Quaternion hiperboliczny - Hyperbolic quaternion

Mnożenie kwaternionów hiperbolicznych
× 1 ja jot k
1 1 ja jot k
ja ja +1 k - j
jot jot - k +1 ja
k k jot - ja +1

W algebry abstrakcyjnej The algebra z hiperbolicznych kwaterniony jest niezwiązane Kolejność algebra ciągu liczb rzeczywistych z elementami postaci

gdzie kwadraty i, j i k to +1, a różne elementy {i, j, k} mnożą się przez właściwość antyprzemienną .

Czterowymiarowa algebra quaternionów hiperbolicznych zawiera niektóre cechy starszej i większej algebry biquaternionów . Obie zawierają podalgebry izomorficzne z płaszczyzną liczb zespolonych podzielonych . Co więcej, tak jak algebrę kwaternionów H można postrzegać jako sumę płaszczyzn zespolonych , tak algebra hiperbolicznego kwaternionu jest sumą płaszczyzn liczb zespolonych podzielonych na tę samą linię rzeczywistą .

To Alexander Macfarlane promował tę koncepcję w latach 90. XIX wieku jako swoją Algebrę Fizyki , najpierw przez American Association for the Advancement of Science w 1891 r., A następnie w swojej książce z 1894 r. Z pięcioma artykułami z analizy kosmosu oraz w serii wykładów w Lehigh. Uniwersytet w 1900 roku.

Struktura algebraiczna

Jak quaternions , zestaw hiperbolicznych quaternions tworzą przestrzeń wektorową nad liczb rzeczywistych od wymiaru 4. kombinacji liniowej

jest kwaternionem hiperbolicznym, kiedy i są liczbami rzeczywistymi, a zbiór bazowy ma następujące iloczyny:

Korzystając z właściwości dystrybucyjnej , relacje te można wykorzystać do pomnożenia dowolnych dwóch kwaternionów hiperbolicznych.

W przeciwieństwie do zwykłych kwaternionów, kwateriony hiperboliczne nie są asocjacyjne . Na przykład , while . W rzeczywistości ten przykład pokazuje, że kwateriony hiperboliczne nie są nawet alternatywną algebrą .

Pierwsze trzy relacje pokazują, że produkty (nierzeczywistych) elementów bazowych są anty-przemienne . Chociaż ten zbiór podstawowy nie tworzy grupy , zbiór

tworzy quasi- grupę . Należy również zauważyć, że każda podpłaszczyzna zbioru M hiperbolicznych kwaternionów, która zawiera oś rzeczywistą, tworzy płaszczyznę podzielonych liczb zespolonych . Gdyby

jest koniugatem , a następnie iloczynem

jest kwadratową formą używaną w teorii czasoprzestrzeni . W rzeczywistości dla zdarzeń p i q , postać dwuliniowa

powstaje jako ujemna część rzeczywistej hiperbolicznego iloczynu quaternion pq * i jest używany w przestrzeni Minkowskiego .

Zauważ, że zbiór jednostek U = { q  : qq * ≠ 0} nie jest zamykany podczas mnożenia. Zobacz referencje (link zewnętrzny), aby uzyskać szczegółowe informacje.

Dyskusja

Kwateriony hiperboliczne tworzą niezespolony pierścień ; niepowodzenie asocjatywności w tej algebrze ogranicza łatwość tej algebry w teorii transformacji. Niemniej jednak algebra ta kładzie nacisk na kinematykę analityczną, sugerując model matematyczny : kiedy wybiera się wektor jednostkowy r w kwaternionach hiperbolicznych, wówczas r 2 = +1. Płaszczyzna z hiperbolicznym mnożeniem kwaternionów jest przemienną i asocjacyjną podalgebrą izomorficzną do płaszczyzny liczb zespolonych podzielonych. Hiperboliczny versor przekształca D r o

Ponieważ kierunek r w przestrzeni jest dowolny, to mnożenie hiperbolicznego quaternionu może wyrazić dowolne wzmocnienie Lorentza za pomocą parametru a zwanego szybkością . Jednak algebra hiperbolicznego kwaternionu jest niewystarczająca do reprezentowania pełnej grupy Lorentza (patrz zamiast tego biquaternion ).

Pisząc w 1967 r. O dialogu na temat metod wektorowych w latach 90. XIX wieku, skomentował historyk

Wprowadzenie innego systemu analizy wektorowej, nawet swego rodzaju kompromisowego systemu, takiego jak Macfarlane, z trudem mogło zostać dobrze odebrane przez zwolenników już istniejących systemów, a ponadto prawdopodobnie poszerzyło kwestię poza zrozumienie jeszcze niewtajemniczonego czytelnika. .

Geometria

Później Macfarlane opublikował artykuł w Proceedings of the Royal Society of Edinburgh w 1900 roku. W nim omawia model przestrzeni hiperbolicznej H 3 na hiperboloidzie

Ten model izotropowy nazywany jest modelem hiperboloidalnym i składa się ze wszystkich hiperbolicznych wersorów w pierścieniu hiperbolicznych kwaternionów.

