Złożoność (grupa Liego) - Complexification (Lie group)

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Algebry kłamstwa
Półprosta algebra Liego
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstwa w fizyce
Naukowcy Sophus kłamstwo Henri Poincaré Zabijanie Wilhelma Elie Cartan Hermanna Weyla Claude Chevalley Harisz-Chandra Armand Borel
Słownik Tabela grup kłamstw
v t mi

W matematyce , complexification lub uniwersalny complexification z rzeczywistym grupy Lie jest przez ciągłą homomorfizmu grupy do złożonej grupy Lie z majątku powszechnego że każdy ciągły homomorfizm oryginalnej grupy do innej skomplikowanej grupy Lie rozszerza kompatybilność z kompleksowej analitycznych homomorfizm między złożonymi grupami Liego. Złożoność, która zawsze istnieje, jest unikalna aż do unikalnego izomorfizmu . Jego algebra Liego jest ilorazem złożoności algebry Liego grupy pierwotnej. Są izomorficzne, jeśli pierwotna grupa ma iloraz dyskretnej podgrupy normalnej, która jest liniowa.

Dla zwartych grupach Lie The complexification, czasami nazywany complexification Chevalley po Claude Chevalley może być zdefiniowana jako grupa znaków złożonych z Algebra Hopf w funkcji reprezentatywnych , czyli współczynników macierzy skończonych wymiarowej reprezentacji grupy. W każdym skończonym wymiarze, wiernym unitarnym odwzorowaniu grupy zwartej, może być ona konkretnie zrealizowana jako zamknięta podgrupa złożonej ogólnej grupy liniowej . Składa się z operatorów o rozkładzie biegunowym g = u • exp iX , gdzie u jest operatorem unitarnym w grupie zwartej, a X jest operatorem skośnie sprzężonym w swojej algebrze Liego. W tym przypadku kompleksyfikacja jest zespoloną grupą algebraiczną, a jej algebra Liego jest kompleksowaniem algebry Liego zwartej grupy Liego.

Uniwersalna kompleksowość

Definicja

Jeśli G jest grupą Liego, uniwersalna kompleksowość jest dana przez zespoloną grupę Liego G _C i ciągły homomorfizm φ : G → G _C o uniwersalnej własności, że jeśli f : G → H jest dowolnym ciągłym homomorfizmem w złożony Lie grupa H , to istnieje unikalny złożony homomorfizm analityczny F : G _C → H taki , że f = F ∘ φ .

Uniwersalne komplikacje zawsze istnieją i są unikalne aż do unikalnego złożonego izomorfizmu analitycznego (zachowując włączenie pierwotnej grupy).

Istnienie

Jeśli G jest połączone z algebrą Liego 𝖌 , to jego uniwersalna grupa pokrywająca G jest po prostu spójna . Niech G _C będzie po prostu spójną zespoloną grupą Liego z algebrą Liego 𝖌 ⊗ C . Niech Φ : G → G _C będzie naturalnym homomorfizmem, a π : G → G naturalnym odwzorowaniem pokrycia. Wtedy przy danym homomorfizmie f : G → H , istnieje unikalny złożony homomorfizm analityczny E : G _C → H taki , że f ∘ π = E ∘ Φ . Niech K będzie punktem przecięcia jąder homomorfizmów E, ponieważ f zmienia się we wszystkich możliwościach. Wtedy K jest zamkniętą podgrupą normalną Liego z G _C, a grupa ilorazowa jest uniwersalną złożonością. W szczególności, jeśli G jest po prostu połączone, jego uniwersalną złożonością jest właśnie G _C .

Dla niezwiązanego Lie grup G , składnikiem tożsamości G ^ö i grup element Tt = G / G ^O rozszerzenie

${\ Displaystyle \ {1 \} \ rightarrow G ^ {o} \ rightarrow G \ rightarrow \ Gamma \ rightarrow \ {1 \}}$

indukuje rozszerzenie

${\ Displaystyle \ {1 \} \ rightarrow (G ^ {o}) _ {\ mathbf {C}} \ rightarrow G_ {\ mathbf {C}} \ rightarrow \ Gamma \ rightarrow \ {1 \}}$

oraz kompleksu grupa Lie G _C jest complexification z G .

Wyjątkowość

Uniwersalna własność implikuje, że uniwersalna kompleksowość jest unikalna aż do złożonego izomorfizmu analitycznego.

