Prosty kompleks - Simplicial complex

W matematyce , A kompleksu symplicjalnego to zestaw składa się z punktów , odcinków , trójkąty i ich n odpowiedniki wymiarową (patrz rysunek). Kompleksów symplicjalnych nie należy mylić z bardziej abstrakcyjnym pojęciem zbioru symplicjalnego, pojawiającym się we współczesnej teorii homotopii symplicjalnej . Czysto kombinatoryczny odpowiednik kompleksu symplicjalnego jest abstrakcyjnym kompleksem symplicjalnym .

Definicje

Symplicjalnego złożony jest zestaw simplices , który spełnia następujące warunki: ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

1. Każda twarz simpleksu z jest również w .${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

2. Niepuste przecięcie dowolnych dwóch simplices jest twarzą obu i .${\ Displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ w {\ matematyczny {K}}}$${\displaystyle \sigma_{1}}$${\displaystyle \sigma_{2}}$

Zobacz także definicję abstrakcyjnego kompleksu symplicjalnego , który w luźny sposób jest kompleksem symplicjalnym bez powiązanej geometrii.

Symplicjalnego k -complex Jest to kompleks symplicjalnego gdzie największy wymiar w dowolnym simplex jest równy k . Na przykład, simplicial 2-kompleks musi zawierać co najmniej jeden trójkąt i nie może zawierać żadnych czworościanów ani wielowymiarowych simpliców. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Czysty lub jednorodny symplicjalnego k -complex Jest to kompleks symplicjalnego gdzie każdy simplex wymiaru mniej niż k jest twarz jakiejś simplex wymiaru dokładnie k . Nieformalnie, czystym 1-Complex „wygląda” jak to jest zrobione z bandą linii, a 2-Complex „wygląda” jak to jest zrobione z bandą trójkąty itp przykładem nieprzestrzegania -homogeneous kompleksu jest trójkąt z A segment linii dołączony do jednego z jego wierzchołków. Czyste kompleksy symplicjalne mogą być traktowane jako triangulacje i zapewniają definicję politopów . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\ Displaystyle \ sigma \ w {\ matematyczny {K}}}$

Aspekt jakikolwiek pospolitej w ośrodku, który jest nie twarz każdej większej simplex. (Zwróć uwagę na różnicę w stosunku do „twarzy” simpleksu). Czysty kompleks symplicjalny można traktować jako kompleks, w którym wszystkie aspekty mają ten sam wymiar.

Czasami termin twarz jest używany w odniesieniu do simpleksu złożonego, nie należy go mylić z twarzą simpleksu.

W przypadku prostego kompleksu osadzonego w k- wymiarowej przestrzeni, k- ściany są czasami nazywane jego komórkami . Termin komórka jest czasami używany w szerszym znaczeniu na oznaczenie zbioru homeomorficznego na simpleks, co prowadzi do definicji kompleksu komórkowego .

Przestrzeń leżąca u jej podstaw , czasami nazywana nośnikiem kompleksu simplicjalnego, jest połączeniem jego prostoty.

Zamknięcie, gwiazdka i link

• 

  Dwie prostoty i ich zamknięcie .

• 

  Wierzchołek i jego gwiazda .

• 

  Wierzchołek i jego związek .

Niech K będzie złożonym symplicjalnym i niech S będzie zbiorem sympliców w K .

Zamknięcie z S (oznaczone ) jest najmniejszym z symplicjalnego subcomplex K , który zawiera co pospolitej w S . uzyskuje się przez wielokrotne dodawanie do S każdej ściany każdego simpleksu w S . ${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} \ S}$${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} \ S}$

Gwiazda z S (oznaczone ) to związek z gwiazd w każdej simplex S . Dla pojedynczego simpleksu s , gwiazda s jest zbiorem simpleksów, w których s jest twarzą. Gwiazda S generalnie sama w sobie nie jest kompleksem symplicjalnym, więc niektórzy autorzy definiują zamkniętą gwiazdę S (oznaczoną jako ) jako zamknięcie gwiazdy S. ${\ Displaystyle \ operatorname {st} \ S}$${\ Displaystyle \ operatorname {St} \ S}$${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} \ \ operatorname {st} \ S}$

Związek o S (oznaczone ) jest równa . Jest to zamknięta gwiazda S minus gwiazdy wszystkich ścian S . ${\ Displaystyle \ operatorname {Lk} \ S}$${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} \ \ operatorname {st} \ S \ setminus \ operatorname {st} \ \ operatorname {Cl} \ S}$

Topologia algebraiczna

W topologii algebraicznej kompleksy symplicjalne są często przydatne do obliczeń konkretnych. Aby zdefiniować grupy homologii kompleksu simplicjalnego , można bezpośrednio odczytać odpowiedni kompleks łańcuchowy , pod warunkiem, że wszystkie symplice są zgodne. Wymagania teorii homotopii prowadzą do użycia bardziej ogólnych przestrzeni, kompleksów CW . Kompleksy nieskończone są podstawowym narzędziem technicznym w topologii algebraicznej. Zobacz także omówienie w Polytope kompleksów symplicjalnych jako podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej złożonej z podzbiorów, z których każdy jest simpleksem . Ta nieco bardziej konkretna koncepcja przypisywana jest Aleksandrowowi . Każdy skończony kompleks symplicjalny w sensie, o którym tu mowa, może być osadzony jako wielokąt w tym sensie, w pewnej dużej liczbie wymiarów. W topologii algebraicznej zwarta przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna dla geometrycznej realizacji skończonego kompleksu symplicjalnego, jest zwykle nazywana wielościanem (patrz Spanier 1966 , Maunder 1996 , Hilton i Wylie 1967 ).

