Klasa koniugatu - Conjugacy class

${\ Displaystyle G}$

Do klas sprzężeń można się odwoływać, opisując je lub krócej za pomocą skrótów, takich jak „6A”, co oznacza „pewną klasę sprzężeń elementów rzędu 6”, a „6B” byłaby inną klasą sprzężeń rzędu 6 elementów; klasa koniugatu 1A jest klasą koniugatu tożsamości. W niektórych przypadkach klasy koniugacji można opisać w sposób jednolity; na przykład w grupie symetrycznej można je opisać strukturą cyklu.

Przykłady

Symetryczna grupa składająca się z 6

${\displaystyle S_{3},}$

1. bez zmiany ${\displaystyle (abc\do abc)}$
2. transpozycja dwa${\displaystyle (abc\do acb,abc\do bac,abc\do cba)}$
3. cykliczny permutacji wszystkich trzech${\displaystyle (abc\do bca,abc\do kabiny).}$

Te trzy klasy także odpowiadać klasyfikacji izometrii od An trójkąta równobocznego .

Tabela przedstawiająca wszystkie pary z (porównaj listę numerowaną ) . Każdy wiersz zawiera wszystkie elementy klasa sprzężoności z a każda kolumna zawiera wszystkie elementy${\ Displaystyle bab ^ {-1}}$${\ Displaystyle (a, b)}$${\displaystyle a,b\w S_{4}}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle S_{4}.}$

Grupa symetryczny${\displaystyle S_{4},}$ składający się z 24 permutacji z czterech elementów, z pięciu klas conjugacy, wymienione z ich konstrukcji stopnia i kolejności:

(1) ₄     bez zmian (1 element: { (1, 2, 3, 4) }). Pojedynczy rząd zawierający tę klasę koniugatu jest pokazany jako rząd czarnych kółek w sąsiedniej tabeli.

(2)       zamiana dwóch (6 elementów: { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). 6 wierszy zawierających tę klasę koniugacji jest podświetlonych na zielono w sąsiedniej tabeli.

(3)       cykliczna permutacja trzech (8 elementów: { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). 8 wierszy zawierających tę klasę koniugacji jest pokazanych normalnym drukiem (bez pogrubienia lub wyróżnienia kolorów) w sąsiedniej tabeli.

(4)       cykliczna permutacja wszystkich czterech (6 elementów: { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2 , 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). 6 wierszy zawierających tę klasę koniugacji jest podświetlonych na pomarańczowo w sąsiedniej tabeli.

(2)(2)   zamiana dwóch, a także dwóch pozostałych (3 elementy: { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }) . 3 wiersze zawierające tę klasę koniugacji są pokazane pogrubioną czcionką w sąsiedniej tabeli.

Do właściwych obrotów sześcianu , które mogą być uznane przez permutacje przekątnych korpusu są także opisane przez sprzęganie w${\displaystyle S_{4}.}$

Na ogół, liczba klas conjugacy w grupie symetrycznym${\displaystyle S_{n}}$ jest równa liczbie partycji całkowitą od Jest tak, ponieważ każda klasa sprzężoności odpowiada dokładnie do jednej partycji w

${\ Displaystyle n.}$

${\displaystyle \{1,2,\ldots,n\}}$

${\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}.}$

Ogólnie rzecz biorąc, grupa euklidesowa może być badana przez sprzężenie izometrii w przestrzeni euklidesowej .