Wstrzykiwanie

Jeśli pierwotna grupa jest liniowa, tak samo jest z uniwersalną złożonością, a homomorfizm między nimi jest inkluzją. Onishchik i Vinberg (1994), uzyskując przykład podłączonego grupy rzeczywistym leżeć którym homomorfizm nie jest różnowartościową nawet na poziomie Lie Algebra: biorą produkt T przez uniwersalną grupę osłonową z SL (2, R ) i współczynnik się przez dyskretną podgrupę cykliczną generowaną przez irracjonalną rotację w pierwszym czynniku i generator centrum w drugim.

Kompleksowość Chevalleyley

Algebra Hopfa współczynników macierzy

Jeśli G jest zwartą grupą Liego, *-algebra A współczynników macierzy skończenie wymiarowych reprezentacji unitarnych jest jednorodnie gęstą *-podalgebrą C ( G ) , *-algebrą funkcji ciągłych o wartościach zespolonych na G . Jest to naturalnie algebra Hopfa ze współmnożeniem podaną przez

${\displaystyle \displaystyle {\delta f(g,h)=f(gh).}}$

Znaki A to *-homomorfizmy A w C . Można je utożsamiać z ocenami punktowymi f ↦ f ( g ) dla g w G, a współmnożenie umożliwia odzyskanie struktury grupy na G. Homomorfizmy od A do C również tworzą grupę. Jest to złożona grupa Lie i może być identyfikowany z complexification G _C z G . I * -algebra generowany jest przez współczynniki macierzy dowolnego wierne odwzorowanie Ď o G . Wynika z tego, że σ definiuje wierną złożoną reprezentację analityczną G _C .

Teoria niezmiennicza

Oryginalne podejście Chevalleya (1946) do komplikacji zwartej grupy Liego można zwięźle określić w języku klasycznej teorii niezmienniczej , opisanej przez Weyla (1946) . Niech G będzie zamkniętą podgrupą unitarnej grupy U ( V ), gdzie V jest skończenie wymiarową, zespoloną przestrzenią produktu wewnętrznego. Jego algebra Liego składa się ze wszystkich operatorów sprzężonych skośnie X takich, że exp tX leży w G dla wszystkich rzeczywistych t . Ustaw W = V ⊕ C z trywialną akcją G na drugą sumę. Grupa G działa na W ^{⊗ N} , z elementem u działającym jako u ^{⊗ N} . Commutant (lub centrujące Algebra) jest oznaczona przez A _N = koniec _G W ^{⊗ N} . Jest ona generowana jako *-algebra przez jej operatory unitarne, a jej przemiennym jest *-algebra rozpięta przez operatory u ^{⊗ N} . Złożoność G _C z G składa się ze wszystkich operatorów g w GL( V ) takich, że g ^{⊗ N} komutuje z A _N i g działa trywialnie na drugą sumę w C . Z definicji jest to zamknięta podgrupa GL( V ) . Relacje definiujące (jako przemienne) pokazują, że G jest podgrupą algebraiczną. Jego przecięcia z U ( V ) , pokrywa się z G , ponieważ jest a priori większy zwarty zespół, dla których nieredukowalnych reprezentacje zostać nierozkładalny i inequivalent kiedy ograniczone do G . Ponieważ A _N jest generowane przez unitarne, odwracalny operator g leży w G _C, jeśli unitarny operator u i dodatni operator p w jego rozkładzie biegunowym g = u ⋅ p leżą w G _C . Zatem u leży w G, a operator p można zapisać jednoznacznie jako p = exp T z T operatorem samosprzężonym. Z rachunku funkcyjnego dla funkcji wielomianowych wynika, że h ^{⊗ N} leży w przemiennej A _N jeśli h = exp z T z z w C . W szczególności, biorąc z czysto urojone, T musi mieć formę iX z X w algebrze Liego z G . Ponieważ każda skończenie wymiarowa reprezentacja G występuje jako bezpośrednia suma W ^{⊗ N} , pozostaje niezmienna przez G _{C ,} a zatem każda skończenie wymiarowa reprezentacja G rozciąga się jednoznacznie do G _C . Rozszerzenie jest zgodne z rozkładem biegunowym. Wreszcie rozkład biegunowy implikuje, że G jest maksymalnie zwartą podgrupą G _C , ponieważ ściśle większa zwarta podgrupa zawierałaby wszystkie potęgi całkowite dodatniego operatora p , zamkniętej nieskończonej dyskretnej podgrupy.

