Rzutowa grupa liniowa - Projective linear group

Związek między rzutową specjalną grupą liniową PSL a rzutową ogólną grupą liniową PGL; każdy wiersz i kolumna to krótka dokładna sekwencja . Zbiór $(F^*)^n$ tutaj ma być zbiorem $n$-tych potęg.

W matematyce , zwłaszcza w teoretycznym grupa obszarze Algebra The rzutowa grupa liniowa (znany również jako rzutowej ogólnej grupy liniowego lub PGL) jest indukowany działanie z ogólnej grupy liniowe z przestrzeni wektorowej V na powiązanej przestrzeni rzutowej P ( V ). Wyraźnie projekcyjna grupa liniowa jest grupą ilorazową

PGL( V ) = GL( V )/Z( V )

gdzie GL ( V ) oznacza ogólnie grupy liniowe z V i Z ( V ) jest podgrupa wszystkich niezerowe skalarnych przemian z V ; są one dzielone, ponieważ działają trywialnie na przestrzeń projekcyjną i stanowią jądro działania, a notacja „Z” odzwierciedla, że transformacje skalarne tworzą centrum ogólnej grupy liniowej.

Rzutowa specjalny liniową grupę PSL, określa się w sposób analogiczny, jak wywołanego działaniem specjalnej grupy liniowego na powiązanej przestrzeni rzutowej. Wyraźnie:

PSL( V ) = SL( V )/SZ( V )

gdzie SL( V ) jest specjalną grupą liniową nad V , a SZ( V ) jest podgrupą przekształceń skalarnych z wyznacznikiem jednostkowym . Tutaj SZ środek SL i naturalnie zidentyfikowane z grupą n th korzeni jedności w F (gdzie N jest wymiarem z V i K jest podstawą pola ).

PGL i PSL to jedne z podstawowych grup badawczych, należące do tzw. grup klasycznych , a element PGL nazywa się projekcyjną transformacją liniową , projekcyjną transformacją lub homografią . Jeżeli V jest n wymiarową przestrzeń liniowa nad polem F , to znaczy V = F ⁿ , alternatywny Oznaczenia PGL ( N , M ) i PSL ( N , M ), są również stosowane.

Zauważ, że PGL( n , F ) i PSL( n , F ) są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element F ma n- ty pierwiastek w F . Jako przykład zauważ, że PGL(2, C ) = PSL(2, C ) , ale że PGL(2, R ) > PSL(2, R ) ; odpowiada to temu, że rzeczywista linia rzutowa może być orientowana, a specjalna grupa liniowa rzutowa jest tylko przekształceniami zachowującymi orientację.

PGL i PSL mogą być również zdefiniowane przez pierścień z ważnym przykładem jest modułową grupą , PSL (2, Z ) .

Nazwa

Nazwa pochodzi od geometrii rzutowej , gdzie grupa rzutowa działająca na jednorodnych współrzędnych ( x ₀ : x ₁ : ... : x _n ) jest podstawową grupą geometrii. Innymi słowy, naturalne działanie GL( V ) na V sprowadza się do działania PGL( V ) na przestrzeń rzutową P ( V ).

Rzutowe grupy liniowe zatem uogólniają przypadek PGL(2, C ) transformacji Möbiusa (czasami nazywany grupą Möbiusa ), który działa na linii rzutowej .

Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do ogólnej grupy liniowej, która jest ogólnie definiowana aksjomatycznie jako „funkcje odwracalne zachowujące strukturę liniową (przestrzeń wektorową), projekcyjna grupa liniowa jest definiowana konstruktywnie, jako iloraz ogólnej grupy liniowej skojarzonej przestrzeni wektorowej, a nie niż aksjomatycznie jako „funkcje odwracalne zachowujące rzutową strukturę liniową”. Znajduje to odzwierciedlenie w notacji: PGL( n , F ) jest grupą powiązaną z GL( n , F ) i jest rzutową grupą liniową ( n −1)-wymiarowej przestrzeni rzutowej, a nie n- wymiarowej przestrzeni rzutowej.

Kolineacje

Grupą pokrewną jest grupa kolineacji , która jest zdefiniowana aksjomatycznie. Kolineacja to mapa odwracalna (lub ogólniej jeden do jednego), która wysyła punkty współliniowe do punktów kolinearnych. Przestrzeń projekcyjną można zdefiniować aksjomatycznie w kategoriach struktury padania (zbiór punktów P, prostych L i relacja padania I określająca, które punkty leżą na których prostych) spełniającej pewne aksjomaty – tak zdefiniowany automorfizm przestrzeni projekcyjnej jest wówczas automorfizm f zbioru punktów i automorfizm g zbioru prostych, z zachowaniem relacji padania, która jest dokładnie kolineacją przestrzeni ze sobą. Rzutowe transformacje liniowe to kolineacje (płaszczyzny w przestrzeni wektorowej odpowiadają liniom w powiązanej przestrzeni rzutowej, a liniowe transformacje mapują płaszczyzny na płaszczyzny, więc rzutowe transformacje liniowe mapują linie na linie), ale generalnie nie wszystkie kolineacje są rzutowymi transformatami liniowymi – PGL jest na ogół właściwą podgrupą grupy kolineacyjnej.

