych PGL (2, R ) ma dwie połączone składowe. Składnik tożsamościowy PGL (2, R ) (czasami nazywany PSL (2, R )) jest rzeczywistą grupą redukcyjną, której nie można postrzegać jako grupę algebraiczną. Podobnie, SL (2) jest po prostu połączona jako grupa algebraiczna nad dowolnym ciałem, ale grupa Liego SL (2, R ) ma grupę podstawową izomorficzną z liczbami całkowitymi Z , a więc SL (2, R ) ma nietrywialne przestrzenie pokrywające . Z definicji wszystkie skończone pokrycia SL (2, R ) (takie jak grupa metaplektyczna ) są rzeczywistymi grupami redukującymi. Z drugiej strony, uniwersalna osłona z SL (2, R ) nie jest prawdziwa grupa redukcyjne, choć jego Lie algebra jest redukcyjne , czyli produktem półprosty algebry Lie Lie abelowa i algebra.

Dla połączonej rzeczywistej grupy redukcyjnej G rozmaitość ilorazowa G / K z G przez maksymalnie zwartą podgrupę K jest przestrzenią symetryczną typu niezwartego. W rzeczywistości w ten sposób powstaje każda symetryczna przestrzeń typu niezwartego. Są to centralne przykłady w riemannowskiej geometrii rozmaitości o niedodatniej krzywiźnie przekroju . Na przykład SL (2, R )/ SO (2) to płaszczyzna hiperboliczna , a SL (2, C )/ SU (2) to hiperboliczna przestrzeń 3-przestrzenna.

Dla grupy redukcyjnej G nad ciałem k, które jest zupełne pod względem wartościowania dyskretnego (takiego jak liczby p-adyczne Q _p ), budynek afiniczny X z G odgrywa rolę przestrzeni symetrycznej. Mianowicie, X jest simplicjalnym kompleksem z działaniem G ( k ), a G ( k ) zachowuje metrykę CAT(0) na X , analogię metryki z niedodatnią krzywizną. Wymiarem budynku afinicznego jest k- rank G . Na przykład budynek SL (2, Q _p ) to drzewo .

Reprezentacje grup redukcyjnych

Dla podzielonej grupy redukcyjnej G nad ciałem k , nieredukowalne reprezentacje G (jako grupy algebraicznej) są sparametryzowane przez dominujące wagi , które są zdefiniowane jako przecięcie siatki wag X ( T ) ≅ Z ⁿ z wypukłym stożkiem ( komora Weyla ) w R ⁿ . W szczególności ta parametryzacja jest niezależna od charakterystyki k . Bardziej szczegółowo, ustal podzielony maksymalny torus i podgrupę borelowską, T ⊂ B ⊂ G . Wtedy B jest półbezpośrednim iloczynem T z gładko połączoną unipotentną podgrupą U . Zdefiniuj wektor o najwyższej wadze w reprezentacji V od G nad k, aby był niezerowym wektorem v takim, że B odwzorowuje linię rozpiętą przez v na siebie. Wtedy B działa na tę linię poprzez swoją grupę ilorazową T , przez jakiś element λ siatki wagowej X ( T ). Chevalley wykazał, że każda nieredukowalna reprezentacja G ma unikalny wektor najwyższej wagi aż do skalarów; dominuje odpowiednia „najwyższa waga” λ; a każda dominująca waga λ jest najwyższą wagą unikalnej nieredukowalnej reprezentacji L (λ) G , aż do izomorfizmu.

Pozostaje problem opisania reprezentacji nieredukowalnej z daną najwyższą wagą. Dla k o zerowej charakterystyce są w zasadzie kompletne odpowiedzi. Dla dominującej wagi λ, zdefiniuj moduł Schura ∇(λ) jako k- wektorową przestrzeń odcinków G- ekwiwariantnej wiązki liniowej na rozmaitości flagowej G / B związanej z λ; to jest reprezentacja G . Dla k o charakterystyce zero, twierdzenie Borela-Weila mówi, że nieredukowalna reprezentacja L (λ) jest izomorficzna z modułem Schura ∇(λ). Co więcej, wzór znaku Weyl daje charakter (aw szczególności wymiar) tej reprezentacji.

