Liczba wymierna - Rational number


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Te liczby wymierne (ℚ) są zawarte w liczb rzeczywistych (ℝ). Z drugiej strony, one zawierać liczb całkowitych (ℤ), które z kolei obejmują liczby naturalne (ℕ)

W matematyce , ą liczbą wymierną jest dowolną ilość , która może być wyrażona jako iloraz lub frakcji P / Q dwóch liczb , w liczniku P i niezerowej mianownik q . Ponieważ q może być równe 1, każda liczba całkowita jest liczbą wymierną. Zbiór liczb wymiernych, często określa się jako „ w wymiernych ”, w zakresie liczb wymiernych lub w zakresie liczb wymiernych jest zazwyczaj oznaczona przez pogrubioną Q (lub tablica pogrubienie , ℚ Unicode); Stwierdzono zatem oznaczona w 1895 roku przez Giuseppe Peano po quoziente , włoski na „ iloraz ”.

Ekspansja dziesiętnym liczby wymiernej zawsze kończy się albo po skończonej liczby cyfr lub zacznie powtarzać tę samą skończoną sekwencję cyfr kółko. Ponadto powtórzenia lub zakończenia dziesiętnego oznacza liczbę wymierną. Te stwierdzenia są prawdziwe nie tylko dla podstawy 10 , ale również dla innych całkowitej bazy (np binarnym , szesnastkowym ).

Liczba rzeczywista , że nie jest racjonalne nazywany jest irracjonalna . Numery nieracjonalne obejmują 2 , gatunku , e , i cp . Ekspansja dziesiętnym liczby niewymiernej nadal bez powtarzania. Ponieważ zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny , a zbiór liczb rzeczywistych jest niezliczona , prawie wszystkie liczby rzeczywiste są irracjonalne.

Liczby wymierne można formalnie zdefiniowany jako grup równoważnych parach liczb ( p , q ) taki że q ≠ 0 , w stosunku równoważnikowym określonym przez ( p 1 , q 1 ) ~ ( p 2 , Q 2 ) , wtedy i tylko wtedy, gdy P 1 P 2 = P 2 P 1 . Z tego formalnego definicji frakcja P / Q zostaje średnia notacja dla tej klasy równoważności ( p , q ) .

Racjonalne numery wraz z dodatkiem i namnażania tworzą pole , który zawiera całkowite i jest zawarty w każdej dziedzinie zawierającej liczby całkowite. Innymi słowy, pole liczb wymiernych jest prime pola , a pole ma charakterystyczny zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona liczby wymierne jako podpola. Skończonych rozszerzeń z Q są nazywane algebraicznych pól numerycznych , a algebraiczne zamknięcie z Q jest dziedzina liczb algebraicznych .

W analizie matematycznej , racjonalne numery tworzą gęsty podzbiór liczb rzeczywistych. Rzeczywiste liczby mogą być zbudowane z tych liczb wymiernych od zakończenia , przy użyciu sekwencji Cauchy'ego , kawałki DEDEKIND lub nieskończone dziesiętnych .

Terminologia

Określenie racjonalna w odniesieniu do ustawionej Q odnosi się do faktu, że liczba wymierna oznacza stosunek dwóch liczb. W matematyce, „racjonalne” jest często używany jako rzeczownik abbreviating „racjonalne numer”. Przymiotnik racjonalne czasami oznacza, że współczynniki są liczbami wymiernymi. Na przykład, racjonalne punkt jest punktem racjonalnych współrzędnych (to jest punkt o współrzędnych liczby wymierne, A racjonalne macierz jest macierzą liczb wymiernych, A racjonalne Wielomian może być wielomianem współczynników racjonalne, chociaż termin „wielomian przez z wymiernych”jest na ogół korzystne, w celu uniknięcia pomyłki z« racjonalne ekspresji »i« funkcji wymiernej »(wielomianu jest racjonalną ekspresji i określa funkcji wymiernej, nawet jeśli współczynnik nie liczb wymiernych). Jednakże, racjonalne krzywej nie jest krzywą określono przez wymiernych, ale krzywa które mogą być programowane przez racjonalne funkcji.

Arytmetyka

frakcję nierozkładalny

Każda liczba wymierna może w jednoznaczny sposób, jak nieredukowalnego frakcji a / b , w którym i bwzględnie pierwsze liczbami całkowitymi , a B > 0 . To jest często nazywana postaci kanonicznej .

Począwszy od liczbą wymierną a / b , jej postać kanoniczną można uzyskać poprzez podzielenie i b przez ich największy wspólny dzielnik , a jeśli b <0 , zmieniając znak otrzymanej licznika i mianownika.