Rozkłady w kompleksowaniu Chevalleya

Rozkład kartanu

Rozkład wyprowadzony z rozkładu polarnego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {G_ {\ mathbf {C}} = G \ cdot P = G \ cdot \ exp i {\ mathfrak {g}}}}$

gdzie 𝖌 jest Algebra Lie z G , jest nazywana rozkładem Cartana z G _C . Wykładniczy czynnik P jest niezmienny w koniugacji przez G, ale nie jest podgrupą. Złożoność jest niezmienna przy przyjmowaniu sprzężeń, ponieważ G składa się z operatorów unitarnych, a P z operatorów dodatnich.

Rozkład Gaussa

Rozkładu Gaussa jest uogólnieniem rozkładu LU do ogólnej grupy liniowe i specjalizacji rozkładu G. Bruhat . Na GL ( V ), to stwierdzono, że w odniesieniu do danego ortonormalnych podstawie e ₁ , ..., e _n element g z GL ( V ) mogą być w postaci factorized

${\displaystyle \displaystyle {g=XDY}}$

z X obniżyć unitriangular , Y górnej unitriangular i D przekątną, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie główne nieletni z g są niezanikające. W tym przypadku X , Y i D są jednoznacznie określone.

W rzeczywistości eliminacja Gaussa pokazuje, że istnieje unikalny X taki, że X- ¹ g jest trójkątem górnym.

Górne i dolne macierze unitargumentowe, N ₊ i N ₋ , są zamkniętymi, unipotentnymi podgrupami GL( V ). Ich algebry Liego składają się z górnych i dolnych macierzy ściśle trójkątnych. Mapowanie wykładnicze jest mapowaniem wielomianowym z algebry Liego do odpowiedniej podgrupy przez nilpotencję. Odwrotność jest dana przez odwzorowanie logarytmiczne, które przez jednomoc jest również odwzorowaniem wielomianowym. W szczególności istnieje zgodność między zamkniętymi połączonymi podgrupami N _± i podalgebrami ich algebr Liego. Odwzorowanie wykładnicze znajduje się w każdym przypadku, ponieważ log funkcji wielomianowej ( e ^A e ^B ) leży w danej podalgebrze Liego, jeśli A i B robią i są wystarczająco małe.

Dekompozycja Gaussa może być rozszerzona na komplikacje innych zamkniętych połączonych podgrup G z U( V ) poprzez użycie dekompozycji pierwiastka do zapisania skompleksowanej algebry Liego jako

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\mathbf {C}}={\mathfrak {n}}_ {-}\oplus {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C}} \oplus {\mathfrak {n}}_{+},}}$

gdzie 𝖙 jest algebrą Liego maksymalnego torusa T z G, a 𝖓 _± są sumą bezpośrednią odpowiednich dodatnich i ujemnych przestrzeni pierwiastków. W rozkładzie V w przestrzeni wagowej jako przestrzenie własne T , 𝖙 działa po przekątnej, 𝖓 ₊ działa jako operatory obniżające, a 𝖓 ₋ jako operatory podnoszenia. 𝖓 _± są nilpotentnymi algebrami Liego pełniącymi rolę nilpotentnych operatorów; są one sprzymierzeńcami na V . W szczególności T działa przez koniugację 𝖓 ₊ , tak że 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ jest półbezpośrednim iloczynem nilpotentnej algebry Liego przez abelową algebrę Liego.

Zgodnie z twierdzeniem Engela , jeśli 𝖆 ⊕ 𝖓 jest produktem półprostym, z 𝖆 abelowym i 𝖓 nilpotentnym, działającymi na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej W z operatorami w 𝖆 diagonalizowalnymi i operatorami w 𝖓 nilpotentnym, istnieje wektor w, który jest wektorem własnym dla 𝖆 i zostaje unicestwiony przez 𝖓 . W rzeczywistości wystarczy pokazać, że istnieje wektor anihilowany przez 𝖓 , który następuje przez indukcję na dim 𝖓 , ponieważ pochodna algebra 𝖓' anihiluje niezerową podprzestrzeń wektorów, na których 𝖓 / 𝖓' i 𝖆 działają z tymi samymi hipotezami .

Stosując ten argument kilkakrotnie 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ wykazuje, że jest to podstawą ortonormalną e ₁ , ..., e _n o V obejmującej wektory własne 𝖙 _C z 𝖓 ₊ działających jako górne trójkątnych macierzy zerami na przekątnej.