W przypadku podzielonej grupy redukcyjnej G nad polem k o dodatniej charakterystyce sytuacja jest znacznie bardziej subtelna, ponieważ reprezentacje G zazwyczaj nie są bezpośrednimi sumami nieredukowalnych. Dla dominującej wagi λ, nieredukowalna reprezentacja L (λ) jest unikalnym prostym submodułem ( podstawą ) modułu Schura ∇(λ), ale nie musi być równa modułowi Schura. Wymiar i charakter modułu Schura określa wzór znaku Weyla (jak w charakterystyce zero) autorstwa George'a Kempfa . Wymiary i charakter nieredukowalnych reprezentacji L (λ) są generalnie nieznane, chociaż opracowano wiele teorii do analizy tych reprezentacji. Jeden ważny wynik stanowi to, że wymiary i postać L (X) są znane, gdy charakterystyka s z k jest znacznie większa niż liczba Coxeter z G , przez Henning Andersen , Jens Jantzen i Wolfgang Soergel (potwierdzającego Lusztig hipotezę „s na tym, że Obudowa). Ich wzór na charakter p large opiera się na wielomianach Kazhdana–Lusztiga , które są kombinatorycznie złożone. Dla każdej liczby pierwszej p Simon Riche i Geordie Williamson wymyślili nieredukowalne cechy grupy redukcyjnej w terminach wielomianów p -Kazhdana-Lusztiga, które są jeszcze bardziej złożone, ale przynajmniej są obliczalne.

Niedzielone grupy redukcyjne

Jak omówiono powyżej, klasyfikacja podzielonych grup redukcyjnych jest taka sama w każdym polu. Natomiast klasyfikacja dowolnych grup redukcyjnych może być trudna, w zależności od pola bazowego. Niektóre przykłady wśród klasycznych grup to:

• Każda niezdegenerowana forma kwadratowa q nad ciałem k wyznacza grupę redukcyjną G = SO ( q ). Tutaj G jest proste, jeśli q ma wymiar n co najmniej 3, ponieważ jest izomorficzny z SO ( n ) po domknięciu algebraicznym . Rząd k dla G jest równy indeksowi Witta dla q (maksymalny wymiar izotropowej podprzestrzeni nad k ). Tak więc prosta grupa G jest podzielona na k wtedy i tylko wtedy, gdy q ma maksymalny możliwy indeks Witta, .${\ Displaystyle G_ {\ overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle \lpodłoga n/2\rpodłoga}$
• Każda centralna algebra prosta A nad k wyznacza grupę redukcyjną G = SL (1, A ), jądro normy zredukowanej na grupie jednostek A * (jako grupę algebraiczną nad k ). Stopień od A oznacza pierwiastek kwadratowy z wymiarem A jako k przestrzeni-vector. Tutaj G jest proste, jeśli A ma stopień n co najmniej 2, ponieważ jest izomorficzny z SL ( n ) over . Jeśli A ma indeks r (oznaczający, że A jest izomorficzny z algebrą macierzy M _{n / r} ( D ) dla algebry dzielenia D stopnia r przez k ), to k -rząd G wynosi ( n / r ) − 1. Tak więc prosta grupa G jest dzielona przez k wtedy i tylko wtedy, gdy A jest algebrą macierzową nad k .${\ Displaystyle G_ {\ overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

W rezultacie problem klasyfikowania grup redukcyjnych nad k zasadniczo obejmuje problem klasyfikowania wszystkich form kwadratowych nad k lub wszystkich centralnych algebr prostych nad k . Te problemy są łatwe dla k algebraicznie domkniętych i są zrozumiałe dla niektórych innych pól, takich jak pola liczbowe, ale dla dowolnych pól istnieje wiele otwartych pytań.