W szczególności, dla n = 2 (linia rzutowa), wszystkie punkty są współliniowe, więc grupa kolineacji jest dokładnie symetryczną grupą punktów linii rzutowej, z wyjątkiem F ₂ i F ₃ (gdzie PGL jest grupą w pełni symetryczną ), PGL jest właściwą podgrupą w pełni symetrycznej grupy w tych punktach.

Dla n ≥ 3 grupą kolinearną jest rzutowa grupa półliniowa , PΓL – jest to PGL, skręcona automorfizmami pola ; formalnie PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ), gdzie k jest polem pierwszym dla K; to jest podstawowe twierdzenie geometrii rzutowej . Zatem dla K ciała pierwszego ( F _p lub Q ) mamy PGL = PΓL, ale dla K ciała z nietrywialnymi automorfizmami Galois (tak jak dla n ≥ 2 lub C ), rzutowa grupa liniowa jest właściwą podgrupą grupa kolineacją, które mogą być traktowane jako „transformacje zachowaniu rzutowe semi -linear strukturę”. Odpowiednio, grupie ilorazów PΓL/PGL = Gal( K / k ) odpowiada „wyborom struktury liniowej”, przy czym identycznością (punktem bazowym) jest istniejąca struktura liniowa. ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$

Można również zdefiniować grupy kolineacji dla aksjomatycznie określonych przestrzeni rzutowych, w których nie ma naturalnego pojęcia liniowej transformacji rzutowej . Jednak z wyjątkiem płaszczyzn niedesargueskich wszystkie przestrzenie rzutowe są rzutowaniem przestrzeni liniowej na pierścień podziału, chociaż, jak wspomniano powyżej, istnieje wiele możliwości wyboru struktury liniowej, a mianowicie torsor nad Gal( K / k ) (dla n ≥ 3).

Elementy

Elementy rzutowej grupy liniowej można rozumieć jako „przechylanie płaszczyzny” wzdłuż jednej z osi, a następnie rzutowanie na pierwotną płaszczyznę, a także mają wymiar n.

Obrót wokół osi z obraca rzutowaną płaszczyznę, podczas gdy rzutowanie obrotu wokół linii równoległych do osi x lub y daje rzutowe obroty płaszczyzny.

Bardziej znanym geometrycznym sposobem zrozumienia przekształceń projekcyjnych są rzutowe rotacje (elementy PSO ( n + 1)), co odpowiada stereograficznej projekcji obrotów hipersfery jednostkowej i ma wymiar Wizualnie odpowiada to staniu na początek (lub umieszczenie kamery na początku) i obrócenie kąta widzenia, a następnie rzutowanie na płaską płaszczyznę. Obroty w osiach prostopadłych do hiperpłaszczyzny zachowują hiperpłaszczyznę i dają obrót hiperpłaszczyzny (element SO( n ), który ma wymiar ), podczas gdy obroty w osiach równoległych do hiperpłaszczyzny są właściwymi mapami rzutowymi i uwzględniają pozostałe n wymiary. ${\ Displaystyle \ textstyle {1 + 2 + \ cdots + n = {\ Binom {n + 1} {2}}}.}$ ${\ Displaystyle \ textstyle {1 + 2 + \ cdots + (n-1) = {\ Binom {n} {2}}}.}$

