Mapa wieloliniowa - Multilinear map

W algebry liniowej , A Przekształcenie Wieloliniowe jest funkcją wielu zmiennych, że jest liniowa oddzielnie w każdej zmiennej. Dokładniej, mapa wieloliniowa jest funkcją

${\ Displaystyle f \ dwukropek V_ {1} \ razy \ cdots \ razy V_ {n} \ do W {\ tekst {}}}$

gdzie i to miejsca wektora (lub moduły nad pierścienia przemiennego ), z następujących własności: w każdym razie wszystkie zmienne, ale są utrzymywane na stałym poziomie, to jest funkcją liniową o . ${\displaystyle V_{1},\ldots,V_{n}}$${\ Displaystyle W}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$${\ Displaystyle f (v_ {1}, \ ldots v_ {i}, \ ldots v_ {n})}$${\displaystyle v_{i}}$

Odwzorowanie wieloliniowe jednej zmiennej jest odwzorowaniem liniowym , a odwzorowanie dwóch zmiennych jest odwzorowaniem dwuliniowym . Bardziej ogólnie, wieloliniowa mapa k zmiennych nazywana jest k- liniową mapą . Jeśli przeciwdziedziną odwzorowania wieloliniowego jest pole skalarów , nazywamy to formą wieloliniową . Mapy wieloliniowe i formy wieloliniowe są podstawowymi przedmiotami badań algebry wieloliniowej .

Jeżeli wszystkie zmienne należą do tej samej przestrzeni, można rozważyć odwzorowanie symetryczne , antysymetryczne i przemienne k- liniowe. Te ostatnie pokrywają się, jeśli leżący pod spodem pierścień (lub pole ) ma inną charakterystykę niż dwa, w przeciwnym razie dwa pierwsze pokrywają się.

Przykłady

• Każda mapa dwuliniowa jest mapą wieloliniową. Na przykład dowolny iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej jest mapą wieloliniową, podobnie jak iloczyn poprzeczny wektorów w .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$
• Wyznacznikiem macierzy jest przemienne działanie multilinear z kolumn (i), o rzędach macierzy kwadratowej .
• Jeśli jest funkcją C ^k , to pochodna w każdym punkcie w swojej dziedzinie może być postrzegana jako funkcja symetryczno- liniowa .${\ Displaystyle F \ dwukropek \ mathbb {R} ^ {m} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle k\!}$${\displaystyle F\!}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$${\ Displaystyle D ^ {k} \! F \ dwukropek \ mathbb {R} ^ {m} \ razy \ cdots \ razy \ mathbb {R} ^ {m} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$

Reprezentacja współrzędnych

Pozwolić

${\ Displaystyle f \ dwukropek V_ {1} \ razy \ cdots \ razy V_ {n} \ do W {\ tekst {}}}$

być wieloliniową mapą między skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi, gdzie ma wymiar i ma wymiar . Jeśli wybierzemy bazę dla każdego i bazę dla (pogrubieniem wektorów), to możemy zdefiniować zbiór skalarów przez ${\displaystyle V_{i}\!}$${\displaystyle d_{i}\!}$${\displaystyle W\!}$${\displaystyle d\!}$ ${\ Displaystyle \ {{\ textbf {e}} _ {i1}, \ ldots, {\ textbf {e}} _ {id_ {i}} \}}$${\displaystyle V_{i}\!}$${\ Displaystyle \ {{\ textbf {b}} _ {1} \ ldots {\ textbf {b}} _ {d} \}}$${\displaystyle W\!}$${\ Displaystyle A_ {j_ {1} \ cdots j_ {n}} ^ {k}}$

${\ Displaystyle f ({\ textbf {e}} _ {1j_ {1}}, \ ldots, {\ textbf {e}} _ {nj_ {n}}) = A_ {j_ {1} \ cdots j_ {n }}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_ {D}.}$

Wtedy skalary całkowicie określają funkcję wieloliniową . W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle \ {A_ {j_ {1} \ cdots j_ {n}} ^ {k} \ mid 1 \ równoważnik j_ {i} \ równoważnik d_ {i}, 1 \ równoważnik k \ równoważnik d \}}$${\displaystyle f\!}$

${\ Displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} = \ suma _ {j = 1} ^ {d_ {i}} v_ {ij} {\ textbf {e}} _ {ij} \!}$

dla , to ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$

${\ Displaystyle f ({\ textbf {v}} _ {1} \ ldots {\ textbf {v}} _ {n}) = \ suma _ {j_ {1} = 1} ^ {d_ {1} }\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k} v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

Przykład

Weźmy funkcję trójliniową

${\ Displaystyle g \ dwukropek R ^ {2} \ razy R ^ {2} \ razy R ^ {2} \ do R}$

gdzie V _i = R ² , dni _I = 2, i = 1,2,3 , a W = R , d = 1 .

