Punkt racjonalny - Rational point

W teorii liczb i geometrii algebraicznej , o racjonalny punkt o algebraicznych odmiany jest punkt o współrzędnych należą do danej dziedzinie . Jeśli pole nie jest wymienione, ogólnie rozumiane jest pole liczb wymiernych . Jeśli pole jest ciałem liczb rzeczywistych , punkt wymierny jest częściej nazywany punktem rzeczywistym .

Zrozumienie racjonalnych punktów jest głównym celem teorii liczb i geometrii diofantycznej . Na przykład, Wielkie Twierdzenie Fermata można przeformułować jako: dla n > 2 , krzywa Fermata z równania nie ma innego punktu wymiernego niż (1, 0) , (0, 1) , a jeśli n jest parzyste, (–1, 0) i (0, –1) .

Definicja

Mając ciało k i algebraicznie domknięte rozszerzenie K z k , rozmaitość afiniczna X nad k jest zbiorem wspólnych zer w zbiorze wielomianów o współczynnikach w k :

Te wspólne zer nazywane są punkty z X .

K - racjonalnego punktu (a k - punkt ) z X jest punktem X , który należy do k, n , to znaczy, sekwencja ( 1 , ..., n ) z n elementów K takie, że f j ( a 1 ,..., a n ) = 0 dla wszystkich j . Zbiór k -wymiernych punktów X jest często oznaczany X ( k ).

Czasami, gdy pole k jest zrozumiała, lub gdy k jest polem Q z liczb wymiernych , jeden mówi „racjonalny punkt” zamiast „ k -rational punkt”.

Na przykład wymierne punkty okręgu jednostkowego równania

są parami liczb wymiernych

gdzie jest trójka pitagorejska .

Koncepcja ma sens również w bardziej ogólnych ustawieniach. Rzutowa odmiany X w przestrzeni rzutowej P n nad polem k może być zdefiniowana przez zbiór jednorodnych wielomianowych równań zmiennych x 0 , ..., x n . K -punktowej z P n napisany [ 0 , ..., n ], podano za pomocą sekwencji n + 1 elementów K , nie wszystkie zera, przy założeniu, że wszystkie mnożenia w 0 .. . n o ten sam element z niezerowym k daje ten sam punkt powierzchni projekcyjnej. Wtedy k -punkt X oznacza k -punkt P n, w którym dane wielomiany znikają.

Bardziej ogólnie, niech X będzie schematem nad ciałem k . Oznacza to, że dany jest morfizm schematów f : XSpec ( k ). Wtedy k- punkt X oznacza część tego morfizmu, czyli morfizm a : Spec( k ) → X taki, że złożenie fa jest identycznością na Spec( k ). Jest to zgodne z poprzednimi definicjami, gdy X jest odmianą afiniczną lub projekcyjną (traktowaną jako schemat nad k ).

Gdy X jest rozmaitością nad ciałem algebraicznie domkniętym k , znaczna część struktury X jest określona przez jego zbiór X ( k ) k - punktów wymiernych. Na polu ogólnej k jednak, X ( k ) daje tylko częściowe informacje na temat X . W szczególności, dla odmiany X nad polem k oraz wszelkich rozszerzenie ciała E z k , X określa również zbiór X ( E ) z E - racjonalne punktów z X , czyli zestaw rozwiązań równań określających X o wartościach w E .

Przykład: Niech X będzie krzywą stożkową x 2 + y 2 = −1 w płaszczyźnie afinicznej A 2 nad liczbami rzeczywistymi R . Wtedy zbiór punktów rzeczywistych X ( R ) jest pusty, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Z drugiej strony, w terminologii geometrii algebraicznej, rozmaitość algebraiczna X nad R nie jest pusta, ponieważ zbiór punktów zespolonych X ( C ) nie jest pusty.