Nieruchomości

PGL wysyła punkty kolinearne do punktów kolinearnych (zachowuje linie rzutowe), ale nie jest to pełna grupa kolineacji , czyli albo PΓL (dla n > 2), albo pełna grupa symetryczna dla n = 2 (linia rzutowa).
Każdy ( biregularny ) automorfizm algebraiczny przestrzeni rzutowej jest rzutowo liniowy. W birational automorfizmy tworząc większe grupy, do grupy Cremona .
PGL działa wiernie na przestrzeni rzutowej: elementy nie-tożsamości działają nietrywialnie.
Konkretnie, jądrem działania GL na przestrzeń rzutową są dokładnie mapy skalarne, które są ilorazowe w PGL.
PGL działa 2-przechodnie na przestrzeń rzutową.
Dzieje się tak, ponieważ 2 różne punkty w przestrzeni rzutowej odpowiadają dwóm wektorom, które nie leżą na pojedynczej przestrzeni liniowej, a zatem są liniowo niezależne , a GL działa przechodnie na k- elementowych zbiorach liniowo niezależnych wektorów.
PGL(2, K ) działa ostro 3-przechodnie na linii rzutowej.
3 dowolne punkty są konwencjonalnie mapowane do [0, 1], [1, 1], [1, 0]; w zapisie alternatywnym 0, 1, ∞. W notacji ułamkowej transformacji liniowej funkcja odwzorowuje a 0, b ↦ 1, c ↦ ∞ i jest unikalnym takim odwzorowaniem. Jest to współczynnik krzyżowy ( x , b ; a , c ) – zobacz współczynnik krzyżowy: podejście transformacyjne po szczegóły. ${\ Displaystyle {\ Frac {xa} {xc}} \ cdot {\ Frac {BC} {ba}}}$
Dla n ≥ 3, PGL( n , K ) nie działa 3-przechodnie, ponieważ musi wysłać 3 współliniowe punkty do 3 innych współliniowych punktów, a nie dowolny zbiór. Dla n = 2 przestrzeń jest linią rzutową, więc wszystkie punkty są współliniowe i nie jest to ograniczenie.
PGL(2, K ) nie działa 4-przechodnie na prostej rzutowej (z wyjątkiem PGL(2, 3), ponieważ P ¹ (3) ma 3+1=4 punkty, więc 3-przechodnie implikuje 4-przechodnie); zachowanym niezmiennikiem jest współczynnik krzyżowy , który określa, gdzie przesyłany jest każdy inny punkt: określenie, gdzie mapowane są 3 punkty, określa mapę. A zatem w szczególności nie jest to pełna grupa kolineacji linii rzutowej (z wyjątkiem F ₂ i F ₃ ).
PSL(2, q ) i PGL(2, q ) (dla q > 2, a q nieparzyste dla PSL) to dwie z czterech rodzin grup Zassenhausa .
PGL( n , K ) jest grupą algebraiczną o wymiarze n ² −1 i otwartą podgrupą przestrzeni rzutowej P ^{n ² −1} . Zgodnie z definicją, funktor PSL( n , K ) nie definiuje grupy algebraicznej, ani nawet snopa fppf, a jego snopkowanie w topologii fppf to w rzeczywistości PGL( n , K ).
PSL i PGL są bezcentryczne – dzieje się tak dlatego, że macierze diagonalne to nie tylko centrum, ale także hipercentrum (iloraz grupy przez jej środek niekoniecznie jest bezśrodkowy).

Ułamkowe przekształcenia liniowe

Jeśli chodzi o przekształcenia Möbiusa , grupę PGL(2, K ) można interpretować jako ułamkowe przekształcenia liniowe ze współczynnikami w K . Punkty na linii rzutowej nad K odpowiadają parom z K ² , przy czym dwie pary są równoważne, gdy są proporcjonalne. Gdy druga współrzędna jest niezerowa, punkt może być reprezentowany przez [ z , 1]. Wtedy gdy ad – bc ≠ 0, działanie PGL(2, K ) odbywa się poprzez przekształcenie liniowe:

{\ Displaystyle [z, \ 1] {\ zacząć {pmatrix} a & c \ \ b i d \ koniec {pmatrix}} \ = \ [az + b, \ cz + d] \ = \ \ lewo [{\ Frac {az + b}{cz+d}},\ 1\prawo].}

W ten sposób kolejne przekształcenia można zapisać jako mnożenie prawe przez takie macierze, a mnożenie macierzy można zastosować dla iloczynu grupowego w PGL(2, K ).

Pola skończone

Rzutowe specjalne grupy liniowe PSL( n , F _q ) dla skończonego ciała F _q są często zapisywane jako PSL( n , q ) lub L _n ( q ). Są to skończone grupy proste, gdy n wynosi co najmniej 2, z dwoma wyjątkami: L ₂ (2), która jest izomorficzna z S ₃ , grupą symetryczną na 3 literach i jest rozwiązywalna ; i L ₂ (3), który jest izomorficzny A ₄ , w grupie przemiennego na 4 literami, a także rozpuszczalny. Te wyjątkowe izomorfizmy można rozumieć jako wynikające z działania na linii projekcyjnej .

Specjalne grupy liniowe SL( n , q ) są więc quasiproste : doskonałe rozszerzenia centralne prostej grupy (chyba że n = 2 i q = 2 lub 3).

Historia

Grupy PSL(2, p ) zostały skonstruowane przez Évariste Galois w latach 30. XIX wieku i były drugą rodziną skończonych grup prostych , po grupach naprzemiennych . Galois skonstruował je jako ułamkowe przekształcenia liniowe i zaobserwował, że są proste, chyba że p wynosi 2 lub 3; jest to zawarte w jego ostatnim liście do Chevaliera. W tym samym liście i załączonych rękopisach Galois skonstruował również ogólną grupę liniową nad ciałem pierwszym GL(ν, p ), badając grupę Galois ogólnego równania stopnia p ^ν .

Grupy PSL( n , q ) (ogólne n , ogólne ciało skończone) zostały następnie skonstruowane w klasycznym tekście Camille Jordana z 1870 roku Traité des substitutions et des équations algébriques .

Zamówienie

Porządek PGL( n , q ) to

( q ⁿ − 1)( q ⁿ − q )( q ⁿ − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ⁿ − q ^{n −1} )/( q − 1) = q ^{n ² –1} – O( q ^{n ² – 3} ),

która odpowiada kolejności GL ( n , Q ) podzielonej przez q - 1 do projectivization; patrz q -analog dla omówienia takich wzorów. Zauważ, że stopień to n ² − 1 , co zgadza się z wymiarem jako grupą algebraiczną. „O” oznacza duże O , co oznacza „terminy dotyczące niższego rzędu”. To również jest równe porządkowi SL( n , q ) ; tam dzielenie przez q − 1 wynika z wyznacznika.

