Gładki schemat - Smooth scheme

W geometrii algebraicznej , o gładkiej schemat na polu jest schemat , który jest dobrze aproksymować afinicznej przestrzeni najbliższej dowolnym momencie. Gładkość to jeden ze sposobów sprecyzowania pojęcia schematu bez punktów osobliwych . Szczególnym przypadkiem jest pojęcie gładkiej odmiany na polu. Gładkie schematy odgrywają rolę w geometrii algebraicznej rozmaitości w topologii.

Definicja

Najpierw niech X będzie afinicznym schematem typu skończonego na polu k . Równoważnie X ma zamknięte zanurzenie w przestrzeni afinicznej A n nad k dla pewnej liczby naturalnej n . Wówczas X jest zamkniętym podschematem określonym przez pewne równania g 1 = 0, ..., g r = 0, gdzie każde g i znajduje się w pierścieniu wielomianu k [ x 1 , ..., x n ]. Afinicznej Schemat X jest gładka o wymiarze m nad k jeśli X ma wymiar co najmniej m w otoczeniu każdego punktu, a matrycą pochodnych (∂ g i / ∂ x j ) ma pozycję co najmniej n - m wszędzie X . (Wynika z tego, że X ma wymiar równy m w sąsiedztwie każdego punktu.) Gładkość jest niezależna od wyboru zanurzenia X w przestrzeni afinicznej.

Przez warunek macierzy pochodnych rozumie się, że zamknięty podzbiór X, w którym wszystkie ( n - m ) × ( n - m ) nieletnie macierzy pochodnych są równe zero, jest zbiorem pustym. Równoważnie ideałem w pierścieniu wielomianowym generowanym przez wszystkie gi i wszystkie te nieletnie jest cały pierścień wielomianowy.

W kategoriach geometrycznych macierz pochodnych (∂ g i / ∂ x j ) w punkcie p w X daje liniową mapę F n → F r , gdzie F jest polem reszt p . Jądro tej mapie jest nazywany Zariski przestrzeń styczna z X na str . Gładkość X oznacza, że ​​wymiar przestrzeni stycznej Zariskiego jest równy wymiarowi X w pobliżu każdego punktu; w osobliwym punkcie przestrzeń styczna Zariskiego byłaby większa.

Bardziej ogólnie, schemat X na polu k jest gładki na k, jeśli każdy punkt X ma otwarte sąsiedztwo, które jest gładkim schematem afinicznym o pewnym wymiarze powyżej k . W szczególności gładki schemat nad k jest lokalnie typu skończonego .

Istnieje bardziej ogólne pojęcie gładkiego morfizmu schematów, który jest z grubsza morfizmem z gładkimi włóknami. W szczególności schemat X jest gładki na polu k wtedy i tylko wtedy, gdy morfizm X → Spec k jest gładki.

Nieruchomości

Gładki schemat na polu jest regularny, a zatem normalny . W szczególności zmniejsza się płynność schematu na polu .

Zdefiniuj różnorodność w polu k, aby była integralnym schematem rozdzielonym typu skończonego nad k . Wtedy każdy gładki, rozdzielony schemat typu skończonego nad k jest skończonym rozłącznym związkiem gładkich odmian nad k .

Dla gładkiej odmiany X na liczbach zespolonych, przestrzeń X ( C ) punktów zespolonych X jest rozmaitością zespoloną , wykorzystującą topologię klasyczną (euklidesową). Podobnie, dla gładkiej odmiany X w stosunku do liczb rzeczywistych, przestrzeń X ( R ) punktów rzeczywistych jest rzeczywistą rozmaitością , prawdopodobnie pustą.

Dla każdego programu X , który jest lokalnie skończonego typu nad polem k , jest spójna snop Ω 1 z różnic dotyczących X . Schemat X jest gładki względem k wtedy i tylko wtedy, gdy Ω 1 jest wiązką wektorów o randze równej wymiarowi X w pobliżu każdego punktu. W takim przypadku, Ω 1 nazywa się wiązkę cotangens z X . Wiązka styczna gładkiej na schemacie K, można określić jako podwójnej wiązki, TX = (co 1 ) * .

Gładkość jest nieruchomość geometryczny , co oznacza, że dla każdego rozszerzenie ciała E z k , schemat X jest gładka nad k wtedy i tylko wtedy, gdy program X E  : = X × Spec k Spec E jest załagodzić E . Dla idealnego pola k schemat X jest wygładzony na k wtedy i tylko wtedy, gdy X jest lokalnie typu skończonego na k, a X jest regularne .

Ogólna gładkość

Mówi się, że schemat X jest ogólnie gładki o wymiarze n na k, jeśli X zawiera otwarty, gęsty podzbiór, który jest gładki o wymiarze n na k . Każda odmiana na polu doskonałym (w szczególności na polu algebraicznie zamkniętym) jest generalnie gładka.

Przykłady

  • Przestrzeń afiniczna i przestrzeń rzutowa to gładkie schematy na polu k .
  • Przykładem gładkiej hiperpowierzchni w przestrzeni rzutowej P n nad k jest hiperpowierzchnia Fermata x 0 d + ... + x n d = 0, dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej d, która jest odwracalna w k .
  • Przykładem osobliwego (niegładkiego) schematu na polu k jest zamknięty podschemat x 2 = 0 w linii afinicznej A 1 nad k .
  • Przykładem pojedyncza (niegładką) na różnych k jest cuspidal sześcienny Krzywa x 2 = R 3 w afinicznej płaszczyźnie A 2 , która jest gładka na zewnątrz początek ( x , y ) = (0,0).
  • Odmiana 0-wymiarowa X nad ciałem k ma postać X = Spec E , gdzie E jest skończonym ciałem rozszerzającym k . Odmiana X jest gładka nad k wtedy i tylko wtedy, gdy E jest oddzielnym przedłużeniem k . Tak więc, jeśli E nie da się rozdzielić po k , to X jest regularnym schematem, ale nie jest gładkie po k . Na przykład niech k będzie ciałem funkcji wymiernych F p ( t ) dla liczby pierwszej p i niech E = F p ( t 1 / p ); wtedy Spec E jest odmianą wymiaru 0 na k, która jest regularnym schematem, ale nie jest wygładzona na k .
  • Odmiany Schuberta na ogół nie są gładkie.

Uwagi

Bibliografia

  • Uwagi D. Gaitsgory na temat płaskości i gładkości pod adresem http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-36764-6 , MR   1011461

Zobacz też