Grupa redukcyjna nad polem k jest nazywana izotropową, jeśli ma k- rank większy niż 0 (to znaczy, jeśli zawiera nietrywialny torus podzielony), a w przeciwnym razie jest anizotropowa . Dla grupy półprostej G nad ciałem k równoważne są następujące warunki:

• G jest izotropowy (to znaczy G zawiera kopię grupy multiplikatywnej G _m nad k );
• G zawiera podgrupę paraboliczną nad k nierównym G ;
• G zawiera kopię grupy dodatków G _a nad k .

Dla k perfect jest również równoważne powiedzeniu, że G ( k ) zawiera element unipotentny inny niż 1.

Dla połączonej liniowej grupy algebraicznej G nad lokalnym ciałem k o charakterystycznej zerowej charakterystyce (takiej jak liczby rzeczywiste), grupa G ( k ) jest zwarta w topologii klasycznej (opartej na topologii k ) wtedy i tylko wtedy, gdy G jest redukcyjna i anizotropowy. Przykład: grupa ortogonalna SO ( p , q ) nad R ma rzeczywistą rangę min( p , q ), a więc jest anizotropowa wtedy i tylko wtedy, gdy p lub q wynosi zero.

Grupa redukcyjna G nad ciałem k nazywana jest quasi-splitem, jeśli zawiera podgrupę borelowską nad k . Podzielona grupa redukcyjna jest quasi-rozdzielona. Jeśli G jest quasi-rozdzielone na k , to dowolne dwie borelowskie podgrupy G są sprzężone przez pewien element G ( k ). Przykład: grupa ortogonalna SO ( p , q ) nad R jest dzielona wtedy i tylko wtedy, gdy | p − q | ≤ 1 i jest quasi-rozdzielona wtedy i tylko wtedy, gdy | p − q | ≤ 2.

Struktura grup półprostych jako grup abstrakcyjnych

Dla prostu podłączone podzielonym półprosty grupy G nad polem k , Robert Steinberg dał wyraźne przedstawienie streszczenia grupy G ( k ). Jest generowany przez kopie grupy addytywnej k indeksowanej przez pierwiastki G (podgrupy pierwiastków), z relacjami określonymi przez diagram Dynkina G .

Dla po prostu połączonej podzielonej grupy półprostej G nad ciałem idealnym k Steinberg wyznaczył również grupę automorfizmu grupy abstrakcyjnej G ( k ). Każdy automorfizm jest iloczynem automorfizmu wewnętrznego , automorfizmu diagonalnego (oznaczającego sprzężenie przez odpowiedni punkt torusa maksymalnego), automorfizmu grafu (odpowiadającego automorfizmowi diagramu Dynkina) oraz automorfizmu pola (pochodzącego z automorfizmu pola k ). ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Dla k -Prosty algebraiczne grupy G , prostota twierdzenie cyce męska mówi, że streszczenie grupa G ( k ) jest blisko są one proste, w łagodnych założeniach. Załóżmy mianowicie, że G jest izotropowe względem k i załóżmy, że pole k ma co najmniej 4 elementy. Niech G ( k ) ⁺ być podgrupa abstrakcyjnej grupy G ( k ) generowanego przez k punktu procentowego egzemplarzy dodatku grupy G nad K zawarte w G . (Przy założeniu, że G jest izotropowy nad k , grupa G ( k ) ⁺ jest nietrywialna, a nawet Zariski gęsta w G, jeśli k jest nieskończone.) Wtedy grupa ilorazowa G ( k ) ⁺ przez jej środek jest prosta (jak grupa abstrakcyjna). Dowód wykorzystuje maszynerię par BN Jacquesa Titsa .

Wyjątki dla pól rzędu 2 lub 3 są dobrze zrozumiane. Dla k = F ₂ twierdzenie o prostocie Titsa pozostaje ważne, z wyjątkiem sytuacji, gdy G jest dzielony typu A ₁ , B ₂ lub G ₂ , lub niepodzielony (czyli unitarny) typu A ₂ . Dla k = F ₃ , twierdzenie jest prawdziwe z wyjątkiem G typu A ₁ .