Podstawą każdego V _i jest Let ${\ Displaystyle \ {{\ textbf {e}} _ {i1}, \ ldots, {\ textbf {e}} _ {id_ {i}} \} = \ {{\ textbf {e}} _ {1} ,{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$

${\ Displaystyle g ({\ textbf {e}} _ {1i}, {\ textbf {e}} _ {2j}, {\ textbf {e}} _ {3 k}) = f ({\ textbf {e} }_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

gdzie . Innymi słowy, stała jest wartością funkcji w jednej z ośmiu możliwych trójek wektorów bazowych (ponieważ istnieją dwie możliwości dla każdego z trzech ), a mianowicie: ${\ Displaystyle ja, j, k \ w \ {1,2 \}}$${\ Displaystyle A_ {ijk}}$${\ Displaystyle V_ {i}}$

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\}\{{\textbf {e }}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{ \textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1} \},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e }}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

Każdy wektor można wyrazić jako liniową kombinację wektorów bazowych ${\ Displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} \ w V_ {i} = R ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} = \ suma _ {j = 1} ^ {2} v_ {ij} {\ textbf {e}} _ {ij} = v_ {i1} \ razy { \textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0, 1)).}$

Wartość funkcji w dowolnym zbiorze trzech wektorów można wyrazić jako ${\ Displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} \ w R ^ {2}}$

${\ Displaystyle g ({\ textbf {v}} _ {1}, {\ textbf {v}} _ {2}, {\ textbf {v}} _ {3}) = \ suma _ {i = 1} ^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k}.}$

Lub w rozszerzonej formie jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} g ((a, b), (c, d) i (e, f)) = as \ razy g ({\ textbf {e}} _ {1}, {\ textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1 },{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2} )+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({ \textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e} }_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\ textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{wyrównany}}}$

Związek z produktami tensorowymi

Między mapami wieloliniowymi istnieje naturalna zależność jeden do jednego

${\ Displaystyle f \ dwukropek V_ {1} \ razy \ cdots \ razy V_ {n} \ do W {\ tekst {}}}$

i mapy liniowe

${\ Displaystyle F \ dwukropek V_ {1} \ czasami \ cdots \ czasami V_ {n} \ do W {\ tekst {}}}$

gdzie oznacza produkt tensorowy się . Zależność między funkcjami i dana jest wzorem ${\ Displaystyle V_ {1} \ czasami \ cdots \ czasami V_ {n} \!}$${\displaystyle V_{1},\ldots,V_{n}}$${\displaystyle f\!}$${\displaystyle F\!}$

${\ Displaystyle f (v_ {1} \ ldots, v_ {n}) = F (v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {n}).}$

Funkcje wieloliniowe na macierzach n × n

Można rozważać funkcje wieloliniowe na macierzy n × n nad przemiennym pierścieniem K o identyczności, jako funkcję rzędów (lub równoważnie kolumn) macierzy. Niech A będzie taką macierzą i a _i , 1 ≤ i ≤ n , będą rzędami A . Wtedy funkcję wieloliniową D można zapisać jako

${\ Displaystyle D (A) = D (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}),}$

dogadzający

${\ Displaystyle D (a_ {1}, \ ldots, ca_ {i} + a_ {i} ', \ ldots, a_ {n}) = cD (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

Jeśli pozwolimy reprezentować j- ty wiersz macierzy jednostkowej, możemy wyrazić każdy wiersz a _i jako sumę ${\ Displaystyle {\ kapelusz {e}} _ {j}}$

${\ Displaystyle a_ {i} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} A (i, j) {\ kapelusz {e}} _ {j}.}$

Korzystając z wieloliniowości D przepisujemy D ( A ) jako

${\ Displaystyle D (A) = D \ lewo (\ suma _ {j = 1} ^ {n} A (1, j) {\ kapelusz {e}} _ {j}, a_ {2}, \ ldots, a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{ n}).}$

Kontynuując to podstawienie dla każdego a _i otrzymujemy, dla 1 ≤ i ≤ n ,

${\ Displaystyle D (A) = \ suma _ {1 \ leq k_ {i} \ leq n} A (1, k_ {1}) A (2, k_ {2}) \ kropki A (n, k_ {n })D({\kapelusz {e}}_{k_{1}},\dots ,{\kapelusz {e}}_{k_{n}}),}$

gdzie, ponieważ w naszym przypadku 1 ≤ i ≤ n ,

${\ Displaystyle \ suma _ {1 \ równoważnik k_ {i} \ równoważnik n} = \ suma _ {1 \ równoważnik k_ {1} \ równoważnik n} \ ldots \ suma _ {1 \ równoważnik k_ {i} \ równoważnik n }\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}}$

to seria zagnieżdżonych podsumowań.

Dlatego D ( A ) jest jednoznacznie określone przez to, jak D działa na . ${\ Displaystyle {\ kapelusz {e}} _ {k_ {1}}, \ kropki, {\ kapelusz {e}} _ {k_ {n}}}$

Przykład

W przypadku macierzy 2×2 otrzymujemy

${\ Displaystyle D (A) = A_ {1,1} A_ {2,1} D ({\ kapelusz {e}} _ {1}, {\ kapelusz {e}} _ {1}) + A_ {1 ,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D( {\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2} ,{\kapelusz {e}}_{2})\,}$

Gdzie i . Jeśli ograniczymy się do funkcji przemiennej wtedy i . Niech otrzymamy funkcję wyznacznika na macierzach 2×2: ${\displaystyle {\kapelusz {e}}_{1}=[1,0]}$${\displaystyle {\kapelusz {e}}_{2}=[0,1]}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D ({\ kapelusz {e}} _ {1}, {\ kapelusz {e}} _ {1}) = D ({\ kapelusz {e}} {2}, {\ kapelusz {e} }_{2})=0}$${\ Displaystyle D ({\ kapelusz {e}} {2}, {\ kapelusz {e}} _ {1}) = - D ({\ kapelusz {e}} _ {1}, {\ kapelusz {e }}_{2})=-D(I)}$${\ Displaystyle D (I) = 1}$

${\ Displaystyle D (A) = A_ {1,1} A_ {2,2} -A_ {1,2} A_ {2,1}.}$

Nieruchomości

• Mapa wieloliniowa ma wartość zero, gdy jeden z jej argumentów ma wartość zero.

Zobacz też

• Forma algebraiczna
• Forma wieloliniowa
• Wielomian jednorodny
• Jednorodna funkcja
• Tensory

Bibliografia