Osadzanie liczb całkowitych

Dowolna liczba całkowita n można wyrazić jako liczby wymiernej n / 1 , co jest jego postaci kanonicznej jako liczby wymiernej.

Równość

wtedy i tylko wtedy gdy

Jeżeli obie frakcje w postaci kanonicznej następnie

wtedy i tylko wtedy i

Kolejność

Jeśli oba mianownikiem jest dodatni, a w szczególności, gdy obie frakcje w postaci kanonicznej

wtedy i tylko wtedy gdy

Jeśli któryś mianownik jest ujemny, każda część z ujemnym mianownika należy najpierw przekształcić w równoważnej postaci pozytywnym mianownika zmieniając znaki zarówno w liczniku i mianowniku.

Dodanie

Dwie frakcje dodaje się, co następuje:

Jeżeli obie frakcje w postaci kanonicznej, wynik w postaci kanonicznej wtedy i tylko wtedy, b i dwzględnie pierwsze całkowitymi .

Odejmowanie

Jeżeli obie frakcje w postaci kanonicznej, wynik w postaci kanonicznej wtedy i tylko wtedy, b i dwzględnie pierwsze całkowitymi .

Mnożenie

Reguła mnożenia wynosi:

Nawet jeśli obie frakcje w postaci kanonicznej, wynik może być frakcja sprowadzić .

Odwrotność

Każda liczba wymierna / b ma odwrotność dodatków , często nazywany jego przeciwieństwem ,

Jeśli / b jest w postaci kanonicznej, to samo odnosi się do jego przeciwnej.

Niezerowy liczbą wymierną / b ma Liczba odwrotna , zwany także jego odwrotność ,

Jeśli / b jest w postaci kanonicznej, a następnie kanoniczna forma jego odwrotność jest albo albo , w zależności od znaku .

Podział

Jeśli zarówno b i c są niezerowe, zasada jest podział

Tak więc, dzieląc a / b przez c / d odpowiada pomnożenie do / b przez odwrotność z c / d :

Potęgowanie do całkowitej władzy

Jeżeli n jest nieujemną liczbę całkowitą, a następnie

Wynik jest w postaci kanonicznej, jeśli to samo za pomocą / B . W szczególności,

Jeśli jest ≠ 0 , a następnie

Jeśli / b jest w postaci kanonicznej kanoniczną postać wyniku jest , gdy albo > 0 i n jest parzyste. W przeciwnym razie, kanoniczna forma jest wynikiem

Kontynuowano przedstawienie frakcja

Ograniczony ułamek cd to wyrażenie, takie jak

gdzie n są liczbami całkowitymi. Każda liczba wymierna / b może być przedstawiony jako skończony ułamka, którego współczynniki N może być określona poprzez zastosowanie algorytmu euklidesową do ( , b ).

Inne reprezentacje

Są różne sposoby reprezentują tę samą wartość racjonalne.

formalna konstrukcja

Diagram pokazujący reprezentacji odpowiadających klas parach liczb

Racjonalne numery mogą być budowane jako klasy równoważności z zamówionych par z całkowitymi .

Dokładniej, niech ( Z x ( Z \ {0})) jest zbiór par ( m , n ), liczb całkowitych, n ≠ 0 . Relacją równoważności jest zdefiniowane na tym zbiorze przez

( M 1 , n 1 ), ~ ( m 2 , N 2 )}} wtedy i tylko wtedy, m 1 n 2 = m 2 n 1 .

Dodawanie i mnożenie mogą być definiowane według następujących zasad:

Ten stosunek równoważności jest kongruencją , co oznacza, że jest ona zgodna z dodawania i mnożenia wyżej podane znaczenie; zbiorem liczb wymiernych Q jest zdefiniowany jako iloraz ustalonym przez równoważność związku, ( Z x ( Z \ {0})) / ~ , wyposażony w trakcie dodawania i mnożenia wywołaną przez wyżej wymienione działania. (Konstrukcja ta może być przeprowadzona w każdym zintegrowanym domeny i wytwarza jej pole frakcji ).

Klasa równoważności pary ( m , n ) oznacza się dwie pary ( m, 1 , n 1 ) i ( m, 2 , N 2 ) należą do tej samej klasy równoważności (to jest równoważny), wtedy i tylko wtedy oznacza to, że jeśli i tylko

Każda klasa równoważności może być reprezentowany przez nieskończenie wiele par, ponieważ

Często jest to wygodne, aby wybrał, raz na zawsze, w każdej z klas równoważności specyficznym elementem zwanym kanoniczny przedstawiciel elementem . Ten kanoniczne Pełnomocnik unikalne pary ( m , n ) w klasie równoważnych, takich że m i nwzględnie pierwsze i m ≥ 0 . Nazywa się reprezentacja w najniższych kategoriach liczby racjonalnego.