Dla k- grupy prostej G , aby zrozumieć całą grupę G ( k ), można rozważyć grupę Whiteheada W ( k , G )= G ( k )/ G ( k ) ⁺ . Dla G po prostu połączonego i quasi-rozdzielonego, grupa Whiteheada jest trywialna, a więc cała grupa G ( k ) jest po prostu modulo jej środka. Mówiąc bardziej ogólnie, problem Knesera-Titsa pyta, dla których izotropowych grup k- prostych grupa Whiteheada jest trywialna. We wszystkich znanych przykładach W ( k , G ) jest abelowe.

W przypadku anizotropowej k - prostej grupy G , abstrakcyjna grupa G ( k ) może być daleka od prostej. Na przykład niech D będzie algebrą dzielenia ze środkiem p -addycznym ciałem k . Załóżmy, że wymiar D nad k jest skończony i większy niż 1. Wtedy G = SL (1, D ) jest anizotropową k - grupą prostą. Jak wspomniano powyżej, G ( k ) jest zwarta w klasycznej topologii. Ponieważ jest również całkowicie rozłączony , G ( k ) jest grupą skończoną (ale nie skończoną). W rezultacie G ( k ) zawiera nieskończenie wiele normalnych podgrup o skończonym indeksie .

Kraty i grupy arytmetyczne

Niech G będzie liniową grupą algebraiczną nad liczbami wymiernymi Q . Następnie G można rozszerzyć do schematu grup afinicznych G nad Z , co określa grupę abstrakcyjną G ( Z ). Grupa arytmetyczna oznacza dowolną podgrupę G ( Q ), która jest współmierna z G ( Z ). (Arytmetyka podgrupy G ( Q ) jest niezależna od wyboru struktury Z. ) Na przykład SL ( n , Z ) jest podgrupą arytmetyczną SL ( n , Q ).

Dla grupy Liego G , sieć w G oznacza dyskretną podgrupę Γ G taką, że rozmaitość G /Γ ma skończoną objętość (w odniesieniu do miary G- niezmiennej). Na przykład dyskretna podgrupa Γ jest siecią, jeśli G /Γ jest zwarta. Twierdzenie Margulisa o arytmetyce mówi w szczególności: dla prostej grupy Liego G o rzeczywistej randze co najmniej 2, każda krata w G jest grupą arytmetyczną.

Akcja Galois na diagramie Dynkina

W dążeniu do sklasyfikowania grup redukcyjnych, które nie muszą być dzielone, jednym krokiem jest wskaźnik Tits , który sprowadza problem do przypadku grup anizotropowych. Ta redukcja uogólnia kilka podstawowych twierdzeń w algebrze. Na przykład twierdzenie Witta o dekompozycji mówi, że niezdegenerowana forma kwadratowa nad polem jest określana aż do izomorfizmu przez jej indeks Witta wraz z jej anizotropowym jądrem. Podobnie twierdzenie Artina-Wedderburna redukuje klasyfikację centralnych algebr prostych nad polem do przypadku algebr dzielenia. Uogólniając te wyniki, Tits wykazał, że grupa redukcyjna nad polem k jest określana aż do izomorfizmu przez jej indeks Titsa wraz z jego anizotropowym jądrem, skojarzoną anizotropową półprostą grupą k .