Jeśli N _± i T _C są zespolonymi grupami Liego odpowiadającymi 𝖓 ₊ i 𝖙 _C , to rozkład Gaussa stwierdza, że ​​podzbiór

${\ Displaystyle \ Displaystyle {N_ {-} T_ {\ mathbf {C}} N_ {+}}}$

jest produktem bezpośrednim i składa się z elementów w G _C, dla których główne drugorzędne nie znikają. Jest otwarta i gęsta. Co więcej, jeśli T oznacza maksymalny torus w U( V ) ,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {N_ {\ pm } = \ mathbf {N} _ {\ pm} \ czapka G_ {\ mathbf {C}}, \, \, \, T_ {\ mathbf {C}} = \ mathbf {T} _{\mathbf {C} }\cap G_{\mathbf {C} }.}}$

Wyniki te są bezpośrednią konsekwencją odpowiednich wyników dla GL( V ) .

Rozkład Bruhata

Jeśli W = N _G ( T ) / T oznacza grupę Weyl z T i B oznacza Borel PODGRUPA T _C N ₊ , rozkład Gaussa jest również konsekwencją bardziej precyzyjny rozkład G. Bruhat

${\ Displaystyle \ Displaystyle {G_ {\ mathbf {C}} = \ bigcup _ {\ sigma \ w W} B \ sigma B}}$

rozkładającego G- _C w związek rozłącznego z podwójnymi cosets z B . Złożony wymiar podwójnej coset BσB jest określony przez długość σ jako elementu W . Wymiar jest zmaksymalizowany w elemencie Coxetera i daje unikalny, otwarty, gęsty podwójny coset. Jego odwrotna koniugacja B do podgrupy borelowskiej macierzy trójkątnych dolnych w G _C .

Rozkład Bruhata jest łatwy do udowodnienia dla SL( n , C ) . Niech B będzie podgrupą Borelowskich macierzy górnych trójkątnych, a T _C podgrupą macierzy diagonalnych. Tak N ( T _C ) / T _C = S _n . Dla g w SL( n , C ) weź b w B tak, aby bg zmaksymalizował liczbę zer pojawiających się na początku jego wierszy. Ponieważ wielokrotność jednego wiersza można dodać do drugiego, każdy wiersz zawiera inną liczbę zer. Po pomnożeniu przez macierz w w N( T _C ) wynika, że wbg leży w B . Dla jednoznaczności, jeśli w ₁ b w ₂ = b ₀ , wtedy wpisy w ₁ w ₂ znikają poniżej przekątnej. Tak więc produkt leży w T _C , dowodząc wyjątkowości.

Chevalley (1955) wykazał, że wyrażenie g jako g = b ₁ σb ₂ staje się unikatowe, jeśli b ₁ jest ograniczone do górnej podgrupy prostokątnej N _σ = N ₊ ∩ σ N ₋ σ ⁻¹ . W rzeczywistości, jeśli M _σ = N ₊ ∩ σ N ₊ σ ⁻¹ , wynika to z tożsamości

${\ Displaystyle \ Displaystyle {N_ {+} = N_ {\ sigma} \ cdot M_ {\ sigma}.}}$

Grupa N ₊ ma naturalną filtrację przez normalne podgrupy N ₊ ( k ) z zerami w pierwszych k − 1 superprzekątnych i kolejnymi ilorazami są abelowe. Definiując N _σ ( k ) i M _σ ( k ) jako punkty przecięcia z N ₊ ( k ) wynika ze zmniejszenia indukcji na k , że N ₊ ( k ) = N _σ ( k ) ⋅ M _σ ( k ) . Rzeczywiście, N _σ ( k ) N ₊ ( k + 1) i M _σ ( k ) N ₊ ( k + 1) są określone w N ₊ ( k ) przez zniknięcie wpisów uzupełniających ( i , j ) na k th superdiagonal w zależności od tego, czy σ zachowuje porządek i < j, czy nie.

Rozkład Bruhata dla pozostałych klasycznych grup prostych można wywnioskować z powyższej dekompozycji, korzystając z faktu, że są to podgrupy punktów stałych składanych automorfizmów SL( n , C ) . Dla SP ( n , C ) , niech J być n x n macierz 1 'S na antidiagonal i 0 ' y w innym miejscu i zestaw

${\ Displaystyle \ Displaystyle {A = {\ zacząć {pmatrix} 0 i J \ \ - J i 0 \ koniec {pmatrix}}}}$

Wtedy Sp( n , C ) jest podgrupą punktu stałego inwolucji θ ( g ) = A ( g ^t ) ^-1 A ^-1 z SL(2 n , C ) . Pozostawia podgrupy N _± , T _C i B niezmienne. Jeśli elementy bazowe są indeksowane przez n , n −1, ..., 1, −1, ..., − n , to grupa Weyl'a z Sp( n , C ) składa się z σ spełniającego σ ( j ) = − j , czyli dojazd z θ . Analogi B , T _C i N _± są określone przez przecięcie z Sp ( n , C ) , tj. jako punkty stałe θ . Jednoznaczność rozkładu g = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b ) implikuje rozkład Bruhata dla Sp ( n , C ) .