Liczby mogą być uważane racjonalne numery identyfikacyjne całkowitą N numerem racjonalnego

Całkowity porządek może być określona na liczbach wymiernych, który rozciąga się naturalną kolejność liczb całkowitych. Jeden ma czy

Nieruchomości

Schemat ilustrujący countability dodatnich liczb wymiernych

Zestaw P wraz z operacji dodawania i mnożenia przedstawione powyżej tworzą pole , na pole frakcji tych liczb całkowitych Z .

W wymiernych są najmniejsze pole charakterystyki zera: co drugi pole charakterystyki zero zawiera kopię Q . Racjonalne numery są zatem pole prime dla charakterystycznego zera.

Algebraiczne zamknięcie z Q , czyli dziedzinie korzeni racjonalnych wielomianów, jest algebraicznych numery .

Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny . Ponieważ zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest niezliczona, możemy powiedzieć, że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są irracjonalne, w sensie Lebesgue'a miary , czyli zbiór liczb wymiernych jest zerowy zestaw .

Do wymiernych są gęsto zamówił zestaw: między dwoma dowolnymi wymiernych, tam siedzi jeszcze jeden, a zatem nieskończenie wiele innych. Na przykład, dla dowolnych dwóch frakcji, tak że

(gdzie są dodatnie), mamy

Wszelkie całkowicie zamówił zestaw, który jest przeliczalna, gęsta (w powyższym znaczeniu), i nie ma najmniejszego lub największego elementu jest zamówienie izomorficzna do liczb wymiernych.

Liczby rzeczywiste i własności topologiczne

Do wymiernych są gęsty podzbiór liczb rzeczywistych: każda liczba rzeczywista ma racjonalnych numery dowolnie blisko niego. A related nieruchomość jest to, że liczby wymierne są tylko numery z skończonych rozwinięć jak zwykłych ułamków .

Z racji ich kolejności, rationals przenosić topologia porządkowa . Te liczby wymierne, jak podprzestrzeni liczb rzeczywistych, a także nosić topologia podprzestrzeni . Racjonalne numery tworzą metryki przestrzeni za pomocą bezwzględnej różnicy metryki d ( x , y ) = | x - r |, a to daje trzeci topologię Q . Wszystkie trzy topologie są zbieżne i włączyć rationals w dziedzinie topologii . Racjonalne numery są ważnym przykładem miejsca, które nie jest lokalnie zwarta . Do wymiernych charakteryzują topologicznie jako unikalnego policzalnych metryzowalnej przestrzeni bez pojedynczych punktów . Przestrzeń jest również całkowicie odłączony . Racjonalne numery nie tworzą przestrzeni metrycznej zupełnej ; z liczbami rzeczywistymi, to zakończenie Q podstawie metryki D ( x , y ) = | x - y |, powyżej.

p numery -adic

W uzupełnieniu do danych Wartość bezwzględna wymienionego wyżej, istnieją inne wskaźniki, które wyłączają Q w dziedzinie topologii:

Niech p będzie liczbą pierwszą i dla każdej niezerowej liczby całkowitej A , niech | | P = P - n , gdzie s n jest najwyższą moc P podzielenie .

Ponadto ustawiony | 0 | p = 0. Dla każdego liczbą wymierną a / b , ustawiamy | / b | p = | | p / | b | p .

Następnie d P ( x , y ) = | x - y | P tworzy metryki na Q .

Metryki przestrzeni ( P , d t ) nie jest pełna, a jego zakończenie jest p liczba -adic pole P P . Twierdzenie Ostrowskiego stwierdza, że każdy nietrywialne wartość bezwzględna na liczbach wymiernych Q jest równa albo zwykłej rzeczywistej wartości bezwzględnej lub p -adic wartości bezwzględnej.

Zobacz też

Referencje

  1. ^ B Rosen Kenneth (2007). Dyskretne matematyka i jej zastosowanie (6. wyd.). New York, NY: McGraw-Hill. str. 105, 158-160. ISBN  978-0-07-288008-3 .
  2. ^ Rouse Margaret. „Symbole matematyczne” . Źródło 1 April +2.015 .
  3. ^ Gilbert Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elementy nowoczesnej Algebra (6. wyd.). Belmont, CA: Thomson Brooks / Cole. ss. 243-244. ISBN  0-534-40264-X .

Linki zewnętrzne