Algebra alternatywna - Alternative algebra

W algebry abstrakcyjnej , alternatywa algebry jest algebra , w którym mnożenie nie musi być asocjacyjne , tylko alternatywa . To znaczy, trzeba mieć

• ${\ Displaystyle x (xy) = (xx) y}$
• ${\ Displaystyle (yx) x = y (xx)}$

dla wszystkich x i y w algebrze.

Każda algebra asocjacyjna jest oczywiście alternatywna, ale tak samo jest z pewnymi ściśle nieasocjacyjnymi algebrami, takimi jak oktoniony .

Współpracownik

Algebry alternatywne są tak nazywane, ponieważ są algebrami, dla których asocjator się zmienia . Asocjator jest trójliniową mapą podaną przez

${\ Displaystyle [x, y, z] = (xy) zx (yz)}$ .

Z definicji mapa wieloliniowa jest naprzemienna, jeśli znika, gdy dwa jej argumenty są równe. Alternatywne tożsamości po lewej i prawej stronie algebry są równoważne

${\ Displaystyle [x, x, y] = 0}$

${\ Displaystyle [y, x, x] = 0.}$

Obie te tożsamości razem sugerują, że asocjator jest całkowicie skośno-symetryczny . To jest,

${\ Displaystyle [x _ {\ sigma (1)}, x _ {\ sigma (2)}, x _ {\ sigma (3)}] = \ operatorname {sgn} (\ sigma) [x_ {1}, x_ {2 }, x_ {3}]}$

dla dowolnej permutacji σ . Wynika, że

${\ Displaystyle [x, y, x] = 0}$

dla wszystkich x i y . Jest to odpowiednik elastycznej tożsamości

${\ Displaystyle (xy) x = x (yx).}$

Asocjator algebry alternatywnej jest zatem przemienny. I odwrotnie, każda algebra, której asocjator jest naprzemienny, jest wyraźnie alternatywna. Według symetrii, każda algebra, która spełnia dowolne dwa z:

• pozostawiona tożsamość alternatywna: ${\ Displaystyle x (xy) = (xx) y}$
• właściwa tożsamość alternatywna: ${\ Displaystyle (yx) x = y (xx)}$
• elastyczna tożsamość: ${\ Displaystyle (xy) x = x (yx).}$

jest alternatywą i dlatego spełnia wszystkie trzy tożsamości.

Naprzemienny asocjator jest zawsze całkowicie skośno-symetryczny. Odwrotna sytuacja zachodzi, o ile charakterystyka pola podstawowego nie jest równa 2.

Przykłady

• Każda algebra asocjacyjna jest alternatywna.
• W octonions utworzenia nie-asocjatywnym alternatywny Algebra unormowanej podziału algebraiczne wymiaru 8 nad liczb rzeczywistych.
• Mówiąc bardziej ogólnie, każda algebra oktonionowa jest alternatywą.

Bez przykładów

• W sedenions i wszystkich wyższych Cayley-Dickson algebry lose alternativity.

Nieruchomości

Twierdzenie Artina stwierdza, że ​​w algebrze alternatywnej podalgebra generowana przez dowolne dwa elementy jest asocjacyjna . I odwrotnie, każda algebra, dla której jest to prawdą, jest oczywiście alternatywą. Wynika z tego, że wyrażenia obejmujące tylko dwie zmienne można zapisać jednoznacznie bez nawiasów w algebrze alternatywnej. Uogólnienie twierdzenia Artina stwierdza, że ​​ilekroć trzy elementy w algebrze alternatywnej łączą się (tj. ), Podalgebra generowana przez te elementy jest asocjacyjna. ${\ Displaystyle x, y, z}$${\ Displaystyle [x, y, z] = 0}$

Konsekwencją twierdzenia Artina jest to, że algebry alternatywne są asocjacyjne , to znaczy podalgebra generowana przez pojedynczy element jest asocjacyjna. Odwrotna sytuacja nie musi mieć miejsca: sedencje są skojarzone z władzą, ale nie są alternatywne.

Na tożsamość Moufang

• ${\ Displaystyle a (x (ay)) = (axa) y}$
• ${\ Displaystyle ((xa) y) a = x (aya)}$
• ${\ Displaystyle (ax) (ya) = a (xy) a}$

trzymaj się dowolnej algebry alternatywnej.

W algebrze alternatywnej jedności mnożnikowej odwrotności mnożnikowe są unikalne, gdy tylko istnieją. Co więcej, dla każdego odwracalnego elementu i wszystkiego, co ma ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle y = x ^ {- 1} (xy).}$

Jest to równoważne stwierdzeniu, że powiązanie znika dla wszystkich takich i . Jeśli i są odwracalne, to jest również odwracalne z odwrotnością . Zbiór wszystkich odwracalnych elementów jest więc zamknięty w wyniku mnożenia i tworzy pętlę Moufanga . Ta pętla jednostek w alternatywnym pierścieniu lub algebrze jest analogiczna do grupy jednostek w asocjacyjnym pierścieniu lub algebrze. ${\ Displaystyle [x ^ {- 1}, x, y]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xy}$${\ Displaystyle (xy) ^ {- 1} = y ^ {- 1} x ^ {- 1}}$

Twierdzenie Kleinfelda stwierdza, że ​​każdy prosty nieasocjacyjny pierścień alternatywny jest uogólnioną algebrą oktonionową nad jego środkiem. Teoria struktury alternatywnych pierścieni została przedstawiona w.

Aplikacje

Płaszczyzna rzutowa nad dowolnym alternatywnym pierścieniem podziału to płaszczyzna Moufang .

Bliski związek algebr alternatywnych i algebr składu podał Guy Roos w 2008 r .: Pokazuje on (str. 162) relację algebry A z elementem jednostkowym e i niewolniczym anty-automorfizmem, tak że a + a * i aa * są włączone linia trwała przez e dla wszystkich A w A . Użyj notacji n ( a ) = aa *. Wtedy, jeśli n jest niejednoznacznym odwzorowaniem na pole A , a A jest alternatywne, to ( A, n ) jest algebrą kompozycji. ${\ displaystyle a \ mapsto a ^ {*}}$

Zobacz też

• Algebra nad ciałem
• Algebra Malcewa
• Pierścień Zorn

Bibliografia

• Schafer, Richard D. (1995). Wprowadzenie do algebr niezespolonych . New York: Dover Publications. ISBN   0-486-68813-5 . Zbl   0145.25601 .
• Zhevlakov, KA; Slin'ko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Pierścienie, które są prawie asocjacyjne . Academic Press . ISBN   0-12-779850-1 . MR   0518614 . Zbl   0487.17001 .

Zewnętrzne linki

• Zhevlakov, KA (2001) [1994], „Alternative rings and algebras” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press