Porządek PSL( n , q ) to powyższe, podzielone przez | SZ( n , q ) | , liczba macierzy skalarnych z wyznacznikiem 1 – lub równoważnie dzielona przez | C ^x / ( K ^x ) ⁿ |, liczba klas element, który nie ma n ty pierwiastek lub równoważnie podzielenie przez liczbę n th korzeni jedności w F _q .

Wyjątkowe izomorfizmy

Oprócz izomorfizmów

L ₂ (2) ≅ S ₃ , L ₂ (3) ≅ A ₄ , oraz PGL(2, 3) ≅ S ₄ ,

istnieją inne wyjątkowe izomorfizmy między projekcyjnymi specjalnymi grupami liniowymi a grupami naprzemiennymi (wszystkie te grupy są proste, ponieważ grupa naprzemienna składająca się z 5 lub więcej liter jest prosta):

{\ Displaystyle L_ {2}(4) \ cong A_ {5}}

{\ Displaystyle L_ {2} (5) \ cong A_ {5}}

(zobacz tutaj dowód)

{\ Displaystyle L_ {2} (9) \ cong A_ {6}}

{\ Displaystyle L_ {4}(2) \ cong A_ {8}.}

Izomorfizmu l ₂ (9) ≅ ₆ pozwala zobaczyć egzotyczne zewnętrzną automorfizm z A ₆ w zakresie automorfizm pola operacji i matrycy. Izomorfizm L ₄ (2) ≅ A ₈ jest interesujący w strukturze grupy Mathieu M ₂₄ .

Powiązane rozszerzenia SL( n , q ) → PSL( n , q ) obejmują grupy przemiennych grup ( uniwersalne doskonałe rozszerzenia centralne ) dla A ₄ , A ₅ , przez unikalność uniwersalnego doskonałego rozszerzenia centralnego; dla L ₂ (9) ≅ A ₆ skojarzone przedłużenie jest idealnym przedłużeniem środkowym, ale nie uniwersalnym: istnieje 3-krotna grupa zakrywająca .

Grupy nad F ₅ mają szereg wyjątkowych izomorfizmów:

PSL(2, 5) A ₅ ≅ I , naprzemienna grupa pięciu elementów lub równoważnie grupa dwudziestościenna ;

PGL(2, 5) ≅ S ₅ , symetryczna grupa na pięciu elementach;

SL (2, 5) ≅ 2 ⋅ ₅ ≅ 2 I podwójne pokrycie grupy przemiennego A ₅ lub równoważnie binarnego grupy dwudzieściennym .

Mogą być również użyte do stworzenia konstrukcji mapy egzotycznej S ₅ → S ₆ , jak opisano poniżej. Zauważ jednak, że GL(2, 5) nie jest podwójną okładką S ₅ , ale raczej 4-krotną okładką.

Kolejny izomorfizm to:

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2) jest prostą grupą rzędu 168, drugą najmniejszą nieabelową grupą prostą i nie jest grupą przemienną; patrz PSL(2,7) .

Powyższe wyjątkowe izomorfizmy obejmujące rzutowe specjalne grupy liniowe są prawie wszystkimi wyjątkowymi izomorfizmami między rodzinami skończonych grup prostych; jedynym innym wyjątkowym izomorfizmem jest PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3), między projekcyjną specjalną grupą unitarną a projekcyjną grupą symplektyczną .

Akcja na linii projekcyjnej

Niektóre z powyższych map można zobaczyć bezpośrednio w kategoriach działania PSL i PGL na powiązaną linię rzutową: PGL( n , q ) działa na przestrzeń rzutową P ^{n −1} ( q ), która ma ( q ⁿ −1 )/( q −1) punktów, co daje mapę od rzutowej grupy liniowej do grupy symetrycznej na ( q ⁿ −1)/( q −1) punktów. Dla n = 2, jest to prosta rzutowa P ¹ ( q ), która ma ( q ² −1)/( q −1) = q +1 punktów, więc istnieje odwzorowanie PGL(2, q ) → S _{q + 1} .

Aby zrozumieć te mapy, warto przypomnieć te fakty:

Kolejność PGL(2, q ) to

(q^{2}-1)(q^{2}-q)/(q-1)=q^{3}-q=(q-1)q(q+1);

rząd PSL(2, q ) albo jest równy temu (jeśli charakterystyka wynosi 2), albo jest o połowę mniejszy (jeśli charakterystyka nie jest 2).

Działanie liniowej grupy projekcyjnej na linii projekcyjnej jest ostro 3-przechodnie ( wierne i 3- przechodnie ), więc mapa jest jeden-do-jednego i ma obraz podgrupy 3-przechodniej.

