Tożsamość (matematyka) - Identity (mathematics)

W matematyce , tożsamość jest równość dotycząca jedno wyrażenie matematyczne A  do innego wyrażenie matematyczne  B , takie że i B (który może zawierać pewne zmienne ) wytwarzają taką samą wartość dla wszystkich wartości zmiennych w pewnym zakresie ważności. Innymi słowy, A  =  B jest tożsamością, jeśli A i B definiują te same funkcje , a tożsamość to równość między różnie zdefiniowanymi funkcjami. Na przykład i są tożsamościami. Tożsamości są czasami wskazywane przez symbol z trzema kreskami ≡ zamiast = , znak równości . ${\ Displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 ab + b ^ {2}}$${\ Displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta =1}$

Wspólne tożsamości

Tożsamości algebraiczne

Pewne tożsamości, takie jak i , stanowią podstawę algebry, podczas gdy inne tożsamości, takie jak i , mogą być przydatne w upraszczaniu wyrażeń algebraicznych i rozszerzaniu ich. ${\ Displaystyle a + 0 = a}$${\displaystyle a+(-a)=0}$${\ Displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 ab + b ^ {2}}$${\ Displaystyle a ^ {2}-b ^ {2} = (a + b) (ab)}$

Tożsamości trygonometryczne

Geometrycznie tożsamości trygonometryczne to tożsamości zawierające pewne funkcje jednego lub więcej kątów . Różnią się one od tożsamości trójkątów , które są tożsamościami obejmującymi zarówno kąty, jak i długości boków trójkąta . Tylko te pierwsze zostały omówione w tym artykule.

Tożsamości te są przydatne, gdy zachodzi potrzeba uproszczenia wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne. Innym ważnym zastosowaniem jest integracja funkcji nietrygonometrycznych: powszechna technika, która polega najpierw na użyciu reguły podstawienia z funkcją trygonometryczną , a następnie na uproszczeniu otrzymanej całki z tożsamością trygonometryczną.

Jednym z najbardziej znanych przykładów tożsamości trygonometrycznych jest równanie, które jest prawdziwe dla wszystkich wartości zespolonych (ponieważ liczby zespolone tworzą dziedzinę sinusa i cosinusa). Z drugiej strony równanie ${\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta =1,}$${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ cos \ theta =1}$

jest prawdziwe tylko dla pewnych wartości , a nie wszystkich (ani dla wszystkich wartości w sąsiedztwie ). Na przykład to równanie jest prawdziwe, gdy , ale fałszywe, gdy . ${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle \ theta = 0,}$${\ Displaystyle \ theta = 2}$

Inna grupa identyczności trygonometrycznych dotyczy tak zwanych wzorów dodawania/odejmowania (np. tożsamość podwójnego kąta , wzór dodawania dla ), które można wykorzystać do rozbicia wyrażeń o większych kątach na te o mniejszych składowych. ${\ Displaystyle \ sin (2 \ theta ) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta}$${\ Displaystyle \ tan (x + y)}$

Tożsamości wykładnicze

Następujące tożsamości obowiązują dla wszystkich wykładników liczb całkowitych, pod warunkiem, że podstawa jest różna od zera:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} b ^ {m + n} i = b ^ {m} \ cdot b ^ {n} \ \ (b ^ {m}) ^ {n} i = b ^ {m \ cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{wyrównany}}}$

W przeciwieństwie do dodawania i mnożenia potęgowanie nie jest przemienne . Na przykład 2 + 3 = 3 + 2 = 5 i 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , ale 2 ³ = 8 , podczas gdy 3 ² = 9 .

I w przeciwieństwie do dodawania i mnożenia, potęgowanie również nie jest asocjacyjne . Na przykład (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 i (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , ale 2 ³ do 4 to 8 ⁴ (lub 4096), podczas gdy 2 z 3, ⁴ wynosi 2 ⁸¹ (lub 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Bez nawiasów, aby zmienić kolejność obliczeń, zgodnie z konwencją kolejność jest odgórna, a nie oddolna:

${\ Displaystyle b ^ {p ^ {q}} = b ^ {(p ^ {q})} \ neq (b ^ {p}) ^ {q} = b ^ {(p \ cdot q)} = b ^{p\cdot q}.}$

Tożsamości logarytmiczne

Kilka ważnych formuł, czasami nazywanych tożsamościami logarytmicznymi lub prawami logarytmu, wiąże ze sobą logarytmy.