Do redukcyjnego grupy G na polu k , o absolutnej grupy Galois Gal ( k _e / k ) działa (w sposób ciągły), na „absolutnej” Dynkin schemacie G , to znaczy schemat Dynkin z G ponad rozłączne zamknięcie k _s ( który jest również diagramem Dynkina G nad domknięciem algebraicznym ). Indeks cycki G składa się z głównego odniesienia G _{K s} , działanie Galois na jego schemacie Dynkin oraz Galois niezmienny podzbioru wierzchołków schemacie Dynkin. Tradycyjnie, indeks Titsa rysuje się, zakreślając orbity Galois w danym podzbiorze. ${\displaystyle {\overline {k}}}$

W tych kategoriach istnieje pełna klasyfikacja grup quasi-split. Mianowicie, dla każdego działania absolutnej grupy Galois pola k na diagramie Dynkina istnieje unikatowa, po prostu połączona, półprosta grupa quasi-rozdzielona H nad k z daną akcją. (W przypadku grupy quasi podzielonym na jedno okrążenie Galois na schemacie Dynkin jest kółkiem). Ponadto, dowolny inny po prostu połączone półprosty grupy G przez k z danego działania jest wewnętrzna forma z grupy quasi podziału H , co oznacza, że G jest grupa związana z elementem zbioru kohomologii Galois H ¹ ( k , H / Z ), gdzie Z jest środkiem H . Innymi słowy, G jest skręceniem H związanym z pewnymi H / Z -torsorami nad k , jak omówiono w następnej sekcji.

Przykład: Niech q będzie niezdegenerowaną postacią kwadratową o parzystym wymiarze 2 n nad ciałem k o charakterystyce nie 2, przy n ≥ 5. (Tych ograniczeń można uniknąć.) Niech G będzie prostą grupą SO ( q ) nad k . Absolutny diagram Dynkina G jest typu D _n , a więc jego grupa automorfizmu jest rzędu 2, zamieniając dwie „nogi” diagramu D _n . Działanie absolutnego grupy Galois z k na schemacie Dynkin jest trywialne, wtedy i tylko wtedy, gdy podpisany wyróżnik d o Q w k * / ( k *) ² jest trywialne. Jeśli d jest nietrywialne, to jest zakodowane w akcji Galois na diagramie Dynkina: podgrupa indeksu-2 grupy Galois, która działa jako tożsamość, to . Grupa G jest dzielona wtedy i tylko wtedy, gdy q ma indeks Witta n , czyli maksimum możliwe, a G jest quasi-podział wtedy i tylko wtedy, gdy q ma indeks Witta co najmniej n − 1. ${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} (k_ {s} / k ({\ sqrt {d}})) \ podzbiór \ operatorname {Gal} (k_ {s} / k)}$

Torsory i zasada Hassego

Torsor dla afinicznej programu grupy G nad polem k oznacza pokrewieństwa schemat X nad k z krytym działania z G taki, że jest izomorficzna z działaniem na siebie przez lewe tłumaczenia. Torsor może być również postrzegany jako główny pakiet G nad k w odniesieniu do topologii fppf na k lub topologii étale, jeśli G jest gładkie nad k . Spiczasty zestaw klas izomorfizm G -torsors ponad k nazywa się H ¹ ( k , G ), w języku kohomologiami Galois. ${\ Displaystyle X_ {\ overline {k}}}$${\ Displaystyle G_ {\ overline {k}}}$${\ Displaystyle G_ {\ overline {k}}}$

Torsory powstają za każdym razem, gdy próbuje się sklasyfikować formy danego obiektu algebraicznego Y nad ciałem k , co oznacza obiekty X nad k, które stają się izomorficzne z Y po algebraicznym domknięciu k . Mianowicie takie formy (aż do izomorfizmu) odpowiadają jeden do jednego ze zbiorem H ¹ ( k ,Aut( Y )). Na przykład (niezdegenerowane) formy kwadratowe wymiaru n nad k są klasyfikowane przez H ¹ ( k , O ( n ) ), a centralne proste algebry stopnia n nad k są klasyfikowane przez H ¹ ( k , PGL ( n )). Również k -formy danej grupy algebraicznej G (czasami nazywane "skrętami" G ) są klasyfikowane przez H ¹ ( k ,Aut( G )). Te problemy motywują do systematycznego badania G- torsorów, zwłaszcza dla grup redukcyjnych G .

Gdy jest to możliwe, należy liczyć sklasyfikować G -torsors pomocą cohomological niezmienników , które Niezmienniki o wartościach w Galois kohomologiami z abelian grup współczynnika K , H ( k , M ). W tym kierunku Steinberg udowodnił „Przypuszczenie I” Serre'a : dla połączonej liniowej grupy algebraicznej G nad idealnym ciałem o wymiarze kohomologicznym co najwyżej 1, H ¹ ( k , G ) = 1. (Przypadek ciała skończonego był znane wcześniej jako twierdzenie Langa .) Wynika z tego na przykład, że każda grupa redukcyjna nad skończonym polem jest quasi-rozdzielona.

Hipoteza Serre'a II przewiduje, że dla po prostu połączonej półprostej grupy G nad polem o wymiarze kohomologicznym co najwyżej 2, H ¹ ( k , G ) = 1. Hipoteza ta jest znana dla całkowicie urojonego ciała liczbowego (które ma wymiar kohomologiczny 2). Mówiąc bardziej ogólnie, dla każdego pola liczba k , Martin Kneser , Günter Harder i Vladimir Chernousov (1989) potwierdziły zasadę Hasse : dla po prostu podłączony półprosty grupy G na k , mapa

${\ Displaystyle H ^ {1} (k, G) \ do \ prod _ {v} H ^ {1} (k_ {v}, G)}$

jest bijektywna. Tutaj V przebiega nad wszystkich miejscach, w k i k _V jest odpowiednie pole lokalne (ewentualnie R lub C ). Co więcej, zbiór zaostrzony H ¹ ( k _v , G ) jest trywialny dla każdego niearchimidzkiego pola lokalnego k _v , a więc tylko rzeczywistych miejsc k materii. Analogiczny wynik dla globalnego pola k o dodatniej charakterystyce został udowodniony wcześniej przez Hardera (1975): dla każdej prostej połączonej grupy półprostej G nad k , H ¹ ( k , G ) jest trywialne (ponieważ k nie ma rzeczywistych miejsc).

W nieco innym przypadku grupy sprzężonej G nad polem liczbowym k zasada Hassego obowiązuje w słabszej formie: odwzorowanie naturalne

${\ Displaystyle H ^ {1} (k, G) \ do \ prod _ {v} H ^ {1} (k_ {v}, G)}$

jest iniekcyjna. Dla G = PGL ( n ) sprowadza się to do twierdzenia Alberta-Brauera-Hasse-Noetha , mówiącego, że centralna algebra prosta nad ciałem liczbowym jest określona przez jej lokalne niezmienniki.

Opierając się na zasadzie Hassego, klasyfikacja grup półprostych względem pól liczbowych jest dobrze zrozumiana. Na przykład istnieją dokładnie trzy formy Q grupy wyjątkowej E ₈ , odpowiadające trzem formom rzeczywistym E ₈ .

Zobacz też

• Do grupy typu Lie to skończonych grup prostych zbudowane z prostych grup algebraicznych nad polami skończonych.
• Uogólnione różne flagi , dekompozycja G. Bruhat , różnorodność Schubert , Schubert rachunek
• Algebra Schura , teoria Deligne'a-Lusztiga
• Prawdziwa forma (teoria kłamstwa)
• Przypuszczenie Weila na temat liczb Tamagawy
• Klasyfikacja Langlands , Langlands podwójna grupa , Program Langlands , geometryczny Program Langlands
• Grupa specjalna , wymiar zasadniczy
• Geometryczna teoria niezmienna , Luna plaster twierdzenie , twierdzenie Haboush za
• Radykał grupy algebraicznej