Kombinatoryka

Combinatorialists często badać f -wektor o symplicjalnego d kompleks §, która jest liczbą całkowitą sekwencję , w której M _i oznacza liczbę od ( i -1) -wymiarowych powierzchnie § (umownie f ₀  = 1, o ile jest Δ pusty kompleks). Na przykład, jeśli Δ jest granicą ośmiościanu , to jego wektor f wynosi (1, 6, 12, 8), a jeśli Δ jest pierwszym złożonym symplicjalnym przedstawionym powyżej, jego wektor f wynosi (1, 18, 23 , 8, 1). Pełną charakterystykę możliwych f- wektorów kompleksów symplicjalnych podaje twierdzenie Kruskala-Katona . ${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots,f_{d+1})}$

Używając wektora f prostego d- kompleksu Δ jako współczynników wielomianu (zapisanego w malejącej kolejności wykładników), otrzymujemy f-wielomian Δ. W naszych dwóch powyższych przykładach f- wielomianami byłyby odpowiednio i . ${\ Displaystyle x ^ {3} + 6 x ^ {2} + 12 x + 8}$${\ Displaystyle x ^ {4} + 18 x ^ {3} + 23 x ^ {2} + 8 x + 1}$

Kombinatorzy są często zainteresowani wektorem h złożonego symplicjalnego Δ, który jest ciągiem współczynników wielomianu, który wynika z wstawienia x  − 1 do f -wielomianu Δ. Formalnie, jeśli napiszemy, że F _Δ ( x ) oznacza wielomian f Δ, to wielomian h Δ jest

${\ Displaystyle F_ {\ Delta} (x-1) = h_ {0}x ^ {d + 1} + h_ {1} x ^ {d} + h_ {2} x ^ {d-1} + \ cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

a h -wektor Δ to

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots,h_{d+1}).}$

Obliczamy wektor h granicy ośmiościanu (nasz pierwszy przykład) w następujący sposób:

${\ Displaystyle F (x-1) = (x-1) ^ {3} + 6 (x-1) ^ {2} + 12 (x-1) + 8 = x ^ {3} + 3 x ^ {2} }+3x+1.}$

Zatem h -wektor granicy ośmiościanu to (1, 3, 3, 1). To nie przypadek, że ten wektor h jest symetryczny. W rzeczywistości dzieje się tak, gdy Δ jest granicą prostego polytope (są to równania Dehna-Sommerville'a ). Ogólnie jednak wektor h kompleksu symplicjalnego niekoniecznie jest dodatni. Na przykład, jeśli przyjmiemy, że Δ to 2-zespół złożony przez dwa trójkąty przecinające się tylko we wspólnym wierzchołku, otrzymany wektor h to (1, 3, −2).

Pełną charakterystykę wszystkich symplicjalnego Polytope h -vectors jest przez słynnego g-twierdzenia o Stanley , Billera i Lee.

Można zauważyć, że proste kompleksy mają taką samą strukturę geometryczną, jak wykres kontaktowy upakowania kuli (wykres, w którym wierzchołki są środkami kulek, a krawędzie istnieją, jeśli odpowiednie elementy upakowania stykają się ze sobą) i jako takie mogą być użyte do określenia kombinatoryka opakowań sferycznych , taka jak liczba stykających się par (1-simplice), stykających się trojaczków (2-simplice) i stykających się czwórek (3-simplice) w opakowaniu sferycznym.

Zobacz też

• Abstrakcyjny kompleks symplicjalny
• Podział barycentryczny
• Przyczynowa triangulacja dynamiczna
• Zestaw delta
• Łańcuch wielokątny  – jednowymiarowy kompleks symplicjalny
• Lemat Tuckera

Bibliografia

• Spanier, Edwin H. (1966), Topologia algebraiczna , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Maunder, Charles RF (1996), Topologia algebraiczna (Przedruk z 1980 ed.), Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-69131-4, MR  1402473
• Hilton, Peter J .; Wylie, Shaun (1967), Teoria homologii , New York: Cambridge University Press , ISBN 0-521-09422-4, MR  0115161

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. "Simplicial Complex" . MatematykaŚwiat .
• Normana J. Wildbergera. „Simplice i simplicjalne kompleksy”. Rozmowa na Youtube. .