Obraz jest więc 3-przechodnią podgrupą o znanym porządku, co pozwala na jego identyfikację. Daje to następujące mapy:

PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S ₃ , rzędu 6, który jest izomorfizmem.
- Odwrócona mapa (rzutowa reprezentacja S ₃ ) może być zrealizowana przez grupę anharmoniczną i bardziej ogólnie daje osadzenie S ₃ → PGL(2, q ) dla wszystkich pól.
PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S ₄ , rzędów 12 i 24, z których ten ostatni jest izomorfizmem, gdzie PSL(2, 3) jest grupą przemienną.
- Grupa anharmoniczna daje częściową mapę w przeciwnym kierunku, mapując S ₃ → PGL(2, 3) jako stabilizator punktu -1.
PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S ₅ , rzędu 60, dając naprzemienną grupę A ₅ .
PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S ₆ , rzędu 60 i 120, co daje osadzenie S ₅ (odpowiednio A ₅ ) jako przechodnią podgrupę S ₆ (odpowiednio A ₆ ). Jest to przykład egzotycznej mapy S ₅ → S ₆ i może być użyty do skonstruowania wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego S ₆ . Zauważ, że izomorfizm PGL(2, 5) ≅ S ₅ nie jest przezroczysty z tej prezentacji: nie ma szczególnie naturalnego zestawu 5 elementów, na które działa PGL(2,5).

Akcja na p punktów

Podczas gdy PSL( n , q ) naturalnie działa na ( q ⁿ −1)/( q −1) = 1+ q +...+ q ^{n −1} punktów, nietrywialne działania na mniejszej liczbie punktów są rzadsze. Rzeczywiście, PSL(2, p ) działa nietrywialnie na p punktów wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2, 3, 5, 7 lub 11; dla 2 i 3 grupa nie jest prosta, natomiast dla 5, 7 i 11 grupa jest prosta – ponadto nie działa nietrywialnie na mniej niż p punktów. Po raz pierwszy zauważył to Évariste Galois w swoim ostatnim liście do Chevalier, 1832.

Można to przeanalizować w następujący sposób; zauważ, że dla 2 i 3 akcja nie jest wierna (jest to nietrywialny iloraz, a grupa PSL nie jest prosta), natomiast dla 5, 7 i 11 akcja jest wierna (ponieważ grupa jest prosta, a akcja nie jest trywialne) otrzymuje się i osadzania w S. _p . We wszystkich poza ostatnim przypadkiem, PSL(2, 11), odpowiada to wyjątkowemu izomorfizmowi, w którym grupa najbardziej na prawo ma oczywiste działanie na p punktów:

$L_{2}(2)\cong S_{3}\twoheadrightarrow S_{2}$ poprzez mapę znaków;
$L_{2}(3)\cong A_{4}\twoheadrightarrow A_{3}\cong C_{3}$ poprzez iloraz wg grupy Kleina 4;
${\ Displaystyle L_ {2} (5) \ cong A_ {5}.}$ Aby skonstruować taki izomorfizm, należy rozważyć grupę L ₂ (5) jako grupę Galois pokrywającą Galois a ₅ : X (5) → X (1) = P ¹ , gdzie X ( N ) jest krzywą modularną poziomu N . Ta osłona jest rozgałęziona w 12 punktach. Krzywa modularna X(5) ma rodzaj 0 i jest izomorficzna do sfery nad ciałem liczb zespolonych, a następnie działanie L ₂ (5) na te 12 punktów staje się grupą symetrii dwudziestościanu . Następnie należy rozważyć działanie grupy symetrii dwudziestościanu na pięć powiązanych czworościanów .
L ₂ (7) ≅ L ₃ (2), który działa na 1+2+4 = 7 punktów płaszczyzny Fano (płaszczyzna rzutowania nad F ₂ ); można to również postrzegać jako działanie na dwupłatowiec 2 zamówienia , który jest komplementarnym samolotem Fano.
L ₂ (11) jest subtelniejsze i rozwinięte poniżej; działa na zamówienie 3 dwupłatowców.

Ponadto L ₂ (7) i L ₂ (11) mają dwa nierównoważne działania na p punktów; geometrycznie jest to realizowane przez działanie na dwupłaszczyźnie, który ma p punktów i p bloków – działanie na punkty i działanie na bloki są działaniami na p punktów, ale nie są sprzężone (mają różne stabilizatory punktowe); są one natomiast związane z zewnętrznym automorfizmem grupy.

Ostatnio te trzy ostatnie wyjątkowe działania zostały zinterpretowane jako przykład klasyfikacji ADE : te działania odpowiadają produktom (jako zestawy, a nie jako grupy) z grup jako A ₄ × Z /5 Z , S ₄ × Z /7 Z i A ₅ × Z /11 Z , gdzie grupy A ₄ , S ₄ i A ₅ są grupami izometrycznymi brył platońskich i odpowiadają E ₆ , E ₇ i E ₈ w korespondencji McKay . Te trzy wyjątkowe przypadki są również realizowane jako geometrie wielościanów (odpowiednik płytek powierzchni Riemanna), odpowiednio: złożony z pięciu czworościanów wewnątrz dwudziestościanu (sfera, rodzaj 0), dwupłatowiec rzędu 2 (dopełniająca płaszczyzna Fano ) wewnątrz Kleina quartic (rodzaj 3), a dwupłatowiec rzędu 3 ( dwupłatowiec Paley ) wewnątrz powierzchni buckyballa (rodzaj 70).