Bardziej ogólnie, dla schematu X nad przemiennym pierścieniem R i dowolnej przemiennej R - algebry S , zbiór X ( S ) S - punktów X oznacza zbiór morfizmów Spec( S ) → X nad Spec( R ). Schemat X jest określony do izomorfizmu przez funktor SX ( S ); jest to filozofia utożsamiania schematu z jego funktorem punktów . Innym sformułowaniem jest to, że schemat X nad R określa schemat X S nad S przez zmianę bazy , a S- punkty X (nad R ) można utożsamiać z S- punktami X S (nad S ).

Teoria diofantyczne równań tradycyjnie oznaczało badanie integralnych punktów , czyli rozwiązania równań wielomianowych w liczb całkowitych Z aniżeli wymiernych Q . W przypadku jednorodnych równań wielomianowych, takich jak x 3 + y 3 = z 3 , te dwa problemy są zasadniczo równoważne, ponieważ każdy punkt wymierny można przeskalować, aby stał się punktem całkowitym.

Wymierne punkty na krzywych

Wiele teorii liczb można postrzegać jako badanie wymiernych punktów rozmaitości algebraicznych, a wygodnym ustawieniem są gładkie rozmaitości rzutowe. W przypadku gładkich krzywych rzutowych zachowanie punktów wymiernych silnie zależy od rodzaju krzywej.

Rodzaj 0

Każda gładka krzywa rzutowa X rodzaju zero nad polem k jest izomorficzna z krzywą stożkową (stopień 2) w P 2 . Jeśli X ma punkt k- racjonalny, to jest izomorficzny z P 1 nad k , a więc jego punkty k- racjonalne są całkowicie zrozumiałe. Jeśli k jest ciałem Q liczb wymiernych (lub ogólniej polem liczbowym ), istnieje algorytm określający, czy dana stożka ma punkt wymierny, oparty na zasadzie Hassego : stożka nad Q ma punkt wymierny wtedy i tylko jeśli ma punkt nad wszystkimi uzupełnieniami Q , to znaczy nad R i wszystkimi polami p- adycznymi Q p .

Rodzaj 1

Trudniej jest określić, czy krzywa rodzaju 1 ma punkt racjonalny. W tym przypadku zasada Hassego zawodzi: na przykład Ernst Selmer , krzywa sześcienna 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 w P 2 ma punkt nad wszystkimi uzupełnieniami Q , ale nie ma punktu wymiernego. Niepowodzenie zasady Hassego dla krzywych z rodzaju 1 mierzy grupa Tate-Shafarevich .

Jeśli X jest krzywą rodzaju 1 z k -punktem wymiernym p 0 , to X nazywamy krzywą eliptyczną nad k . W tym przypadku X ma strukturę przemiennej grupy algebraicznej (z p 0 jako elementem zerowym), a więc zbiór X ( k ) k -punktów wymiernych jest grupą abelową . Twierdzenie Mordella-Weila mówi, że dla krzywej eliptycznej (lub ogólniej odmiany abelowej ) X nad polem liczbowym k , grupa abelowa X ( k ) jest generowana skończenie . Programy algebry komputerowej mogą wyznaczyć grupę Mordella-Weila X ( k ) w wielu przykładach, ale nie wiadomo, czy istnieje algorytm, który zawsze z powodzeniem oblicza tę grupę. Wynikałoby to z przypuszczenia, że ​​grupa Tate-Shafarevicha jest skończona, lub z pokrewnej hipotezy Bircha-Swinnertona-Dyera .

Rodzaj co najmniej 2

Twierdzenie Faltingsa (dawniej hipoteza Mordella) mówi, że dla dowolnej krzywej X z rodzaju co najmniej 2 nad polem liczbowym k zbiór X ( k ) jest skończony.

