Rachunek Schuberta - Schubert calculus

W matematyce , Schubert rachunek jest gałąź geometrii algebraicznej wprowadzony w XIX wieku przez Hermann Schubert , mających na celu rozwiązanie różnych problemów zliczonych geometrii rzutowej (część geometrii enumeratywnej ). Był prekursorem kilku nowocześniejszych teorii, np. Klas charakterystycznych , w szczególności jego aspekty algorytmiczne są nadal przedmiotem zainteresowania. Wyrażenie „rachunek Schuberta” jest czasami używane na oznaczenie wyliczeniowej geometrii podprzestrzeni liniowych, z grubsza równoważne opisaniu pierścienia kohomologii Grassmannian, a czasami używane na oznaczenie bardziej ogólnej geometrii enumeratywnej odmian nieliniowych. Jeszcze bardziej ogólnie, „rachunek Schuberta” jest często rozumiany jako obejmujący badanie analogicznych pytań w uogólnionych teoriach kohomologii .

Obiekty wprowadzone przez Schuberta to komórki Schuberta , które są lokalnie zamkniętymi zbiorami w Grassmannie zdefiniowanym przez warunki występowania liniowej podprzestrzeni w przestrzeni rzutowej z daną flagą . Po szczegóły patrz odmiana Schubert .

Przecięcia teorii tych komórek, które mogą być postrzegane jako struktury produktu w pierścieniu kohomologii z Grassmannian stowarzyszonych klas kohomologii zasadniczo umożliwia przewidywanie przypadkach przecięcia wyników komórek w ograniczonym zbiorem punktów, które są potencjalnie konkretne odpowiedzi na pytania wyliczeniowe. Dodatkowym wynikiem teoretycznym jest to, że komórki Schuberta (a raczej ich klasy) obejmują cały pierścień kohomologii.

W szczegółowych obliczeniach aspekty kombinatoryczne wchodzą w grę, gdy tylko komórki muszą zostać zindeksowane. Przeniesione z obszaru Grassmanna , który jest przestrzenią jednorodną , do ogólnej grupy liniowej, która na nią działa, podobne pytania są zaangażowane w rozkład Bruhata i klasyfikację podgrup parabolicznych (według macierzy blokowej ).

Oparcie systemu Schuberta na rygorystycznych podstawach jest piętnastym problemem Hilberta .

Budowa

Schubert rachunek może zostać wykonana za pomocą pierścienia Chow z Grassmannian gdzie cykle generujące są reprezentowane przez geometrycznie znaczących danych. Oznaczmy jako Grassmanna z -płaszczyzn w stałej- wymiarowej przestrzeni wektorowej i jej pierścień Chow; Zwróć uwagę, że czasami Grassmannian jest oznaczany tak, jakby przestrzeń wektorowa nie została wyraźnie określona. Skojarzone z dowolną kompletną flagą ${\ Displaystyle G (k, V)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle A ^ {*} (G (k, V))}$${\ Displaystyle G (k, n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ Displaystyle 0 \ podzbiór V_ {1} \ podzbiór \ cdots \ podzbiór V_ {n-1} \ podzbiór V_ {n} = V}$

i malejącą -krotną liczb całkowitych, gdzie ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {k})}$

${\ Displaystyle nk \ geq a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {k} \ geq 0}$

istnieją cykle Schuberta (które nazywane są komórkami Schuberta, biorąc pod uwagę homologię komórkową zamiast pierścienia Chow) zdefiniowane jako ${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ mathbf {a}} ({\ mathcal {V}}) \ podzbiór G (k, V)}$

${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ mathbf {a}} ({\ mathcal {V}}) = \ {\ Lambda \ in G (k, V): \ dim (V_ {n-k + i-a_ {i }} \ cap \ Lambda) \ geq i {\ text {dla wszystkich}} i \ geq 1 \}}$

Ponieważ klasa nie zależy od pełnej flagi, można ją zapisać jako ${\ Displaystyle [\ Sigma _ {\ mathbb {a}} ({\ mathcal {V}})] \ w A ^ {*} (G (k, V))}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathbb {a}}: = [\ Sigma _ {\ mathbb {a}}] \ w A ^ {*} (G (k, V))}$

które nazywane są klasami Schuberta . Można wykazać, że te klasy generują pierścień Chowa, a związana z nimi teoria przecięć nazywa się rachunkiem Schuberta . Zauważ, że biorąc pod uwagę sekwencję, klasa Schuberta jest zwykle oznaczana jako sprawiedliwa . Ponadto klasy Schuberta określone przez jedną liczbę całkowitą są nazywane klasami specjalnymi . Korzystając z poniższego wzoru Giambeli, wszystkie klasy Schuberta można wygenerować z tych specjalnych klas. ${\ Displaystyle \ mathbb {a} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {j}, 0, \ ldots, 0)}$${\ displaystyle \ sigma _ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {j}, 0, \ ldots, 0)}}$${\ displaystyle \ sigma _ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {j})}}$${\ displaystyle \ sigma _ {a_ {1}}}$

