Maksymalny kompaktowy podgrupa - Maximal compact subgroup

W matematyce , A ilość zwarty podgrupy K o topologii grupie G jest podgrupa K , która jest zwarta , w topologii podprzestrzeni i maksymalnych wśród tych podgrup.

Maksymalne kompaktowe podgrupy odgrywają ważną rolę w klasyfikacji grup Lie i zwłaszcza pół-prostych grup Lie. Maksymalne kompaktowe podgrupy grup Liego są nie w ogóle wyjątkowy, ale są unikalne do koniugacji - są w zasadzie unikatowe .

Przykład

Przykładem może być O podgrupie (2), przy czym prostopadłe grupa wewnątrz ogólnej grupy liniowego GL (2, R ). Powiązanym przykładem jest grupa koło SO (2) wewnątrz SL (2, R ) . Ewidentnie (2) wewnątrz GL (2, R ) jest zwarta, a nie ilość. Non-wyjątkowość tych przykładów widać, jak każdy produkt wewnątrz posiada powiązaną ortogonalną grupę, a zasadniczą wyjątkowość odpowiada zasadniczej niepowtarzalność produktu wewnętrznej.

Definicja

Maksymalnym zwarty podgrupa jest podgrupą między maksymalną kompaktowych podgrupy - ilość (Compact podgrupy) - a nie jest (alternatywna możliwość odczytu) ą ilość podgrupy , co dzieje się zwarty; który prawdopodobnie nazwać kompaktowy (maksymalna podgrupa) , ale w żadnym wypadku nie jest to zamierzone znaczenie (i faktycznie maksymalne odpowiednie podgrupy w ogóle nie są zwarte).

Istnienie i jednoznaczność

Twierdzenie Cartan-Iwasawa-Malcev twierdzi, że każda połączona grupa Lie (i rzeczywiście każdy podłączony lokalnie zwartą grupę) przyznaje maksymalne kompaktowe podgrup i że wszystkie one są sprzężone ze sobą. Dla półprosty grupy Lie wyjątkowości jest konsekwencją Cartan stałego punktu twierdzenia , który twierdzi, że jeśli grupa działa poprzez kompaktowy izometrii na pełnym prostu podłączony negatywnie zakrzywionej riemannowskiej kolektora to ma punkt stały.

Maksymalne kompaktowe podgrupy połączonych Lie grup zwykle nie wyjątkowy, ale są one unikatowe do koniugacji, co oznacza, że podane dwie maksymalne kompaktowych podgrupy K i L , znajduje się element gG , tak że GKG -1 = L - stąd ilość zwarty podgrupa jest w istocie unikalny , a ludzie często mówią o „maksymalnej” kompaktowej podgrupy.

W przykładzie, w ogólnej grupy liniowego GL ( n , R ), to wynika z tego, że każdy wewnętrzny produkt o R n definiuje (zwarta) Grupa ortogonalne (jego grupy Izometria) - i, że przepuszcza się podstawę ortonormalną: zmianę podstawy wyznacza element koniugujące sprzęgania grupy izometria klasycznej ortogonalne grupy o ( n , R ).

dowody

Dla prawdziwego półprosty grupy Lie, dowód Cartan użytkownika o istnieniu i jednoznaczności maksymalnym kompaktowej podgrupy można znaleźć w Borel (1950) i Helgason (1978) . Cartier (1955) i Hochschild (1965) dyskutować przedłużenie do połączonych grup Lie i podłączone lokalnie zwartej grupy.

Dla grup półprosty istnienie jest konsekwencją istnienia zwartej realnej postaci z niezagęszczonymi półprosty grupy Lie i odpowiedni rozkład Cartan . Dowód wyjątkowość polega na tym, że odpowiedni riemannowski symetryczny przestrzeń G / K ma krzywiznę ujemną i stałe punkt twierdzenie Cartan za. Mostów (1955) wykazali, że pochodną wykładniczej mapie w dowolnym punkcie G / K spełnia d exp | X | ≥ | X |. Oznacza to, że G / K jest przestrzeń Hadamard , czyli przestrzeni metrycznej zupełnej spełniającej osłabioną formę reguły równoległoboku w przestrzeni euklidesowej. Wyjątkowość może być wyprowadzana z G. Bruhat-Tits stałoprzecinkowe twierdzenia . Rzeczywiście, każdy zbiór ograniczony zamknięty w przestrzeni Hadamarda zawarta jest w wyjątkowym najmniejszej zamkniętej kuli, której środek jest nazywany jego circumcenter . Szczególnie zwarta grupa stanowiąc izometrii musi naprawić circumcenter z każdej ze swoich orbit.

Dowód jednoznaczności dla grup półprosty

Mostów (1955) również związane z ogólnym problemem dla grup półprosty w przypadku GL ( n , R ). Odpowiadające miejsca symetryczne jest przestrzeń pozytywnych matryc symetrycznych. Bezpośrednim dowodem na wyjątkowość polegać na właściwości elementarnych tej przestrzeni podano w Hilgert & Neeb (2012) .

Niech być prawdziwym półprosty Lie algebra z Cartan inwolucji Ď. W ten sposób ustalony punkt podgrupy z Ď jest maksymalna zwarty podgrupy K i nie ma rozkład eigenspace

gdzie , algebra Lie od K , to +1 eigenspace. Rozkład Cartan daje

Jeśli B jest forma Zabijanie na podaje B ( X , T ) = Tr (AD X) (ad Y), a następnie

Jest to prawdziwy produkt na wewnętrzną . Zgodnie z przedstawieniem dołączona, K jest podgrupa G zachowuje tę wewnętrzną produktu.