Niektóre z wielkich osiągnięć teorii liczb sprowadzają się do wyznaczania punktów wymiernych na poszczególnych krzywych. Na przykład Wielkie Twierdzenie Fermata (dowiedzione przez Richarda Taylora i Andrew Wilesa ) jest równoważne stwierdzeniu, że dla liczby całkowitej n co najmniej 3, jedynymi wymiernymi punktami krzywej x n + y n = z n w P 2 przez Q są oczywiste: [0,1,1] i [1,0,1]; [0,1,−1] i [1,0,−1] dla parzystych n ; oraz [1,−1,0] dla n nieparzystych. Krzywa X (jak każda gładka krzywa stopnia n w P 2 ) ma rodzaj ( n − 1)( n − 2)/2.

Nie wiadomo, czy istnieje algorytm znajdowania wszystkich punktów wymiernych na dowolnej krzywej rodzaju co najmniej 2 na polu liczbowym. W niektórych przypadkach działa algorytm. Jego zakończenie w ogóle wynikałoby z przypuszczeń, że grupa Tate-Shafarevicha odmiany abelowej na polu liczbowym jest skończona i że przeszkoda Brauera-Manina jest jedyną przeszkodą dla zasady Hassego w przypadku krzywych.

Wyższe wymiary

Odmiany z niewielką liczbą punktów wymiernych

W wyższych wymiarach, jeden jednoczącym celem jest Bombieri - Lang przypuszczenie , że dla każdej odmiany X z ogólnego typu nad polem liczba k , zestaw k -rational punktów X nie jest Zariski gęsty w X . (Oznacza to, że k -punkty wymierne zawarte są w skończonej unii niższych wymiarów podrozmaitości X .) W wymiarze 1 jest to dokładnie twierdzenie Faltingsa, ponieważ krzywa jest typu ogólnego wtedy i tylko wtedy, gdy ma co najmniej rodzaj 2. Lang sformułował także dokładniejsze przypuszczenia dotyczące skończoności punktów wymiernych z hiperbolicznością Kobayashiego .

Na przykład hipoteza Bombieriego–Langa przewiduje, że gładka hiperpowierzchnia stopnia d w przestrzeni rzutowej P n nad polem liczbowym nie ma gęstych punktów wymiernych Zariskiego, jeśli dn + 2. Niewiele wiadomo o tym przypadku. Najsilniejszym znanym wynikiem hipotezy Bombieriego–Langa jest twierdzenie Faltingsa o ​​pododmianach odmian abelowych (uogólniając przypadek krzywych). Mianowicie, jeśli X jest pododmianą odmiany abelowej A nad polem liczbowym k , to wszystkie k -punkty wymierne X są zawarte w skończonej unii przekształceń podrozmaitości abelowych zawartych w X . (Więc jeśli X nie zawiera przetłumaczonych podrozmaitości abelowych o dodatnim wymiarze, to X ( k ) jest skończone.)

Odmiany z wieloma racjonalnymi punktami

W przeciwnym kierunku mówi się , że rozmaitość X nad ciałem liczbowym k ma potencjalnie gęste punkty wymierne, jeśli istnieje skończone rozszerzenie pola E z k takie, że E -punkty wymierne X są gęste w X . Frédéric Campana przypuszczał, że odmiana jest potencjalnie gęsta wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma racjonalnego rozwłóknienia na dodatnio-wymiarowej orbifoldzie typu ogólnego. Znanym przypadkiem jest to, że każda powierzchnia sześcienna w P 3 na polu liczbowym k ma potencjalnie gęste punkty wymierne, ponieważ (mocniej) staje się wymierna na pewnym skończonym rozszerzeniu k (chyba że jest to stożek na płaskiej krzywej sześciennej). Hipoteza Campany sugerowałaby również, że powierzchnia K3 X (taka jak gładka powierzchnia kwarcowa w P 3 ) nad polem liczbowym ma potencjalnie gęste punkty wymierne. Jest to znane tylko w szczególnych przypadkach, na przykład jeśli X ma eliptyczne fibrację .