Nieruchomości

• Element tożsamości jest zawsze jedynym elementem w swojej klasie, czyli ${\ Displaystyle \ Operatorname {Cl} (e) = \ {e \}.}$
• Jeśli jest

${\ Displaystyle a \ w G}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Z} (G)}$

${\ Displaystyle G}$

${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {C} _ {G} (a)}$

${\displaystyle a\w g}$

${\displaystyle g}$

${\displaystyle ga=ag}$

${\ Displaystyle \ lewo [G: \ operatorname {C} _ {G} \ lewo (a \ prawo) \ prawo]}$

${\displaystyle a}$

Weźmy i niech będą odrębnymi liczbami całkowitymi, które pojawiają się jako długości cykli w typie cyklu (w tym 1-cykle). Niech będzie liczba cykli długości w każdym (tak, że ). Wtedy liczba koniugatów wynosi:${\ Displaystyle \ sigma \ w S_ {n}}$${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots,m_{s}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle i=1,2,\ldots,s}$${\ Displaystyle \ suma \ limity _ {i = 1} ^ {s} k_ {i} m_ {i} = n}$${\displaystyle \sigma}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {n!} {(k_ {1}! m_ {1} ^ {k_ {1}}) (k_ {2}! m_ {2} ^ { k_ {2}}) \ cdots ( k_{s}!m_{s}^{k_{s}})}}.}$$

Koniugacja jako działanie grupowe

Dla dowolnych dwóch elementów niech ${\displaystyle g,x\w g}$

$${\ Displaystyle g \ cdot x: = gxg ^ {-1}.}$$

${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle G.}$

Podobnie możemy zdefiniować akcję grupową na zbiorze wszystkich

${\ Displaystyle G}$

${\displaystyle G}$

$${\ Displaystyle g \ cdot S: = gSg ^ {-1}}$$

${\ Displaystyle G.}$

Równanie klasy sprzężenia

Jeśli jest

${\ Displaystyle G}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {C} _ {G} (a).}$

${\displaystyle b}$

${\displaystyle c}$

${\displaystyle b=cz}$

${\displaystyle z}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {C} _ {G} (a)}$

${\displaystyle a}$

$${\ Displaystyle bab ^ {-1} = cza (cz) ^ {-1} = czaz ^ {-1} c ^ {-1} = cazz ^ {-1} c ^ {-1} = cac ^ {- 1}.}$$

Tak więc liczba elementów w klasie sprzężonej z jest

${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ lewo [G: \ operatorname {C} _ {G} (a) \ prawo]}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {C} _ {G} (a)}$

${\ Displaystyle G}$

Ponadto, jeśli wybierzemy jeden reprezentatywny element z każdej klasy sprzężenia, wnioskujemy z rozłączności klas sprzężenia, że gdzie jest centralizatorem elementu. Zauważając, że każdy element centrum tworzy klasę sprzężoną, zawierającą tylko siebie, powstaje

${\displaystyle x_{i}}$

${\ Displaystyle | G | = \ suma _ {i} \ lewo [G: \ operatorname {C} _ {G} \ lewo (x_ {i} \ po prawej) \ po prawej]}$

${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {G} \ lewo (x_ {i} \ prawo)}$

${\displaystyle x_{i}.}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Z} (G)}$

$${\ Displaystyle | G | = | \ operatorname {Z} (G) | + \ suma _ {i} \ lewo [G: \ operatorname {C} _ {G} \ lewo (x_ {i} \ prawo) \ prawo ],}$$

Wiedza o dzielnikach porządku grupowego może być często wykorzystana do uzyskania informacji o porządku centrum lub klas sprzężonych. ${\displaystyle |G|}$

Przykład

Rozważmy skończoną

${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle p ^ {n},}$

${\displaystyle p}$

${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle p}$

Ponieważ kolejność dowolnej klasy sprzężeń musi dzielić kolejność , wynika z tego, że każda klasa sprzężeń, która nie znajduje się w centrum, ma również pewną moc gdzie Ale wtedy równanie klasy wymaga tego Z tego widzimy, że musi to dzielić tak${\ Displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\ Displaystyle H_ {i}}$${\ Displaystyle p ^ {k_ {i}},}$${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$${\ Displaystyle | G | = p ^ {n} = | \ nazwa operatora {Z} (G) | + \ suma _ {i} p ^ {k_ {i}}.}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle | \ nazwa operatora {Z} (G) |,}$${\ Displaystyle | \ nazwa operatora {Z} (G) |> 1.}$

W szczególności, przy czym jest to grupa przemienna ponieważ każdy nietrywialnym elementu grupy jest rzędu lub Jeżeli jakiś element z jest rzędu następnie jest izomorficzny cyklicznej grupy aby stąd Abelowych. Z drugiej strony, jeśli każdy nietrywialne elementem jest rzędu stąd poprzez zawarcie powyższej następnie albo tylko Musimy rozważyć przypadek, gdy to nie jest elementem od którego nie jest w centrum Zauważ, że zawiera i centrum, które nie zawiera, ale przynajmniej elementy. Zatem porządek jest ściśle większy niż więc dlatego jest elementem środka sprzeczności. Stąd jest abelowa i faktycznie izomorficzna z produktem bezpośrednim dwóch grup cyklicznych, każda z rzędu${\displaystyle n=2,}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}.}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle p^{2},}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle p^{2},}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle p,}$${\ Displaystyle | \ Operatorname {Z} (G) |> 1,}$${\ Displaystyle | \ nazwa operatora {Z} (G) | = p> 1}$${\displaystyle p^{2}.}$${\ Displaystyle | \ nazwa operatora {Z} (G) | = p> 1,}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G.}$${\ Displaystyle \ Operatorname {C} _ {G} (b)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle \ Operatorname {C} _ {G} (b)}$${\displaystyle p,}$${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {C} _ {G} (b) \ prawo | = p ^ {2},}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle s.}$

Sprzężenie podgrup i podzbiorów ogólnych

Bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę dowolny podzbiór ( niekoniecznie podgrupę), zdefiniuj podzbiór, który ma być sprzężony, jeśli istnieje taki, że Niech będzie zbiorem wszystkich podzbiorów takim, który jest sprzężony z${\displaystyle S\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle g \ w G}$${\ Displaystyle T = gSg ^ {-1}.}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Cl} (S)}$${\displaystyle T\subseteq G}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle S.}$

Często stosuje się twierdzenie, że, biorąc pod uwagę dowolny podzbiór

${\displaystyle S\subseteq G}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {N} (S)}$

${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Cl} (S)}$

$${\ Displaystyle | \ Operatorname {Cl} (S) | = [G: N (S)].}$$

Wynika to z tego, że jeśli to wtedy i tylko wtedy, gdy innymi słowy, wtedy i tylko wtedy, gdy są w tym samym

${\displaystyle g,h\w g}$

${\ Displaystyle gSg ^ {-1} = hSh ^ {-1}}$

${\ Displaystyle g ^ {-1} h \ w \ operatorname {N} (S)}$

${\displaystyle g{\tekst{i}}h}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {N} (S).}$

Używając tego wzoru uogólnia podany wcześniej na liczbę elementów w klasie sprzężonej. ${\displaystyle S=\{a\},}$

Powyższe jest szczególnie przydatne, gdy mówimy o podgrupach Podgrupy można zatem podzielić na klasy sprzężone, przy czym dwie podgrupy należą do tej samej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzężone. Podgrupy sprzężone są

${\ Displaystyle G.}$

Interpretacja geometryczna

Klasy Conjugacy w zasadniczej grupie z toru połączonych przestrzeni topologicznej można traktować jako klasy równoważności wolnych pętli przy swobodnym homotopii.

Klasa sprzężenia i reprezentacje nieredukowalne w grupie skończonej

W każdej skończonej grupie liczba odrębnych (nieizomorficznych) nieredukowalnych reprezentacji nad liczbami zespolonymi jest dokładnie liczbą klas sprzężonych.

Zobacz też

• Sprzężenie topologiczne
• FC-group  – grupa w teorii grup matematyki
• Podgrupa zamknięta sprzężeniem

Uwagi

Bibliografia

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Algebra abstrakcyjna . Teksty magisterskie z matematyki. 242 (2 wyd.). Skoczek. Numer ISBN 978-0-387-71567-4.

Zewnętrzne linki

• „Elementy sprzężone” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]