Uwagi

Bibliografia

• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups , Graduate Texts in Mathematics, 126 (2nd ed.), New York: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 , ISBN 0-387-97370-2, MR  1102012
• Borel, Armand ; Cycki, Jacques (1971), „Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I.”, Inventiones Mathematicae , 12 : 95-104, Bibcode : 1971InMat..12...95B , doi : 10.1007/BF01404653 , MR  0294349
• Chevalley, Claude (2005) [1958], Cartier, P. (red.), Classification des groupes algébriques semi-simples , Collected Works, tom. 3, Springer Nature , ISBN 3-540-23031-9, MR  2124841
• Conrad, Brian (2014), "Schematy grup redukcyjnych" (PDF) , Autour des schémas en groupes , 1 , Paryż: Société Mathématique de France , s. 93-444. ISBN 978-2-85629-794-0, MR  3309122
• Demazur, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tom I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , Paryż: Masson, ISBN 978-2225616662, numer MR  0302656
• Demazur, M .; Grothendieck, A. (2011) [1970]. Gille, P.; Polo, P. (red.). Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés générales des schémas en groupes . Société Mathématique de France . Numer ISBN 978-2-85629-323-2. MR  2867621 . Poprawione i opatrzone adnotacjami wydanie oryginału z 1970 roku.
• Demazur, M .; Grothendieck, A. (1970). Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes génééraux . Notatki z wykładu z matematyki. 152 . Berlin; Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0059005 . Numer ISBN 978-3540051800. MR  0274459 .
• Demazur, M .; Grothendieck, A. (2011) [1970]. Gille, P.; Polo, P. (red.). Schémas en groupes (SGA 3), III: Structure des schémas en groupes réductifs . Société Mathématique de France . Numer ISBN 978-2-85629-324-9. MR  2867622 . Poprawione i opatrzone adnotacjami wydanie oryginału z 1970 roku.
• Gille, Philippe (2009), "Problem z knezerem-cycki" (PDF) , Seminarium Bourbaki. Tom. 2007/2008 , Astérisque, 326 , Société Mathématique de France , s. 39-81, ISBN 978-285629-269-3, MR  2605318
• Jantzen, Jens Carsten (2003) [1987], Reprezentacje grup algebraicznych (2nd ed.), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3527-2, MR  2015057
• Milne, JS (2017), Grupy algebraiczne: teoria schematów grupowych typu skończonego nad polem , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483, MR  3729270
• Płatonow, Włodzimierz ; Rapinchuk, Andrei (1994), Grupy algebraiczne i teoria liczb , Academic Press , ISBN 0-12-558180-7, MR  1278263
• VL Popov (2001) [1994], "Grupa redukcyjna" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Riche, Szymonie; Williamson, Geordie (2018), przechylania Moduły i p -Canonical Basis , Astérisque, 397 , Société Mathématique de France , arXiv : +1.512,08296 , bibcode : 2015arXiv151208296R , ISBN 978-2-85629-880-0
• Springer, Tonny A. (1979), "Grupy redukcyjne" , Formy automorficzne, reprezentacje i L -funkcje , 1 , American Mathematical Society , s. 3-27, ISBN 0-8218-3347-2, numer MR  0546587
• Springer, Tonny A. (1998), Liniowe Grupy Algebraiczne , Postęp w Matematyce, 9 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4840-4 , ISBN 978-0-8176-4021-7, MR  1642713
• Steinberg, Robert (1965), „Regularne elementy półprostych grup algebraicznych” , Publikacje Mathématiques de l'IHÉS , 25 : 49-80, doi : 10.1007/bf02684397 , MR  0180554
• Steinberg, Robert (2016) [1968], Lectures on Chevalley Groups , University Lecture Series, 66 , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , doi : 10.1090/ulect/066 , ISBN 978-1-4704-3105-1, MR  3616493
• Cycki, Jacques (1964), „Algebraiczne i abstrakcyjne grupy proste”, Annals of Mathematics , 80 (2): 313-329, doi : 10.2307/1970394 , JSTOR  1970394 , MR  0164968

Zewnętrzne linki

• Demazur, M .; Grothendieck, A. , Gille, P.; Polo, P. (red.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes génééraux Poprawione i opatrzone adnotacjami wydanie oryginału z 1970 roku.