Przegląd historyczny

1890 poczuła wpływ pośmiertnych publikacjach WK Clifford i ciągłych grup o Sophus Lie . Przykładem grupy jednoparametrowej jest werset hiperboliczny z parametrem kąta hiperbolicznego . Ten parametr jest częścią rozkładu biegunowego liczby zespolonej podzielonej. Ale to zaskakujący aspekt matematyki skończonej sprawia, że ​​hiperboliczny pierścień kwaternionu jest inny:

Podstawa przestrzeni wektorowej kwaternionów hiperbolicznych nie jest zamknięta przez mnożenie: na przykład . Niemniej zbiór zamyka się mnożeniem. Spełnia wszystkie właściwości grupy abstrakcyjnej z wyjątkiem właściwości asocjatywności; będąc skończonym, jest łacińskim kwadratem lub kwazgrupą , peryferyjną strukturą matematyczną . Utrata właściwości asocjatywności mnożenia, jaką można znaleźć w teorii kwazgrup, nie jest zgodna z algebrą liniową, ponieważ wszystkie przekształcenia liniowe składają się w sposób asocjacyjny. Jednak fizyczne naukowcy nazwali w 1890 mutacji kwadratów , i będzie zamiast  : The Yale University fizyk Willard Gibbs miał ulotki z plus jeden kwadrat w jego trójwymiarowym układzie wektorowego. Oliver Heaviside z Anglii napisał felietony w gazecie branżowej Elektryk , opowiadając się za pozytywnym kwadratem. W 1892 roku zebrał swoją pracę w Transactions of the Royal Society A, gdzie, jak mówi, jest jego systemem wektorów

po prostu elementy Quaternions bez kwaternionów, z zapisem maksymalnie uproszczonym i z bardzo niewygodnym znakiem minus przed usunięciem iloczynu skalarnego.

Zatem pojawienie się hiperbolicznych kwaternionów Macfarlane'a miało pewną motywację, ale nieprzyjemny brak asocjatywności wywołał reakcję. Firma Cargill Gilston Knott została przeniesiona i zaoferowała:

Twierdzenie (Knott 1892)

Jeśli 4-algebra na podstawie jest asocjacyjna, a iloczyny poza przekątną są podane przez reguły Hamiltona, to .

Dowód:

więc . Cykl litery , , aby uzyskać . QED .

To twierdzenie wymagało stwierdzenia uzasadniającego opór wobec wezwania fizyków i elektryka . Kwazgrupa wywołała znaczne poruszenie w latach 90. XIX wieku: czasopismo Nature szczególnie sprzyjało pokazaniu tego, co było znane, podając dwa streszczenia prac Knotta, a także kilku innych teoretyków wektorów. Michael J. Crowe poświęca rozdział szósty swojej książki A History of Vector Analysis różnym opublikowanym poglądom i zauważa hiperboliczny quaternion:

Macfarlane skonstruował nowy system analizy wektorów bardziej harmonijny z systemem Gibbsa-Heaviside'a niż z systemem kwaternionów. ... on ... zdefiniował pełny iloczyn dwóch wektorów, który był porównywalny z iloczynem pełnego kwaternionu, z wyjątkiem tego, że część skalarna była dodatnia, a nie ujemna, jak w starszym systemie.

W 1899 roku Charles Jasper Joly zauważył hiperboliczny quaternion i właściwość nie-asocjatywności, przypisując jej pochodzenie Oliverowi Heaviside'owi.

Quaternions hiperboliczne, takie jak Algebra Fizyki , podważają twierdzenie, że zwykłe kwaterniony wywodzą się z fizyki. Jeśli chodzi o matematykę, kwaternion hiperboliczny to kolejna liczba hiper-złożona , jak wtedy nazywano takie struktury. W latach dziewięćdziesiątych XIX wieku Richard Dedekind wprowadził pojęcie pierścienia do algebry przemiennej, a pojęcie przestrzeni wektorowej zostało wyodrębnione przez Giuseppe Peano . W 1899 roku Alfred North Whitehead promował algebrę uniwersalną , opowiadając się za inkluzywnością. Pojęcia kwazgrupy i algebry nad ciałem są przykładami struktur matematycznych opisujących kwateriony hiperboliczne.

Hiperboliczny quaternion Macfarlane'a z 1900 roku

The Proceedings of the Royal Society of Edinburgh opublikowało „Hyperbolic Quaternions” w 1900 roku, artykuł, w którym Macfarlane odzyskuje asocjatywność w rozmnażaniu poprzez powrót do złożonych czwartorzędów . Tam użył pewnych zwrotów rozsławionych później przez Wolfganga Pauliego : tam, gdzie napisał Macfarlane

z Pauli matryce spełniać

odnosząc się do tych samych skomplikowanych kwaternionów.

Początkowe zdanie artykułu brzmi: „Powszechnie wiadomo, że kwaterniony są ściśle związane z trygonometrią sferyczną i faktycznie sprowadzają przedmiot do działu algebry”. To stwierdzenie można zweryfikować odwołując się do współczesnej pracy Vector Analysis, która pracuje z systemem zredukowanego kwaternionu, opartym na iloczynu skalarnym i iloczynu krzyżowym . W artykule Macfarlane'a podjęto próbę stworzenia „trygonometrii na powierzchni hiperboloidów równobocznych” poprzez algebrę hiperbolicznych kwaternionów, obecnie ponownie zidentyfikowanych w asocjacyjnym pierścieniu ośmiu rzeczywistych wymiarów. Wysiłek jest wzmocniony tablicą z dziewięcioma cyframi na stronie 181. Ilustrują one moc opisową jego metody „analizy przestrzeni”. Na przykład rysunek 7 jest powszechnym diagramem Minkowskiego używanym dzisiaj w szczególnej teorii względności do omówienia zmiany prędkości układu odniesienia i względności równoczesności .

Na stronie 173 Macfarlane rozwija swoją większą teorię zmiennych kwaternionów. Dla kontrastu zauważa, że Felix Klein wydaje się nie wychodzić poza teorię kwaternionów i rotacji przestrzennej .

Bibliografia