Jeśli H jest innym zwartym podgrupa G , a następnie uśrednienie wewnętrznej wyrobu do H w stosunku do środka Haar daje wewnętrzną niezmiennik produkt pod H . Operatorzy Ad p z p w P są dodatnie operatory symetryczne. Ta nowa wewnętrzna produst można zapisać jako

gdzie S jest dodatnią operatora symetryczny w taki sposób, że reklama ( h ) t S ad H = S o h w H (z transponuje obliczonych w odniesieniu do produktu wewnętrznej). Ponadto, w przypadku X, w G ,

Więc dla h w H ,

Dla X w definiować

Jeżeli E i jest podstawą ortonormalną z wektorów własnych dla S z Se i = λ i e ı , a następnie

tak, że f jest ściśle dodatnie i dąży do ∞ jako | X | zazwyczaj ∞. W rzeczywistości ta norma jest równoważna z normą operatora na symetrycznym operatorzy reklam X i każdej niezerowej wartości własnej następuje z jego negatywny, bo reklama X jest operator pochylać-adjoint na kompaktowej formie rzeczywistym .

Więc f ma globalny minimum na Y powiedzieć. Ta minimalna jest wyjątkowy, ponieważ jeśli Z była inna następnie

gdzie X w jest określone przez rozkład Cartan

Jeśli f i jest podstawą ortonormalną z wektory własne ad X z odpowiadającymi rzeczywistych wartości własnych jj, I , a następnie

Ponieważ prawa strona jest dodatnia kombinacja exponentials, prawdziwy wycenione funkcja g jest ściśle wypukła , jeśli X ≠ 0, więc posiada unikalny minimum. Z drugiej strony, ma lokalne minima w t = 0 i t = 1, a zatem x = 0 i P = Exp Y jest unikalny globalne minimum. Konstrukcyjnie f ( x ) = f (σ ( H ) XH, -1 ) przez H w H tak, że p = σ ( h ), k -1 o h w H . Stąd σ ( H ) = php -1 . W konsekwencji, jeżeli g exp Y / 2 ghg -1 mocuje się σ, a więc leży w K .

Aplikacje

teoria reprezentacji

Maksymalne kompaktowe podgrupy odgrywają podstawową rolę w teorii reprezentacji , gdy G nie jest zwarta. W tym przypadku maksymalna zwarty podgrupy K jest zwarty zespół Lie (od zamkniętego podgrupę grupy Lie grupę lic), na którym teoria jest łatwiejsze.

Operacje związane z teorii reprezentacji z G i Kograniczenia przedstawienia od G do K oraz indukowania reprezentacje od K do G , i są bardzo dobrze znane; że ich teoria zawiera z funkcji sferycznych .

topologia

Algebraiczna Topologia grup Lie również w dużej mierze odbywa się maksymalną zwartej podgrupy K . Dla ścisłości, powiązanego z grupą Lie produkt topologicznych (chociaż nie jest to teoretycznie grupy produktów) o maksymalnej zwartej K i euklidesowej przestrzeni - G = k x R d - a więc w szczególności K jest odciągane odkształcenie od G, i równoważne homotopią , a tym samym mają te same grupy homotopy . Rzeczywiście, włączenie i odsunięcie odkształcenia są homotopii równoważności .

Dla ogólnej grupy liniowe, to jest rozkład rozkładu QR i cofanie odkształcenia jest proces Gram-Schmidt . Dla ogólnej grupy Lie półprosty, rozkład jest rozkład Iwasawa z G w G = KAN w którym K występuje w produkcie o skurczu podgrupy AN .

Zobacz też

Uwagi

Referencje

  • Borel Armand (1950), Sous-Groupes wypraski maximaux des groupes de Lie (Ekspozycja nr 33) , Séminaire Bourbaki, 1
  • Zegarków, P. (1955) Structure topologique des groupes de Lie Generalnych (Ekspozycja nr 22) , SEMINAIRE "Sophus Lie" 1
  • Dieudonné, J. (1977), kompaktowe grupy Lie i półprosty grupy Lie rozdział XXI , Traktat analizy, 5 , Academic Press, ISBN  012215505X
  • Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, grupy Liego i symetryczne przestrzenie , Academic Press, ISBN  978-0-12-338460-7
  • Hilgert Joachim; Neeb Karl-Hermann (2012), budowy i geometrii grup Lie monografie Springer w matematyce, Springer, ISBN  0387847944
  • Hochschild, G. (1965), struktura grupy Lie Holden-Day
  • Mostów GD (1955), Niektóre nowe twierdzenia o rozkładzie pół grup prostych , Mem. Amer. Math. Soc., 14 , str. 31-54
  • Onishchik, AL; Vinberg EB (1994), Lie grupy i Lie Algebry III: Struktura i Lie Lie grup algebr , Encyklopedii Nauk matematycznego 41 , Springer, ISBN  9783540546832
  • Malcev, A. (1945), "Z teorii grup Liego w dużym", Mat.Sbornik , 16 : 163-189
  • Iwasawa, K. (1949), "W przypadku niektórych typów grup topologicznych", Ann. Math. , 50 : 507-558, doi : 10,2307 / 1969548