Działanie L ₂ (11) można postrzegać algebraicznie jako ze względu na wyjątkową inkluzję – istnieją dwie klasy sprzężeń podgrup L ₂ (11), które są izomorficzne z L ₂ (5), każda z 11 elementami: działanie L ₂ (11) L ₂ (11) przez koniugację na nich jest działaniem na 11 punktów, a ponadto te dwie klasy sprzężenia są powiązane zewnętrznym automorfizmem L ₂ (11). (To samo dotyczy podgrup L ₂ (7) izomorficznych z S ₄ , a to również ma geometrię dwupłaszczyznową). $L_{2}(5)\hookrightarrow L_{2}(11)$

Geometrycznie działanie to można zrozumieć za pomocą geometrii dwupłaszczyznowej , która jest zdefiniowana w następujący sposób. Geometria dwupłatowa to projekt symetryczny (zestaw punktów i równa liczba „linii”, a raczej bloków) taki, że każdy zestaw dwóch punktów jest zawarty w dwóch liniach, podczas gdy dowolne dwie linie przecinają się w dwóch punktach; jest to podobne do skończonej płaszczyzny rzutowej, z tą różnicą, że zamiast dwóch punktów wyznaczających jedną prostą (i dwóch prostych wyznaczających jeden punkt), wyznaczają one dwie proste (odpowiednio punkty). W tym przypadku ( dwupłatowiec Paley'a , otrzymany z dwupłaszczyznowego wykresu Paley'a rzędu 11), punktami są linia afiniczna (ciało skończone) F ₁₁ , gdzie pierwsza linia jest zdefiniowana jako pięć niezerowych reszt kwadratowych (punkty, które są kwadratami: 1, 3, 4, 5, 9), a pozostałe linie to afiniczne tłumaczenia tego (dodaj stałą do wszystkich punktów). L ₂ (11) jest więc izomorficzny z podgrupą S _11, która zachowuje tę geometrię (wysyła linie do linii), dając zbiór 11 punktów, na które działa – w rzeczywistości dwa: punkty lub proste, co odpowiada automorfizm zewnętrzny – podczas gdy L ₂ (5) jest stabilizatorem danej prostej lub dualnej danego punktu.

Co bardziej zaskakujące, przestrzeń coset L ₂ (11)/ Z /11 Z , która ma rząd 660/11 = 60 (i na którą działa grupa dwudziestościenna) ma naturalnie strukturę kuli buckeyballa , która jest wykorzystywana w konstrukcji powierzchnia buckyball .

Grupy Mathieu

Grupa PSL(3, 4) może być użyta do skonstruowania grupy Mathieu M ₂₄ , jednej ze sporadycznych grup prostych ; w tym kontekście PSL(3, 4) odnosi się do M ₂₁ , chociaż sama w sobie nie jest grupą Mathieu. Pierwsza zaczyna się płaszczyzną rzutową nad polem z czterema elementami, czyli układ Steinera typu S(2, 5, 21) – czyli ma 21 punktów, każda prosta („blok”, w terminologii Steinera) ma 5 punktów , a dowolne 2 punkty wyznaczają linię – i na której działa PSL(3, 4). Nazywamy ten układ Steinera W ₂₁ („W” jak Witt ), a następnie rozszerzamy go na większy układ Steinera W ₂₄ , rozszerzając po drodze grupę symetrii: do rzutowej ogólnej grupy liniowej PGL(3, 4), a następnie do rzutowa semilinear grupa PΓL (3, 4), a na końcu grupy Mathieu M ₂₄ .

M ₂₄ zawiera również kopie PSL(2, 11), które jest maksymalne w M ₂₂ i PSL(2, 23), które jest maksymalne w M ₂₄ i mogą być użyte do skonstruowania M ₂₄ .

Powierzchnie Hurwitza

Niektóre grupy PSL powstają jako grupy automorfizmu powierzchni Hurwitza, tj. jako iloraz grupy trójkątnej (2,3,7) , która jest symetrią rzędu 3 dwudzielnych płytek siedmiokątnych .

Grupy PSL powstają jako grupy Hurwitz ( grupy automorfizmu powierzchni Hurwitza – krzywe algebraiczne o maksymalnej możliwej grupie symetrii). Powierzchnia Hurwitza najniższego rodzaju, kwartyka Kleina (rodzaj 3), ma grupę automorfizmu izomorficzną z PSL(2, 7) (równoważnie GL(3, 2)), podczas gdy powierzchnia Hurwitza drugiego najniższego rodzaju, powierzchnia Macbeath ( rodzaj 7), ma grupę automorfizmu izomorficzną z PSL(2, 8).

