Centralna algebra prosta - Central simple algebra

W teorii pierścienia i powiązanych dziedzinach matematyki centralny prosty Algebra ( CSA ) nad pola K jest ograniczony trójwymiarowy asocjacyjny K -algebra , który jest prosty , i dla którego środek jest dokładnie K . Jako przykład zauważ, że każda prosta algebra jest centralną prostą algebrą nad swoim środkiem.

Na przykład liczby zespolone C tworzą CSA nad sobą, ale nie nad liczbami rzeczywistymi R (środek C to całe C , a nie tylko R ). W kwaterniony H tworzyć 4-wymiarową CSA nad R , w rzeczywistości stanowią jedynie nietrywialne element grupy Brauer z liczb rzeczywistych (patrz poniżej).

Biorąc pod uwagę dwie centralne proste algebry A ~ M ( n , S ) i B ~ M ( m , T ) na tym samym polu, F , A i B nazywane są podobnymi (lub odpowiednikami Brauera ), jeśli ich pierścienie podziału S i T są izomorficzne. Zbiór wszystkich klas równoważności centralnych algebr prostych na danym polu F , w ramach tej relacji równoważności, można wyposażyć w operację grupową daną iloczynem tensorowym algebr . Otrzymany grupa nazywana jest grupą Brauer br ( F ) pola F . Jest to zawsze grupa skrętna .

Nieruchomości

• Według Artin-Wedderburna twierdzenie skończoną trójwymiarowy prosty Algebra A jest izomorficzny matrycy Algebra M ( N , S ) na jakiś pierścień podział S . Dlatego w każdej klasie równoważności Brauera istnieje unikalna algebra dzielenia.
• Każdy automorfizm centralnej algebry prostej jest automorfizmem wewnętrznym (wynika z twierdzenia Skolema – Noether ).
• Wymiar centralnego prostej algebry jako przestrzeni wektorowej nad jego centrum jest zawsze kwadratowa: the stopień jest pierwiastek kwadratowy z tego wymiaru. Indeks Schur centralnego prostej algebry jest stopień równoważny podział algebry: to zależy tylko od klasy Brauer z algebry.
• Okres lub wykładnik centralnego prosty Algebra jest kolejność tej klasy Brauer jako składnik grupy Brauer. Jest dzielnikiem indeksu, a dwie liczby składają się z tych samych czynników pierwszych.
• Jeżeli S jest prosty podalgebrą centralnego prosty Algebra A następnie dim _K  S dzieli dim _F  A .
• Każda 4-wymiarowa centralna algebra prosta nad ciałem F jest izomorficzna do algebry kwaternionów ; w rzeczywistości jest to algebra macierzowa dwa na dwa lub algebra dzielenia .
• Jeśli D jest algebrą podziału centralnego nad K, dla której indeks ma pierwszą faktoryzację

${\ Displaystyle \ mathrm {ind} (D) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {m_ {i}} \}$

wtedy D ma rozkład produktu tensorowego

${\ Displaystyle D = \ bigotimes _ {i = 1} ^ {r} D_ {i} \}$

gdzie każda składowa D _i jest algebrą centralnego podziału indeksu , a składowe są jednoznacznie określone aż do izomorfizmu.${\ displaystyle p_ {i} ^ {m_ {i}}}$

Pole łupania

Nazywamy polowych E do pola rozdzielający do A przez K , jeśli ⊗ E jest izomorficzny z pierścieniem matrycy na E . Każdy ograniczony CSA wymiarową ma pole łuparki Rzeczywiście, w przypadku, gdy jest Algebra podziału, a następnie ilość podpole o A stanowi pole rozszczepiania. Ogólnie przez twierdzeń Wedderburna i Koethe jest podział na pola, które jest oddzielić przedłużenie od K stopnia równy indeksowi A i pole rozłupujący izomorficzna podpolem A . Na przykład, pole C dzieli algebrę kwaternionów H na R za pomocą

${\ Displaystyle t + x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k} \ leftrightarrow \ left ({\ początek {tablica} {* {20} c} t + xi i y + zi \\ -y + zi & t-xi \ end {tablica}} \ po prawej).}$

Możemy wykorzystać istnienie pola do rozłupywania zdefiniować obniżoną normę i zmniejszoną ślad za CSA A . Odwzoruj A na pierścień macierzowy na polu rozdzielającym i zdefiniuj zredukowaną normę i ślad, aby były złożeniem tej mapy, odpowiednio z wyznacznikiem i śladem. Na przykład w algebrze kwaternionów H powyższy podział pokazuje, że element t + x i + y j + z k ma zredukowaną normę t ² + x ² + y ² + z ² i zredukowany ślad 2 t .

Zredukowana norma jest multiplikatywna, a zredukowany ślad jest addytywny. Element a z A jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego zredukowana norma jest niezerowa: stąd CSA jest algebrą dzielenia wtedy i tylko wtedy, gdy zredukowana norma jest różna od zera dla niezerowych elementów.

Uogólnienie

CSA nad polem K są nieprzemiennym analogiem do pól rozszerzających nad K - w obu przypadkach nie mają nietrywialnych dwustronnych ideałów i mają wyróżnione pole w środku, chociaż CSA może być nieprzemienna i nie musi mieć odwrotności (nie musi być algebrą dzielenia ). Jest to szczególnie interesujące w nieprzemiennej teorii liczb, jako uogólnieniach pól liczbowych (rozszerzenia wymiernych Q ); zobacz nieprzemienne pole liczbowe .

Zobacz też

• Algebra Azumayi , uogólnienie CSA, w którym pole podstawowe jest zastępowane przemiennym pierścieniem lokalnym
• Odmiana Severi – Brauer
• Twierdzenie Posnera

Bibliografia

• Cohn, PM (2003). Dalsze algebra i zastosowania (wyd. 2). Skoczek. ISBN 1852336676. 1006.00001 Zbl  .
• Jacobson, Nathan (1996). Algebry podziału skończonego wymiaru po polach . Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Zbl  0874.16002 .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami . Studia magisterskie z matematyki . 67 . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929 . Zbl  1068.11023 .
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Tom II: Pola ze strukturą, algebrami i tematami zaawansowanymi . Skoczek. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001 .

Dalsza lektura

• Albert, AA (1939). Struktura algebr . Publikacje kolokwium. 24 (siódmy poprawiony przedruk red.). Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl  0023.19901 .
• Gille Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centralne algebry proste i kohomologia Galois . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001 .