Wyjaśnienie

Aby wyjaśnić definicję, rozważ ogólną płaszczyznę -płaszczyznę : będzie ona miała tylko zerowe przecięcie z for , podczas gdy for . Na przykład w programie a -płaszczyzna jest przestrzenią rozwiązań układu pięciu niezależnych, jednorodnych równań liniowych. Równania te ogólnie obejmują gdy ograniczony do podprzestrzeni z , w którym to przypadku przestrzeń roztwór (przecięcie z ) obejmuje jedynie wektor zerowania. Jednak kiedyś , wtedy i będzie koniecznie mieć niezerowe przecięcie. Na przykład oczekiwany wymiar przecięcia i jest , przecięcie i ma oczekiwany wymiar i tak dalej. ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ Lambda \ podzbiór V}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle j \ leq nk}$${\ Displaystyle \ dim (V_ {j} \ czapka \ Lambda) = i}$${\ Displaystyle j = n-k + i \ geq nk}$${\ Displaystyle G (4,9)}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle j = \ dim V_ {j} \ leq 5 = 9-4}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ dim (V_ {j}) + \ dim (\ Lambda)> n = 9}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle V_ {6}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle V_ {7}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle 2}$

Definicja cyklu Schuberta stwierdza, że ​​pierwsza wartość with jest generalnie mniejsza niż wartość oczekiwana przez parametr . W -planes podane przez tych ograniczeń następnie zdefiniować specjalne subvarieties o . ${\ displaystyle j}$${\ Displaystyle \ dim (V_ {j} \ czapka \ Lambda) \ geq i}$${\ Displaystyle n-k + i}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ Lambda \ podzbiór V}$${\ Displaystyle G (k, n)}$

Nieruchomości

Włączenie

Istnieje częściowe porządkowanie na wszystkich- krotkach, gdzie jeśli dla każdego . Daje to włączenie cykli Schuberta ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {a} \ geq \ mathbb {b}}$${\ displaystyle a_ {i} \ geq b_ {i}}$${\ displaystyle i}$

${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ mathbb {a}} \ subset \ Sigma _ {\ mathbb {b}} \ iff a \ geq b}$

wykazanie wzrostu indeksów odpowiada jeszcze większej specjalizacji podgatunków.

Wzór na współwymiar

Cykl Schuberta ma kowymiar ${\ displaystyle \ Sigma _ {\ mathbb {a}}}$

${\ displaystyle \ sum a_ {i}}$

który jest stabilny pod wpływem inkluzji Grassmannian. To znaczy włączenie

${\ Displaystyle i: G (k, n) \ hookrightarrow G (k + 1, n + 1)}$

dana przez dodanie dodatkowego elementu bazowego do każdej -płaszczyzny, dając -płaszczyznę, ma tę własność ${\ displaystyle e_ {n + 1}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (k + 1)}$

${\ Displaystyle i ^ {*} (\ sigma _ {\ mathbb {a}}) = \ sigma _ {\ mathbb {a}}}$

Również włączenie

${\ Displaystyle j: G (k, n) \ hookrightarrow G (k, n + 1)}$

dana przez włączenie -plane ma tę samą właściwość pullback. ${\ displaystyle k}$

Iloczyn przecięcia

Produkt przecięcia został po raz pierwszy ustalony przy użyciu formuł Pieriego i Giambellego.

Formuła Pieri

W szczególnym przypadku istnieje jawny wzór iloczynu z dowolnej klasy Schuberta podanej przez ${\ Displaystyle \ mathbb {b} = (b, 0, \ ldots, 0)}$${\ displaystyle \ sigma _ {b}}$${\ displaystyle \ sigma _ {a_ {1}, \ ldots, a_ {k}}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {b} \ cdot \ sigma _ {a_ {1}, \ ldots, a_ {k}} = \ suma _ {\ początek {matryca} | c | = | a | + b \\ a_ {i} \ leq c_ {i} \ leq a_ {i-1} \ end {matrix}} \ sigma _ {\ mathbb {c}}}$

Uwaga . Ta formuła nazywa się formułą Pieriego i może być używana do określania iloczynu przecięcia dowolnych dwóch klas Schuberta w połączeniu z formułą Giambellego. Na przykład ${\ Displaystyle | \ mathbb {a} | = a_ {1} + \ cdots + a_ {k}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} \ cdot \ sigma _ {4,2,1} = \ sigma _ {5,2,1} + \ sigma _ {4,3,1} + \ sigma _ {4, 2,1,1}}$

i

${\ Displaystyle \ sigma _ {2} \ cdot \ sigma _ {4,3} = \ sigma _ {4,3,2} + \ sigma _ {4,4,1} + \ sigma _ {5,3, 1} + \ sigma _ {5,4} + \ sigma _ {6,3}}$

Formuła Giambellego

Klasy Schuberta z krotkami o długości dwóch lub więcej można opisać jako równanie determinujące przy użyciu klas tylko jednej krotki. Wzór Giambelli ma następujące równanie

${\ displaystyle \ sigma _ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {k})} = {\ początek {vmatrix} \ sigma _ {a_ {1}} & \ sigma _ {a_ {1} +1} & \ sigma _ {a_ {1} +2} & \ cdots & \ sigma _ {a_ {1} + k-1} \\\ sigma _ {a_ {2} -1} & \ sigma _ {a_ {2 }} & \ sigma _ {a_ {2} +1} & \ cdots & \ sigma _ {a_ {2} + k-2} \\\ sigma _ {a_ {3} -2} & \ sigma _ {a_ {3} -1} & \ sigma _ {a_ {3}} & \ cdots & \ sigma _ {a_ {3} + k-3} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \\ sigma _ {a_ {k} -k + 1} & \ sigma _ {a_ {k} -k + 2} & \ sigma _ {a_ {k} -k + 3} & \ cdots & \ sigma _ { a_ {k}} \ end {vmatrix}}}$

dany przez wyznacznik a -macierzy. Na przykład, ${\ displaystyle (k, k)}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {2,2} = {\ rozpocząć {vmatrix} \ sigma _ {2} & \ sigma _ {3} \\\ sigma _ {1} & \ sigma _ {2} \ koniec {vmatrix }} = \ sigma _ {2} ^ {2} - \ sigma _ {1} \ cdot \ sigma _ {3}}$

i

${\ Displaystyle \ sigma _ {2,1,1} = {\ rozpocząć {vmatrix} \ sigma _ {2} & \ sigma _ {3} & \ sigma _ {4} \\\ sigma _ {0} & \ sigma _ {1} & \ sigma _ {2} \\ 0 & \ sigma _ {0} & \ sigma _ {1} \ end {vmatrix}}}$

Relacja z klasami Cherna

Istnieje łatwy opis pierścienia kohomologicznego lub pierścienia Chowa Grassmanna, wykorzystując klasy Cherna dwóch naturalnych wiązek wektorów nad trawanem . Istnieje sekwencja wiązek wektorów ${\ Displaystyle G (k, n)}$

${\ Displaystyle 0 \ do T \ do {\ podkreślenie {V}} \ do Q \ do 0}$

gdzie jest trywialną wiązką wektorów rzędu , włókno nad jest podprzestrzenią , a jest ilorazem wiązki wektorów (która istnieje, ponieważ rząd jest stały na każdym z włókien). Klasy Cherna tych dwóch powiązanych pakietów to ${\ displaystyle {\ underline {V}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ Lambda \ w G (k, n)}$${\ Displaystyle \ Lambda \ podzbiór V}$${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle c_ {i} (T) = (- 1) ^ {i} \ sigma _ {(1, \ ldots, 1)}}$

gdzie jest -tuple i ${\ displaystyle (1, \ ldots, 1)}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle c_ {i} (Q) = \ sigma _ {i}}$

Sekwencja tautologiczna przedstawia następnie pierścień Chow jako

${\ Displaystyle A ^ {*} (G (k, n)) = {\ Frac {\ mathbb {Z} [c_ {1} (T), \ ldots, c_ {k} (T), c_ {1} (Q), \ ldots, c_ {nk} (Q)]} {(c (T) c (Q) -1)}}}$

G (2,4)

Jednym z klasycznych analizowanych przykładów jest Grassmannian, ponieważ parametryzuje linie w . Aby znaleźć liczbę linii na powierzchni sześciennej, można użyć rachunku Schuberta . ${\ Displaystyle G (2,4)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$

Pierścień chow

Pierścień Chow ma prezentację

${\ Displaystyle A ^ {*} (G (2,4)) = {\ Frac {\ mathbb {Z} [\ sigma _ {1}, \ sigma _ {1,1}, \ sigma _ {2}] } {((1- \ sigma _ {1} + \ sigma _ {1,1}) (1+ \ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}) - 1)}}}$

a jako stopniowana grupa abelowa jest podawana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A ^ {0} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot 1 \\ A ^ {2} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {1} \\ A ^ {4} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {1,1} \\ A ^ {6} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {2,1} \\ A ^ {8} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {2,2} \\\ end {aligned}}}$

Linie na sześciennej powierzchni

Tego pierścienia Chow można użyć do obliczenia liczby linii na sześciennej powierzchni. Przypomnij sobie, że linia w daje wymiar dwa podprzestrzeni , stąd . Równanie prostej można również podać jako fragment . Ponieważ powierzchnia sześcienna jest podawana jako ogólny jednorodny wielomian sześcienny, jest to sekcja ogólna . Wówczas linia jest odmianą podrzędną wtedy i tylko wtedy, gdy sekcja znika . W związku z tym grupa Euler od może być zintegrowany nad aby uzyskać liczbę punktów, w których sekcja generic znika na . Aby otrzymać klasę Euler, należy obliczyć całkowitą klasę Cherna , która jest podana jako ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} (1,3) \ cong G (2,4)}$${\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbb {G} (1,3), T ^ {*})}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle s \ in \ Gamma (\ mathbb {G} (1,3), {\ tekst {Sym}} ^ {3} (T ^ {*}))}$${\ displaystyle L \ subset \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle [L] \ w \ mathbb {G} (1,3)}$${\ Displaystyle {\ tekst {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} (1,3)}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} (1,3)}$${\ Displaystyle T ^ {*}}$

${\ Displaystyle C (T ^ {*}) = 1+ \ Sigma _ {1} + \ Sigma _ {1,1}}$

Następnie formuła podziału jest odczytywana jako formalne równanie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c (T ^ {*}) & = (1+ \ alfa) (1+ \ beta) \\ & = 1+ \ alfa + \ beta + \ alfa \ cdot \ beta \ koniec {aligned}}}$

gdzie i dla formalnych pakietów linii . Równanie rozszczepiania podaje zależności ${\ Displaystyle c ({\ mathcal {L}}) = 1+ \ alfa}$${\ Displaystyle c ({\ mathcal {M}}) = 1+ \ beta}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = \ alfa + \ beta}$ i . ${\ Displaystyle \ sigma _ {1,1} = \ alfa \ cdot \ beta}$

Ponieważ można odczytać jako bezpośrednią sumę formalnych wiązek wektorowych ${\ Displaystyle {\ tekst {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Sym}} ^ {3} (T ^ {*}) = {\ mathcal {l}} ^ {\ otimes 3} \ oplus ({\ mathcal {l}} ^ {\ otimes 2 } \ otimes {\ mathcal {M.}}) \ oplus ({\ mathcal {L}} \ otimes {\ mathcal {M}} ^ {\ otimes 2}) \ oplus {\ mathcal {M}} ^ {\ otimes 3}}$

którego jest cała klasa Cherna

${\ Displaystyle c ({\ tekst {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})) = (1 + 3 \ alfa) (1 + 2 \ alfa + \ beta) (1+ \ alfa +2 \ beta) (1 + 3 \ beta)}$

W związku z tym

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {4} ({\ tekst {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})) & = 3 \ alfa (2 \ alfa + \ beta) (\ alfa + 2 \ beta) 3 \ beta \\ & = 9 \ alpha \ beta (2 (\ alpha + \ beta) ^ {2} + \ alpha \ beta) \\ & = 9 \ sigma _ {1, 1} (2 \ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {1,1}) \\ & = 27 \ sigma _ {2,2} \ end {aligned}}}$

wykorzystując fakt

${\ Displaystyle \ sigma _ {1,1} \ cdot \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2,1} \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2,2}}$ i ${\ Displaystyle \ sigma _ {1,1} \ cdot \ sigma _ {1,1} = \ sigma _ {2,2}}$

Wtedy całka jest

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {G} (1,3)} 27 \ sigma _ {2,2} = 27}$

ponieważ jest najwyższej klasy. Dlatego na sześciennej powierzchni są linie. ${\ displaystyle \ sigma _ {2,2}}$${\ displaystyle 27}$

Zobacz też

• Geometria wyliczeniowa
• Pierścień chow
• Teoria skrzyżowań
• Grassmannian
• Formuła Giambellego
• Formuła Pieriego
• Klasa Cherna
• Quintic trojakie
• Przypuszczenie o symetrii lustra

Bibliografia

• Notatki ze szkoły letniej http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
• Phillip Griffiths i Joseph Harris (1978), Zasady geometrii algebraicznej , rozdział 1.5
• Kleiman, Steven (1976). „Rygorystyczne podstawy rachunku enumeratywnego Schuberta”. W Felix E. Browder (red.). Rozwój matematyczny wynikający z problemów Hilberta . Materiały z sympozjów z matematyki czystej . XXVIII.2. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 445–482. ISBN   0-8218-1428-1 .
• Steven Kleiman i Dan Laksov (1972). „Rachunek Schuberta” (PDF) . American Mathematical Monthly . 79 : 1061–1082. doi : 10.2307 / 2317421 .
• Sottile, Frank (2001) [1994], „rachunek Schuberta” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• David Eisenbud i Joseph Harris (2016), „3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry”.