W rzeczywistości wiele, ale nie wszystkie proste grupy powstają jako grupy Hurwitz (w tym grupa potworów , chociaż nie wszystkie grupy naprzemienne lub grupy sporadyczne), chociaż PSL wyróżnia się włączeniem najmniejszych takich grup.

Grupa modułowa

Grupy PSL(2, Z / n Z ) powstają w badaniu grupy modułowej PSL(2, Z ), jako ilorazy przez redukcję wszystkich elementów mod n ; jądra nazywane są głównymi podgrupami kongruencji .

Godną uwagi podgrupą rzutowej ogólnej grupy liniowej PGL(2, Z ) (oraz rzutowej specjalnej grupy liniowej PSL(2, Z [ i ])) są symetrie zbioru {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( C ) występują one również w sześciu proporcjach krzyżowych . Podgrupa może być wyrażona jako ułamkowe przekształcenia liniowe lub reprezentowana (niejednoznacznie) przez macierze, jako:

$x$	${\ Displaystyle 1/(1-x)}$	${\ Displaystyle (x-1)/x}$
${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ -1 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$

$1/x$	${\ Displaystyle 1-x}$	${\ Displaystyle x/(x-1)}$
${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} -1 i 1 \ \ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ 1 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$
${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0&i\\i&0\koniec {pmatrix}}}$	${\zaczynać{pmatrix}-i&i\\0&i\koniec{pmatrix}}$	${\zacząć{pmatrix}i&0\\i&-i\koniec{pmatrix}}$

Zauważ, że górny rząd to tożsamość i dwa 3-cykle i są z zachowaniem orientacji, tworząc podgrupę w PSL(2, Z ), podczas gdy dolny rząd to trzy 2-cykle i są w PGL(2, Z ) i PSL(2, Z [ i ]), ale nie w PSL(2, Z ), stąd realizowane albo jako macierze z wyznacznikiem -1 i współczynnikami całkowitymi, albo jako macierze z wyznacznikiem 1 i współczynnikami całkowitymi Gaussa .

Odwzorowuje się to na symetrie {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n ) przy redukcji mod n . Warto zauważyć, że dla n = 2, podgrupa ta odwzorowuje izomorficznie do PGL(2, Z /2 Z ) = PSL(2, Z /2 Z ) ≅ S ₃ , a tym samym zapewnia podział na odwzorowanie ilorazowe ${\ Displaystyle \ operatorname {PGL} (2 \ mathbf {Z} / 2) \ hookrightarrow \ operatorname {PGL} (2 \ mathbf {Z})}$ $\operatorname {PGL} (2\mathbf {Z})\twoheadrightarrow \operatorname {PGL} (2\mathbf {Z}/2).$

Podgrupy stabilizatora {0, 1, ∞} dodatkowo stabilizują punkty {−1, 1/2, 2} i {φ ₋ , φ ₊ ,}.

Kolejną właściwością tej podgrupy jest to, że odwzorowanie ilorazowe S ₃ → S ₂ jest realizowane przez działanie grupowe. Oznacza to, że podgrupa C ₃ < S ₃ składająca się z 3 cykli i identyczności () (0 1 ∞) (0 ∞ 1) stabilizuje złoty podział i odwrotny złoty podział, podczas gdy 2 cykle zamieniają je, realizując w ten sposób mapa. ${\ Displaystyle \ varphi _ {\ pm} = {\ Frac {1 \ pm {\ sqrt {5}}} {2}}}$

Punkty stałe poszczególnych 2-cykli to odpowiednio -1, 1/2, 2, a ten zestaw jest również zachowany i permutowany, co odpowiada działaniu S ₃ na 2-cykle (jego podgrupy Sylowa 2) przez koniugację i zrealizowanie izomorfizmu $S_{3}{\overset {\sim}}{\do}}\operatorname {Inn} (S_{3})\cong S_{3}.$

Topologia

Na liczbach rzeczywistych i zespolonych topologię PGL i PSL można określić na podstawie wiązek włókien, które je definiują:

{\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} \ operator {Z} & \ cong & K * & \ do & \ operator {GL} & \ do & \ operator {PGL} \\ \ operator {SZ} & \ cong & \ mu _{n}&\do &\mathrm {SL} &\do &\mathrm {PSL} \end{macierz}}}

poprzez długą dokładną sekwencję rozwłóknienia .

Zarówno dla liczb rzeczywistych, jak i kompleksów SL jest przestrzenią pokrywającą PSL, o liczbie arkuszy równej liczbie n-tych pierwiastków w K ; tak więc w szczególności zgadzają się wszystkie ich wyższe grupy homotopii . Dla liczb rzeczywistych SL jest 2-krotnym pokryciem PSL dla n parzystych i 1-krotnym pokryciem dla n nieparzystych, tj. izomorfizmem:

{±1} → SL(2 n , R ) → PSL(2 n , R )

{\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2n + 1, \ mathbf {R} ) {\ overset {\ SIM} {\ do}} \ operatorname {PSL} (2n + 1, \ mathbf {R})}

Dla kompleksów SL to n- krotna osłona PSL.

Dla PGL, dla rzeczywistych, włóknem jest R * ≅ {±1}, więc aż do homotopii, GL → PGL jest 2-krotną przestrzenią pokrywającą i wszystkie wyższe grupy homotopii się zgadzają.

Dla PGL ponad kompleksami, włóknem jest C * ≅ S ¹ , więc aż do homotopii, GL → PGL jest wiązką kołową. Wyższe grupy homotopii koła znikają, więc grupy homotopii GL( n , C ) i PGL( n , C ) zgadzają się na n ≥ 3. W rzeczywistości π ₂ zawsze znika dla grup Liego, więc grupy homotopii zgadzają się na n ≥ 2. Dla n = 1 mamy, że π ₁ (GL( n , C )) = π ₁ ( S ¹ ) = Z i stąd PGL( n , C ) jest po prostu połączone.

Grupy obejmujące

Na liczbach rzeczywistych i zespolonych, rzutowe specjalne grupy liniowe są minimalnymi ( bezśrodkowymi ) realizacjami grup Liego dla specjalnej liniowej algebry Liego dla każdej połączonej grupy Liego, której algebra Liego jest pokryciem PSL( n , F ). Odwrotnie, jej uniwersalna grupa kryjąca jest elementem maksymalnym ( po prostu połączonym ), a realizacje pośrednie tworzą siatkę grup kryjących . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n) \ dwukropek}$ ${\mathfrak {sl}}(n)$

Na przykład SL(2, R ) ma środek {±1} i grupę podstawową Z , a zatem ma uniwersalne pokrycie SL(2, R ) i obejmuje niecentryczne PSL(2, R ).

Teoria reprezentacji

Rzutowa przedstawienie z G może zostać wyciągnięty z powrotem na liniowe przedstawienie z centralnego występu C z G.

Homomorfizm grupa G → PGL ( V ) z grupy G do rzutowej grupy liniowego nazywany rzutowa przedstawieniem grupy G, w sposób analogiczny do reprezentacji liniowego (homomorfizmem G → GL ( V )). Te były badane przez Issai Schur , który pokazał, że rzutowe reprezentacje G można sklasyfikować w kategoriach liniowych reprezentacji centralnych rozszerzeń z G . Doprowadziło to do mnożnika Schura , który służy do rozwiązania tego pytania.

Niskie wymiary

Rzutowa grupa liniowa jest najczęściej badana dla n ≥ 2, choć można ją zdefiniować dla małych wymiarów.

Dla n = 0 (a właściwie n < 0) przestrzeń rzutowa K ⁰ jest pusta, ponieważ nie ma jednowymiarowych podprzestrzeni przestrzeni 0-wymiarowej. Tak więc PGL(0, K ) jest trywialną grupą, składającą się z unikalnej pustej mapy od pustego zbioru do niej samej. Co więcej, działanie skalarów na przestrzeni 0-wymiarowej jest trywialne, więc odwzorowanie K* → GL(0, K ) jest trywialne, a nie inkluzja, jak to ma miejsce w wyższych wymiarach.

Dla n = 1 przestrzeń rzutowa K ¹ jest pojedynczym punktem, ponieważ istnieje pojedyncza podprzestrzeń jednowymiarowa. Tak więc PGL(1, K ) jest trywialną grupą, składającą się z unikalnej mapy z zestawu singletona dla siebie. Co więcej, ogólna grupa liniowa przestrzeni jednowymiarowej to dokładnie skalary, więc odwzorowanie jest izomorfizmem, odpowiadającym trywialnemu PGL(1, K ) := GL(1, K )/ K* ≅ {1}. ${\ Displaystyle K ^ {*} {\ overset {\ SIM} {\ do}} \ operatorname {GL} (1, K)}$

Dla n = 2, PGL(2, K ) jest nietrywialna, ale jest niezwykła, ponieważ jest 3-przechodnia, w przeciwieństwie do wyższych wymiarów, gdy jest tylko 2-przechodnia.

Przykłady

PSL(2,7)
Grupa modułowa , PSL(2, Z )
PSL(2,R)
grupa Möbiusa , PGL(2, C ) = PSL(2, C )

Podgrupy

Rzutowa grupa ortogonalna , PO – podgrupa maksymalnie zwarta PGL
Projektowa grupa unitarna , PU
Rzutowa specjalna grupa ortogonalna , PSO – maksymalna zwarta podgrupa PSL
Projektowa specjalna grupa unitarna , PSU

Większe grupy

Rzutowa grupa liniowa zawiera się w większych grupach, w szczególności:

Rzutowa grupa półliniowa , PΓL , która pozwala na automorfizmy pól .
grupa Cremona , Cr ( P ⁿ ( k )) automorfizmów binarodowych ; każdy automorfizm biregularny jest liniowy, więc PGL pokrywa się z grupą automorfizmów biregularnych.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Grove, Larry C. (2002), Klasyczne grupy i algebra geometryczna , Graduate Studies in Mathematics , 39 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3, MR 1859189

Languages

In other projects