Ten sam argument działa dla SO( n , C ) . Można to zrealizować jako punkty stałe ψ ( g ) = B ( g ^t ) ^-1 B ^-1 w SL( n , C ) gdzie B = J .

Rozkład Iwasawy

Rozkładu Iwasawa

${\ Displaystyle \ Displaystyle {G_ {\ mathbf {C}} = G \ cdot A \ cdot N}}$

daje rozkład dla G _C dla którego, w przeciwieństwie do rozkładu Cartana, czynnik bezpośredni A ⋅ N jest podgrupą zamkniętą, ale nie jest już niezmienniczy w przypadku koniugacji przez G . To iloczynów produkt Spośród nilpotent PODGRUPA N przez abelowej podgrup A .

W przypadku U( V ) i jego złożoności GL( V ) rozkład ten można wyprowadzić jako ponowne przedstawienie procesu ortonormalizacji Grama-Schmidta .

W rzeczywistości niech e ₁ , ..., e _n będzie bazą ortonormalną V i niech g będzie elementem GL( V ) . Stosując proces Gram-Schmidt ge ₁ , ..., ge _n , istnieje unikalna baza ortonormalna f ₁ , ..., f _n i pozytywnych stałych _i takie, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {i} = a_ {i} ge_ {i} + \ suma _ {j<i} n_ {ji} ge_ {j}}}$

Jeśli k jest jednolitym biorąc ( e _I ) do ( f _I ) , wynika, że g ^-1 k leży w podgrupie AA , gdzie jest podgrupa pozytywnych macierze diagonalne, w odniesieniu do ( e _I ) i N jest podgrupa górnych macierzy jednokątnych .

Przy użyciu oznaczenia dla rozkładu Gaussa podgrupy w rozkładzie Iwasawa dla G _C są zdefiniowane

${\displaystyle \displaystyle {A=\exp i{\mathfrak {t}}=\mathbf {A} \cap G_{\mathbf {C}},\,\,\,N=\exp {\mathfrak {n }}_{+}=\mathbf {N} \cap G_{\mathbf {C} }.}}$

Ponieważ rozkład jest bezpośredni dla GL( V ) , wystarczy sprawdzić, czy G _C = GAN . Z własności rozkładu Iwasawy dla GL( V ) , odwzorowanie G × A × N jest dyfeomorfizmem na jego obraz w G _C , który jest zamknięty. Z drugiej strony, rozmiar obrazu jest taka sama jak wymiar G _C , a więc jest również otwarta. Więc G _C = GAN, ponieważ G _C jest połączone.

Zhelobenko (1973) podaje metodę jawnego obliczania elementów w dekompozycji. Dla g w G _C ustaw h = g * g . Jest to pozytywny operator samosprzężony, więc jego główne drugorzędne elementy nie znikają. Dzięki dekompozycji Gaussa można go zatem jednoznacznie zapisać w postaci h = XDY z X w N ₋ , D w T _C i Y w N ₊ . Ponieważ h jest samosprzężone, niepowtarzalność wymusza Y = X * . Ponieważ jest również dodatnie, D musi leżeć w A i mieć postać D = exp iT dla jakiegoś unikalnego T w 𝖙 . Niech a = exp iT /2 będzie jego unikalnym pierwiastkiem kwadratowym w A . Ustaw n = Y i k = g n ^-1 a ^-1 . Wtedy k jest unitarne, tak samo jest w G , a g = kan .

Złożone struktury na jednorodnych przestrzeniach

Rozkład Iwasawa mogą być stosowane w celu opisania złożonych struktur na G - orbity sw złożonej przestrzeni rzutowej z najwyższymi wektorów wagi skończonych trójwymiarowy nieredukowalnych reprezentacji o G . W szczególności identyfikacja między G / T i G _C / B może być użyta do sformułowania twierdzenia Borela-Weila . Stwierdza ona, że każdy irreducible reprezentacja G może zostać pobrane poprzez holomorficzna indukcji od charakteru T , lub równoważnie, że jest realizowany w przestrzeni sekcjach o holomorficzna linii wiązki na G / T .

Zamknięte połączone podgrupy G zawierające T są opisane przez teorię Borel-de Siebenthala . Są to dokładnie te centralizers Tori S ⊆ T . Ponieważ każdy torus jest topologicznie generowane przez pojedynczy element X , są takie same jak centralizers C _G ( X ) elementów X w 𝖙 . Przez wyniku Hopf C _G ( x ), jest zawsze połączony z: w rzeczywistości każdy element Y jest wraz z S zawarty w niektórych torusa maksymalnego koniecznie zawarte w C _G ( x ) .

Biorąc pod uwagę nieredukowalną skończoną reprezentację V _λ o najwyższym wektorze wag v wagi λ , stabilizator C v w G jest zamkniętą podgrupą H . Ponieważ v jest wektorem własnym T , H zawiera T . Complexification G _C również działa na V , a stabilizator jest zamknięty kompleks podgrupy P zawierający T _C . Ponieważ v jest anihilowane przez każdy operator podnoszenia odpowiadający pierwiastkowi dodatniemu α , P zawiera podgrupę borelowską B . Wektor v jest również wektorem o największej wadze dla kopii sl ₂ odpowiadającej α , więc jest anihilowany przez operator obniżający generujący 𝖌 _{− α} jeśli ( λ , α ) = 0 . Algebra Liego p z P jest sumą prostą 𝖙 _C i pierwiastkowych wektorów przestrzennych anihilujących v , tak że

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}\oplus \bigoplus _{(\alfa,\lambda)=0}{\mathfrak {g}}_{-\alfa} .}}$

Algebra Liego dla H = P ∩ G jest dana przez p ∩ 𝖌 . Przez rozkład Iwasawy G _C = GAN . Ponieważ AN ustala C v , orbita G v w złożonej przestrzeni rzutowej V _λ pokrywa się z orbitą G _C i

${\displaystyle \displaystyle {G/H=G_{\mathbf {C}}/P.}}$

W szczególności

${\displaystyle \displaystyle {G/T=G_{\mathbf {C}}/B.}}$

Używając identyfikacji algebry Liego z T z jej dualem, H równa się centralizatorowi λ w G , a zatem jest połączone. Grupa P jest również podłączona. W rzeczywistości przestrzeń G / H jest po prostu spójna, ponieważ można ją zapisać jako iloraz (zwartej) uniwersalnej grupy pokrywającej zwartej grupy półprostej G / Z przez spójną podgrupę, gdzie Z jest środkiem G . Jeżeli P ^O jest składnikiem tożsamość P , G _C / P ma G _C / P ^O jako nakrycie tak, że P = P ^O . Przestrzeń jednorodna G _C / P ma złożoną strukturę, ponieważ P jest złożoną podgrupą. Orbita w złożonej przestrzeni rzutowej jest zamknięta w topologii Zariskiego przez twierdzenie Chowa , więc jest gładką odmianą rzutową. Twierdzenie Borela-Weila i jego uogólnienia są omówione w tym kontekście w Serre (1954) , Helgason (1994) , Duistermaat i Kolk (2000) i Sepanski (2007) .

Paraboliczna podgrupa P może być również zapisana jako suma podwójnych cosetów B

${\ Displaystyle \ Displaystyle {P = \ bigcup _ {\ sigma \ w W_ {\ lambda}} B \ sigma B}}$

gdzie W _λ jest stabilizatorem λ w grupie Weyla W . Jest generowany przez odbicia odpowiadające pierwiastkom prostym ortogonalnym do λ .

Niekompaktowe formy rzeczywiste

Istnieją inne zamknięte podgrupy komplikacji zwartej połączonej grupy Liego G, które mają tę samą algebrę skompleksowaną Liego. Są inne prawdziwe formy z G- _C .

Inwolucje po prostu połączonych kompaktowych grup Liego

Jeśli G jest po prostu spójną zwartą grupą Liego, a σ jest automorfizmem rzędu 2, to podgrupa punktu stałego K = G ^σ jest automatycznie połączona . (W rzeczywistości jest to prawdą dla każdego automorfizmu G , jak pokazano dla automorfizmów wewnętrznych przez Steinberga i ogólnie przez Borela .)

Widać to najbardziej bezpośrednio, gdy inwolucja σ odpowiada symetrycznej przestrzeni hermitowskiej . W takim przypadku σ jest wewnętrzne i realizowane przez element jednoparametrowej podgrupy exp tT zawartej w środku G ^σ . Wewnętrzność σ implikuje, że K zawiera maksymalny torus G , a więc ma maksymalny rząd . Z drugiej strony centralizator podgrupy generowanej przez torus S elementów exp tT jest połączony, ponieważ jeśli x jest dowolnym elementem w K , to istnieje torus maksymalny zawierający x i S , który leży w centralizatorze. Z drugiej strony zawiera K, ponieważ S jest centralne w K i jest zawarte w K, ponieważ z leży w S . Więc K jest centralizatorem S i stąd jest połączony. W szczególności K zawiera środek G .

Dla ogólnej inwolucji σ powiązanie G ^σ można zobaczyć w następujący sposób.

Punktem wyjścia jest abelowa wersja wyniku: jeśli T jest maksymalnym torusem po prostu połączonej grupy G, a σ jest inwolucją pozostawiającą niezmiennik T i wybór pierwiastków dodatnich (lub równoważnie komora Weyla ), to podgrupa punktu stałego T ^σ jest połączony. W rzeczywistości jądro odwzorowania wykładniczego z na T jest kratą Λ z podstawą Z indeksowaną prostymi pierwiastkami, które permutuje σ. Dzieląc według orbit, T można zapisać jako iloczyn terminów T, na których σ działa trywialnie, lub terminów T ^{2, w} których σ zamienia czynniki. Podgrupa punktu stałego odpowiada tylko podgrupom diagonalnym w drugim przypadku, więc jest połączona. ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Niech x będzie dowolnym elementem ustalonym przez σ, niech S będzie torusem maksymalnym w _CG ( x ) ^σ i niech T będzie składnikiem tożsamości _CG ( x , S ). Wtedy T jest torusem maksymalnym w G zawierającym x i S . Jest niezmiennikiem pod σ, a składnik tożsamości T ^σ to S . W rzeczywistości, ponieważ x i S przechodzą, są one zawarte w torusie maksymalnym, który, ponieważ jest połączony, musi leżeć w T . Ze względu na konstrukcję T jest niezmiennikiem pod σ. Składnik tożsamości T ^σ zawiera S , leży w _CG ( x ) ^σ i centralizuje S , więc jest równy S . Ale S jest centralne w T , więc T musi być abelowe, a więc torusem maksymalnym. Bo σ działa jak mnożenie przez −1 w algebrze Liego , więc jest abelowa. ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Dowód jest uzupełniony wykazaniem, że σ zachowuje komorę Weyla powiązaną z T . Bo wtedy T ^σ jest połączone, więc musi być równe S . Stąd x leży w S . Ponieważ x było dowolne, G ^σ musi być zatem połączone.

Aby wytworzyć niezmiennik komory Weyla pod σ, zauważ, że nie ma przestrzeni pierwiastkowej, na której zarówno x, jak i S działały trywialnie, ponieważ byłoby to sprzeczne z faktem, że C _G ( x , S ) ma tę samą algebrę Liego co T . Dlatego musi istnieć element s w S taki, że t = xs działa nietrywialnie na każdą przestrzeń pierwiastkową. W tym przypadku T jest stałym elementem z T -the składnik tożsamości z centrujące w G równy T . Istnieje unikalna alkowa A Weylów w taki sposób, że t leży w exp A, a 0 leży w zamknięciu A . Ponieważ t jest ustalone przez σ, wnęka pozostaje niezmienna przez σ, a zatem również komora C Weyla, która ją zawiera. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Koniugacje na kompleksowość

Niech G będzie po prostu spójną zwartą grupą Liego z kompleksowością G _C . Mapa c ( g ) = ( g *) ^-1 definiuje automorfizm G _C jako rzeczywistą grupę Liego z G jako podgrupą punktu stałego. Jest sprzężony liniowo i spełnia c ² = id. Takie Automorfizmy albo G _C i są nazywane koniugacji . Ponieważ G _C również po prostu połączone dowolną sprzęgania C ₁ na odpowiada unikalnemu automorfizm C ₁ o G- _C . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ mathbf {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ mathbf {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ mathbf {C}}}$

Klasyfikacja koniugacji c ₀ sprowadza się do inwolucji σ z G, ponieważ przy danym a c ₁ istnieje automorfizm the grupy zespolonej G _C taki, że

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}=\varphi \circ c_{1}\circ \varphi ^ {-1}}}$

dojeżdża z c . Koniugacja c ₀ pozostawia następnie G niezmiennik i ogranicza się do inwolucyjnego automorfizmu σ. To samo dotyczy prostej łączności na poziomie algebr Liego. Na poziomie algebry Liego c ₀ można odzyskać z σ za pomocą wzoru

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}(X+iY)=\sigma(X)-i\sigma(Y)}}$

dla X , Y w . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Aby udowodnić istnienie φ niech ψ = c ₁ c jest automorfizmem grupy zespolonej G _C . Na poziomie algebry Liego definiuje operator samosprzężony dla złożonego iloczynu skalarnego

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)=-B(X,c(Y))}}$

gdzie B jest formą zabijania na . Zatem ψ ² jest operatorem dodatnim i automorfizmem wraz ze wszystkimi jego mocami rzeczywistymi. W szczególności wziąć ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ mathbf {C}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi = (\ psi ^ {2}) ^ {1/4}}}$

Spełnia

${\ Displaystyle \ Displaystyle {c_ {0}c = \ varphi c_ {1} \ varphi ^ {-1} c = \ varphi cc_ {1} \ varphi = (\ psi ^ {2}) ^ {1/2} \psi ^{-1}=\varphi ^{-1}cc_{1}\varphi ^{-1}=c\varphi c_{1}\varphi ^{-1}=cc_{0}.}}$

Rozkład kartanu w postaci rzeczywistej

Dla complexification G _C The rozkładu Cartana opisano powyżej. Pochodzi z rozkładu polarnego w złożonej ogólnej grupie liniowej , daje dyfeomorfizm

${\ Displaystyle \ Displaystyle {G_ {\ mathbf {C}} = G \ cdot \ exp i {\ mathfrak {g}} = G \ cdot P = P \ cdot G.}}$

Na G _C znajduje się operator koniugacji c odpowiadający G oraz inwolucja σ komutująca z c . Niech c ₀ = c σ i niech G ₀ będzie podgrupą punktu stałego w c . Jest ona zamknięta w grupie macierzy G _C, a zatem w grupie Liego. Inwolucja σ działa zarówno na G jak i G ₀ . Dla algebry Liego z G istnieje dekompozycja

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

do przestrzeni własnych +1 i -1 σ. Podgrupa punktu stałego K z σ w G jest połączona, ponieważ G jest po prostu połączony. Jego algebra Liego to przestrzeń własna +1 . Algebra Liego z G ₀ jest dana przez ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

a podgrupa punktu stałego σ to znowu K , tak że G ∩ G ₀ = K . W G ₀ występuje rozkład Cartana

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=K\cdot \exp ja {\mathfrak {p}}=K\cdot P_{0}=P_{0}\cdot K}}$

co jest znowu dyfeomorfizmem na prostej i odpowiada polarnemu rozkładowi macierzy. To ograniczenie rozkładu na G _C . Iloczyn daje dyfeomorfizm na zamknięty podzbiór G ₀ . Aby sprawdzić, czy jest surjektywna, dla g w G ₀ napisz g = u ⋅ p gdzie u w G i p w P . Ponieważ c ₀ g = g , unikatowość implikuje, że σ u = u i σ p = p ⁻¹ . Stąd u leży w K i p w P ₀ .

Rozkład Cartana w G ₀ pokazuje, że G ₀ jest połączone, po prostu połączone i niezwarte, z powodu bezpośredniego współczynnika P ₀ . Zatem G ₀ jest niezwartą rzeczywistą półprostą grupą Liego.

Ponadto, mając maksymalną podalgebrę abelową w , A = exp jest podgrupą toralną taką, że σ( a ) = a- ¹ na A ; a dowolne dwa takie są sprzężone przez element K . Właściwości A można pokazać bezpośrednio. A jest domknięte, ponieważ domknięcie A jest podgrupą toralną spełniającą σ( a ) = a- ¹ , więc jego algebra Liego leży i jest równa przez maksimum. A może być generowane topologicznie przez pojedynczy element exp X , podobnie jak centralizator X w . Na orbicie K dowolnego elementu znajduje się element Y taki, że (X,Ad k Y) jest zminimalizowane przy k = 1. Ustalając k = exp tT z T in , wynika z tego, że ( X ,[ T , Y ] ) = 0 i stąd [ X , Y ] = 0, więc Y musi leżeć w . Tak jest zjednoczenie koniugatów . W szczególności niektóre koniugaty X znajdują się w każdym innym wyborze , co centralizuje tę koniugat; więc przez maksymalizację jedynymi możliwościami są koniugaty . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Podobne stwierdzenia dotyczą działania K on w . Ponadto z rozkładu Cartana dla G ₀ , jeśli A ₀ = exp , to ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=KA_{0}K.}}$

Rozkład Iwasawy w postaci rzeczywistej

Zobacz też

• Prawdziwa forma (teoria kłamstwa)

Uwagi

Bibliografia