Można zapytać, kiedy odmiana ma punkt racjonalny bez rozszerzania pola bazowego. W przypadku hiperpowierzchni X stopnia d w P n nad polem liczbowym, dobre wyniki uzyskuje się, gdy d jest znacznie mniejsze niż n , często w oparciu o metodę okręgów Hardy'ego-Littlewooda . Na przykład twierdzenie Hassego-Minkowskiego mówi, że zasada Hassego obowiązuje dla hiperpowierzchni kwadratowych nad polem liczbowym (przypadek d = 2). Christopher Hooley udowodnił zasadę Hassego dla gładkich hiperpowierzchni sześciennych w P n nad Q, gdy n ≥ 8. W wyższych wymiarach prawdą jest jeszcze więcej: każdy gładki sześcienny w P n nad Q ma punkt wymierny, gdy n ≥ 9, Roger Heath- Brązowy . Mówiąc bardziej ogólnie, twierdzenie Bircha mówi, że dla każdej nieparzystej dodatniej liczby całkowitej d istnieje taka liczba całkowita N , że dla wszystkich nN , każda hiperpowierzchnia stopnia d w P n nad Q ma punkt wymierny.

W przypadku hiperpowierzchni o mniejszym wymiarze (pod względem stopnia) sprawy mogą być bardziej skomplikowane. Na przykład zasada Hassego zawodzi dla gładkiej powierzchni sześciennej 5 x 3 + 9 y 3 + 10 z 3 + 12 w 3 = 0 w P 3 nad Q , autorstwa Iana Casselsa i Richarda Guya. Jean-Louis Colliot-Thélène przypuszczał, że przeszkoda Brauera-Manina jest jedyną przeszkodą dla zasady Hassego dla powierzchni sześciennych. Mówiąc bardziej ogólnie, powinno to dotyczyć każdej racjonalnie połączonej odmiany w polu liczbowym.

W niektórych przypadkach wiadomo, że X ma „wiele” punktów wymiernych, ilekroć ma jeden. Na przykład, rozszerzając pracę Beniamino Segre i Yuri Manina , János Kollár pokazał: dla sześciennej hiperpowierzchni X o wymiarze co najmniej 2 nad idealnym polem k, gdzie X nie jest stożkiem, X jest nieracjonalne nad k, jeśli ma punkt k- racjonalny . (W szczególności, dla k nieskończonego, uniracjonalność implikuje, że zbiór k -punktów wymiernych jest gęsty Zariskiego w X .) Hipoteza Manina jest bardziej precyzyjnym stwierdzeniem, które opisuje asymptotykę liczby punktów wymiernych o ograniczonej wysokości na Fano. różnorodność .

Liczenie punktów na polach skończonych

Odmiana X nad ciałem skończonym k ma tylko skończenie wiele k -punktów wymiernych. Te przypuszczenia Weil okazała przez André Weil w wymiarze 1 i przez Pierre Deligne w dowolnym wymiarze, dają silne szacunki liczby k punktu procentowego w kategoriach liczby bettiego z X . Na przykład, jeśli X jest gładką krzywą rzutową rodzaju g nad polem k rzędu q (potęga pierwsza), to

Dla gładkiej hiperpowierzchni X stopnia d w P n nad ciałem k rzędu q , twierdzenie Deligne'a daje granicę:

Istnieją również istotne wyniki dotyczące tego, kiedy rozmaitość rzutowa nad skończonym ciałem k ma co najmniej jeden punkt k- racjonalny. Na przykład twierdzenie Chevalleya-Warninga implikuje, że każda hiperpowierzchnia X stopnia d w P n nad skończonym polem k ma punkt k- racjonalny, jeśli dn . W przypadku gładkiego X wynika to również z twierdzenia Hélène Esnault , że każda gładka rozmaitość rzutowo związana racjonalnie łańcuchowo , na przykład każda rozmaitość Fano, nad polem skończonym k ma punkt k- racjonalny.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki