Zamknięcie algebraiczne - Algebraic closure

W matematyce , zwłaszcza algebry abstrakcyjnej , o algebraicznych zamknięcia z pola K jest algebraiczne rozszerzenie z K , która jest algebraicznie zamknięte . To jedno z wielu zamknięć w matematyce.

Korzystanie z lematu Zorna lub słabszy Ultrafiltr lematu , jeżeli można wykazać, że każde pole ma algebraiczne zamknięcie , a algebraicznej zamknięcia polu K jest unikalny maksymalnie o izomorfizmu że poprawki każdy członek K . Z powodu tej zasadniczej niepowtarzalności, często mówią o tym algebraicznych zamknięcia K , zamiast na algebraicznej zamknięcia K .

Algebraiczną zamknięcie pola K mogą być traktowane jako największy algebraicznych rozszerzenie K . Aby to zobaczyć, pamiętać, że jeśli L jest dowolny algebraiczne rozszerzenie K , wtedy algebraiczne zamknięcie L jest również zamknięcie algebraiczna K , a więc L jest zawarty w zamknięciu algebraicznej K . Algebraiczną zamknięcie K jest najmniejsza algebraicznie zamknięte pole zawierające K , ponieważ jeśli M jest każdy obszar algebraicznie zamknięty zawierający K , wówczas elementy M , które są algebraiczne nad K stanowią algebraiczną zamknięcie K .

Domknięcie algebraiczne ciała K ma taką samą liczność jak K, jeśli K jest nieskończone, i jest policzalnie nieskończone, jeśli K jest skończone.

Przykłady

• Zasadnicze twierdzenie algebry stanach że algebraiczne zamknięcie dziedzinie liczb rzeczywistych jest dziedzina liczb zespolonych .
• Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych jest ciałem liczb algebraicznych .
• W liczbach zespolonych istnieje wiele policzalnych algebraicznie zamkniętych ciał, które ściśle zawierają pole liczb algebraicznych; są to algebraiczne domknięcia transcendentalnych rozszerzeń liczb wymiernych, np. algebraiczne domknięcie Q (π).
• Dla skończonego ciała o pierwszym rzędzie q , domknięcie algebraiczne jest policzalnym ciałem nieskończonym, które zawiera kopię ciała rzędu q ⁿ dla każdej dodatniej liczby całkowitej n (i jest w rzeczywistości sumą tych kopii).

Istnienie domknięcia algebraicznego i ciał rozszczepiających

Niech będzie zbiorem wszystkich monicznych nieredukowalnych wielomianów w K [ x ]. Dla każdego wprowadź nowe zmienne, gdzie . Niech R będzie wielomianowym pierścieniem nad K wygenerowanym przez dla wszystkich i dla wszystkich . pisać ${\ displaystyle S = \ {f _ {\ lambda} | \ lambda \ in \ Lambda \}}$${\ displaystyle f _ {\ lambda} \ in S}$${\ Displaystyle u _ {\ lambda, 1}, \ ldots, u _ {\ lambda, d}}$${\ displaystyle d = {\ rm {stopień}} (f _ {\ lambda})}$${\ displaystyle u _ {\ lambda, i}}$${\ Displaystyle \ lambda \ in \ Lambda}$${\ displaystyle i \ leq {\ rm {stopień}} (f _ {\ lambda})}$

${\ displaystyle f _ {\ lambda} - \ prod _ {i = 1} ^ {d} (x-u _ {\ lambda, i}) = \ sum _ {j = 0} ^ {d-1} r _ {\ lambda, j} \ cdot x ^ {j} \ in R [x]}$

z . Niech będę ideałem w R generowanym przez . Ponieważ ja jest ściśle mniejsze niż R , lemat Zorna zakłada, że istnieje maksymalny idealnego M w R , który zawiera I . Pole K ₁ = R / M ma tę właściwość, że każdy wielomian o współczynnikach w K dzieli się jako iloczyn, a zatem ma wszystkie pierwiastki w K ₁ . W ten sam sposób można skonstruować rozszerzenie K ₂ z K ₁ itd. Suma wszystkich tych rozszerzeń jest algebraicznym domknięciem K , ponieważ każdy wielomian o współczynnikach w tym nowym polu ma współczynniki w jakimś K _n z dostatecznie dużym n , a wtedy jego korzenie znajdują się w K _{n + 1} , a zatem w samym związku. ${\ displaystyle r _ {\ lambda, j} \ in R}$${\ displaystyle r _ {\ lambda, j}}$${\ displaystyle f _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle x- (u _ {\ lambda, i} + M),}$

Można wykazać, wzdłuż tej samej linii, dla każdego podzbioru S w K [ x ], nie istnieje pole łupania z S na K .

Oddzielne zamknięcie

Algebraicznym zamknięcie K ^alg od K zawiera unikalny oddzielić przedłużenia K ^sie z K zawierający wszystkie (algebraicznych) rozłączne rozszerzenia o K w ciągu K ^alg . Ten subextension nazywany jest rozłączalne zamknięcie z K . Ponieważ rozłączne rozszerzenie rozłącznego rozszerzenia jest ponownie rozłączne, nie ma skończonych rozłącznych rozszerzeń K ^sep , stopnia> 1. Mówiąc to inaczej, K jest zawarte w rozłącznie zamkniętym algebraicznym polu rozszerzenia. Jest wyjątkowy ( aż do izomorfizmu).

Zamknięcie rozłączne jest domknięciem algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy K jest ciałem idealnym . Na przykład, jeśli K jest ciałem o charakterystyce p, a X jest transcendentalne względem K , jest nierozdzielnym rozszerzeniem pola algebraicznego. ${\ Displaystyle K (X) ({\ sqrt [{p}] {X}}) \ supset K (X)}$

Na ogół, absolutny grupa Galois z K jest grupą Galois z K ^sep nad K .

Zobacz też

• Algebraicznie zamknięte pole
• Rozszerzenie algebraiczne
• Ekspansja Puiseux
• Wypełnij pole

Bibliografia

• Kaplansky, Irving (1972). Pola i pierścienie . Wykłady matematyki w Chicago (wyd. Drugie). University of Chicago Press. ISBN   0-226-42451-0 . Zbl   1001.16500 .
• McCarthy, Paul J. (1991). Algebraiczne rozszerzenia pól (poprawiony przedruk drugiego wyd.). New York: Dover Publications. Zbl   0768.12001 .