Iloczyn, iloraz, potęga i pierwiastek

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów mnożonych liczb; logarytm stosunku dwóch liczb jest różnicą logarytmów. Logarytm p -tej potęgi liczby to p razy logarytm samej liczby; logarytm p -tego pierwiastka to logarytm liczby podzielonej przez p . W poniższej tabeli wymieniono te tożsamości wraz z przykładami. Każdą z tożsamości można wyprowadzić po podstawieniu definicji logarytmów x = b ^{log _b (x)} i/lub y = b ^{log _b (y)} po lewej stronie.

	Formuła	Przykład
produkt	${\ Displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y)}$	${\ Displaystyle \ log _ {3}(243) = \ log _ {3} (9 \ cdot 27) = \ log _ {3} (9) + \ log _ {3} (27) = 2 + 3 = 5}$
iloraz	${\ Displaystyle \ log _ {b} \! \ lewo ({\ Frac {x} {y}} \ prawej) = \ log _ {b} (x) - \ log _ {b} (y)}$	${\ Displaystyle \ log _ {2} (16) = \ log _ {2} \! \ lewo ({\ Frac {64} {4}} \ po prawej) = \ log _ {2} (64) - \ log _{2}(4)=6-2=4}$
moc	${\ Displaystyle \ log _ {b} (x ^ {p}) = p \ log _ {b} (x)}$	${\ Displaystyle \ log _ {2} (64) = \ log _ {2} (2 ^ {6}) = 6 \ log _ {2} (2) = 6}$
korzeń	${\ Displaystyle \ log _ {b} {\ sqrt [{p}] {x}} = {\ Frac {\ log _ {b} (x)} {p}}}$	${\ Displaystyle \ log _ {10} {\ sqrt {1000}} = {\ Frac {1} {2}} \ log _ {10} 1000 = {\ Frac {3} {2}} = 1,5}$

Zmiana bazy

Logarytm log _b ( x ) można obliczyć z logarytmów x i b w odniesieniu do dowolnej podstawy k przy użyciu następującego wzoru:

${\ Displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ Frac {\ log _ {k} (x)} {\ log _ {k} (b)}}.}$

Typowe kalkulatory naukowe obliczają logarytmy o podstawie 10 i e . Logarytmy w odniesieniu do dowolnej podstawy b można wyznaczyć za pomocą jednego z tych dwóch logarytmów według poprzedniego wzoru:

${\ Displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ Frac {\ log _ {10} (x)} {\ log _ {10} (b)}} = {\ Frac {\ log _ {e} (x)}{\log _{e}(b)}}.}$

Mając liczbę x i jej logarytm log _b ( x ) o nieznanej podstawie b , podstawa jest dana wzorem:

${\ Displaystyle b = x ^ {\ Frac {1} {\ log _ {b} (x)}}.}$

Tożsamości funkcji hiperbolicznych

Funkcje hiperboliczne spełniają wiele tożsamości, wszystkie podobne w formie do tożsamości trygonometrycznych . W rzeczywistości reguła Osborna mówi, że można przekształcić dowolną tożsamość trygonometryczną w tożsamość hiperboliczną, rozszerzając ją całkowicie w kategoriach potęg całkowych sinusów i cosinusów, zmieniając sinus na sinus i cosinus na cosh oraz zmieniając znak każdego wyrazu, który zawiera iloczyn 2, 6, 10, 14, ... sinusów.

Funkcja Gudermanna daje bezpośredni związek między funkcjami kołowymi a funkcjami hiperbolicznymi, które nie obejmują liczb zespolonych.

Algebra logiczna i uniwersalna

W logice matematycznej iw algebrze uniwersalnej tożsamość definiuje się jako formułę postaci " ∀ x ₁ ,..., x _n . s = t " , gdzie s i t są terminami bez innych zmiennych wolnych niż x ₁ , ..., x _n . Przedrostek kwantyfikatora („∀ x ₁ ,..., x _n .”) jest często pozostawiony implicite, w szczególności w algebrze uniwersalnej. Dla przykładu, aksjomaty o monoid często podawana jako tożsamości zestawu

{   ∀ x , y , z . x *( y * z )=( x * y )* z   ,   ∀ x . x *1= x   ,   ∀ x . 1* x = x   },

lub, w skrócie, jako

{   x *( y * z )=( x * y )* z   ,   x *1= x   ,   1* x = x   }.

Niektórzy autorzy używają nazwy „równanie” zamiast „tożsamość”.

Zobacz też

• Tożsamość księgowa
• Lista tożsamości matematycznych

Bibliografia

Uwagi

Cytaty

Źródła

Linki zewnętrzne

• Encyclopedia of Equation Online encyklopedia tożsamości matematycznych (archiwum)
• Zbiór tożsamości algebraicznych